相似三角形预备定理证明

ASA
制作钟岳梨




2018年10月31日星期三
回 顾
制作钟岳梨
3.4 §相似三角形的判定
2018年10月31日星期三
1
E
D
A
)2
B
C
小 结
制作钟岳梨




2018年10月31日星期三
9
平行关系就能得出三角形相似。
应 用
制作钟岳梨
3.4 §相似三角形的判定
2018年10月31日星期三
1
例2 已知：如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的 光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为 1.2m，求下檐光线的落地点N与窗户的距离NC.
D D B
等吗？为什么？ ②△ADE与△ABC的边长是否对应 成比例？为什么？
③△ADE与△ABC相似吗？
E E C
④平行移动DE的位置，两三角形还相似吗？
结 论
制作钟岳梨

3.4§预备定理
相似三角形的判定的

2018年10月31日星期三
Байду номын сангаас
5
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边 的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.
定理
DE ∥ BC ADE ∽ ABC
例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形EFCD

例 题
制作钟岳梨


2018年10月31日星期三
7
的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知 AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.
例 题
制作钟岳梨

例。
步骤3
03
根据步骤1和步骤2，得出两个三角形相似的结论。
感谢您的观看
THANKS
性质
相似三角形预备定理具有传递性 、反身性和对称性，即如果两个 三角形相似，则它们的对应边和 对应角都成比例。
预备定理的重要性
基础性
相似三角形预备定理是三角形相似判 定定理的基础，对于理解三角形相似 的概念和性质至关重要。
应用广泛
在几何学、三角函数、解析几何等领 域中，相似三角形预备定理都有广泛 的应用。
等，则这两个三角形相 似。
具体来说，如果$angle A = angle A'$、$angle B = angle B'$、$angle C = angle C'$，则三角形ABC与三角形A'B'C'相 似。
边边判定法
如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
相似三角形(预备定理)
目录
• 相似三角形预备定理的定义 • 相似三角形的判定方法 • 相似三角形的性质 • 相似三角形在几何中的应用 • 相似三角形的实际应用 • 相似三角形预备定理的证明
01
相似三角形预备定理的定义
定义与性质
定义
相似三角形预备定理是指，如果 两个三角形有两边对应成比例， 且夹角相等，则这两个三角形相 似。
离与实际距离之间的关系。
地形表示
在地图上表示地形起伏时，可以使 用相似三角形来表示不同高度之间 的相对关系。
地理位置定位
在地图上确定地理位置时，可以使 用相似三角形来确定两点之间的相 对位置和距离。
在物理学中的应用（光的折射、反射等）
光学仪器设计
在设计和制造光学仪器（如望远镜和显微镜）时，需要使 用相似三角形来计算透镜的形状和位置，以确保光线正确 地折射和聚焦。

B
A
C
E
若DE ∥ BC 则
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠ACB=∠DCE,
D AB ACBC. DE DC CE
若△ABC∽ △DEC,
从上面的解答中，你获得了那些信息？
A
D
E
B
CEDຫໍສະໝຸດ ABC平行于三角形一边的直线和其他两边（或两 边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形 相似.
相似三角形的预备定理：
B
D
A
E
C
7．如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7， 求AE和BC的长．
8．如图，在□ABCD中，EF∥AB，
DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
9.已知EF∥BC,求证:
BD DC EG GF
A
E
G
27.2相似三角形的判定 之1
预备定理
回顾：
两个条件要 同时具备
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形.
相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三
角形是相似三角形. 符号语言：
A
B
C B′
A′
在△ABC和△A´B´C´中，
∵ A A , B B , C C
AB B C CA .
C′
AB BC CA
∴△ABC∽△A´B´C´
2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与
△ABC相似比为 1 k
对应角___相__等__, 对应边——成—比——例—的两个三
角形,
叫做相似三角形 A

