相似三角形的预备定理
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相似三角形的判定定理
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．3、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 强调：①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.ABCDEF判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。
（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．强调：①有平行线时，用预备定理；②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．例1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．例2、如图,AB ⊥BD,CD ⊥BD,P 为BD 上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P 点在BD 上由B 点向D 点运动时,PB 的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由.例3、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C =90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
相似三角形(预备定理)
例。
步骤3
03
根据步骤1和步骤2，得出两个三角形相似的结论。
感谢您的观看
THANKS
性质
相似三角形预备定理具有传递性 、反身性和对称性，即如果两个 三角形相似，则它们的对应边和 对应角都成比例。
预备定理的重要性
基础性
相似三角形预备定理是三角形相似判 定定理的基础，对于理解三角形相似 的概念和性质至关重要。
应用广泛
在几何学、三角函数、解析几何等领 域中，相似三角形预备定理都有广泛 的应用。
等，则这两个三角形相 似。
具体来说，如果$angle A = angle A'$、$angle B = angle B'$、$angle C = angle C'$，则三角形ABC与三角形A'B'C'相 似。
边边判定法
如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
相似三角形(预备定理)
目录
• 相似三角形预备定理的定义 • 相似三角形的判定方法 • 相似三角形的性质 • 相似三角形在几何中的应用 • 相似三角形的实际应用 • 相似三角形预备定理的证明
01
相似三角形预备定理的定义
定义与性质
定义
相似三角形预备定理是指，如果 两个三角形有两边对应成比例， 且夹角相等，则这两个三角形相 似。
离与实际距离之间的关系。
地形表示
在地图上表示地形起伏时，可以使 用相似三角形来表示不同高度之间 的相对关系。
地理位置定位
在地图上确定地理位置时，可以使 用相似三角形来确定两点之间的相 对位置和距离。
在物理学中的应用（光的折射、反射等）
光学仪器设计
在设计和制造光学仪器（如望远镜和显微镜）时，需要使 用相似三角形来计算透镜的形状和位置，以确保光线正确 地折射和聚焦。
23.2相似三角形的判定(直角三角形)
图3-22
直角相似三角形判定方法 小结
1、(定义法)三个角对应相等,且三条边对应成比例的 两个直角三角形叫作相似三角形. 2、（判定定理1）三边对应成比例的两个直角三角形
相似。 3、（判定定理2）两角对应相等的两个直角三角形 相似。 4、（判定定理3）两边对应成比例且夹角相等的两 个直角三角形相似 5、（特殊）任意两边对应成比例两个直角三角形相似
判断题
1. 两条直角边对应成比例的两直角三 角形相似。 （ ） 2. 有一锐角相等的两直角三角形相 似。 （ ） 3.
一直角三角形的三边分别为3，4， 5，另一直角三角形的两边分别为6， 8，则这两个直角三角形相似。
（ ×）Байду номын сангаас
基础练习：
1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知 ∠C=∠C′=90°，要使 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，应加什么条件？
55° （1）∠A=35° ，∠B′=________。 12 （2）AC=5，BC=4，A′C′=15，B′C′=___。 3 （3）AB=5，AC=___，A′B′=10， A′C′=6。 4 （4）AB=10，BC=6， A′B′=5，A′C′=______. 3a （5）AC：AB=1：3， A′C′=a, A′B′=_____
E F A D B
小结
1.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角形的斜 边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 2.直角三角形相似的判定除了本节定理外，前面判定任意三角 形相似的方法对直角三角形同样适用。 3.让学生了解了用代数法证几何命题的思想方法。 4.关于探索性题目的处理。
例1， 已知：∠ABC=∠CDB=90°， AC=a，BC=b，当BD与a，b之间满足怎 样的关系式时，△ABC∽△CDB？
九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》教案、教学设计
针对以上学情，教师在教学过程中应采取有针对性的教学方法，激发学生的学习兴趣，提高他们的几何思维能力，培养他们的人文素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握相似三角形的定义，能够准确识别相似三角形。
2.掌握相似三角形的判定方法，特别是预备定理的应用。
