人教新课标版数学高二-数学选修2-1练习2.3.2双曲线的简单几何性质

课时跟踪检测（十一） 双曲线的简单几何性质层级一 学业水平达标1．下列双曲线中离心率为62的是( ) A ．x 22－y 24＝1B ．x 24－y 22＝1C ．x 24－y 26＝1D ．x 24－y 210＝1解析：选B 由e ＝62得e 2＝32，∴c 2a 2＝32， 则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2．因此可知B 正确．2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A ．3．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析：选B 由题意知k<0，∴a 2＝4，b 2＝－k ． ∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4．又e ∈(1,2)，∴1<1－k4<4，∴－12<k<0．4．已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(－12，－15)，则E 的方程为( )A ．x 23－y 26＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 26－y 23＝1D ．x 25－y 24＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则有⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 21＋x 2a 21＋y 1＝－12b 2－15a 2＝4b 25a2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1．5．(全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a ．∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca＝2．故选D ．6．(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上， 故可设双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)． 由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．答案：x 24－y 2＝17．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0， 解得e ＝2或e ＝－1(舍去)． 答案：28．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ．不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x＝175，y ＝－3215， 所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215． 所以S △AFB ＝12|AF||y B |＝12(c －a)·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215．答案：32159．(全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A(0,66)．当△APF 周长最小时，求该三角形的面积．解：设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F(3，0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF 1|＝2，所以|PF|＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF 1|＋2＋|AF|．因为|AF|＝32＋62＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)． 由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝126． 10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，且a 2c ＝33．(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧a 2c ＝33，ca ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2．所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1．(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M(x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)． 所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m ．因为点M(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上， 所以m 2＋(2m)2＝5．故m ＝±1．层级二 应试能力达标1．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．23B ．2C ． 3D ．1解析：选A 不妨取焦点(4,0)和渐近线y ＝3x ，则所求距离d ＝|43－0|3＋1＝23．故选A ．2．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96B ．y 2－x 2＝160C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24．故选D ．3．若中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A ． 6B ． 5C ．62D ．52解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，所以－2＝－ba ×4，即a ＝2b ．设b ＝k(k>0)，则a ＝2k ，c ＝5k ，所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52．故选D ．4．(全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ． 2B ．32C ． 3D ．2解析：选A 法一：作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝2．故选A ．法二：因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a．又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|．由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca＝2．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1．答案：x 216－y 24＝16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析：由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a2≥4，所以e≥2． 答案：[2，＋∞)7．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a<b)的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0．于是有|b·0＋a·0－ab|a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4． 又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4， 两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0， 解得e 2＝4或e 2＝43．又b>a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，则e ＝2．于是双曲线的离心率为2．8．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1．(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积是2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0．①由直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k 2，解得－2<k<2且k≠±1．即k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2． 因为直线l ：y ＝kx －1恒过定点D(0，－1)，则当x 1x 2<0时，S △AOB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1－x 2|＝2；当x 1x 2>0时，S △AOB ＝|S △OAD －S △OBD |＝12|x 1－x 2|＝2．综上可知，|x 1－x 2|＝22，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2， 即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62．由(1)，可知－2<k<2且k≠±1，故k ＝0或k ＝±62都符合题意．。

（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
曲线的虚轴，它的长为2b,b
y
叫做双曲线的虚半轴长.
（见教材P.56)
b B2
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y 2 m(m 0)
A1 -a o a A2
x
-b B1
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2.3.2 双曲线简单的几何性质 (一)
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定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
y
M F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
(x,-y)
x以轴-x、代yx轴方是程不双变曲，线故的图对像称关轴于，原轴y点对是称对；称中心，
又 以-叫y代做y方双程曲不线变的，中故心图像。关于 轴对x 称；。
以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于 原点对称
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3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
P( 1,－3 ) 且离心率为 的2双曲线标准方程.
y2 x2 1 88
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学习小结:
渐近线方程为 y b x 的双曲线的方程可写 a
成
x2 a2
y2 b2
y b x a
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[课时作业 ][A 组基础稳固 ]x 2 y 21．设双曲线 a 2－b 2＝1(a>0， b>0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则双曲线的渐近线方程为 ( )A ． y ＝± 2xB ．y ＝±2x21C ． y ＝± 2xD ．y ＝± 2xb分析：由题意得 b ＝ 1， c ＝ 3.∴a ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝ ± a x ，2 即 y ＝±2 x.答案： C．双曲线 2x 2－ y 2＝8 的实轴长是 ( )2A ． 2B ．2 2C ．4D ．4 222 x 2 y 22分析：将双曲线 2x － y ＝8 化成标准方程 4 －8 ＝ 1，则 a ＝ 4， 因此实轴长 2a ＝ 4.答案： C．双曲线 2＋ y 2＝1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 等于 ()3 mx1 1 A ．－ 4B ．－ 4C ．4D. 4分析： ∵方程 mx 2＋ y 2＝1 表示双曲线，2∴ m<0.将方程化为标准方程为 y 2－ x＝ 1.－m 1则 a 2＝1，b2＝－ m 1.∵双曲线的虚轴长是实轴长的2 倍，∴可知 b ＝ 2a ，221 1∴ b ＝4a ，∴－ m ＝4，∴ m ＝－ 4.答案： A4．中心在原点，实轴在 x 轴上，一个焦点在直线 3x － 4y ＋12＝ 0 上的等轴双曲线方程是 ()A ． x 2 －y 2 ＝8C ． y 2－x 2＝8B ．x 2－y 2＝ 4D ．y 2－x 2＝4分析：令 y ＝ 0，则 x ＝－ 4，即 c ＝4，又 c 2＝a 2＋ b 2，a ＝b ，∴ c 2＝ 2a 2， a 2＝8.答案： A5．已知 A ，B 为双曲线 E 的左、右极点，点 M 在 E 上，△ ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为 ( )A. 5 B ．2 C. 3D. 22 分析：不如取点 M 在第一象限，如下图，设双曲线方程为x2－ay 2b 2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)，则 |BM|＝|AB|＝ 2a ，∠ MBx ＝ 180°－120°＝60°，∴ M 点的坐标为 (2a ， 3a ).4a 2 3a 2∵ M 点在双曲线上，∴ a 2 － b 2 ＝ 1， a ＝ b ，c∴ c ＝ 2a ，e ＝a ＝ 2.应选 D.答案： D2x26．已知双曲线 a 2－ y ＝ 1(a ＞ 0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则 a ＝________.分析：双曲线x 2x3x ＋y ＝0，a 22＝1 的渐近线为 y ＝ ± ，已知一条渐近线为－ ya13即 y ＝－3x ，由于 a ＞ 0，因此 a ＝ 3，因此 a ＝ 3.3答案： 3x 2 y 27．过双曲线 a 2－b 2＝1(a>0， b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线订交于M ， N 两点，以 MN 为直径的圆恰巧过双曲线的右极点，则双曲线的离心率为________．2分析：由题意知， a ＋ c ＝ ba ，即 a 2＋ac ＝ c 2－a 2，∴ c 2 －ac －2a 2＝ 0，∴ e 2－e －2＝0，解得 e ＝ 2 或 e ＝－ 1(舍去 )． 答案： 2x2y 28．已知双曲线 C ： a 2－ b 2＝1(a>0， b>0)的离心率 e ＝ 2，且它的一个极点到较近焦点的距离为 1，则双曲线 C 的方程为 ________．c分析：双曲线中，极点与较近焦点距离为c －a ＝1，又 e ＝ a ＝2，两式联立得 a ＝1，c ＝2，∴ b 2 ＝c 2 －a 2＝ 4－ 1＝ 3，2∴方程为 x 2－y3 ＝ 1.2答案： x 2－y3 ＝1x 2y 2x 2y 29．已知椭圆 3m 2＋ 5n 2＝ 1 和双曲线 2m 2－3n 2＝1 有公共的焦点，求双曲线的渐近 线方程及离心率．分析：由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上，因此椭圆的右焦点坐标为 ( 3m 2－ 5n 2， 0)，双曲线的右焦点坐标为 ( 2m 2＋3n 2，0)，因此 3m 2－ 5n 2＝ 2m 2＋3n 2，因此 m 2＝ 8n 2，即 |m|＝2 2|n|，因此双曲线的渐近线方程为 y ＝± 6|n| ， ＝ ± 3x.2|m|x y42m 2＋3n 21919离心率 e ＝2|m|＝ 4 ，e ＝ 4.x 2 y 210．设 A ， B 分别为双曲线 a 2 －b 2＝1(a>0，b>0)的左、右极点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；3(2)已知直线 y ＝ 3 x －2 与双曲线的右支交于M 、 N 两点，且在双曲线的右支上→ → →存在点 D ，使 OM ＋ON ＝ tOD ，求 t 的值及点 D 的坐标．分析： (1)由题意知 a ＝2 3，b∴一条渐近线为 y ＝x ，|bc|即 bx －23y ＝ 0，∴2＝ 3，b ＋1222∴ b 2＝3，∴双曲线的方程为 12x －y3 ＝1.(2)设 M(x 1，y 1)，N(x 2， y 2)，D(x 0，y 0)，则 x 1＋x 2＝ tx 0，y 1＋ y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得 x 2－16 3x ＋ 84＝0，则 x 1＋x 2＝ 16 3，y 1＋y 2＝12，x 04 3 0＝3 ，0＝4 3，∴ 22∴x 0 y 00＝3，12－ 3 ＝1， y∴ t ＝4，点 D 的坐标为 (4 3，3)．[B 组能力提高 ]x 2y 21．(2016 ·高考全国Ⅰ卷 )已知方程 m 2＋ n － 3m 2－n ＝1 表示双曲线， 且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是 ( )A ．(－1,3)B ．(－1， 3)C ． (0,3)D ． (0， 3)分析：依据双曲线的焦距，成立对于n 的不等式组求解．m 2＋ n>0，若双曲线的焦点在x轴上，则3m 2－n>0.又∵ (m 2 ＋n)＋(3m 2 －n)＝ 4，∴ m2＝1，∴1＋n>0，3－n>0，∴－ 1<n<3.若双曲线的焦点在 y 轴上，则双曲线的标准方程为y2x2n － 3m 2>0，n －3m 2－－m 2－ n ＝ 1，即－m 2－ n>0， 即 n>3m 2 且 n<－m 2，此时 n 不存在．应选 A. 答案： A222．已知 F 1，F 2 xy分别是双曲线 a 2－ b 2＝1(a>0， b>0) 的左、右焦点，过 F 1 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于 A 、B 两点，若△ ABF 2 为锐角三角形， 则双曲线的离心率的范围是 ()A ． (1,1＋ 2)B ．(1＋ 2，＋ ∞)C ．(1－ 2，1＋ 2)D ．( 2， 2＋1)分析：由△ ABF 2 为锐角三角形得，2baπ2 2 22c <tan 4＝ 1，即 b <2ac ，∴ c － a <2ac ，∴ e 2 －2e －1<0，解得 1－ 2<e<1＋ 2，又 e>1，∴ 1<e<1＋ 2.答案： A23．已知 F 是双曲线 C ：x 2－y8＝ 1 的右焦点， P 是 C 左支上一点， A (0， 6 6)，当△ APF 周长最小时，该三角形的面积为 ________．22y分析：由双曲线方程 x － 8 ＝1 可知， a ＝1，c ＝3，故 F(3,0)，F 1(－3,0)．当点 P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－ |PF 1|＝2，因此 |PF|＝|PF 1 |＋2，进而△ APF 的周长＝ |AP|＋ |PF|＋ |AF|＝ |AP|＋ |PF 1 ＋ ＋ 由于 ＝ 2＋ 6 2＝15 为| 2 |AF|. |AF| 3定值，因此当 (|AP|＋|PF 1|)最小时，△ APF 的周长最小，由图象可知，此时点 P 在线段 AF 1 与双曲线的交点处 (如下图 )．由题意可知直线 AF 1 的方程为 y ＝2 6x ＋ 6 6，y ＝2 6x ＋66，由 22＋6 6y －96＝0，x 2－ y ＝1，得 y8解得 y ＝2 6或 y ＝－ 8 6(舍去 )，因此 S △ APF ＝S △AF 1F － S △ PF 1F11＝2×6×6 6－2×6×2 6＝12 6.答案： 12 6x 2 y 24．已知双曲线 a 2－b 2＝ 1(a ＞ 0，b ＞ 0)的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆 (x －2)2＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 ________．分析：由双曲线的渐近线b± ×2a3，＝b 2可知1＋ ac ＝2，b 与圆 －22 相切y ＝±(x 2) ＋y ＝3axa ＝1， 解得b ＝ 3.a 2＋b 2 ＝c 2，2y2故所求双曲线的方程为x － 3＝1.y 2 答案： x 2－ 3 ＝1x 2 y 2a 235．已知双曲线 C ：a 2－ b 2＝1(a>0， b>0)的离心率为 3，且 c ＝ 3 .(1)求双曲线 C 的方程；(2)已知直线 x －y ＋m ＝ 0 与双曲线 C 交于不一样的两点 A ，B ，且线段 AB 的中点在圆 x 2＋ y 2＝5 上，求 m 的值．a 23c＝3 ，a ＝1，分析： (1)由题意得解得c 3，c ＝ 3.a ＝因此 b 2＝ c 2－a 2＝2.2因此双曲线 C 的方程为 x 2－y2 ＝ 1.(2)设 A ， B 两点的坐标分别为 (x 1 ，y 1 )， (x 2， y 2 )，线段 AB 的中点为 M(x 0， y 0)．x －y ＋m ＝0，由x 2－y 2＝1， 2得 x 2－2mx － m 2－2＝0(鉴别式 >0)．x 1＋x2因此 x 0＝＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m.由于点 M(x 0，y 0)在圆 x 2＋y 2＝ 5 上，因此 m 2＋(2m)2＝5.故 m ＝±1.x 2 y 26．已知双曲线 C ：a 2－ b 2＝1(a>0， b>0)的一个焦点是 F 2(2, 0)，离心率 e ＝ 2.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C 订交于两个不一样的点 M ，N ，线段 MN 的垂直均分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，求直线 l 的方程．分析： (1)由已知得 c ＝2，e ＝2， ∴ a ＝ 1， b ＝ 3.y2∴所求的双曲线方程为 x 2－ 3 ＝1.(2)设直线 l 的方程为 y ＝x ＋m ， 点 M(x 1， y 1 ) ， 2，y 2 的坐标知足方程组N(x) y ＝ x ＋ m ，① 2x 2－y＝ 1，②3将①式代入②式，整理得 2x 2－ 2mx －m 2－ 3＝ 0.(*) 设 MN 的中点为 (x 0 ，y 0)，x 1＋ x 2m则 x 0＝2 ＝ 2 ，0＝ x 0 ＋m ＝3m，因此线段 MN 垂直均分线的方程为 y －3m＝－ x －my222即 x ＋y － 2m ＝ 0，与坐标轴的交点分别为 (0,2m)，(2m,0)，1可得2|2m| ·|2m|＝ 4，得 m2＝ 2， m＝± 2此时 (*) 的鉴别式>0，故直线 l 的方程为 y＝ x± 2.。

2.3.2双曲线的简单几何性质一、选择题(每小题5分，共20分)1．双曲线x 25－y 24＝1的( ) A ．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y ＝±255x ，离心率e ＝355B ．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y ＝±55x ，离心率e ＝95C ．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y ＝±25x ，离心率e ＝65D ．实轴长为25，虚轴长为8，渐近线方程为y ＝±52x ，离心率e ＝65答案： A 2．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4解析： 因为渐近线方程为y ＝x ，∴b ＝2，∴双曲线方程为x 2－y 2＝2，所以点P 的坐标为(3，±1)，又易知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，不妨取P (3，1)．∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝0.答案： C 3．双曲线的渐近线为y ＝±34x ，则双曲线的离心率是( ) A.54B ．2 C.54或53 D.52或153 解析： 若双曲线焦点在x 轴上， ∴b a ＝34，∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋916＝2516＝54. 若双曲线的焦点在y 轴上， ∴a b ＝34，b a ＝43. ∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋169＝259＝53. 答案： C4．已知双曲线x 216－y 2b2＝1的实轴的一个端点为A 1，虚轴的一个端点为B 1，且|A 1B 1|＝5，则双曲线的方程是( )A.x 216－y 225＝1 B.x 216－y 225＝－1 C.x 216－y 29＝1 D.x 216－y 29＝－1 解析： 由题意知a ＝4.又∵|A 1B 1|＝5，∴c ＝5，∴b ＝c 2－a 2＝25－16＝3.∴双曲线方程为x 216－y 29＝1. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为________． 解析： 椭圆4x 2＋y 2＝64，即x 216＋y 264＝1， 焦点为(0，±43)，离心率为32， 所以双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23， 所以a ＝6，b ＝c 2－a 2＝23，所以双曲线方程为y 236－x 212＝1. 答案： y 236－x 212＝1 6．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________． 解析： 双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x∴b ＝1.答案： 1三、解答题(每小题10分，共20分)7．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ； (3)过点M (2，－2)与x 22－y 2＝1有公共渐近线． 解析： (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2， ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. (2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3，∴b ＝92. ∴所求双曲线方程为x 29－4y 281＝1. 当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3，∴b ＝2. 所求双曲线方程为y 29－x 24＝1. 综上，双曲线方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1. (3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线的方程为x 22－y 2＝λ， 将点(2，－2)代入得λ＝222－(－2)2＝－2， ∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1. 8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率e 的取值范围． 解析： 由题意知直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.则|b －ab |a 2＋b 2＋|－b －ab |a 2＋b 2≥45c ， 整理得5ab ≥2c 2.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴5ab ≥2a 2＋2b 2. ∴12≤b a ≤2. e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2 ∴52≤e ≤ 5. 尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (22，0)作双曲线的一条渐近线的垂线，与该渐近线交于点P ，且O F →·F P →＝－6，求双曲线的方程．