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相似三角形预备定理证明学习资料

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相似三角形(预备定理)

相似三角形(预备定理)

例。
步骤3
03
根据步骤1和步骤2，得出两个三角形相似的结论。
感谢您的观看
THANKS
性质
相似三角形预备定理具有传递性 、反身性和对称性，即如果两个 三角形相似，则它们的对应边和 对应角都成比例。
预备定理的重要性
基础性
相似三角形预备定理是三角形相似判 定定理的基础，对于理解三角形相似 的概念和性质至关重要。
应用广泛
在几何学、三角函数、解析几何等领 域中，相似三角形预备定理都有广泛 的应用。
等，则这两个三角形相 似。
具体来说，如果$angle A = angle A'$、$angle B = angle B'$、$angle C = angle C'$，则三角形ABC与三角形A'B'C'相 似。
边边判定法
如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
相似三角形(预备定理)
目录
• 相似三角形预备定理的定义 • 相似三角形的判定方法 • 相似三角形的性质 • 相似三角形在几何中的应用 • 相似三角形的实际应用 • 相似三角形预备定理的证明
01
相似三角形预备定理的定义
定义与性质
定义
相似三角形预备定理是指，如果 两个三角形有两边对应成比例， 且夹角相等，则这两个三角形相 似。
离与实际距离之间的关系。
地形表示
在地图上表示地形起伏时，可以使 用相似三角形来表示不同高度之间 的相对关系。
地理位置定位
在地图上确定地理位置时，可以使 用相似三角形来确定两点之间的相 对位置和距离。
在物理学中的应用（光的折射、反射等）
光学仪器设计
在设计和制造光学仪器（如望远镜和显微镜）时，需要使 用相似三角形来计算透镜的形状和位置，以确保光线正确 地折射和聚焦。

相似三角形预备定理

相似三角形预备定理

再 见
D E
l1 l2
上 上 下 下
F
l3
下 下 全 全
形象记忆
. . . .
左 左 右 右
. . . .
l1
A D B
l2
Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC
l1
l3 l4 l5
D A B
l2
E
l3 l4
C
l5
平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对 应线段的比相等.
A L4 L5 D E B C
27.2相似三角形的判定1
预备定理
回顾：
两个条件要 同时具备
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形.
相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边成比例的两个三角形 符号语言： 是相似三角形. 在△ABC和△A´B´C´中， A′ A
B C B′ C′
A A, B B, C C ∵ AB BC CA . AB BC CA
A D B E C
思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想 ∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.
？
思考
如图,在△ABC 中,DE//BC,
DE分别交AB,AC 于点D,E,
△ADE与△ABC有什么关系?
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通 过相似的定义证明这个结论. 先证明两个三角形的对应角相等. 在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,
L1 L2
B
L5 E A
L4 D C
L1 L2
数学符号语言 L3 数学符号语言 ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC AD = AE AD = AE AB AC AB AC

3.4.1相似三角形的判定1(预备定理)

3.4.1相似三角形的判定1(预备定理)

∴AE=CE
B
又DE=FE,∠AED=∠CEF
△ADE≌△CFE
E F
C
∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
∴△CFE∽△ABC
练习1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形 EFCD的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上. 已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.
A
解：由题可知：△AED∽△ABC
“A”型 A
“X”型
D
E
D
E
O
B
C
（图1）
几何语言： ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
B
（图2）
C
几何语言： ∵DE∥BC
∴△DOE∽△COE
例2 如图，点D为△ABC的边AB的中点，过 点D作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F， 使DE=EF.
A
求证：△CEF∽△ABC
思路
∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
AD ED AC BC
7.5 x x 7.5 5
解得 x=3
E
D
B
C
F
∴正方形的边长为3
如图所示，在△ABC中，点O是AC的中点，点M是AB
上的点，且
AM 1 BM 3
，作AG∥MN.
求 CN 的值.
BN
∵AG∥MN
A M
O
∴△BMN∽△BAG
B
∴△CON∽△CAG
C
N
G
如图所示，在△ABC中，点O是AC的中点，点M是AB
∴∠AOE+∠AOF=∠ACB+∠ACD，
∴∠EOF=∠BCD,
∴∠EAD=∠BAC,
课堂小结：本节课你学到了什么？

