《相似三角形的判定预备定理 》
- 格式：docx
- 大小：81.06 KB
- 文档页数：4
下载文档原格式
合集下载
相似三角形的判定预备定理
交边AC于点E.延长DE至点F，使DE=EF.求证：△CFE∽△ABC.
解：因为DE ∥ BC 所以：ADE ∽ ABC 因为：AD AE 且AD BD
BD EC
所以：AE EC
在ADE与CFE中
1 2 DE EF AE EF
所以△ADE≌△CFE（SAS） 即：△CFE∽△ABC
小结
回顾
制作钟岳梨
一、什么叫中位线？
2020年6月17日星期三
1
连接三角形两边中点的线段叫中位线
二、中位线定理
三角形的中位线平行且等于第三边的一半
三、平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线截其它两边（或其 它两边的反向延长线），所得到线段对应成 比例 已知平行就有线段成比例
ED A.
四、结合两图，若DE平行BC，写出“上比下” B.
（三边对应成比例）
A
D
E
又 AD AE AB AC
过D点作DF∥AC交BC的延长线于F 所以DE F C
B
C
F
又 FC AD BC AB
所以ADE∽ ABC
结论
制作钟岳梨
3.4相§似预三角备形的定判定理的
2020年6月17日星期三
5
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边 的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.
.C
AD AE
பைடு நூலகம்
AB AC
导 入 制作钟岳梨 3.4§相似三角形 的判定
一、相似三角形的定义：
2020年6月17日星期三
２
三边对应成比例，三角对应相等的两个三角形相似
A′
二、要证明两个三角形相似，必须证以下条件成立
3.4.1相似三角形的判定1(预备定理)
∴AE=CE
B
又DE=FE,∠AED=∠CEF
△ADE≌△CFE
E F
C
∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
∴△CFE∽△ABC
练习1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形 EFCD的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上. 已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.
A
解：由题可知：△AED∽△ABC
“A”型 A
“X”型
D
E
D
E
O
B
C
（图1）
几何语言： ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
B
（图2）
C
几何语言： ∵DE∥BC
∴△DOE∽△COE
例2 如图，点D为△ABC的边AB的中点，过 点D作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F， 使DE=EF.
A
求证：△CEF∽△ABC
思路
∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
AD ED AC BC
7.5 x x 7.5 5
解得 x=3
E
D
B
C
F
∴正方形的边长为3
如图所示，在△ABC中，点O是AC的中点，点M是AB
上的点，且
AM 1 BM 3
，作AG∥MN.
求 CN 的值.
BN
∵AG∥MN
A M
O
∴△BMN∽△BAG
B
∴△CON∽△CAG
C
N
G
如图所示，在△ABC中，点O是AC的中点，点M是AB
∴∠AOE+∠AOF=∠ACB+∠ACD，
∴∠EOF=∠BCD,
∴∠EAD=∠BAC,
课堂小结：本节课你学到了什么？
九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》教案、教学设计
针对以上学情，教师在教学过程中应采取有针对性的教学方法，激发学生的学习兴趣，提高他们的几何思维能力，培养他们的人文素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握相似三角形的定义，能够准确识别相似三角形。
2.掌握相似三角形的判定方法，特别是预备定理的应用。
3.学会运用相似三角形的性质解决实际问题，如计算未知长度、证明线段平行等。
九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
在本章节《相似三角形判定的预备定理》的教学中，学生将掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握相似三角形的定义，能够准确区分和识别相似三角形。
2.掌握并运用相似三角形的判定方法，如AA、SSS、SAS等，能够解决实际问题。
3.学会使用相似三角形的性质进行问题求解，如对应边成比例、对应角相等等。
2.相似三角形的判定方法：
- AA（角角相似）：如果两个三角形中有两组角对应相等，则这两个三角形相似。
- SSS（边边相似）：如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
- SAS（边角相似）：如果两个三角形中有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
3.相似三角形的性质：
-对应角相等，对应边成比例。
5.培养学生的创新意识，鼓励他们在学习过程中提出不同的观点和解决问题的方法，培养他们的创新思维。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何基础，他们已经掌握了三角形的基本概念、全等三角形的判定及应用等知识。在此基础上，本章节《相似三角形判定的预备定理》的学习，对学生来说既是对已有知识的巩固，也是对几何思维能力的进一步提升。学生在这个阶段，正处于形象思维向抽象思维过渡的关键时期，他们对几何图形的观察、分析、推理能力有待加强。因此，在教学过程中，教师需关注以下学情：
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握相似三角形的定义，能够准确识别相似三角形。
2.掌握相似三角形的判定方法，特别是预备定理的应用。
3.学会运用相似三角形的性质解决实际问题，如计算未知长度、证明线段平行等。
九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
在本章节《相似三角形判定的预备定理》的教学中，学生将掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握相似三角形的定义，能够准确区分和识别相似三角形。
2.掌握并运用相似三角形的判定方法，如AA、SSS、SAS等，能够解决实际问题。
3.学会使用相似三角形的性质进行问题求解，如对应边成比例、对应角相等等。
2.相似三角形的判定方法：
- AA（角角相似）：如果两个三角形中有两组角对应相等，则这两个三角形相似。
- SSS（边边相似）：如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
- SAS（边角相似）：如果两个三角形中有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
3.相似三角形的性质：
-对应角相等，对应边成比例。
5.培养学生的创新意识，鼓励他们在学习过程中提出不同的观点和解决问题的方法，培养他们的创新思维。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何基础，他们已经掌握了三角形的基本概念、全等三角形的判定及应用等知识。在此基础上，本章节《相似三角形判定的预备定理》的学习，对学生来说既是对已有知识的巩固，也是对几何思维能力的进一步提升。学生在这个阶段，正处于形象思维向抽象思维过渡的关键时期，他们对几何图形的观察、分析、推理能力有待加强。因此，在教学过程中，教师需关注以下学情：
相似三角形的预备定理
相似
∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C， AD AE
A
过E作EF∥AB交BC于F，则 AE BF
AB AC
AC BC
∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE=BF.
D
E
AE DE AD AE DE
AC BC
AB AC BC
∴△ADE∽△ABC.
B
FC
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构
1.（2010 ·滨州中考）如图,A、B两点被池塘隔开,在AB
外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作
MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为
.
1.已知EF∥BC,求证: BD DC EG GF
A
E
F
G
F
GE
.已知EF∥BC,FG∥DC,
求证:
相似三角形的判定
提出问题：
如图，在∆ABC中，点D是边AB的 中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？
A
D B
E C
思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想 ∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.
如图，DE∥BC，△ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
证明:在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A
解析：与△ABC相似的三角形有3个:
△ADE
△GFC
△GOE
D
A G
O
E
B
F
C
4.如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=45°,∠ACB=40°. (1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长.
相似三角形的预备定理PPT课件
AD:DB=3:2，则EC:BC=_3_:_5___。
B
D
第29页/共44页
A
E
C
7．如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7， 求AE和BC的长．
第30页/共44页
8．如图，在□ABCD中，EF∥AB，
DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
A
1.5
∴四边形DFCE为平行四边形 ∴FC=DE=2，EC=DF=6
∵DF∥AC
D
E
2
6
6
∴△BDF∽△BAC
B
3
F2 C
∴BBCF
DF AC
∴
3
3
2
6 AC
∴ AC=10 ∴AE=AC-CE=10-6=4
第39页/共44页
拓展提高：
D
A E
B
2份 M 3份 C
5份
2.如图：在△ABC中，点M是BC上任一点，
D
E
B
C
∴△ADE∽△ABC
第14页/共44页
变式3：若点D是BA延长线上的
一点,过点D作DE∥BC，与CA的
延长线交于点E，△ADE与
△ABC相似吗?
E
D
A
∵ DE∥BC
G
F
∴△ADE ∽ △ABC B
C
第15页/共44页
• 如图，已知DE ∥ BC,
• 则．．．．．．
C E
A
DB
若DE ∥ BC则
第28页/共44页
5、如图，在 ABCD中，E是边BC上的一点，
且 BE:EC=3:2 ， 连 接 AE 、 BD 交 于 点 F ， 则
九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》优秀教学案例
1.完成课本上的练习题的应用，并说明其相似比。
3.撰写一篇学习心得，总结自己在学习相似三角形过程中的收获和体会。
五、案例亮点
1.生活化的情景创设，激发学生学习兴趣