解析： 方法一：设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ， 则过F 且与其垂直的直线方程为y ＝－ab(x －22)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－a b x －22 可得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222，ab 22. ∴FP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222－22，ab 22， OF →·FP →＝(22，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222－22，ab 22＝－6. 解得a 2＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝(22)2－2＝6，∴双曲线方程为x 22－y 26＝1. 方法二：设双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ， ∵点P 在双曲线的渐近线上，故设其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x ，b a x ∴F P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22，b a x ，O F →＝(22，0)．由O F →·F P →＝－6得22(x －22)＝－6，即x ＝22. 又由O P →·F P →＝0，得x (x －22)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 2＝0， 代入x ＝22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3. 而a 2＋b 2＝(22)2＝8，∴a 2＝2，b 2＝6.∴双曲线方程为x 22－y 26＝1.。

2.3.2 双曲线的简单几何性质双基达标 (限时20分钟)1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为 ( )．A ．－14B ．－4C ．4 D.14解析 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1， a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选A. 答案 A2．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是 ( )．A ．y ＝±3xB ．y ＝±13x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33x 解析 令x 2－y 23＝0，则y ＝±3x . 答案 C3．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P (1，3)，离心率为2的双曲线的标准方程为 ( )． A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.x 28－y 28＝1 D.y 28－x 28＝1 解析 由离心率为2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2，即a ＝b ， ∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，又点P (1，3) 在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 28＝1.故选D. 答案 D4．与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________． 解析 依题意设双曲线的方程x 2－y 24＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双 曲线的标准方程为x 23－y 212＝1. 答案 x 23－y 212＝1 5．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________． 解析 双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝c a ＝4－k 2， 又∵e ∈(1，2)，则1<4－k 2<2，解得－12<k <0. 答案 (－12，0)6．求双曲线x 2－y 24＝1的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程． 解 把方程化为标准方程为x 212－y 222＝1，由此可知实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2，顶点坐标是(－1，0)，(1，0)，c ＝a 2＋b 2＝12＋22＝5，焦点的坐标是(－5，0)，(5，0)，渐近线方程为x 1±y 2＝0，即y ＝±2x . 综合提高（限时25分钟）7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上， 一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则它的离心率为 ( )．A. 5B.52C. 3 D ．2 解析 由题意知，这条渐近线的斜率为12，即a b ＝12， 而e ＝c a ＝1＋（b a ）2＝1＋22＝5，故选A.答案 A8．若0<k <a 2，则双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有 ( )． A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ．相同的焦点解析 a 2－k >0，b 2＋k >0，所以a 2－k ＋b 2＋k ＝a 2＋b 2＝c 2.所以两双曲线有相同的焦点．答案 D9．若双曲线中心在原点，焦点在y 轴，离心率e ＝135，则其渐近线方程为________． 