相似三角形的预备定理的证明

相似三角形的预备定理的证明

相似三角形的预备定理的证明
设有两个三角形ABC和DEF，已知∠ABC=∠DEF，并且
AB/DE=AC/DF=BC/EF。

我们需要证明三角形ABC和DEF是相似的。

首先，我们来证明AB/DE=BC/EF。

由已知条件可得
AB/DE=AC/(DE+EF)=AC/DF。

再由已知条件中的两对边成比例可得
AC/DF=BC/EF。

所以，AB/DE=BC/EF。

接下来，我们来证明∠ACB=∠DFE。

由已知条件可知∠ABC=∠DEF。

再加上我们已经得到的AB/DE=BC/EF，由三角形的角对应边成比例可知
∠ACB=∠DFE。

最后，我们需要证明∠CAB=∠EDF。

首先，根据克莱姆法则可得
AB/DE=AC/DF，进一步化简得AB/AC=DE/DF。

由三角形的角对应边成比例可知∠CAB=∠EDF。

综上所述，我们证明了∠ABC=∠DEF，并且AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么三角形ABC和DEF是相似的。

根据相似三角形的定义，我们得到了相似三角形的预备定理。

相似三角形的预备定理

相似三角形的预备定理

相似
∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C， AD AE
A
过E作EF∥AB交BC于F，则 AE BF
AB AC
AC BC
∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE=BF.
D
E
AE DE AD AE DE
AC BC
AB AC BC
∴△ADE∽△ABC.
B
FC
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构
1.（2010 ·滨州中考）如图,A、B两点被池塘隔开,在AB
外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作
MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为
.
1.已知EF∥BC,求证: BD DC EG GF
A
E
F
G
F
GE
.已知EF∥BC,FG∥DC,
求证:
相似三角形的判定
提出问题：
如图，在∆ABC中，点D是边AB的 中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？
A
D B
E C
思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想 ∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.
如图，DE∥BC，△ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
证明:在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A
解析：与△ABC相似的三角形有3个:
△ADE
△GFC
△GOE
D
A G
O
E
B
F
C
4.如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=45°,∠ACB=40°. (1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长.

最新--数学课件相似三角形的预备定理 精品

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1.相似.因为对应角相等,对应边成比例.
A
D
２.两个直角三角形一定相似吗？为什么？
两个等腰直角三角形呢？
B CE
F
２.两个直角三角形不一定相似.因为对
(1)
应角不一定相等,对应边也不一定成比
例;两个等腰直角三角形相似.因为对应 300
450
３角相.两等个,对等应腰边三成比角例形. 一定相似吗？为什么？两个等(2边) 三角D形呢？
（2）由相似三角形对应边成比例。得
A
D
C B
小结 拓展
三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角 形(similar trianglec).
△ABC与△DEF相似,就记作:△ABC∽△DEF. 注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！ 性质：相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例. 如果△ ABC∽ △DEF,那么∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F.
３.两个等腰三角形不
A
一定相似;
两个等边三角形相似.
B CE
F
（3）
随堂练习
1、在下面的两组图形中,各有两个相似三角形,试确定x ,y ,m ,n
的值.
B
x 20 33
D
A 22 C
3a
30 (1)
E
48
A
45°
你准备如何去做?
C
n° 10
F 2a 50°y
85°B
45°
m° E
(2) D
F
△ ABC与△ DEF相似，就记作： △ ABC∽ △DEF
注意：要把表示对应角顶点的
字母写在对应的位置上！
基本性质：相似三角形的各对应角 相等，各对应边对应成比例.

2721相似三角形的判定(1)(预备定理)PPT课件


A'B'C'与AB的 C 相似比 1. 为
A'
B'
k
（相似三角形的定义可以作为 三角形相似的一种判定方法）
6
L1 L2
A
D
B
E
C
F
请说出其中的对应线段!
L3 L4 L5
7
三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.
定理的符号语言 L1 L2
L3//L4//L5
A
D
L3
B
E
AB
DE
=
C
L4 F
L5
1
观察回顾：
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形。
两个条件要 同时具备
2
问题1：这两个三角形是否为 相似形？
对应角……？ 对应边……？
3
相似三角形定义：我们把对应角相
等、对应边成比例的两个三角形叫做 相似三角形。
4
△ABC与△ A'B'C'相似
C
表示为：
△ABC∽△ A'B'C'
A B
C/
读作：
△ABC相似于△ A'B'C' A/'
B/
注意 在写两个三角形相似时应
把表示对应顶点的字母写在对 应的位置上。
5
相似三角形定义用符号语言表示：
∵∠A= ∠A' 、∠B= ∠B' 、∠C=C'
C
ABBCCAk A'B' B'C' C'A'
A
B ∴ △ABC∽△A'B'C'

《相似三角形的判定预备定理 》

18.5.1相似三角形的判定——预备定理【教学目标】知识技能：掌握用相似三角形的定义和预备定理判断两个三角形相似过程方法：在探索相似三角形判定定理过程中，体现解决问题的方法情感态度：在探索相似图形的性质过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．【教学重点】预备定理的证明与应用【教学难点】预备定理的证明【教学过程】一.复习引入活动1回顾相似三角形的定义，定义既是判定也是性质；平行线分线段成比例出示问题：如图,DE//BC, △ADE 与△ABC 有什么关系?说明理由.学生猜想：相似。

能得到△ADE ∽△ABC 吗？教师活动:教师出示并提出问题，组织学生思考．（1）△ADE 与△ABC 满足“对应角相等”吗？为什么？（2）△ADE 与△ABC 满足对应边成比例吗？由“DE ∥BC ”的条件可得到哪些线段的比相等？（3）根据以前学习的知识如何把DE 移到BC 上去？（作辅助线DF ∥AC ）学生活动:学生小组讨论：要证△ADE ∽△ABC只需证∠A=∠A ，∠B=∠2，∠C=∠3←——由平行得=AD AE DE AB AC BC ⎫=⎬⎭由DE ∥BC 得相似定义 只需证出：DE AD BC AB=或DE AE BC AC = 由于DE 、BC 不在同一直线上，故可以通过做辅助线平移DE ，将DE 、BC 放在同一直线上证明： 过D 点作DF ∥AC 交BC 于F ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ∴四边形DFCE 是□ ∴DE=CF ∵DF ∥AC ∴CF AD BC BD= ∴DE AD BC BD= ∵DE ∥BC ∴=AD AE BD AC∵DE ∥BC∴∠A=∠A ，∠1=∠B ，∠2=∠C ∴△ADE ∽△ABC BC DE AC AE AB AD ==∴B分析完后由学生口述再ppt 出示过程由此可得：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似。

拓展： 思考： 若条件不变，图形如图所示，结论是否仍然成立？依然成立几何画板演示教师活动:板书课题“相似三角形的判定”二、形成新知：活动2 归纳总结：判定三角形相似的（预备）定理： 文字语言：平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原来三角形相似。

九年级数学《相似三角形判定预备定理》课件

点的字母写在对应的位置上，这样
便于找出相似三角形的对应角和对 应边.
即写成△ABC∽△A′B′C′，表 明对应关系是唯一确定的，即A与 A′、B与B′、C与C′分别对应.如果 仅说“这两个三角形相似”,没有 用“∽”表示的，则没有说明对应 关系.
师友展示
相似三角形的相似比
将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为
∴ AD AE , FC AD . AB AC BC AB
因为四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC， DE AD . BC AB
AD AE DE . AB AC BC
又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC.
A
D B
F
E C
归纳总结
A
D B
E C A
B D
K1
,即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=
K1
△A′B′C′∽△ABC的相似比记为 练习
，K 2
即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=Leabharlann K23.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3则△ABC与△DEF的相似比 K1 和△DEF与△ABC的相似比 K2 是否相等？如果不相等，K1和K2满足什么
关系？如果AB=2，DE=2呢？说明这两个三角形是什么关系？
合作探究，学会质疑
根据自学思考题，师友对议再组议交流上面问题
师友展示
C
A
B
C′
A′
B′
图1
如图1，△ABC与△A′B′C′相 似. 则图1中的两个三角形记作 “△ABC∽△A′B′C′”，读作 “△ABC相似于△A′B′C′”，“∽” 叫相似符号.

相似三角形的判定(预备定理)


作业：


1、自学自练：P11三、 解答题1题 3题（1）、（2）选作 课本：P41A组3题 2、已知：在△ABC中，EF//AB，DF//BC， B 求证：△ADF∽△EFC。
E D A F C
相似三角形的判定（预备定理）
复习：


1、什么叫相似三角形？什么叫相似比？ 2、已知△ADE∽ △ABC，请指出写出 对应角和对应边成比例
A D B E C
ACB ，指出 已知：如图， ADE 它们的对应顶点、对应边和对应角.
S
新课探究

1、如图，在等边三角形△ABC中， DE//BC，并交AB、AC于点D、E， 那么△ADE与△ABC相似吗？为什么？
DA
A D
B
E
C
练习：1、如图，DG//EH//FI//BC，请找出图中所有的 相似三角形，并说明理由。
A D E F 过网，而且落在离网5m 的位置上，其他条件如图，求球拍击球的高度（假设网球的 运行路线是直线）.
小结：



1、你学到了什么定理？内容、图形、作用分 别是什么？ 2、回想一下证明预备定理时，我们是如何分 析添加辅助线的？ 3、你还有哪些收获？你满意吗?
A
D
E
B
C
思考：

若将特殊三角形的条件去掉，变成一般的三角 形呢？ 2、如图，在△ABC中， DE//BC，并交AB、 AC于点D、E，那么△ADE与△ABC相似吗？ 为什么？ A
D B E C

例题： 如图，D为△ABC的A B边上的 一点，过点D作DE//AC，交BC于E， 已知BE：EC=2：1，AC=6cm， BD 求 的值以及DE的长。
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课题：
相似三角形的判定（预备定理）
教学目标：1 •掌握预备定理以及用相似三角形的定义判断两三角形相似；
2 •在探索相似三角形预备定理过程中，感受特殊到一般的思想方法，体验分析解决问题的方法；
3•通过思考交流与教师启发，获得探索问题的乐趣，增强数学学习的信心
与原动力。

教学重点：预备定理的证明与应用。

教学难点：预备定理的证明。

教学方法：启发+探究+讲授
教学手段：常规教学用具，计算机及课件
教学过程：
教学过程
教师活动学生活动设计意图
出示情境问题:
1、什么叫相似三角形？什么叫相似比？
2、如图，矩形草坪长20m，宽10m，沿草坪四周有
1m宽的小路。

小路的内外边缘所围成的矩形相似吗？
C
创设情境3、如图两个三角形相似吗？若相似，你是若何判断的，
相似比是多少？若不相似，也请说
4、思考：如图：在△ ABC 与厶DEF中，/
A= / D，/ B= / E，请问△ ABC 与厶DEF 是否相
似？
复习相似形
的有关概
思考回答问题：念，明确否
1、2 口答定两图形相
3题可能的方法：似，指出一
⑴直觉（引导有理有个不满足的
据）；条件即可，
⑵度量角与边，再计而冃疋两图
算（指引这种方法简形相似，则
单易于操作，但有时需要所有对
会对结果的精确程度应角相等，
质疑）对边成比
⑶根据格点特性计算例。

（积极鼓励）
而随后的思
考，是为了给
学生点引一
下，预备定理
为什么叫预备
定理，后继学
D
明确指出：
本节课将研究如何用相似三角形的定义判断两三
角形相似。

板书课题：相似三角形的判定
出示特殊题组:
1、如图，在等边三角形厶ABC中，DE//BC，并交于
点D、E,那么△ ADE与厶ABC相似吗？为什么？
口答1题;
发现证明预备疋理2、如图，在Rt△ ABC 中，/ BAC=90 ° ,
DE//BC，并交于点D、E,那么△ ADE与厶ABC相
似吗？为什么？
AD
（提示：可设D k）
AB
若将特殊三角形的条件去掉，变成一般的三角
形呢？
3、如图，在△ ABC中，DE//BC，并交于点D、E,
那么△ ADE 与厶ABC 相似吗？为什么？
通过计算回答；并认识
到关键是计算：
DE
BC
在教师的启发下思考讨
论，体会线段转移的来
龙去脉。