相似三角形的预备定理的证明
设有两个三角形ABC和DEF，已知∠ABC=∠DEF，并且
AB/DE=AC/DF=BC/EF。

我们需要证明三角形ABC和DEF是相似的。

首先，我们来证明AB/DE=BC/EF。

由已知条件可得
AB/DE=AC/(DE+EF)=AC/DF。

再由已知条件中的两对边成比例可得
AC/DF=BC/EF。

所以，AB/DE=BC/EF。

接下来，我们来证明∠ACB=∠DFE。

由已知条件可知∠ABC=∠DEF。

再加上我们已经得到的AB/DE=BC/EF，由三角形的角对应边成比例可知
∠ACB=∠DFE。

最后，我们需要证明∠CAB=∠EDF。

首先，根据克莱姆法则可得
AB/DE=AC/DF，进一步化简得AB/AC=DE/DF。

由三角形的角对应边成比例可知∠CAB=∠EDF。

综上所述，我们证明了∠ABC=∠DEF，并且AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么三角形ABC和DEF是相似的。

根据相似三角形的定义，我们得到了相似三角形的预备定理。

相似
∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C， AD AE
A
过E作EF∥AB交BC于F，则 AE BF
AB AC
AC BC
∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE=BF.
D
E
AE DE AD AE DE
AC BC
AB AC BC
∴△ADE∽△ABC.
B
FC
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构
1.（2010 ·滨州中考）如图,A、B两点被池塘隔开,在AB
外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作
MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为
.
1.已知EF∥BC,求证: BD DC EG GF
A
E
F
G
F
GE
.已知EF∥BC,FG∥DC,
求证:
相似三角形的判定
提出问题：
如图，在∆ABC中，点D是边AB的 中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？
A
D B
E C
思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想 ∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.
如图，DE∥BC，△ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
证明:在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A
解析：与△ABC相似的三角形有3个:
△ADE
△GFC
△GOE
D
A G
O
E
B
F
C
4.如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=45°,∠ACB=40°. (1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长.

A'B'C'与AB的 C 相似比 1. 为
A'
B'
k
（相似三角形的定义可以作为 三角形相似的一种判定方法）
6
L1 L2
A
D
B
E
C
F
请说出其中的对应线段!
L3 L4 L5
7
三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.
定理的符号语言 L1 L2
L3//L4//L5
A
D
L3
B
E
AB
DE
=
C
L4 F
L5
1
观察回顾：
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形。
两个条件要 同时具备
2
问题1：这两个三角形是否为 相似形？
对应角……？ 对应边……？
3
相似三角形定义：我们把对应角相
等、对应边成比例的两个三角形叫做 相似三角形。
4
△ABC与△ A'B'C'相似
C
表示为：
△ABC∽△ A'B'C'
A B
C/
读作：
△ABC相似于△ A'B'C' A/'
B/
注意 在写两个三角形相似时应
把表示对应顶点的字母写在对 应的位置上。
5
相似三角形定义用符号语言表示：
∵∠A= ∠A' 、∠B= ∠B' 、∠C=C'
C
ABBCCAk A'B' B'C' C'A'
A
B ∴ △ABC∽△A'B'C'

（第4节）相似三角形预备定理目标：使学生理解并掌握相似三角形的预备定理。

并能简单应用。

学生初识A型8字形图形重点：理解定理，会应用。

过程：一、相似三角形（书42页）相似三角形：若△ABC～△A′B′C′，则对应角相等，对应边成比例。

相似比为k= AB：A′B′；那么△A′B′C′～△ABC，则相似比为1：k= A′B′：AB例如 AB：A′B′=2：3，那么△ABC与△A′B′C′的相似比为2：3，而△A′B′C′与△ABC的相似比为3：2；如AB：A′B′=1：1，那么△ABC与△A′B′C′是全等三角形。

二、探究三角形相似的判定方法复习：三角形中位线定理。

问题1：D、E是△ABC中AB、AC的中点，那么△ADE与△ABC相似吗？为什么？△ADE相似于△ABC记作：△ADE～△ABC，对应边的比叫做相似比。

k=1:2问题2：在△ABC中，D是AB边的中点，DE∥BC交AC于E，那么△ADE与△ABC相似吗？为什么？结论：1* E是AC的中点。

定理：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

若AD=DB，DE∥BC 则AE=EC2*若AD=DB，DE∥BC 则△ADE～△ABC，相似比k=1:2问题3：在△ABC中，D是AB边上人一点，且DE∥BC交AC于E，那么△ADE与△ABC相似吗？定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

？平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形是否也相似呢？基本图形：与两边相交与两边的延长线相交写出相似三角形及它们的相似比。

例题：①如图1，已知：DE∥FG∥BC，D、F将AB三等分，写出图中的相似三角形及对应边的比；如果BC=6，则DE=___________，FG=_________。

②已知DE∥BC，CD、BE相交于点O，写出图中的相似三角形及对应边的比；③已知：平行四边形ABCD，写出图中的相似三角形及相似比；如果 AB=6，BC=8，若AE=2 求：AF。

18.5.1相似三角形的判定——预备定理【教学目标】知识技能：掌握用相似三角形的定义和预备定理判断两个三角形相似过程方法：在探索相似三角形判定定理过程中，体现解决问题的方法情感态度：在探索相似图形的性质过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．【教学重点】预备定理的证明与应用【教学难点】预备定理的证明【教学过程】一.复习引入活动1回顾相似三角形的定义，定义既是判定也是性质；平行线分线段成比例出示问题：如图,DE//BC, △ADE 与△ABC 有什么关系?说明理由.学生猜想：相似。

能得到△ADE ∽△ABC 吗？教师活动:教师出示并提出问题，组织学生思考．（1）△ADE 与△ABC 满足“对应角相等”吗？为什么？（2）△ADE 与△ABC 满足对应边成比例吗？由“DE ∥BC ”的条件可得到哪些线段的比相等？（3）根据以前学习的知识如何把DE 移到BC 上去？（作辅助线DF ∥AC ）学生活动:学生小组讨论：要证△ADE ∽△ABC只需证∠A=∠A ，∠B=∠2，∠C=∠3←——由平行得=AD AE DE AB AC BC ⎫=⎬⎭由DE ∥BC 得相似定义 只需证出：DE AD BC AB=或DE AE BC AC = 由于DE 、BC 不在同一直线上，故可以通过做辅助线平移DE ，将DE 、BC 放在同一直线上证明： 过D 点作DF ∥AC 交BC 于F ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ∴四边形DFCE 是□ ∴DE=CF ∵DF ∥AC ∴CF AD BC BD= ∴DE AD BC BD= ∵DE ∥BC ∴=AD AE BD AC∵DE ∥BC∴∠A=∠A ，∠1=∠B ，∠2=∠C ∴△ADE ∽△ABC BC DE AC AE AB AD ==∴B分析完后由学生口述再ppt 出示过程由此可得：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似。

拓展： 思考： 若条件不变，图形如图所示，结论是否仍然成立？依然成立几何画板演示教师活动:板书课题“相似三角形的判定”二、形成新知：活动2 归纳总结：判定三角形相似的（预备）定理： 文字语言：平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原来三角形相似。

创设情景 明确目标
最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，∠B＝∠B1
AC AB BC ，∠C＝∠C1， ＝ ＝AC ， A1 B1 B1C1 1 1
那么△ABC与△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两 个三角形相似吗？
已知：DE//BC，且DE分别交AB、AC于D，E .猜 想：△ADE与△ABC有什么关系?并证明。 A 相似。 D B 12
DE AE BC AC
AD AE DE AB AC BC
3
F
B
∴ △ADE与△ABC的对应边成比例 ∴ △ADE ∽ △ABC
三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，
知识要点
平行于三角形一边的定理 A型 平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
你还能画出其 他图形吗？
4. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线 上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为 D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则 2 CD∶DE的值是_______ ．
达标检测 反思目标 5. 如图5，已知菱形ABCD内接于△AEF， AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.
20 解：求菱形的边长为 cm． 9
证明: ∵ DE // BC
E C
∴∠1 =∠B，∠2 =∠C
且 ∠A= ∠A
∴ △ADE与△ABC的对应角相等
过E作EF//AB交BC于F 又∵ DE // BC BF AE AD AE ∴ AB AC BC AC A
D 2 E C ∴ 四边形DBFE是平行四边形 ∴ DE=BF , ∴ ∴
即： E D 在△ABC中， 如果DE∥BC， C B 那么 AD AE DE , AB AC BC , （上比全， 全比上） AB AC BC AD AE DE

点的字母写在对应的位置上，这样
便于找出相似三角形的对应角和对 应边.
即写成△ABC∽△A′B′C′，表 明对应关系是唯一确定的，即A与 A′、B与B′、C与C′分别对应.如果 仅说“这两个三角形相似”,没有 用“∽”表示的，则没有说明对应 关系.
师友展示
相似三角形的相似比
将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为
∴ AD AE , FC AD . AB AC BC AB
因为四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC， DE AD . BC AB
AD AE DE . AB AC BC
又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC.
A
D B
F
E C
归纳总结
A
D B
E C A
B D
K1
,即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=
K1
△A′B′C′∽△ABC的相似比记为 练习
，K 2
即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=Leabharlann K23.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3则△ABC与△DEF的相似比 K1 和△DEF与△ABC的相似比 K2 是否相等？如果不相等，K1和K2满足什么
关系？如果AB=2，DE=2呢？说明这两个三角形是什么关系？
合作探究，学会质疑
根据自学思考题，师友对议再组议交流上面问题
师友展示
C
A
B
C′
A′
B′
图1
如图1，△ABC与△A′B′C′相 似. 则图1中的两个三角形记作 “△ABC∽△A′B′C′”，读作 “△ABC相似于△A′B′C′”，“∽” 叫相似符号.

再见
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通 过相似的定义证明这个结论. 先证明两个三角形的对应角相等.
在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等. 过E作EF//AB,EF交BC于F点. 在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.
2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与
△ABC相似比为 1 k
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对
应线段的比相等.
符号语言：∵ l3∥l4 ∥l5 ,
∴
AB BC

DE , EF
BC AB
EF , DE
l1
l2
A
D
l3
AB DE , AC DF
AC DF AB DE
27.2相似三角形的判定
预备定理
相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三
角形是相似三角形. 符号语言：
A
B
C B′
A′
在△ABC和△A´B´C´中，
∵A A, B B, C C
AB BC CA .
C′
AB BC CA
∴△ABC∽△A´B´C´
三角形相似具有
传递性!
或：Δ OEF∽Δ OAB Δ OEF∽Δ OCD
Δ OAB∽Δ OCD
9.已知EF∥BC,求证:
BD DC EG GF
A
E
F
G
B
D
C
F
GE
A
B
D
C
相似三角形判定方法