解析 由已知设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由e ＝135，得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝16925. ∴b 2a 2＝14425，则b a ＝125， ∴渐近线方程为y ＝±a b x ＝±512x . 答案 y ＝±512x 10．过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，点F 1是另一个焦点，若∠PF 1Q ＝90°，则双曲线的离心率等于________．解析 设F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，由题意知在焦点三角形F 1PF 2中，|PF 1| ＝22c ，|PF 2|＝2c ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故有e ＝2＋1.答案 2＋111．求与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线且过A (33，－3)的双曲线的方程． 解 设与x 242－y 232＝1共渐近线且过A (33，－3)的双曲线的方程为x 242－y 232＝λ，则（33）242－（－3）232＝λ，从而有λ＝1116，所求双曲线的方程为x 211－16y 299＝1. 12．(创新拓展)已知点N (1，2)，过点N 的直线交双曲线x 2－y 22＝1于A 、B 两点，且ON →＝ 12(OA →＋OB →)． (1)求直线AB 的方程；(2)若过点N 的直线交双曲线于C 、D 两点，且CD →·AB →＝0，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？解 (1)由题意知直线AB 的斜率存在．设直线AB ：y ＝k (x －1)＋2，代入x 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －(2－k )2－2＝0. (*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程(*)的两根，∴2－k 2≠0.且x 1＋x 2＝2k （2－k ）2－k 2. ∵ON →＝12(OA →＋OB →)， ∴N 是AB 的中点，∴x 1＋x 22＝1， ∴k (2－k )＝－k 2＋2，k ＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1.(2)共圆．将k ＝1代入方程(*)得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，∴A (－1，0)，B (3，4)．∵CD →·AB →＝0，∴CD 垂直AB ，∴CD 所在直线方程为y ＝－(x －1)＋2，即y ＝3－x ，代入双曲线方程整理得x 2＋6x －11＝0，令C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)及CD 中点M (x 0，y 0)则x 3＋x 4＝－6，x 3·x 4＝－11，∴x 0＝x 3＋x 42＝－3，y 0＝6， 即M (－3，6)．|CD |＝1＋k 2|x 3－x 4| ＝1＋k 2（x 3＋x 4）2－4x 3x 4＝410，|MC |＝|MD |＝12|CD |＝210， |MA |＝|MB |＝210，即A 、B 、C 、D 到M 的距离相等，∴A 、B 、C 、D 四点共圆．。

3 讲堂成效落实221. [2014 课·标全国卷Ⅰ ] 已知双曲线x2－y＝1(a>0)的离心率为 2，a3则 a ＝()A. 2B. 62 C. 5D. 12分析：由于双曲线的方程为 x 2 y 2 3＝＋＝，所以a3a4a 2＝1，a ＝1.选 D.答案： D2. 已知直线 y ＝－ xx2y23 是双曲线22a －b ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，则此双曲线的离心率是 ()A.10 B. 333C. 3D. 555分析：此题主要考察双曲线的简单几何性质． 由于双曲线的一条渐近线方程为x b 1y ＝－ 3，所以 a ＝3，所以a ＝3b ，a 2＝9b 2，所以c 2＝10b 2，所以离心率为ce ＝a ＝10b 29b 2 ＝10 3 ，应选A.答案： A3. [2013 ·福建高考 ]双曲线 x 2－y 2＝1 的极点到其渐近线的距离等于()12A. 2B. 2C. 1D.2分析：此题主要考察双曲线的性质和点到直线的距离公式．双曲线 x 2－y 2＝1 的渐近线为 x ±y ＝0，极点坐标为 ( ±1,0)，故极点到渐近2，应选 B.线的距离为 2 答案： B4 ．双曲线x 2－ y 2＝ 1 的实轴长等于________，虚轴长等于5 4________，焦点坐标是 ________，离心率是 ________，渐近线方程是________．答案：2 5 4(－3,0)和(3,0)3525x5 ＝±y 55. [2014 ·湖南省长沙一中期中考试 ]已知焦点在座标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为 y ± 3x ＝0，焦点到渐近线的距离为 3，求此双曲线的方程．解：设双曲线方程为 y 2－3x 2＝ k(k ≠0)，当 k>0 时， a 2＝k ，b 2＝k3，c2＝4k 3，4k此时焦点为 (0，±3 )，4k由题意得 3＝23，解得 k ＝27，双曲线方程为 y 2－3x 2＝27，即y 2 x 227－ 9 ＝1；当 k<0 时， a 2＝－k3，b2＝－ k ，c 2＝－4k3，4k此时焦点为 ( ± － 3 ，0)， 由题意得 3＝－ 4k－3x 2＝－ 9，2 ，解得 k ＝－ 9，双曲线方程为 y 2x 2 y 2即 3 －9 ＝1.y 2 x 2 x 2 y 2∴所求双曲线方程为 27－ 9＝1 或 3 －9＝1.。

y2 6
1的右焦点F2 , 倾斜角
为30 的直线交双曲线于A, B两点，求 AB . y
解：由双曲线的方程得，两焦点
分别为F1(-3,0),F2(3,0).