3.学会运用相似三角形的性质解决实际问题，如计算未知长度、证明线段平行等。
九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
在本章节《相似三角形判定的预备定理》的教学中，学生将掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握相似三角形的定义，能够准确区分和识别相似三角形。
2.掌握并运用相似三角形的判定方法，如AA、SSS、SAS等，能够解决实际问题。
3.学会使用相似三角形的性质进行问题求解，如对应边成比例、对应角相等等。
2.相似三角形的判定方法：
- AA（角角相似）：如果两个三角形中有两组角对应相等，则这两个三角形相似。
- SSS（边边相似）：如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
- SAS（边角相似）：如果两个三角形中有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
3.相似三角形的性质：
-对应角相等，对应边成比例。
5.培养学生的创新意识，鼓励他们在学习过程中提出不同的观点和解决问题的方法，培养他们的创新思维。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何基础，他们已经掌握了三角形的基本概念、全等三角形的判定及应用等知识。在此基础上，本章节《相似三角形判定的预备定理》的学习，对学生来说既是对已有知识的巩固，也是对几何思维能力的进一步提升。学生在这个阶段，正处于形象思维向抽象思维过渡的关键时期，他们对几何图形的观察、分析、推理能力有待加强。因此，在教学过程中，教师需关注以下学情：
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握相似三角形的定义，能够准确识别相似三角形。
2.掌握相似三角形的判定方法，特别是预备定理的应用。
3.学会运用相似三角形的性质解决实际问题，如计算未知长度、证明线段平行等。
九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
在本章节《相似三角形判定的预备定理》的教学中，学生将掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握相似三角形的定义，能够准确区分和识别相似三角形。
2.掌握并运用相似三角形的判定方法，如AA、SSS、SAS等，能够解决实际问题。
3.学会使用相似三角形的性质进行问题求解，如对应边成比例、对应角相等等。
2.相似三角形的判定方法：
- AA（角角相似）：如果两个三角形中有两组角对应相等，则这两个三角形相似。
- SSS（边边相似）：如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
- SAS（边角相似）：如果两个三角形中有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
3.相似三角形的性质：
-对应角相等，对应边成比例。
5.培养学生的创新意识，鼓励他们在学习过程中提出不同的观点和解决问题的方法，培养他们的创新思维。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何基础，他们已经掌握了三角形的基本概念、全等三角形的判定及应用等知识。在此基础上，本章节《相似三角形判定的预备定理》的学习，对学生来说既是对已有知识的巩固，也是对几何思维能力的进一步提升。学生在这个阶段，正处于形象思维向抽象思维过渡的关键时期，他们对几何图形的观察、分析、推理能力有待加强。因此，在教学过程中，教师需关注以下学情：
相似三角形的预备定理
相似
∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C， AD AE
A
过E作EF∥AB交BC于F，则 AE BF
AB AC
AC BC
∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE=BF.
D
E
AE DE AD AE DE
AC BC
AB AC BC
∴△ADE∽△ABC.
B
FC
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构
1.（2010 ·滨州中考）如图,A、B两点被池塘隔开,在AB
外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作
MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为
.
1.已知EF∥BC,求证: BD DC EG GF
A
E
F
G
F
GE
.已知EF∥BC,FG∥DC,
求证:
相似三角形的判定
提出问题：
如图，在∆ABC中，点D是边AB的 中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？
A
D B
E C
思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想 ∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.
如图，DE∥BC，△ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
证明:在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A
解析：与△ABC相似的三角形有3个:
△ADE
△GFC
△GOE
D
A G
O
E
B
F
C
4.如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=45°,∠ACB=40°. (1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长.
九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》优秀教学案例
1.完成课本上的练习题的应用，并说明其相似比。
3.撰写一篇学习心得，总结自己在学习相似三角形过程中的收获和体会。
五、案例亮点
1.生活化的情景创设，激发学生学习兴趣
本案例以学生熟悉的生活场景为背景，将相似三角形的知识与实际生活相结合，让学生在轻松愉快的氛围中感受几何学的魅力。这种情景创设不仅有助于激发学生的学习兴趣，还能提高他们运用几何知识解决实际问题的能力。
4.通过课堂练习、课后作业和小组讨论等多种形式，巩固所学知识，提高学生的几何解题技巧。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对几何学的兴趣，激发他们探索数学知识的热情，树立学好数学的信心。
2.通过对相似三角形判定方法的学习，让学生认识到几何知识在生活中的重要性，提高他们对数学学科的价值认同。
3.培养学生的耐心和毅力，使他们学会面对困难和挑战时，保持积极的心态，勇于克服问题。
4.反思与评价，促进学生的自我提升
在教学过程中，本案例注重学生的反思与评价，让学生在学习过程中不断总结自己的优点和不足，为后续学习制定合理的学习计划。这种教学策略有助于提高学生的自主学习能力和自我提升意识。
5.重视知识的应用与拓展，提升学生的数学素养
本案例在教授相似三角形判定方法的基础上，强调其在实际问题中的应用，引导学生将所学知识拓展到生活实际和其他几何知识中。这种教学方式有助于提高学生的数学素养，培养他们运用几何知识解决复杂问题的能力。
在小组合作过程中，学生可以相互交流思路、分享经验，共同解决问题。同时，我会引导学生在小组内进行角色分工，确保每个成员都能积极参与，发挥自己的优势，共同为完成学习任务贡献力量。
（四）反思与评价
教学反思是提高教学效果的重要手段。在本章节的教学结束后，我将组织学生进行反思与评价，总结自己在学习相似三角形判定方法过程中的收获和不足。
3.撰写一篇学习心得，总结自己在学习相似三角形过程中的收获和体会。
五、案例亮点
1.生活化的情景创设，激发学生学习兴趣
本案例以学生熟悉的生活场景为背景，将相似三角形的知识与实际生活相结合，让学生在轻松愉快的氛围中感受几何学的魅力。这种情景创设不仅有助于激发学生的学习兴趣，还能提高他们运用几何知识解决实际问题的能力。
4.通过课堂练习、课后作业和小组讨论等多种形式，巩固所学知识，提高学生的几何解题技巧。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对几何学的兴趣，激发他们探索数学知识的热情，树立学好数学的信心。
2.通过对相似三角形判定方法的学习，让学生认识到几何知识在生活中的重要性，提高他们对数学学科的价值认同。
3.培养学生的耐心和毅力，使他们学会面对困难和挑战时，保持积极的心态，勇于克服问题。
4.反思与评价，促进学生的自我提升
在教学过程中，本案例注重学生的反思与评价，让学生在学习过程中不断总结自己的优点和不足，为后续学习制定合理的学习计划。这种教学策略有助于提高学生的自主学习能力和自我提升意识。
5.重视知识的应用与拓展，提升学生的数学素养
本案例在教授相似三角形判定方法的基础上，强调其在实际问题中的应用，引导学生将所学知识拓展到生活实际和其他几何知识中。这种教学方式有助于提高学生的数学素养，培养他们运用几何知识解决复杂问题的能力。
在小组合作过程中，学生可以相互交流思路、分享经验，共同解决问题。同时，我会引导学生在小组内进行角色分工，确保每个成员都能积极参与，发挥自己的优势，共同为完成学习任务贡献力量。
（四）反思与评价
教学反思是提高教学效果的重要手段。在本章节的教学结束后，我将组织学生进行反思与评价，总结自己在学习相似三角形判定方法过程中的收获和不足。
相似三角形及判定
相似三角形及其判定一、知识导航1、相似三角形定义2、相似三角形判定二、典例精讲：精讲一、相似三角形定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上②全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例.④相似三角形有传递性：若AABC s AABC，AABC s AABC，则AABC AABC111222222333111333精讲二、相似三角形的判定：1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、相似三角形的判定定理★判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1、(1)如图，B,C,D三点共线，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE.求证：A ABC s A CDE.D(2)如图B,C,D三点共线，且ZB=ZD=ZACE,求证：AABC s ACDE.变式:1、如图，A ABC中,Z ACB=60。
，点P是A ABC内一点，使得Z APB=Z BPC=Z CPA,求证：AAPC s ACPB.2、已知A PQR是等边三角形，ZAPB=120。
，指出图中的相似三角形并证明.例2、(1)已知：如图，A ABC的高AD,BE相交于点F,求证：AF-FD=BF-FE.⑵如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,CD是RtAABC的高.求证：CD2=AD-BD；BC2=AB-BD；AC2二AD-AB.变式：如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°，CD是RtAABC的高.若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF2=BF-CF.★判定定理2、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例3、(1)如图，已知AD-AB二AE-AC.贝y：①AADE s AACB；②AAEB s AADC正确的是；相似依据是.(2)如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形.①求证：AAEF s ACEA；②求ZAFB+ZACB的值.(3)如图，A ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点.①当BD、BC和CE满足什么条件时，A ADB s A EAC?②当A ADB s A EAC时，求Z DAE的度数.A变式:1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.OA-OC二OB-OD,则①②③④哪些对应相似，请写出.2、如图，已知Z BAE=Z CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.3、如图，在A ABC和A ADB中，Z ABC=Z ADB=90。
相似三角形判定-预备定理
创设情景 明确目标
最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，∠B＝∠B1
AC AB BC ，∠C＝∠C1， ＝ ＝AC ， A1 B1 B1C1 1 1
那么△ABC与△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两 个三角形相似吗？
已知：DE//BC，且DE分别交AB、AC于D，E .猜 想：△ADE与△ABC有什么关系?并证明。 A 相似。 D B 12
DE AE BC AC
AD AE DE AB AC BC
3
F
B
∴ △ADE与△ABC的对应边成比例 ∴ △ADE ∽ △ABC
三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，
知识要点
平行于三角形一边的定理 A型 平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
你还能画出其 他图形吗？
4. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线 上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为 D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则 2 CD∶DE的值是_______ ．
达标检测 反思目标 5. 如图5，已知菱形ABCD内接于△AEF， AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.
20 解：求菱形的边长为 cm． 9
证明: ∵ DE // BC
E C
∴∠1 =∠B，∠2 =∠C
且 ∠A= ∠A
∴ △ADE与△ABC的对应角相等
过E作EF//AB交BC于F 又∵ DE // BC BF AE AD AE ∴ AB AC BC AC A
D 2 E C ∴ 四边形DBFE是平行四边形 ∴ DE=BF , ∴ ∴
即： E D 在△ABC中， 如果DE∥BC， C B 那么 AD AE DE , AB AC BC , （上比全， 全比上） AB AC BC AD AE DE
27.2.2相似三角形的判定(2)预备定理.
再见
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通 过相似的定义证明这个结论. 先证明两个三角形的对应角相等.
在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等. 过E作EF//AB,EF交BC于F点. 在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.
2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与
△ABC相似比为 1 k
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对
应线段的比相等.
符号语言：∵ l3∥l4 ∥l5 ,
∴
AB BC
DE , EF
BC AB
EF , DE
l1
l2
A
D
l3
AB DE , AC DF
AC DF AB DE
27.2相似三角形的判定
预备定理
相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三
角形是相似三角形. 符号语言：
A
B
C B′
A′
在△ABC和△A´B´C´中，
∵A A, B B, C C
AB BC CA .
C′
AB BC CA
∴△ABC∽△A´B´C´
三角形相似具有
传递性!
或：Δ OEF∽Δ OAB Δ OEF∽Δ OCD
Δ OAB∽Δ OCD
9.已知EF∥BC,求证:
BD DC EG GF
A
E
F
G
B
D
C
F
GE
A
B
D
C
相似三角形判定方法
相似三角形预备定理
l2
E
l3 l4
C
l4 l5
l5
平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线）， ），所得的对 两边（或两边的延长线），所得的对 应线段的比相等. 应线段的比相等
三角形的中位线截得的三角形与 三角形的中位线截得的三角形与原三角形 截得的三角形 是否相似？相似比是多少？ 是否相似？相似比是多少？
5、如图，在 、如图， ABCD中，E是边 上的一点， 是边BC上的一点 中 是边 上的一点， 且 BE:EC=3:2 ， 连 接 AE 、 BD 交 于 点 F ， 则 BE:AD=_____，BF:FD=_____。 A 3:5 ， 3:5 。 D
F B E C
6、如图，在△ABC中，∠C的平分线交 、如图， 中 的平分线交AB 的平分线交 于 D ， 过 点 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E ， 若 ∥ AD:DB=3:2，则EC:BC=______。 B ， 3:5 。
AC DF = AB DE
l1
A B
l2
D E
l3 l4 l5
AC DF = , BC EF
C
F
练习： 练习：
请指出成比例的线段. 如图，l3∥l4 ∥l5 ,请指出成比例的线段 l1
A D B E C
l2 l3 l4 l5
l1
D A B
l2
E
l3 l4
C
l5
l1
A D B
l2 l3
E C
l1
D A B
D
E G
B
F
C
B
C
2.如图，G是ABCD的CD延长线上一点，连结 如图， 是 延长线上一点， 如图 的 延长线上一点 BC交对角线 于E，交AD于F，则： 交对角线AC于 ， 于 ， 交对角线 (1)图中与△AEF相似的三角形有 图中与△ 相似的三角形有___。 图中与 相似的三角形有 。 (2)图中与△ABC相似的三角形有 图中与△ 相似的三角形有___。 图中与 相似的三角形有 。 (3)图中与△GFD相似的三角形 图中与△ 相似的三角形____。 图中与 相似的三角形 。
相似三角形的预备定理
故△ADE∽ △ABC,
A D B
E
E
C
D A
B
C
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两
边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形
相似.
相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直 线，截得的三角形与原三角形相似。 DE//BC △ADE∽△ABC
A
A
E A D
D B
E C
∴AE=AC-CE=10-6=4
练习：
2、 如图：在△ABC中，点M是BC上 任一点， MD∥AC，ME∥AB， 若 EC 的值。 AC D
BD AB
求2 = 5，
A E
C
解：∵MD∥AC， ∴△BDM∽△BAC BD BM 2 ∴ BA= = ， BC 5 又∵ ME∥AB， ∴△CEM∽△CAB CM 3 CE = ∴ = 5 CB CA
A
B
D
E
C
7．如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7， 求AE和BC的长．
8．如图，在□ABCD中，EF∥AB， DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
9.已知EF∥BC,求证:
F A
BD DC EG GF
B D
C E
B C
判定三角形相似的预备定理：（简称：平行线） 平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
“A”型
A D B
（图1）
“X”型
D E O
E C
B
（图2）
C
符号语言： 在△ABC中， ∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
A D B
E
E
C
D A
B
C
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两
边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形
相似.
相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直 线，截得的三角形与原三角形相似。 DE//BC △ADE∽△ABC
A
A
E A D
D B
E C
∴AE=AC-CE=10-6=4
练习：
2、 如图：在△ABC中，点M是BC上 任一点， MD∥AC，ME∥AB， 若 EC 的值。 AC D
BD AB
求2 = 5，
A E
C
解：∵MD∥AC， ∴△BDM∽△BAC BD BM 2 ∴ BA= = ， BC 5 又∵ ME∥AB， ∴△CEM∽△CAB CM 3 CE = ∴ = 5 CB CA
A
B
D
E
C
7．如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7， 求AE和BC的长．
8．如图，在□ABCD中，EF∥AB， DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
9.已知EF∥BC,求证:
F A
BD DC EG GF
B D
C E
B C
判定三角形相似的预备定理：（简称：平行线） 平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
“A”型
A D B
（图1）
“X”型
D E O
E C
B
（图2）
C
符号语言： 在△ABC中， ∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
相似三角形的判定定理及试
相似三角形的判定定理及试————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．3、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．强调：①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.A B CDEF判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。
（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．强调：①有平行线时，用预备定理；②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．例1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．例2、如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由.例3、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
相似三角形(预备定理)课件
证明方法二：通过三角形的全等证明
总结词
通过证明两个三角形全等，从而得出它们相似的结论。
详细描述
首先，根据三角形全等的判定定理，找出两个三角形全等的条件。然后，利用这 些条件证明两个三角形全等。最后，由于全等三角形一定是相似的，所以得出两 个三角形相似的结论。
证明方法三：通过三角形的角度关系证明
总结词
练习题三：挑战练习
总结词
能够运用相似三角形解决复杂问题
总结词
掌握相似三角形的各种性质和判定定理的综合应用
题目1
在矩形$ABCD$中，已知$AB = 4$，$BC = 6$，点$E$为$BC$的中 点，求$frac{AE}{BD}$的值。
题目2
在等腰三角形$triangle ABC$中，$angle ABC = 120^circ$，点 $D$为$AB$的中点，求$frac{CD}{AC}$的值。
总结词
利用相似三角形的性质可以方便地测量建筑 物的高度。
详细描述
通过相似三角形的比例关系，我们可以利用 已知的高度和角度来计算建筑物的高度。例 如，站在距离建筑物一定距离的位置，使用 测角仪测量建筑物的高度角，然后根据已知 的高度和角度关系，计算出建筑物的高度。 这种方法在城市规划、建筑测量等领域应用 广泛。
推论三
总结词
如果两个三角形相似，那么它们的面积之比等于其对应边长之比的平方。
详细描述
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的面积之比等于其对应边长之比的平方，即(AB/A'B')^2 = S(ABC)/S(A'B'C')。这个性质在解决几何问题中非常有用，特别是在计算面积和比例问题时。
04
预备定理的实例分析
相似三角形判定预备定理
∵
DE∥BC
B
D
E
∴ △ADE ∽△ABC
C
思考一：如图，平行于三角形一边的直线 和其他两边的延长线相交，所构成的三角 形与原三角形相似吗？
Ａ
∵
DE∥BC
Ｂ Ｃ
∴ △ADE ∽△ABC
Ｄ
Ｅ
• 思考二：如图，平行于三角形一边的 直线和其他两边的反向延长线相交， 所构成的三角形与原三角形相似吗？ ∵ DE∥BC
23.2 相似三角形的判定
嬉子湖中心学校
第一课时
相似三角形及预备定理
复习提问
• 1、什么叫做相似多边形？ • 2、什么叫做相似比（或相似系数）？
在相似多边形中,最简单的就是相似三角形了。
什么叫做相似三角形？
相似三角形：对应角相等，对应边的比相等的三角形。 在△ABC和△A’B’C’中,如果
∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’,
D E F B A G H I C
例1：
如图, 已知DE∥BC,DF∥AC,请尽可能多 地找出图中的相似三角形，并说明理由。
D
A
E
B
F
C
三角形相似 具有传递
性!
例2.若
DE∥BC,DF∥AC ,BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你
A
能求出线段AE的长度吗？ 1.5
D
2 6
E
6 2
C
B
3
A D E B C
D A E C B
A
A'
B
C B'
C'
相似三角形的本质属性： 1.相似三角形对应角相等．
2.相似三角形对应边的比相等
怎样判定两个三角形相似呢？
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l1
A B
l2
D
l3
E
l4
AB 与 DE 相等吗？ C BC EF
F l5
2021/2/4
1
6
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对
应线段的比相等.
符号语言：
∵ l3∥l4 ∥l5 ,
l1
l2
∴
AB DE , BC EF , BC EF AB DE
A
AB DE , AC DF
相似三角形的预备定理
回顾：
两个条件要 同时具备
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等
的两个多边形为相似多边形.
2021/2/4
1
2
相似三角形的判定:
符号语言：
A
A′在△ABC和△A´B´C´中，
∵ A A , B B , C C
B
C B′
C′
AB BC CA. AB BC CA
B
C l5
l1 l2
DE
l3
A
l4
B
C
l5
平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对 应线段的比相等.
2021/2/4
1
9
三角形的中位线截得的三角形与原三角形 是否相似？相似比是多少？
2021/2/4
1
A
D
E
B
C
10
提出问题：
如图，在∆ABC中，点D是边AB的 中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？
2021/2/4
1
5
探究：
如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、 l2相交的平行线l3、l4 、l5.分别度量l3、l4 、l5 在
l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条 线段DE,EF的长度.
AB 与 DE 相等吗？ BC EF
任意平移l5，再度量 AB,BC，DE,EF的长 度.
AC DF AB DE
B
D l3 E l4
BC EF , AC DF
AC DF , C BC EF
F l5
2021/2/4
1
7
练习：
如图，l3∥l4 ∥l5 ,请指出成比例的线段.
l1 l2
A
l3
D
E
l4
B
C l5
l1 l2
DE
l3
A
l4
B
C
l5
2021/2/4
1
8
l1 l2
A
l3
D
E
l4
1
13
探索发现：
变式1：如图，在△ABC中,点D为AB中点,
过点D作DE∥BC交AC于点E,则△ADE与
△ABC相似吗?
