平面向量的加法及其几何意义(高)

③当两个非零向量a与b反向且|a|<|b|时(如图2),则a+b与b方向相同 (与a方向相反),且|a+b|=||a|-|b||. ④当两个向量a与b中至少有一个为0时,则必有|a+b|=|a|+|b|=||a||b||. 综上可知任意两个向量a,b恒有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
uuur uuur 则飞机飞行的路程指的是| AB |+| BC |;
uuur uuur uuur 两次飞行的位移的和指的是 AB + BC = AC .
uuur uuur 依题意,有| AB |+| BC |=800+800=1 600(km), 又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,
新知导学 课堂探究
新知导学·素养养成
1.向量加法的定义 定义:求两个向量 和 的运算,叫做向量的加法. 对于零向量与任一向量a,规定0+a=a+ 0 = a .
2.向量求和的法则
三角形 法则
法则
前提 作法
结论
已知非零向量a,b,在平面内任取一点A
uuur uuur
uuur
作 AB =a, BC =b,再作向量 AC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (1)解析:a=( AB + CD )+( BC + DA )= AB + BC + CD + DA =0, 所以 0∥b,①正确;0+b=b,③正确;|0+b|=|0|+|b|,⑤正确.故选 C.
uuur uuur uuur (2)化简:① AB + CD + BC ;

【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.

高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。

2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。

3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。

4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。

二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。

- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。

- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。

- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。

3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。

- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。

- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。

- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。

三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。

2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。

3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。

- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。

- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。

四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。

【核心素养培优区】 【易错案例】向量的加法在向量化简中的应用 【典例】如图,在正六边形ABCDEF中, BA CD EF=( B )
A.0 B.BE C.AD D.CF
【失误案例】BA CD EF (BA AF) EF BF EF BE.
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:本题错误的原因是未能结合正六边形边的关系, 得到 EF CB, 在化简的过程中代入.
【点拨】 (1)对向量加法三角形法则的两点说明 ①适用范围:任意向量. ②注意事项:(ⅰ)两个向量一定首尾相连. (ⅱ)和向量的始点是第一个向量的始点,终点是第二个 向量的终点. (ⅲ)当多个向量相加时,可以使用三角形法则.
(2)对向量加法的平行四边形法则的三点说明 ①适用范围:任意两个非零向量,且不共线. ②注意事项:(ⅰ)两个非零向量一定要有相同的始点; (ⅱ)平行四边形中的一个对角线所对应的向量为和向 量.
【变式训练】(荆州高一检测)设正六边形
ABCDEF,AB m，AE n, 则AD =________. 【解析】如图,
ED AB所 m以， 答案:n+m
AD AE ED n m．
类型三 向量加法的实际应用 【典例】长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡 进行运输。现有一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的 速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东 2km/h.
列结论中,正确的是 ( ) ①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|; ⑤|a+b|=|a|+|b|. A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤
3.如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中 点,化简下列各式: