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相似三角形预备定理证明

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相似三角形的判定预备定理

相似三角形的判定预备定理

ASA
制作钟岳梨




2018年10月31日星期三
回 顾
制作钟岳梨
3.4 §相似三角形的判定
2018年10月31日星期三
1
E
D
A
)2
B
C
小 结
制作钟岳梨




2018年10月31日星期三
9
平行关系就能得出三角形相似。
应 用
制作钟岳梨
3.4 §相似三角形的判定
2018年10月31日星期三
1
例2 已知：如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的 光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为 1.2m，求下檐光线的落地点N与窗户的距离NC.
D D B
等吗？为什么？ ②△ADE与△ABC的边长是否对应 成比例？为什么？
③△ADE与△ABC相似吗？
E E C
④平行移动DE的位置，两三角形还相似吗？
结 论
制作钟岳梨

3.4§预备定理
相似三角形的判定的

2018年10月31日星期三
Байду номын сангаас
5
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边 的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.
定理
DE ∥ BC ADE ∽ ABC
例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形EFCD

例 题
制作钟岳梨


2018年10月31日星期三
7
的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知 AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.
例 题
制作钟岳梨

相似三角形(预备定理)

相似三角形(预备定理)

例。
步骤3
03
根据步骤1和步骤2，得出两个三角形相似的结论。
感谢您的观看
THANKS
性质
相似三角形预备定理具有传递性 、反身性和对称性，即如果两个 三角形相似，则它们的对应边和 对应角都成比例。
预备定理的重要性
基础性
相似三角形预备定理是三角形相似判 定定理的基础，对于理解三角形相似 的概念和性质至关重要。
应用广泛
在几何学、三角函数、解析几何等领 域中，相似三角形预备定理都有广泛 的应用。
等，则这两个三角形相 似。
具体来说，如果$angle A = angle A'$、$angle B = angle B'$、$angle C = angle C'$，则三角形ABC与三角形A'B'C'相 似。
边边判定法
如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
相似三角形(预备定理)
目录
• 相似三角形预备定理的定义 • 相似三角形的判定方法 • 相似三角形的性质 • 相似三角形在几何中的应用 • 相似三角形的实际应用 • 相似三角形预备定理的证明
01
相似三角形预备定理的定义
定义与性质
定义
相似三角形预备定理是指，如果 两个三角形有两边对应成比例， 且夹角相等，则这两个三角形相 似。
离与实际距离之间的关系。
地形表示
在地图上表示地形起伏时，可以使 用相似三角形来表示不同高度之间 的相对关系。
地理位置定位
在地图上确定地理位置时，可以使 用相似三角形来确定两点之间的相 对位置和距离。
在物理学中的应用（光的折射、反射等）
光学仪器设计
在设计和制造光学仪器（如望远镜和显微镜）时，需要使 用相似三角形来计算透镜的形状和位置，以确保光线正确 地折射和聚焦。

相似三角形平行线分线段成比例及预备定理

相似三角形平行线分线段成比例及预备定理

B
A
C
E
若DE ∥ BC 则
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠ACB=∠DCE,
D AB ACBC. DE DC CE
若△ABC∽ △DEC,
从上面的解答中，你获得了那些信息？
A
D
E
B
CEDຫໍສະໝຸດ ABC平行于三角形一边的直线和其他两边（或两 边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形 相似.
相似三角形的预备定理：
B
D
A
E
C
7．如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7， 求AE和BC的长．
8．如图，在□ABCD中，EF∥AB，
DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
9.已知EF∥BC,求证:
BD DC EG GF
A
E
G
27.2相似三角形的判定 之1
预备定理
回顾：
两个条件要 同时具备
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形.
相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三
角形是相似三角形. 符号语言：
A
B
C B′
A′
在△ABC和△A´B´C´中，
∵ A A , B B , C C
AB B C CA .
C′
AB BC CA
∴△ABC∽△A´B´C´
2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与
△ABC相似比为 1 k
对应角___相__等__, 对应边——成—比——例—的两个三
角形,
叫做相似三角形 A

