一元多项式最大公因式的矩阵求法

第26卷第4期2010年8月德州学院学报Jour nal of Dezhou University Vol .26,No .4Aug .,2010λ—矩阵的广义初等变换及其应用张景晓(德州学院数学系,山东德州　253023) 摘　要:建立了λ—矩阵的广义初等变换的概念,给出了λ—矩阵在广义初等变换下的标准形,并将这一理论应用于求多个一元多项式的最大公因式,由此给出了求多个多项式最大公因式的一个简洁有效的方法.关键词:λ—矩阵;广义初等变换;最大公因式中图分类号:O 152.7 文献标识码:A 文章编号:1004-9444(2010)04-0100-03收稿日期:2009-11-20作者简介:张景晓(1957-),男,山东齐河人,教授,学士,主要从事代数图论方面的研究.1　λ—矩阵的广义初等变换定义1　设A (λ)是一m ×n 阶λ—矩阵,以下三种变换叫作A (λ)的广义初等变换(1)将矩阵A (λ)的任意两个元素交换位置;(2)将矩阵A (λ)的某个元素乘以一个非零常数c ;(3)将矩阵A (λ)的某个元素乘以一个φ(λ)后加到另一元素上,其中φ(λ)是一多项式.显然λ—矩阵的普通变换可以通过λ—矩阵的广义初等变换来实现.设A (λ)=(a ij (λ))是一m ×n 阶λ—矩阵,用a ij (λ) a st (λ)表示将A (λ)的第i 行第j 列的元素a ij (λ)与第s 行第t 列的元素a st (λ)交换;用ca ij 表示将A (λ)中第i 行第j 列的元素乘以非零数c ;a ij (λ)+a st φ(λ)表示将A (λ)的第s 行第t 列的元素a st (λ)乘以φ(λ)后加到元素a ij (λ)上.定义2　设A (λ)=(a ij (λ))m ×n 是一m ×n 阶非零λ—矩阵,称最大公因式(a 11(λ),a 12(λ),…,a 1n (λ),a 21(λ),a 22(λ),…,a 2n (λ),…,a m 1(λ),a m 2(λ),…,a m n (λ))为λ矩阵A (λ)的最大公因式记作g cf (A (λ)),即gcf (A (λ))=(a 11(λ),a 12(λ),…,a 1n (λ),a 21(λ),a 22(λ),…,a 2n (λ),…,a m 1(λ),a m 2(λ),…,a mn (λ)).2　利用λ—矩阵的广义广义初等变换求一元多项式的最大公因式定理1　λ—矩阵A (λ)的广义初等变换不改变A (λ)的最大公因式.证明　只需证明λ—矩阵经一次广义初等变换最大公因式不改变即可.设A (λ)是一m ×n λ—矩阵,由λ—矩阵的最大公因式和广义初等变换的定义可知,对A (λ)施行第(1)、(2)种广义初等变换显然不改变矩阵的最大公因式.又设A (λ)经第(3)种广义初等变换a ij (λ)+a s t φ(λ)化为矩阵B (λ),即有A (λ)=a 11(λ)a 1n (λ)a ij (λ)……a st (λ)a m 1(λ)a mn (λ)a ij (λ)+a s t (λ)φ(λ)a 11(λ)a 1n (λ)a ij (λ)+a st (λ)φ(λ)……a st (λ)a m 1(λ)a mn (λ)=B (λ)因此gcf (A (λ))=(a 11(λ),…,a ij (λ),…,a s t (λ),…　a mn (λ)),gcf (B (λ))=(a 11(λ),…,a ij (λ)+a st (λ)φ(λ),…,a s t (λ),…am n(λ))所以,gcdf (A (λ)) a ij (λ)(i =1,2,…,m ;j =1,2,…,n ),从而gcf (A (λ)) [a ij (λ)+a s t (λ)φ(λ)],故gcf (A (λ)) g cf (B (λ));又因为g cf (B (λ)) a kl (λ)(k ≠i ,l ≠j ),和gcf (B (λ) [a ij (λ)+a s t (λ)φ(λ))],可推知gcf (B λ) a ij (λ),从而g cf (B (λ)) gcf (A (λ)),因此g cf (A (λ))=g cf (B (λ)).推论　任意一个非零λ—矩阵A (λ)都可经一系列λ—矩阵的广义初等变换化为如下标准形式:B (λ)=d (λ)其中　d (λ)=gcf (B (λ))证明　设A (λ)=(a ij (λ))是一m ×n 非零λ—矩阵,a s 0t 0(λ)是A (λ)的所有元素中次数最小者,将a s 0t 0(λ)乘以(-q ij (λ))后加到a ij (λ)上(其中q ij (λ)是a ij (λ)除以a s 0t 0(λ)得到的商,i ≠s 0,j ≠t 0),得到的矩阵设为A 1(λ)=(a (1)ij (λ)),若A 1(λ)中元素除a s 0t 0(λ)外全是零,则取d (λ)=1a 0a s 0t 0(λ)即可(其中a 0是a s 0t 0(λ)的首项系数),否则选取A 1(λ)中次数最小的元素a (1)s 1t 1(λ),重复以上过程,得矩阵A 2(λ)=(a (2)ij (λ)),由于矩阵A k (λ)中次数最小的元素的次数小于A k +1(λ)中次数最小的元素的次数,因此总存在一个正整数M ,使得A M(λ)只有元素a (M )s M t M (λ)不是零,其余元素全为零,取d (λ)=1a Ma (M )s M t M(λ)即可(其中a M 是a s M t M (λ)的首项系数).