预案：
1 : 过D 作
DF//AC
习中的有关
判定定理都
要转化为预
备定理即以
证明，从而感
受预备定理
的学习价值。

题组中的1、
2题，让学生
从简单推理与
计算推理两个
方面认识理解
这种图形。

尤
其是计算推理
中所涉及的设
未知数的方
法，应用非常
广泛。

而题三
需要深入思
考，更反衬出
题3分析方法
的重要性。

通过题3的
启发引导,
疋理应用与巩固组织学生思考：
（1 ）△ ADE与厶ABC满足对应角相等”吗？为
什么？
（2）△ ADE与厶ABC满足对应边成比例吗？由
“DE//BC”的条件可得到怎样的比例式？
（3）本题的关键归结为只要证明什么”？
（4）根据以前的推论，如何把DE移到BC 上
去，即应添怎样的辅助线？（EF//AB）
教师板演证明过程由此得到预备定理：
定理平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的
三角形与原三角形相似。

例题选讲：
例如图，D ABC的A B边上的一点，过
点D 作DE//AC，交BC 于E,已知BE : EC=2 :
BD亦居
1，AC=6CM，求DE的长以及——的值。

DA
在学生思考后，得出：
（1）平行线既可得相似三角形，又可得线段成
比例；
（2）这种判断两三角形相似的方法比起定义方
便多了，但是局限性很大：
我们能否将这个问题转化为预备定理图形加以说明
呢？练习：
1、如图，DG//EH//FI//BC，请找出图中所有的相似
三角形，并说明理由。

'R
C
：
2 :过E 作EF//AB
找关键字词，记忆定理
口述思路：根据平行线得
相似三角形，进而根据相
似比求DE ；根据平行线
得线段成比例求
BD
DA
在教师启发下进行解
题反思
层层递进,
突破难点,
提高学生的
分析推理思
维能力。

通过分析定
理，促进理
解。

通过对例题的
分析，设置与
平行线有关的
截三角形两边
成比例定理以
及预备定理，
注意所得的比
的差别，落实
好重点。

2、小明在打网球时，使球恰好能打过网，而 且落在离网5m 的位置上，其他条件如
图，求 球拍击球的高度（假设网球的运行路线是直 线）•
基础题:
1、 课本：P41 A 组1题、3题
2、 已知：在厶ABC 中，EF//AB , DF//BC ，求证：△ ADF
EFC。

提高题：
如图，在厶ABC 中，DE//BC ，并交BA 、CA 的延长线于点 D 、E , 那么△ ADE 与厶ABC 相似吗？为什么？
思考解答
布 置 作 业
分层作业， 有利于面向 全体，提供 各自适应的 发展空间。

小 结 升
华
问题引领，有效小结：
1、
你学到了什么定理？内容、图形、作用风 别是
什么？
2、 回想一下证明预备定理时，我们是如何分 析添加辅助线的？
3、 你还有哪些收获？你满意吗 ？
畅所欲言，谈其所获。

议论小结， 理
清脉络， 巩固学习效 果。

养成学
习--总结-- 再学习的良 好学习习 惯。

教案设计说明:
本节课的主要内容是相似三角形判定的预备定理。

由于学生的逻辑推理能力已有所提高，具备了一定的能力。

因此，需要通过理论上的证明得到判断定理。

而，定理证明之前还没有判定两三角形相似的定理。

只能引导学生考虑用定义来证明。

即证明三个角对应相等，三条边对应成比例。

不仅复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下基础。

后继学习相似三角形的判定定理，转化为预备定理可以很大程度上简化证明。

为了解决好定理证明，首先通过情境复习了相似三角形的定义，通过矩形草坪与网格三角形问题，辅助计算深层次回忆定义。

并且，定理的发现，采用了从特殊到一般的方法，让学生在证明定理之前，对定理已产生了一定的认可度，也好能深层思考定理证明。

而在定理分析中，辅助几何画板追踪技术，给学生非常直观的将形内线段推倒三角形一边上视觉刺激，通过闪烁突出平行线分三角形两边成比例图形，突破定理证明难关，给学生学习应用本定理证明的思维方法留下深刻的印象。