本案例以学生熟悉的生活场景为背景，将相似三角形的知识与实际生活相结合，让学生在轻松愉快的氛围中感受几何学的魅力。这种情景创设不仅有助于激发学生的学习兴趣，还能提高他们运用几何知识解决实际问题的能力。
4.通过课堂练习、课后作业和小组讨论等多种形式，巩固所学知识，提高学生的几何解题技巧。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对几何学的兴趣，激发他们探索数学知识的热情，树立学好数学的信心。
2.通过对相似三角形判定方法的学习，让学生认识到几何知识在生活中的重要性，提高他们对数学学科的价值认同。
3.培养学生的耐心和毅力，使他们学会面对困难和挑战时，保持积极的心态，勇于克服问题。
4.反思与评价，促进学生的自我提升
在教学过程中，本案例注重学生的反思与评价，让学生在学习过程中不断总结自己的优点和不足，为后续学习制定合理的学习计划。这种教学策略有助于提高学生的自主学习能力和自我提升意识。
5.重视知识的应用与拓展，提升学生的数学素养
本案例在教授相似三角形判定方法的基础上，强调其在实际问题中的应用，引导学生将所学知识拓展到生活实际和其他几何知识中。这种教学方式有助于提高学生的数学素养，培养他们运用几何知识解决复杂问题的能力。
在小组合作过程中，学生可以相互交流思路、分享经验，共同解决问题。同时，我会引导学生在小组内进行角色分工，确保每个成员都能积极参与，发挥自己的优势，共同为完成学习任务贡献力量。
（四）反思与评价
教学反思是提高教学效果的重要手段。在本章节的教学结束后，我将组织学生进行反思与评价，总结自己在学习相似三角形判定方法过程中的收获和不足。
3.撰写一篇学习心得，总结自己在学习相似三角形过程中的收获和体会。
五、案例亮点
1.生活化的情景创设，激发学生学习兴趣
本案例以学生熟悉的生活场景为背景，将相似三角形的知识与实际生活相结合，让学生在轻松愉快的氛围中感受几何学的魅力。这种情景创设不仅有助于激发学生的学习兴趣，还能提高他们运用几何知识解决实际问题的能力。
4.通过课堂练习、课后作业和小组讨论等多种形式，巩固所学知识，提高学生的几何解题技巧。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对几何学的兴趣，激发他们探索数学知识的热情，树立学好数学的信心。
2.通过对相似三角形判定方法的学习，让学生认识到几何知识在生活中的重要性，提高他们对数学学科的价值认同。
3.培养学生的耐心和毅力，使他们学会面对困难和挑战时，保持积极的心态，勇于克服问题。
4.反思与评价，促进学生的自我提升
在教学过程中，本案例注重学生的反思与评价，让学生在学习过程中不断总结自己的优点和不足，为后续学习制定合理的学习计划。这种教学策略有助于提高学生的自主学习能力和自我提升意识。
5.重视知识的应用与拓展，提升学生的数学素养
本案例在教授相似三角形判定方法的基础上，强调其在实际问题中的应用，引导学生将所学知识拓展到生活实际和其他几何知识中。这种教学方式有助于提高学生的数学素养，培养他们运用几何知识解决复杂问题的能力。
在小组合作过程中，学生可以相互交流思路、分享经验，共同解决问题。同时，我会引导学生在小组内进行角色分工，确保每个成员都能积极参与，发挥自己的优势，共同为完成学习任务贡献力量。
（四）反思与评价
教学反思是提高教学效果的重要手段。在本章节的教学结束后，我将组织学生进行反思与评价，总结自己在学习相似三角形判定方法过程中的收获和不足。
相似三角形判定-预备定理
创设情景 明确目标
最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，∠B＝∠B1
AC AB BC ，∠C＝∠C1， ＝ ＝AC ， A1 B1 B1C1 1 1
那么△ABC与△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两 个三角形相似吗？
已知：DE//BC，且DE分别交AB、AC于D，E .猜 想：△ADE与△ABC有什么关系?并证明。 A 相似。 D B 12
DE AE BC AC
AD AE DE AB AC BC
3
F
B
∴ △ADE与△ABC的对应边成比例 ∴ △ADE ∽ △ABC
三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，
知识要点
平行于三角形一边的定理 A型 平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
你还能画出其 他图形吗？
4. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线 上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为 D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则 2 CD∶DE的值是_______ ．
达标检测 反思目标 5. 如图5，已知菱形ABCD内接于△AEF， AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.
20 解：求菱形的边长为 cm． 9
证明: ∵ DE // BC
E C
∴∠1 =∠B，∠2 =∠C
且 ∠A= ∠A
∴ △ADE与△ABC的对应角相等
过E作EF//AB交BC于F 又∵ DE // BC BF AE AD AE ∴ AB AC BC AC A
D 2 E C ∴ 四边形DBFE是平行四边形 ∴ DE=BF , ∴ ∴
即： E D 在△ABC中， 如果DE∥BC， C B 那么 AD AE DE , AB AC BC , （上比全， 全比上） AB AC BC AD AE DE
九年级数学《相似三角形判定预备定理》课件
点的字母写在对应的位置上，这样
便于找出相似三角形的对应角和对 应边.
即写成△ABC∽△A′B′C′，表 明对应关系是唯一确定的，即A与 A′、B与B′、C与C′分别对应.如果 仅说“这两个三角形相似”,没有 用“∽”表示的，则没有说明对应 关系.