根据定理1及其推论,可以得到一种求任意多个一元多项式a 11(x ),a 12(x ),…,a mn (x )的最大公因式的方法,计算步骤如下.(1)构造矩阵A (x ),当给出的一元多项式的个数不足mn 时,用0补齐;(2)设A (x )中次数最小的元素是a s t (x ),对A (x )中的其余元素作变换a ij (x )-a st (x )q ij (x ),其中q ij(x )是a ij (x )除以a st (x )的商;(3)重复(2)的过程,直到求出最大公因式为止.例1　求多项式组　f 1(x )=x 5-12x 4+11x 3;　f 2(x )=x 4-13x 3+20x 2+26x -44;　f 3(x )=x 4-101　第4期 张景晓:λ—矩阵的广义初等变换及其应用122x 2+121;　f 4(x )=x 7-11x 6+x -11;　f 5(x )=x 3-11x 2+8x -88;　f 6(x )=x 4+x 3-1331x -1331;　f 7(x )=x 6-121x 4+2x 2-242;　f 8(x )=x 8-14722x 4+1185921;　f 9(x )=x 9-x 5-161051x 4+161051的最大公因式解:令A (x )=x 5-12x 4+11x 3x 4-13x 3+20x 2+26x -44x 4-122x 2+121x 7-11x 6+x -11x 3-11x 2+8x -88x 4+x 3-1331x -1331x 6-121x 4+2x 2-242x 8-14722x 4+1185921x 9-x 5-161051x 4+161051按照计算步骤(2)的要求对A (x )实施广义初等变换A (x )a ij (x )-a 22(x )·q ij (x )8x 2-24x -704-10x 2+130x -220-9x 2+1089-511x +5621x 3-11x 2+8x -88124x 2-1339x -27566x 2-7986-1921x 2+23244178309x 2+4032x -9519741a ij (x )-a 21(x )·q ij (x )000-511x +562100000a 21(x )×(-1511)000x -11000从而(f 1(x ),f 2(x ),…,f 9(x ))=x -11从上例可以看出,这里介绍的求多项式的最大公因式的方法,简单快捷,是一种理想的求最大公因式的好方法.参考文献:[1]张景晓.矩阵的斜初等变换及其应用[J ].聊城大学学报,2003,(1).[2]郁金祥.基于矩阵斜消法变换的最大公因式求解[J ].数学的实践与认识,2005,(11).[3]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M ].北京:高等教育出版社,2003.[4]张禾瑞,郝炳新.高等代数[M ].北京:高等教育出版社,2007.[5]罗文强,等.高等代数[M ].武汉:武汉大学出版社,2009.[6]T homas W .Hungerfo rd .A lgbra [M ].Winsto n :Ho lt ,Rinehart ,2003.The Generalized Elementary Transformation of the λ-matrixand Its Application ZH A NG Jing -xiao(Depar tment of M athematics ,Dezhou U niversity ,Dezhou Shando ng 253023,China )A bstract :In this paper ,a concept of the gene ralized elementary transform ation of the λ-matrix w as estab -lished ,and a standard fo rm under the g eneralized elementary transfo rmatio n w as proved .This theory can be applied to ex tract greatest com mon factor of poly nonmial ,because of this w e give an efficient model fo r solving g reatest comm on factor of po lynonmial .Key words :λ-matrix ;generalized elementary transform ation ;greatest com mon facto r102德州学院学报 第26卷　。

在数学中矩阵最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵，现在矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一。

在线性代数及其许多的问题中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。

作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。

本文总结了线性变换在线性代数、初等数论、通信、经济、生物遗传等方面的应用。

关键词：矩阵；初等变换；标准型；逆矩阵；标准型；秩；方程组ABSTRACTMatrix derived from the first phalanx of the coefficients and constants of the equations in mathematics, now matrix is the most fundamental and important concepts of linear algebra, in linear algebra and many other questions can be seen the figure of the matrix, It can abstract the matrix representation, then matrix calculated results. As the foundation and core of the matrix, the elementary transformation matrix and its application is very important, it can conversion a variety of complex matrix into a matrix form we need, then the calculation becomes more simple.This paper summarizes the application of linear algebra, elementary number theory, communications, and economic, biological heredity.Key words:Matrix; Elementary transformation; standard; inverse matrix; standard; rank; equations;1矩阵及其初等变换的概念 (1)2矩阵初等变换的应用 (1)2.1在线性代数中的应用 (2)2.1.1 将矩阵化简为阶梯型和等价标准型 (2)2.1.2矩阵的分块和分块矩阵的初等变换 (3)2.1.3求伴随矩阵和逆矩阵 (4)2.1.4求矩阵的秩，向量组的秩 (5)2.1.5求矩阵的特征值和特征向量 (6)2.1.6 解线性方程组 (7)2.1.7求解矩阵方程 (8)2.1.8化二次型为标准型 (9)2.1.9判断向量组的线性相关性，求其极大线性无关组 (11)2.2在数论中的应用 (11)2.3在通信中的应用 (13)2.4在经济方面的应用 (14)2.5在生物遗传方面的应用 (15)总结 (18)致谢 (19)参考文献 (20)矩阵的初等变换及其应用在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为对这些矩阵的转化过程，除方程组之外，还有很多方面的问题也都涉及矩阵的概念及其应用，这些问题的研究常常转化为对矩阵的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的。

多项式的最大公因式多项式的最大公因式问题：(一).多项式的最大公因式的定义是什么？设f(x)与g(x)是P[x ]中两个多项式，P[x ]中多项式d(x)称为f(x)与g(x)的最大公因式，如果满足下面两个条件：(1) . d(x)是f(x)与g(x)的公因式；(2) . f(x)，g(x)的公因式全是d(x)的因式。

我们约定用(f(x)，g(x))表示首项系数为1的那个最大公因式。

定理1:对于P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式u(x)，v(x)使d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)引理：设f(x),g(x),q(x),h(x) €F(x),g(x)工0，且f(x) = g(x)q(x) + h(x)则f(x)与g(x)与q(x)与h(x)有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且(f(x)，g(x)) = ( g(x)，h(x))定理2: F(x)的任意两个多项式f(x)与g(x) —定 存在最大公因式。

(二).用来求最大公因式的方法(1).辗转相除法:如果f(x),g(x) €P[x],g(x)工0，且?????,????? €P[x],使f(x) = ??(??g(x) + ?彳？? g(x) = ??(????；??+ ??:?? ?橫？？= ??(????:?? + ??:?? ???-2(??= ????????-1(??+ ???? ???-i (??= ???+i (???????+ 0其中？(?????)>0,则?????是f(x)与g(x)的一个最 大公因式。

(2) .串位加减法 (3) .矩阵求法：d(x) = ( f(x), g(x))(f(x)) (g(x))一系列初等行变换d(x) 0f(x) = ?? + 例1.设3??- ??- 4x- 3g(x) = 3?? + 10?? + 2x- 3 求(f(x), g(x))解：法1辗转相除法。

确定多项式公因式的方法多项式是高中数学中比较重要的一个概念，也是数学中较为基础的一个概念，对于多项式的学习，我们需要学习的一个重要的知识点就是多项式的公因式。

因为多项式的因式分解需要首先明确的就是它的公因式，只有找到了多项式的公因式，才能够把多项式因式分解得到简单的乘式。

那么，下面就为大家详细介绍一下确定多项式公因式的方法。

一、常数因子法常数因子法是最常用的一种方法，它的核心是要求得多项式中，所有项的系数的最大公约数，如果能够找到这样一个公因子，那么就可以把多项式化成简单的形式。

例如：48x^3+12x^2-60x，我们先来求解这个多项式的系数最大公约数，也就是4，因此，多项式中可以提出4x作为公因式，化简之后就变成了4x(12x^2+3x-15)。

二、公共因子法公共因子法是判断两个多项式是否拥有公因子的一种方法，它的原理是在两个多项式之间找到相同的项，然后提取公因子。

例如：16x^3-24x^2+56x，8x可以被拿出来，然后我们再用8x去除所有的点，剩余的部分即是公因子(2x-3)，最后的形式就是8x(2x-3)(2x+7)。

三、配方法配方法(也可叫配方法运算法则)是指把多项式的各项进行配方，从而生成新的项，以便于我们判断公因式。

例如：2x^2-x-1，如果我们配方后，就可以得到4x^4-4x^3-5x^2+2x+1，这时我们可以看到其中的一项的系数和常数项很容易就可以化解成公因式了。

四、平方差公式平方差公式是一个可以直接判断公因式的方法，它的原理是通过将多项式进行平方和差的变形来确定公因式。

例如：16x^2-81y^2，我们可以把这个多项式看成是16x^2-(9y)^2，这表示16x^2 和 (9y)^2的差，使用平方差公式就可以确定公因式了，最终多项式的形式就是(4x-9y)(4x+9y)。

五、因式分解法有一个定理，叫做多项式唯一分解定理，它告诉我们，每个多项式都可以写成唯一的形式例如2x^3+5x^2-3x-1=(2x+1)(x-1)^2。