基本内容相似三角形的判定（一）知识精要1、相似三角形：若一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．即：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边．2、相似比：两个相似三角形对应边的比k，叫做这两个相似三角形的相似比（相似系数）．如：若△DEF与△ABC相似，则AB BC AC DE EF DF==．3、相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础．4、三角形相似的判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两三角形相似．三角形相似的判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．热身练习1、在△ABC中，E、F分别在AC、AB上，且AF AB AE AC⋅=⋅，则下列各式中正确的是（）A．EF AFAC BC=；B．AF BCAE AB=；C．EF AEBC AC=；D．BC ABEF AE=．2、BD、CE是△ABC的两条高，BD、CE相交于点O．下列结论中不正确的是（）A．△ADE∽△ABC；B．△DOE∽△COB；C．△BOE∽△COD；D．△BOE∽△BDE．3、下列各组有可能不相似的是（）A ．各有一个角是45︒的两个等腰三角形；B ．各有一个角是60︒的两个等腰三角形；C ．各有一个角是105︒的两个等腰三角形；D ．两个等腰直角三角形．4、在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，CD ⊥AB ，垂足D 在斜边AB 上，则下列四个结论中正确的是（ ）①2AC AD AB =⋅； ②2BC BD AB =⋅； ③2CD AD BD =⋅； ④AC BC AB CD ⋅=⋅． A ．①②④； B ．②③④； C ．①③④； D ．①②③④．5、已知点P 是△ABC 的边BC 的中点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与原三角形相似，那么这样的直线最多有（ ）条A ．5；B ．4；C ．3；D ．2．精解名题例1、已知在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，DE ∥BC ，DE 交AC 于点E ， △ADE 与△ABC 有什么关系？例2、根据下列条件，判断△ABC 与△'''A B C 是否相似，并说明理由：（1）120A ∠=︒，7AB =cm ，14AC =cm ； '120A ∠=︒，''3A B =cm ，''6A C =cm ． （2）4AB =cm ，6BC =cm ，8AC =cm ； ''12A B =cm ，''18B C =cm ，''21A C =cm ．例3、四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，1OA =，1.5OB =，3OC =，2OD =，求证：△OAD 与△OBC 是相似三角形．备选例题GF E DCBA例1、点D 是△ABC 的边AB 上的一点，且2AC AD AB =⋅，求证：△ACD ∽△ABC ．例2、如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起， A 为公共顶点，90BAC AGF ∠=∠=︒， 它们的斜边长为2， 若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），设BE m =，CD n =．（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． （2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围．（3）以△ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC 上找一点D ，使BD CE =，求出D 点的坐标，并通过计算验证222BD CE DE +=．（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系222BD CE DE +=是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．巩固练习1、下列命题中，不正确的是（ ）Gy xOFE DCBAA ．如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形全等；B ．等腰直角三角形都是相似三角形；C ．有一个角为60︒的两个等腰三角形相似；D ．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似． 2、下列结论中，不正确的是（ ）A ．有一个角相等，有两条边对应成比例的两个三角形相似；B ．顺次连结三角形各边中点所得的三角形与原三角形相似；C ．如果三角形两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似；D ．两条边长分别是7、4和14、8的两个直角三角形相似． 3、△ABC ∽△'''A B C 且相似比为13错误!未找到引用源。

R
r
19
习题 1.3
5.如图,线段EF平行于四边形ABCD的一边AD,BE与CF
交于一点G,AE与DF交于一点H.
求证:GH//AB.
H
A
D
E F
B
C
G
BH BC AD AG EH EF EF EG
预备定理 定义 引理 20
习题 1.3
6.已知:DE//AB,EF//BC. O 求证:△DEF∽△ABC.
(2) AD BC AC ED
3、已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，AB=a，AC=b， A′B′=a′，当 A′C′为多少时，△ABC∽△A′B′C′？
22
小结
相
似
三
角 形
预备定理
的
概
念
判定定理1
判定定理2 直角三角形判定定理
判定定理3
23
EF 1 BC, FD 1 CA, DE 1 AB
2
2
2
EF FD DE 1 BC CA AB 2
∴△DEF∽△ABC
A
F
E
B
D
C
9
直角三角形相似的判定定理
定理
两角对应相等
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它 们相似。
两边对应成比例及夹角相等
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例， 那么它们相似。
类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等
的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定
理.
10
定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

∵
DE∥BC
B
D
E
∴ △ADE ∽△ABC
C
思考一：如图，平行于三角形一边的直线 和其他两边的延长线相交，所构成的三角 形与原三角形相似吗？
Ａ
∵
DE∥BC
Ｂ Ｃ
∴ △ADE ∽△ABC
Ｄ
Ｅ
• 思考二：如图，平行于三角形一边的 直线和其他两边的反向延长线相交， 所构成的三角形与原三角形相似吗？ ∵ DE∥BC
23.2 相似三角形的判定
嬉子湖中心学校
第一课时
相似三角形及预备定理
复习提问
• 1、什么叫做相似多边形？ • 2、什么叫做相似比（或相似系数）？
在相似多边形中,最简单的就是相似三角形了。
什么叫做相似三角形？
相似三角形：对应角相等，对应边的比相等的三角形。 在△ABC和△A’B’C’中,如果
∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’,
D E F B A G H I C
例1：
如图, 已知DE∥BC,DF∥AC,请尽可能多 地找出图中的相似三角形，并说明理由。
D
A
E
B
F
C
三角形相似 具有传递
性!
例2.若
DE∥BC,DF∥AC ,BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你
A
能求出线段AE的长度吗？ 1.5
D
2 6
E
6 2
C
B
3
A D E B C
D A E C B
A
A'
B
C B'
C'
相似三角形的本质属性： 1.相似三角形对应角相等．
2.相似三角形对应边的比相等
怎样判定两个三角形相似呢？