相似三角形的预备定理的证明

相似三角形的预备定理的证明

相似三角形的预备定理的证明
设有两个三角形ABC和DEF，已知∠ABC=∠DEF，并且
AB/DE=AC/DF=BC/EF。

我们需要证明三角形ABC和DEF是相似的。

首先，我们来证明AB/DE=BC/EF。

由已知条件可得
AB/DE=AC/(DE+EF)=AC/DF。

再由已知条件中的两对边成比例可得
AC/DF=BC/EF。

所以，AB/DE=BC/EF。

接下来，我们来证明∠ACB=∠DFE。

由已知条件可知∠ABC=∠DEF。

再加上我们已经得到的AB/DE=BC/EF，由三角形的角对应边成比例可知
∠ACB=∠DFE。

最后，我们需要证明∠CAB=∠EDF。

首先，根据克莱姆法则可得
AB/DE=AC/DF，进一步化简得AB/AC=DE/DF。

由三角形的角对应边成比例可知∠CAB=∠EDF。

综上所述，我们证明了∠ABC=∠DEF，并且AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么三角形ABC和DEF是相似的。

根据相似三角形的定义，我们得到了相似三角形的预备定理。

相似三角形的预备定理

相似三角形的预备定理

相似
∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C， AD AE
A
过E作EF∥AB交BC于F，则 AE BF
AB AC
AC BC
∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE=BF.
D
E
AE DE AD AE DE
AC BC
AB AC BC
∴△ADE∽△ABC.
B
FC
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构
1.（2010 ·滨州中考）如图,A、B两点被池塘隔开,在AB
外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作
MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为
.
1.已知EF∥BC,求证: BD DC EG GF
A
E
F
G
F
GE
.已知EF∥BC,FG∥DC,
求证:
相似三角形的判定
提出问题：
如图，在∆ABC中，点D是边AB的 中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？
A
D B
E C
思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想 ∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.
如图，DE∥BC，△ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
证明:在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A
解析：与△ABC相似的三角形有3个:
△ADE
△GFC
△GOE
D
A G
O
E
B
F
C
4.如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=45°,∠ACB=40°. (1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长.

2721相似三角形的判定(1)(预备定理)PPT课件

2721相似三角形的判定(1)(预备定理)PPT课件

A'B'C'与AB的 C 相似比 1. 为
A'
B'
k
（相似三角形的定义可以作为 三角形相似的一种判定方法）
6
L1 L2
A
D
B
E
C
F
请说出其中的对应线段!
L3 L4 L5
7
三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.
定理的符号语言 L1 L2
L3//L4//L5
A
D
L3
B
E
AB
DE
=
C
L4 F
L5
1
观察回顾：
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形。
两个条件要 同时具备
2
问题1：这两个三角形是否为 相似形？
对应角……？ 对应边……？
3
相似三角形定义：我们把对应角相
等、对应边成比例的两个三角形叫做 相似三角形。
4
△ABC与△ A'B'C'相似
C
表示为：
△ABC∽△ A'B'C'
A B
C/
读作：
△ABC相似于△ A'B'C' A/'
B/
注意 在写两个三角形相似时应
把表示对应顶点的字母写在对 应的位置上。
5
相似三角形定义用符号语言表示：
∵∠A= ∠A' 、∠B= ∠B' 、∠C=C'
C
ABBCCAk A'B' B'C' C'A'
A
B ∴ △ABC∽△A'B'C'

4相似三角形预备定理

（第4节）相似三角形预备定理目标：使学生理解并掌握相似三角形的预备定理。

并能简单应用。

学生初识A型8字形图形重点：理解定理，会应用。

过程：一、相似三角形（书42页）相似三角形：若△ABC～△A′B′C′，则对应角相等，对应边成比例。

相似比为k= AB：A′B′；那么△A′B′C′～△ABC，则相似比为1：k= A′B′：AB例如 AB：A′B′=2：3，那么△ABC与△A′B′C′的相似比为2：3，而△A′B′C′与△ABC的相似比为3：2；如AB：A′B′=1：1，那么△ABC与△A′B′C′是全等三角形。

二、探究三角形相似的判定方法复习：三角形中位线定理。

问题1：D、E是△ABC中AB、AC的中点，那么△ADE与△ABC相似吗？为什么？△ADE相似于△ABC记作：△ADE～△ABC，对应边的比叫做相似比。

k=1:2问题2：在△ABC中，D是AB边的中点，DE∥BC交AC于E，那么△ADE与△ABC相似吗？为什么？结论：1* E是AC的中点。

定理：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

若AD=DB，DE∥BC 则AE=EC2*若AD=DB，DE∥BC 则△ADE～△ABC，相似比k=1:2问题3：在△ABC中，D是AB边上人一点，且DE∥BC交AC于E，那么△ADE与△ABC相似吗？定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