A
∵ DE∥BC
D
E
∴△ADE∽△ABC B
C
2021/2/4
1
14
变式2：如图，若点D是AB边 上的任意一点, 过点D作 DE∥BC，量一量，检验△ADE A 与△ABC是否相似。
相似三角形基本模型：“A”型和“X” 型
A
A
A
DE
B
C
B
AC
D B
D
E
B
l
C
D
E
D
l
A
C l
E
2021/2/4
E
B
C
这个两个模型在今后学习的过程中作用很大,你
可要认真1 噢！
24
相似三角形判定的预备定理：
平行于三角形一边的直线与其他两边(或 两边的延长线)相交。所构成的三角形与原 三角形相似。
A
D B
A
2021/2/4
D B
1
E
C
11
思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想 ∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.
2021/2/4
1
12
A
探索发现：
D
E
D
E
B
C
如图，在正△ABC中,点D为AB中点, 过点D作DE∥BC交AC于点E,则△ADE与 △ABC相似吗?
∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
2021/2/4
∴△ABC∽△A´B´C´
2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与
△ABC相似比为 1
k
2021/2/4
1
3
对应角___相__等__, 对应边——成—比——例—的两个三
角形, 叫做相似三角形 .
D
A
回顾
B
CE
∠A=∠D, ∠B=∠6E, ∠C=∠F
AB AC BC DE DF EF
从上面的解答中，你获得了那些信息？
2021/2/4
1
18
A
D
E
E
D
A
B
C
预备定理
B
C
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两
边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形 相似.
2021/2/4
1
19
相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直 线，截得的三角形与原三角形相似。
DE//BC △ADE∽△ABC
1
22
练习：
A
2、如图, 已知DE∥BC,DF∥AC,请
尽可能多地找出图中的相似三角形， D
E
并说明理由。
1. DE∥BC 2.DF∥AC
ΔADE∽ΔABC
B
ΔDBF∽ΔABC
3.ΔADE∽ΔABC ΔDBF∽ΔABC
ΔADE∽ΔDBF
F
C
三角形相似
具有传递 性!
2021/2/4
1
23
这是两个极具代表性的
1
21
练习：
1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可
能多地找出图中的相似三角形，并 O
说明理由。
E
F
1. EF∥AB
ΔOEF∽ΔOAB
C
D
A
B
2.EF∥CD
ΔOEF∽ΔOCD
3.AB∥CD
ΔOAB∽ΔOCD
或：ΔOEF∽ΔOAB ΔOEF∽ΔOCD
ΔOAB∽ΔOCD
三角形相似
具有传递 性!
2021/2/4
2021/2/4
E ∵ DE∥BC C ∴△ADE∽△ABC
F 6
△ ABC∽ △DEF
相似三角形的—对—应——角—相——等, 各对应边—成——比—例——。
相似比:AB BC AC
DE EF DF
=k
k1 两三角形相似 k=1 两三角形全等
2021/2/4
1
4
思考：
相似三角形与全等三角形有什么内 在的联系呢？
1 当两个三角形的相似比为 时，它们
是全等的，全等是相似的一种特殊情况。
A
D
E
B
C
A
B
C
D
E
E
D
A
B
C
2021/2/4
1
20
判定三角形相似的预备定理：（简称：平行线）
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
“A”型
“X”型
A
D
E
D
E
O
B （图1） C
B
（图2） C
符号语言： 在△ABC中， ∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
2021/2/4
A
DB
若DE ∥ BC则
∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC, ∠AED=∠ACB,
AD AEDE. AB AC BC
故△ADE∽ △ABC,
2021/2/4
17
B
A
C
E
若DE ∥ BC 则
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠ACB=∠DCE,
D
AB ACBC. DE DC CE
若△ABC∽ △DEC,
∵ DE∥BC
D
E
B
C
∴△ADE∽△ABC
2021/2/4
1
15
变式3：若点D是BA延长线上的
一点,过点D作DE∥BC，与CA的
延长线交于点E，△ADE与
△ABC相似吗?
E
D
A
∵ DE∥BC
G
F
∴△ADE ∽ △ABC B
C
2021/2/4
1
16
如图，已知DE ∥ BC,
则．．．．．．
C E