三角形相似判定预备定理一、定理内容平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

二、证明方法（一）利用平行线分线段成比例定理证明（以平行于三角形一边的直线和其他两边相交为例）1. 已知条件- 设 ABC，DE∥ BC，D在AB上，E在AC上。

2. 证明思路- 因为DE∥ BC，根据平行线分线段成比例定理，可得(AD)/(DB)=(AE)/(EC)。

- 过点D作DF∥ AC交BC于F，则四边形DFCE是平行四边形，所以DF = EC。

- 在 ADE和 ABC中，∠ A=∠ A（公共角），(AD)/(AB)=(AE)/(AC)（由(AD)/(DB)=(AE)/(EC)推导得出）。

- 根据三角形相似的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可得 ADEsim ABC。

（二）利用角的关系证明（以平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交为例）1. 已知条件- 设 ABC，DE∥ BC，D在AB的延长线上，E在AC的延长线上。

2. 证明思路- 因为DE∥ BC，所以∠ D=∠ B，∠ E=∠ C（两直线平行，同位角相等）。

- 在 ADE和 ABC中，∠ A=∠ A（公共角），∠ D=∠ B，∠ E=∠ C。

- 根据三角形相似的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），可得ADEsim ABC。

三、定理的应用（一）直接应用判定相似1. 例题- 在 ABC中，DE∥ BC，D在AB上，E在AC上，AD = 3，DB = 2，AC=10，求AE的长。

2. 解题步骤- 所以(AE)/(AC)=(AD)/(AB)，又AB = AD+DB=3 + 2=5。

- 设AE=x，则(x)/(10)=(3)/(5)，解得x = 6。

（二）与其他相似判定定理结合应用1. 例题- 如图，在 ABC中，AD是角平分线，EF∥ AD，EF与AB交于E，与CA的延长线交于F，求证： AEFsim ACB。

证明方法二：通过三角形的全等证明
总结词
通过证明两个三角形全等，从而得出它们相似的结论。
详细描述
首先，根据三角形全等的判定定理，找出两个三角形全等的条件。然后，利用这 些条件证明两个三角形全等。最后，由于全等三角形一定是相似的，所以得出两 个三角形相似的结论。
证明方法三：通过三角形的角度关系证明
总结词
练习题三：挑战练习
总结词
能够运用相似三角形解决复杂问题
总结词
掌握相似三角形的各种性质和判定定理的综合应用
题目1
在矩形$ABCD$中，已知$AB = 4$，$BC = 6$，点$E$为$BC$的中 点，求$frac{AE}{BD}$的值。
题目2
在等腰三角形$triangle ABC$中，$angle ABC = 120^circ$，点 $D$为$AB$的中点，求$frac{CD}{AC}$的值。
总结词
利用相似三角形的性质可以方便地测量建筑 物的高度。
详细描述
通过相似三角形的比例关系，我们可以利用 已知的高度和角度来计算建筑物的高度。例 如，站在距离建筑物一定距离的位置，使用 测角仪测量建筑物的高度角，然后根据已知 的高度和角度关系，计算出建筑物的高度。 这种方法在城市规划、建筑测量等领域应用 广泛。
推论三
总结词
如果两个三角形相似，那么它们的面积之比等于其对应边长之比的平方。
详细描述
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的面积之比等于其对应边长之比的平方，即(AB/A'B')^2 = S(ABC)/S(A'B'C')。这个性质在解决几何问题中非常有用，特别是在计算面积和比例问题时。
04
预备定理的实例分析