？平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形是否也相似呢？基本图形：与两边相交与两边的延长线相交写出相似三角形及它们的相似比。

例题：①如图1，已知：DE∥FG∥BC，D、F将AB三等分，写出图中的相似三角形及对应边的比；如果BC=6，则DE=___________，FG=_________。

②已知DE∥BC，CD、BE相交于点O，写出图中的相似三角形及对应边的比；③已知：平行四边形ABCD，写出图中的相似三角形及相似比；如果 AB=6，BC=8，若AE=2 求：AF。

《相似三角形的判定预备定理 》

18.5.1相似三角形的判定——预备定理【教学目标】知识技能：掌握用相似三角形的定义和预备定理判断两个三角形相似过程方法：在探索相似三角形判定定理过程中，体现解决问题的方法情感态度：在探索相似图形的性质过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．【教学重点】预备定理的证明与应用【教学难点】预备定理的证明【教学过程】一.复习引入活动1回顾相似三角形的定义，定义既是判定也是性质；平行线分线段成比例出示问题：如图,DE//BC, △ADE 与△ABC 有什么关系?说明理由.学生猜想：相似。

能得到△ADE ∽△ABC 吗？教师活动:教师出示并提出问题，组织学生思考．（1）△ADE 与△ABC 满足“对应角相等”吗？为什么？（2）△ADE 与△ABC 满足对应边成比例吗？由“DE ∥BC ”的条件可得到哪些线段的比相等？（3）根据以前学习的知识如何把DE 移到BC 上去？（作辅助线DF ∥AC ）学生活动:学生小组讨论：要证△ADE ∽△ABC只需证∠A=∠A ，∠B=∠2，∠C=∠3←——由平行得=AD AE DE AB AC BC ⎫=⎬⎭由DE ∥BC 得相似定义 只需证出：DE AD BC AB=或DE AE BC AC = 由于DE 、BC 不在同一直线上，故可以通过做辅助线平移DE ，将DE 、BC 放在同一直线上证明： 过D 点作DF ∥AC 交BC 于F ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ∴四边形DFCE 是□ ∴DE=CF ∵DF ∥AC ∴CF AD BC BD= ∴DE AD BC BD= ∵DE ∥BC ∴=AD AE BD AC∵DE ∥BC∴∠A=∠A ，∠1=∠B ，∠2=∠C ∴△ADE ∽△ABC BC DE AC AE AB AD ==∴B分析完后由学生口述再ppt 出示过程由此可得：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似。

拓展： 思考： 若条件不变，图形如图所示，结论是否仍然成立？依然成立几何画板演示教师活动:板书课题“相似三角形的判定”二、形成新知：活动2 归纳总结：判定三角形相似的（预备）定理： 文字语言：平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原来三角形相似。

相似三角形判定-预备定理


创设情景 明确目标
最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，∠B＝∠B1
AC AB BC ，∠C＝∠C1， ＝ ＝AC ， A1 B1 B1C1 1 1
那么△ABC与△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两 个三角形相似吗？
已知：DE//BC，且DE分别交AB、AC于D，E .猜 想：△ADE与△ABC有什么关系?并证明。 A 相似。 D B 12
DE AE BC AC
AD AE DE AB AC BC
3
F
B
∴ △ADE与△ABC的对应边成比例 ∴ △ADE ∽ △ABC
三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，
知识要点
平行于三角形一边的定理 A型 平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
你还能画出其 他图形吗？
4. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线 上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为 D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则 2 CD∶DE的值是_______ ．
达标检测 反思目标 5. 如图5，已知菱形ABCD内接于△AEF， AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.
20 解：求菱形的边长为 cm． 9
证明: ∵ DE // BC
E C
∴∠1 =∠B，∠2 =∠C
且 ∠A= ∠A
∴ △ADE与△ABC的对应角相等
过E作EF//AB交BC于F 又∵ DE // BC BF AE AD AE ∴ AB AC BC AC A
D 2 E C ∴ 四边形DBFE是平行四边形 ∴ DE=BF , ∴ ∴
即： E D 在△ABC中， 如果DE∥BC， C B 那么 AD AE DE , AB AC BC , （上比全， 全比上） AB AC BC AD AE DE