师友展示
相似三角形的相似比
将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为
∴ AD AE , FC AD . AB AC BC AB
因为四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC， DE AD . BC AB
AD AE DE . AB AC BC
又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC.
A
D B
F
E C
归纳总结
A
D B
E C A
B D
K1
,即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=
K1
△A′B′C′∽△ABC的相似比记为 练习
，K 2
即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=Leabharlann K23.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3则△ABC与△DEF的相似比 K1 和△DEF与△ABC的相似比 K2 是否相等？如果不相等，K1和K2满足什么
关系？如果AB=2，DE=2呢？说明这两个三角形是什么关系？
合作探究，学会质疑
根据自学思考题，师友对议再组议交流上面问题
师友展示
C
A
B
C′
A′
B′
图1
如图1，△ABC与△A′B′C′相 似. 则图1中的两个三角形记作 “△ABC∽△A′B′C′”，读作 “△ABC相似于△A′B′C′”，“∽” 叫相似符号.
便于找出相似三角形的对应角和对 应边.
即写成△ABC∽△A′B′C′，表 明对应关系是唯一确定的，即A与 A′、B与B′、C与C′分别对应.如果 仅说“这两个三角形相似”,没有 用“∽”表示的，则没有说明对应 关系.
师友展示
相似三角形的相似比
将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为
∴ AD AE , FC AD . AB AC BC AB
因为四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC， DE AD . BC AB
AD AE DE . AB AC BC
又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC.
A
D B
F
E C
归纳总结
A
D B
E C A
B D
K1
,即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=
K1
△A′B′C′∽△ABC的相似比记为 练习
，K 2
即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=Leabharlann K23.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3则△ABC与△DEF的相似比 K1 和△DEF与△ABC的相似比 K2 是否相等？如果不相等，K1和K2满足什么
关系？如果AB=2，DE=2呢？说明这两个三角形是什么关系？
合作探究，学会质疑
根据自学思考题，师友对议再组议交流上面问题
师友展示
C
A
B
C′
A′
B′
图1
如图1，△ABC与△A′B′C′相 似. 则图1中的两个三角形记作 “△ABC∽△A′B′C′”，读作 “△ABC相似于△A′B′C′”，“∽” 叫相似符号.
27.2.2相似三角形的判定(2)预备定理.
再见
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通 过相似的定义证明这个结论. 先证明两个三角形的对应角相等.
在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等. 过E作EF//AB,EF交BC于F点. 在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.
2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与
△ABC相似比为 1 k
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对
应线段的比相等.
符号语言：∵ l3∥l4 ∥l5 ,
∴
AB BC
DE , EF
BC AB
EF , DE
l1
l2
A
D
l3
AB DE , AC DF
AC DF AB DE
27.2相似三角形的判定
预备定理
相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三
角形是相似三角形. 符号语言：
A
B
C B′
A′
在△ABC和△A´B´C´中，
∵A A, B B, C C
AB BC CA .
C′
AB BC CA
∴△ABC∽△A´B´C´
三角形相似具有
传递性!
或：Δ OEF∽Δ OAB Δ OEF∽Δ OCD
Δ OAB∽Δ OCD
9.已知EF∥BC,求证:
BD DC EG GF
A
E
F
G
B
D
C
F
GE
A
B
D
C
相似三角形判定方法
3.4.1相似三角形判定的预备定理.
∴ AE = CE 又 DE = FE，∠AED =∠CEF ∴ △ADE ≌ △CFE ∵ DE∥BC ∴ △ADE∽△ABC ∴ △CFE∽△ABC
△ADE与△ABC
有什么关系?
B
A 在△ADE与△ABC中，
∠A = ∠A. ∠ADE =∠B. ∠AED=∠C.
E
AD AE DE . AB AC BC
C
△ADE∽△ABC
我发现只要DE∥BC，那么
△ADE 与△ABC是相似的．
下面我们来证明：
在△ADE与△ABC中，∠A =∠A.
∵ DE∥BC，
∴ △ABC∽△A'B'C'（相似三角形的定义）
A'
B（' 相似三角形的定义可以作为
三角形相似的一种判定方法）
相似三角形的性质: 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 其中，对应边的比称为相似比．
相似比为1时，两三角形全等
如图,在△ABC 中,DE//BC,
DE分别交AB,AC 于点D,E, D
学习目标：
1、理解相似三角形判定的预备定理。
2、会用定理去计算和证明有关的 问题。
复习回忆：
C ∵相∠似A三= ∠角A形' 、定∠B义= ：∠B我' 、们∠把C=三C'
个角对应相等,且三条边对应
A
B
成比AB例的B两C个三C角A (形已叫知）做相似 三角A' 形B' 。B'C' C' A'
C'
AC 上. 已知AC= 7.5，BC= 5，求正方形的边
长．
∵BC∥ED
∴ △ADE∽△ACB.