九年级数学《相似三角形判定预备定理》课件

点的字母写在对应的位置上，这样
便于找出相似三角形的对应角和对 应边.
即写成△ABC∽△A′B′C′，表 明对应关系是唯一确定的，即A与 A′、B与B′、C与C′分别对应.如果 仅说“这两个三角形相似”,没有 用“∽”表示的，则没有说明对应 关系.
师友展示
相似三角形的相似比
将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为
∴ AD AE , FC AD . AB AC BC AB
因为四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC， DE AD . BC AB
AD AE DE . AB AC BC
又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC.
A
D B
F
E C
归纳总结
A
D B
E C A
B D
K1
,即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=
K1
△A′B′C′∽△ABC的相似比记为 练习
，K 2
即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=Leabharlann K23.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3则△ABC与△DEF的相似比 K1 和△DEF与△ABC的相似比 K2 是否相等？如果不相等，K1和K2满足什么
关系？如果AB=2，DE=2呢？说明这两个三角形是什么关系？
合作探究，学会质疑
根据自学思考题，师友对议再组议交流上面问题
师友展示
C
A
B
C′
A′
B′
图1
如图1，△ABC与△A′B′C′相 似. 则图1中的两个三角形记作 “△ABC∽△A′B′C′”，读作 “△ABC相似于△A′B′C′”，“∽” 叫相似符号.
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课题：相似三角形的判定（预备定理）
教学目标：1 •掌握预备定理以及用相似三角形的定义判断两三角形相似；
2 •在探索相似三角形预备定理过程中，感受特殊到一般的思想方法，体验 分析解决
问题的方法；
3•通过思考交流与教师启发，获得探索问题的乐趣，增强数学学习的信心
与原动力。

教学重点： 预备定理的证明与应用。

教学难点： 预备定理的证明。

教学方法： 启发+探究+讲授
教学手段： 常规教学用具，计算机及课件 教学过程：
教学过程
教师活动
学生活动 设计意图
出示情境问题：
1、 什么叫相似三角形？什么叫相似比？
2、 如图，矩形草坪长20m 宽10m 沿草坪四 周有1m
宽的小路。

小路的内外边缘所围成的 矩形相似吗？
□—''~:—:—A ?—'—>:—?—A
3、 如图两个三角形相似吗？若相似，你是若 何判
断的，相似比是多少？若不相似，也请说 明。

4、 思考：如图：在AA BC 与厶DEF 中，/ A= / D, Z B=Z E ，请问 AA BC 与△ DEF 是否相似？ 明确指出：
本节课将研究如何用相似三角形的定义判断 两三角形相似。

板书课题：相似三角形的判定
创
设 情 境
复习相似形 的有关概
思考回答问题：
念，明确否 1、2 口答 定两图形相 3题可能的方法：
似，指出一 ⑴直觉（引导有理有
个不满足的 据）；
条件即可， ⑵度量角与边，再计
而冃疋两图 算（指引这种方法简 形相似，则 单易于操作，但有时 需要所有对 会对结果的精确程度 应角相等， 质疑）
对边成比 ⑶根据格点特性计算 例。

（积极鼓励）
而随后的思 考，是为了 给学生点引 一下，预备 定理为什么 叫预备定
理，后继学
教案设计说明：
本节课的主要内容是相似三角形判定的预备定理。

由于学生的逻辑推理能力已有所提高，具备了一定的能力。

因此，需要通过理论上的证明得到判断定理。

而，定理证明之前还没有判定两三角形相似的定理。

只能引导学生考虑用定义来证明。

即证明三个角对应相等，三条边对应成比例。

不仅复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下基础。

后继学习相似三角形的判定定理，转化为预备定理可以很大程度上简化证明。

为了解决好定理证明，首先通过情境复习了相似三角形的定义，通过矩形草坪与网格三角形问题，辅助计算深层次回忆定义。

并且，定理的发现，采用了从特殊到一般的方法，让学生在证明定理之前，对定理已产生了一定的认可度，也好能深层思考定理证明。

而在定理分析中，辅助几何画板追踪技术，给学生非常直观的将形内线段推倒三角形一边上视觉刺激，通过闪烁突出平行线分三角形两边成比例图形，突破定理证明难关，给学生学习应用本定理证明的思维方法留下深刻的印象。