∴ AD ED . AC BC
△ADE与△ABC
有什么关系?
B
A 在△ADE与△ABC中，
∠A = ∠A. ∠ADE =∠B. ∠AED=∠C.
E
AD AE DE . AB AC BC
C
△ADE∽△ABC
我发现只要DE∥BC，那么
△ADE 与△ABC是相似的．
下面我们来证明：
在△ADE与△ABC中，∠A =∠A.
∵ DE∥BC，
∴ △ABC∽△A'B'C'（相似三角形的定义）
A'
B（' 相似三角形的定义可以作为
三角形相似的一种判定方法）
相似三角形的性质: 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 其中，对应边的比称为相似比．
相似比为1时，两三角形全等
如图,在△ABC 中,DE//BC,
DE分别交AB,AC 于点D,E, D
学习目标：
1、理解相似三角形判定的预备定理。
2、会用定理去计算和证明有关的 问题。
复习回忆：
C ∵相∠似A三= ∠角A形' 、定∠B义= ：∠B我' 、们∠把C=三C'
个角对应相等,且三条边对应
A
B
成比AB例的B两C个三C角A (形已叫知）做相似 三角A' 形B' 。B'C' C' A'
C'
AC 上. 已知AC= 7.5，BC= 5，求正方形的边
长．
∵BC∥ED
∴ △ADE∽△ACB.
∴ AD ED . AC BC
相似三角形的判定(一)预备定理与三边成比例经典题汇编
基础知识3相似三角形的判断定理1.三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．数学语言： BC DE // ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆．定理的基本图形：2.相似三角形的判定定理(1)判定定理1：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似.(2)判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．(3)判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．3.直角三角形相似的判定方法（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．4.相似三角形的常见形状及变换【题型1】相似三角形判定的预备定理1.在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BC 交AC 于F 点，则下列结论成立的是( )A.AE ＝AFB.AF ∶AC ＝1∶2C.AF ∶FC ＝1∶2D.BE ＝FC2.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于 .【变式训练】1.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC.若AD ＝4，DB ＝2，则DE BC的值为 ． 2．如图，△ABC 中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB ，AC ，AD 于点E ，F ，G ，图中共有 相B (3)DB (2)D似三角形，分别是 .3.如图，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形有 对，分别是 .4.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ∶FC 等于 .5.如图，DE∥BC ，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC 的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长．6.如图，延长正方形ABCD 的一边CB 至E ，ED 与AB 相交于点F ，过F 作FG ∥BE 交AE 于G ，求证GF ＝FB.7.如图，AD ∥EG ∥BC ，EG 分别交AB ，DB ，AC 于点E ，F ，G ，已知AD ＝6，BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，求EG ，FG 的长．第1题 第2题 第3题 第4题C B A 【题型2】三边对应成比例的两三角形相似如图，已知AB AD ＝BC DE ＝AC AE ，∠BAD ＝20°，求∠CAE 的大小．【变式训练】1.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5，乙三角形木框的三边长分别为5，5，10，则甲、乙两个三角形( )A.一定相似B.一定不相似C.不一定相似D.无法判断2.如图，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点，为使△ABC ∽△PQR ，则点R 应是甲、乙、丙、丁4点中的( )A.甲B.乙C.丙D.丁3.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是( )4.若△ABC 各边分别为AB ＝6cm ，BC ＝9cm ，AC ＝12cm ，下列各组数据分别为△DEF 的三边长，其中能使△ABC ∽△DEF 的是 .①2 cm ，3 cm，4 cm ②12 cm ，18 cm ，24 cm ③0.2 cm ，0.3cm ，0.4 cm cm ⑤1.2 cm ，1.8 cm ，2.4 cm ⑥1.8 cm ，2.7 cm ，3.6 cm5.若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝______cm 时，△ABC ∽△DEF.6.如图，已知O 是△ABC 内一点，D，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点.求证：△ABC ∽△DEF.。
相似三角形的判定-预备定理
2、如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB 于D，过点D作DE∥BC交AC于E，若 3:5 。 AD:DB=3:2，则EC:BC=______ D
A
E
C
探索发现：
如图，在△ABC中,点D为AB中点,过点D 作DE∥BC交AC于点E,则△ADE与△ABC 相似吗? A
D B E C
思考
如图,在△ABC 中,DE//BC,DE分别交AB,AC 于点D,E, △ADE与△ABC有什么关系?
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通 过相似的定义证明这个结论.
k
A1 A
B
C
B1
C1
若△ABC与△DEF相似,且相似比是K,那么 △DEF 与△ABC的相似比是多少?
AB 若△ABC∽△DEF,则相似比为 DE K , DE 1 若△DEF ∽△ABC,则相似比为 AB K .
相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？ 当两个三角形的相似比为 1 时，它们是全等的， 全等是相似的一种特殊情况。
∴△ADE∽△ABC
知识要点
平行于三角形一边的定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
A
D B
E C
勤于动脑：
观察图形，如果平行线DE与三角形的另两边的延长线 相交,此时截得的三角形和原三角形还相似吗? D A E
即： 如果DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC 你能证明吗？
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
想一想：
“△ABC与△ A′B′C′相似”与“△ABC∽△A′B′C′” 有区别吗？
相似比
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时，
相似三角形判定的预备定理1
AB BC AC = 相似比: = ● 相似比 DE EF DF
≠ =k k≠1 两三角形相似 k=1 两三角形全等
思考： 思考：
相似三角形与全等三角形有什么内 在的联系呢？ 在的联系呢？
当两个三角形的相似比为 1 时，它们 是全等的，全等是相似的一种特殊情况。 是全等的，全等是相似的一种特殊情况。
D
l
C
这个两个模型在今后学习的过程中作用很大 你 这个 在今后学习的过程中作用很大,你 在今后学习的过程中作用很大 可要认真噢！ 可要认真噢！
相似三角形判定的预备定理： 相似三角形判定的预备定理：
平行于三角形一边的直线与其他两边( 平行于三角形一边的直线与其他两边(或 三角形一边的直线与其他两边 两边的延长线)相交。 两边的延长线)相交。所构成的三角形与原 三角形相似。 三角形相似。
k
成比例 相等 对应边——————的两个三 对应角_______, ● 对应角 D 角形, 角形 叫做相似三角形 . A C E 6 ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F ∠ ∠ ∠ B
AB AC BC = = DE DF EF
F 6
⇒△ ABC∽ △DEF
对应角相等 成比例 ● 相似三角形的———————, 各对应边——————。 。
解： 与△ABC相似的三角形有 个: 相似的三角形有3个 △ 相似的三角形有
△AＤＥ ＤＥ △ＧＦＣ
B
G D O F E C
△ＧＯＥ
如图， 如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， 中 ∥ ∥ ∥ ， （1）请找出图中所有的相似三角形； ）请找出图中所有的相似三角形； △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC ∽ ∽ ∽
1：4 。 ： （2）如果 ）如果AD=1，DB=3，那么 ， ，那么DG：BC=_____。 ：
≠ =k k≠1 两三角形相似 k=1 两三角形全等
思考： 思考：
相似三角形与全等三角形有什么内 在的联系呢？ 在的联系呢？
当两个三角形的相似比为 1 时，它们 是全等的，全等是相似的一种特殊情况。 是全等的，全等是相似的一种特殊情况。
D
l
C
这个两个模型在今后学习的过程中作用很大 你 这个 在今后学习的过程中作用很大,你 在今后学习的过程中作用很大 可要认真噢！ 可要认真噢！
相似三角形判定的预备定理： 相似三角形判定的预备定理：
平行于三角形一边的直线与其他两边( 平行于三角形一边的直线与其他两边(或 三角形一边的直线与其他两边 两边的延长线)相交。 两边的延长线)相交。所构成的三角形与原 三角形相似。 三角形相似。
k
成比例 相等 对应边——————的两个三 对应角_______, ● 对应角 D 角形, 角形 叫做相似三角形 . A C E 6 ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F ∠ ∠ ∠ B
AB AC BC = = DE DF EF
F 6
⇒△ ABC∽ △DEF
对应角相等 成比例 ● 相似三角形的———————, 各对应边——————。 。
解： 与△ABC相似的三角形有 个: 相似的三角形有3个 △ 相似的三角形有
△AＤＥ ＤＥ △ＧＦＣ
B
G D O F E C
△ＧＯＥ
如图， 如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， 中 ∥ ∥ ∥ ， （1）请找出图中所有的相似三角形； ）请找出图中所有的相似三角形； △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC ∽ ∽ ∽
1：4 。 ： （2）如果 ）如果AD=1，DB=3，那么 ， ，那么DG：BC=_____。 ：
相似三角形(预备定理)课件
证明方法二：通过三角形的全等证明
总结词
通过证明两个三角形全等，从而得出它们相似的结论。
详细描述
首先，根据三角形全等的判定定理，找出两个三角形全等的条件。然后，利用这 些条件证明两个三角形全等。最后，由于全等三角形一定是相似的，所以得出两 个三角形相似的结论。
证明方法三：通过三角形的角度关系证明
总结词
练习题三：挑战练习
总结词
能够运用相似三角形解决复杂问题
总结词
掌握相似三角形的各种性质和判定定理的综合应用
题目1
在矩形$ABCD$中，已知$AB = 4$，$BC = 6$，点$E$为$BC$的中 点，求$frac{AE}{BD}$的值。
题目2
在等腰三角形$triangle ABC$中，$angle ABC = 120^circ$，点 $D$为$AB$的中点，求$frac{CD}{AC}$的值。
总结词
利用相似三角形的性质可以方便地测量建筑 物的高度。
详细描述
通过相似三角形的比例关系，我们可以利用 已知的高度和角度来计算建筑物的高度。例 如，站在距离建筑物一定距离的位置，使用 测角仪测量建筑物的高度角，然后根据已知 的高度和角度关系，计算出建筑物的高度。 这种方法在城市规划、建筑测量等领域应用 广泛。
推论三
总结词
如果两个三角形相似，那么它们的面积之比等于其对应边长之比的平方。
详细描述
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的面积之比等于其对应边长之比的平方，即(AB/A'B')^2 = S(ABC)/S(A'B'C')。这个性质在解决几何问题中非常有用，特别是在计算面积和比例问题时。
04
预备定理的实例分析
27.2.1相似三角形的判定(预备定理)
D
A
E
C
例1.如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm, ∠BAC=450,∠ACB=400. (1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长. C
E
解: (1) ∵
DE ∥ BC △ADE∽△ABC ∠AED=∠C=400.
A
D
B
在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950.
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
D P C
B
分析:
A D
E
P
B
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
C
1.如图在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC
（1）请找出图中所有的相似三角形；
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC （2）如果AG：GH：HI ：IC =1：2：3 ：4
△EOF∽△COD
C
D
挑战
已知:如图,在△ ABC中, ∠ ACB的平分线CD交 AB于点D. 求证:
AD AC DB CB
C
A
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
B D
• 不经历风雨，怎么见彩虹 • 没有人能随随便便成功!
（2）∵
△ADE∽△ABC AE DE 50 DE ,即 . AC BC 50 30 70 50 70 所以, DE 43.75( cmAB=6厘 米，CD=9厘米，求EF的长。
D E C
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
想一想：什么叫相似三角形？如何判
定三角形相似？
相似三角形定义：我们把对应角
相等、对应边成比例的两个三角形叫做 相似三角形。
A
E
C
例1.如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm, ∠BAC=450,∠ACB=400. (1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长. C
E
解: (1) ∵
DE ∥ BC △ADE∽△ABC ∠AED=∠C=400.
A
D
B
在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950.
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
D P C
B
分析:
A D
E
P
B
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
C
1.如图在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC
（1）请找出图中所有的相似三角形；
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC （2）如果AG：GH：HI ：IC =1：2：3 ：4
△EOF∽△COD
C
D
挑战
已知:如图,在△ ABC中, ∠ ACB的平分线CD交 AB于点D. 求证:
AD AC DB CB
C
A
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
B D
• 不经历风雨，怎么见彩虹 • 没有人能随随便便成功!
（2）∵
△ADE∽△ABC AE DE 50 DE ,即 . AC BC 50 30 70 50 70 所以, DE 43.75( cmAB=6厘 米，CD=9厘米，求EF的长。
D E C
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
想一想：什么叫相似三角形？如何判
定三角形相似？
相似三角形定义：我们把对应角
相等、对应边成比例的两个三角形叫做 相似三角形。
相似三角形判定预备定理
第十四页，讲稿共十六页哦
达标检测 反思目标
2. 如图，在△ABC中，DE∥BC，小聪认为：
AD ∵DE∥BC，∴ AB=
DE
；小明认为应是：
BC
AD DE
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ = .那
么你认为（ B ）
AB BC
A．仅小聪对 B．仅小明对
C．两人均对 D．两人均错
第十五页，讲稿共十六页哦
关于相似三角形判定 预备定理
第一页，讲稿共十六页哦
L5 L4
L5 L4
A
L1
ED
L1
DE
L2
A
L2
B
C L3 B
C
L3
数学符号语言
数学符号语言
∵ DE∥BC
∵ DE∥BC
∵
AD AB
=
AE AC
∵
AD AB
=
AE AC
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段的比相等
第二页，讲稿共十六页哦
的对应线段成比例。
A
即：
在△ABC中，
D
E
如果DE∥BC，
B
C
那么
AD AB
AE AC
DE BC
,
AB AD
AC AE
BC DE
（上比全， , 全比上）
DB EC ，AB AC , （下比全，全比下） AB AC DB EC
AD AE , DB EC , （上比下，下比上） DB EC AD AE
创设情景 明确目标
最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，∠B＝∠B1
，∠C＝∠C1，
AB＝ A1B1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
18.5.1相似三角形的判定——预备定理
【教学目标】
知识技能：掌握用相似三角形的定义和预备定理判断两个三角形相似
过程方法：在探索相似三角形判定定理过程中，体现解决问题的方法
情感态度：在探索相似图形的性质过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
【教学重点】预备定理的证明与应用
【教学难点】预备定理的证明
【教学过程】
一.复习引入
活动1
回顾相似三角形的定义，定义既是判定也是性质；平行线分线段成比例
出示问题：如图,DE//BC, △ADE 与△ABC 有什么关系?说明理由.
学生猜想：相似。
能得到△ADE ∽△ABC 吗？
教师活动:教师出示并提出问题，组织学生思考．
（1）△ADE 与△ABC 满足“对应角相等”吗？为什么？
（2）△ADE 与△ABC 满足对应边成比例吗？由“DE ∥BC ”的条件可得到哪些线段的比相等？
（3）根据以前学习的知识如何把DE 移到BC 上去？（作辅助线DF ∥AC ）
学生活动:学生小组讨论：要证△ADE ∽△ABC
只需证∠A=∠A ，∠B=∠2，∠C=∠3←——由平行得
=AD AE DE AB AC BC ⎫=⎬⎭
由DE ∥BC 得相似定义 只需证出：DE AD BC AB
=或DE AE BC AC = 由于DE 、BC 不在同一直线上，故可以通过做辅助线平移DE ，将DE 、BC 放在同一直线上
证明： 过D 点作DF ∥AC 交BC 于F ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ∴四边形DFCE 是□ ∴DE=CF ∵DF ∥AC ∴CF AD BC BD
= ∴DE AD BC BD
= ∵DE ∥BC ∴=AD AE BD AC
∵DE ∥BC
∴∠A=∠A ，∠1=∠B ，∠2=∠C ∴△ADE ∽△ABC BC DE AC AE AB AD ==∴
B
分析完后由学生口述再ppt 出示过程
由此可得：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似。
拓展： 思考： 若条件不变，图形如图所示，结论是否仍然成立？依然成立
几何画板演示
教师活动:板书课题“相似三角形的判定”
二、形成新知：
活动2 归纳总结：判定三角形相似的（预备）定理： 文字语言：平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原来三角形相似。
图形语言：
符号语言：∵DE ∥BC
∴△ADE ∽△ABC
三、例题讲解与巩固
活动3
练习： 1、下列各图都满足DE ∥BC ，是否都有△ADE ∽△ABC ？
设计意图：预备定理的简单识别。
2、如图，在△ABC 中，DG ∥EH ∥FI ∥BC ，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG ：BC=_____
设计意图：1）三角形相似具有传递性 2）平行线分线段成比例
3.如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（ ）
A 1对
B 2对
C 3对
D 4对
设计意图：预备定理在平行四边形中应用
E B C A
D E B C A D
E B C A D
4.如图,已知DE ∥BC,AE=5cm,EC=3cm,BC=7cm,∠BAC=450,∠ACB=400.
(1)求∠AED 和∠ADE 的大小; (2)求DE 的长.
设计意图：训练学生标图及预备定理在求边角时应用
例：已知：如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AN 交DE 于M. 求证：=DM EM BN CN . 证明：∵DE ∥BC ∴△ADM ∽△ABN
△AME ∽△ANC
∴
DM AM BN AN = ME AM CN AN
= ∴DM ME BN CN = 设计意图：预备定理在证明题简单应用，通过中间比证明比例式成立
四、课堂小结 知识：相似三角形判定方法
1、(定义) 对应角相等且三组对应边的比相等；
2、（预备定理）平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原三角形相似 方法：1)从复杂图形找基本图形，A 字形和8字形
2）传递性：相似三角形和比例式。
板书设计
18.5.1相似三角形的判定(一)
预备定理：
文字语言：平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原来三角形相似 图形语言：
符号语言：∵DE ∥BC
∴△ADE ∽△ABC
E B C A
D E B C A D
M E N B C
A
D
18.5.1相似三角形的判定
——预备定理
庞会波
2016.4.20。