·
·
因为直线AB的倾斜角是30°， F1 O B F2 x
且直线经过右焦点F2，所以，直
A
线AB的方程为
y 3 (x 3).
(1)
3
3
由
(2)确立关于a,b,c的方程(组)，求出参数a,b,c；
(3)写出标准方程．
【例2】点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到定
直线 l : x 16 的距离的比是常数 5 ，求点M的轨迹.
5离，根
H d.M
据题意，所求轨迹就是集合
P
M
|
MF d
|
5 4
1a
0, b
0 ,令点C的
坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y 55）.
因为点B,C在双曲线上 ,所以
252 y 552
122
b2
1,
132 122
y2 b2
1.
由方程 2 ,得y 5b 负值舍去 ,
12
y
（1） C ' 13 C
A'
12 OA
x
（2）
B'
25 B
代入方程（1），得
y
x2
3
(x 3), 3
y2 1,
6
消去y，得
5x2 6x 27 0.
解这个方程，得
x1
3,
x2
9 5
.
将
x1
,
x
的
2

04课后课时精练一、选择题1．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A. 4B. 3C. 2D. 1解析：∵焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y ＝±3a x ， 又∵渐近线方程为3x ±2y ＝0，∴a ＝2. 答案：C2．[2014·广东实验中学期末]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为( )A. 233B. 3C. 2D. 233或2解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，两渐近线的夹角为60°，则可知ba ＝3或b a ＝33，那么可知双曲线的离心率为e ＝1＋(b a )2，所以结果为2或233，故选D.答案：D3．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则此双曲线的( )A. 焦距为10B. 实轴长和虚轴长分别是8和6C. 离心率是54或53 D. 离心率不确定解析：若焦点x 轴，则b a ＝34，∴e ＝1＋b 2a 2＝54；若焦点在y 轴上，则a b ＝34，∴b a ＝43.∴e ＝1＋b 2a 2＝53.答案：C4．[2014·大纲全国卷]双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A. 2B. 2 2C. 4D. 4 2解析：本题主要考查双曲线的几何性质，意在考查考生的基本运算能力．双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0.焦点为F (±c,0)，故焦点到渐近线的距离d ＝|b ×c ±a ×0|b 2＋a2＝3，解得b ＝ 3.而离心率e ＝ca ＝2，故c ＝2a ， 又b ＝c 2－a 2＝(2a )2－a 2＝3a ，所以a ＝1.故c ＝2a ＝2，所以双曲线的焦距为2c ＝4，选C. 答案：C5. 已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y29＝1C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1解析：本题主要考查双曲线的定义，向量数量积及解三角形等知识．由MF 1→·MF 2→＝0可得|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2＝40，又由|MF 1→|·|MF 2→|＝2可得||MF 1|－|MF 2||＝40－2×2＝6，得a ＝3，b ＝1，故选A.答案：A6. [2014·湖北高二检测]设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 3＋12D. 5＋12解析：设直线FB 的斜率为－b c ，则与其垂直的渐近线的斜率为ba ，所以有－b 2ac ＝－1即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，两边同时除以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍)．答案：D 二、填空题7. 渐近线方程为y ＝±34x ，且过点A (23，－3)的双曲线的标准方程为________，离心率为________．解析：本题主要考查由渐近线方程和双曲线上的点求双曲线方程的方法和双曲线离心率的求法．设所求双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)，点A (23，－3)在双曲线上，∴1216－99＝λ⇒λ＝－14，∴所求双曲线方程为y 294－x 24＝1，又a 2＝94，b 2＝4，∴c 2＝254，∴离心率e ＝c a ＝53.答案：y 294－x 24＝1 538. [2014·山东潍坊高三期末]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，则其渐近线方程为________．解析：由题意e ＝c a ＝233，得c 2a 2＝43.又c 2＝b 2＋a 2， 所以b 2＋a 2a 2＝43.故b 2a 2＝13.所以b a ＝33，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±33x . 答案：y ＝±33x9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．解析：由题意得，a ＋c ＝b 2a ，即a 2＋ac ＝b 2，a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0.解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：2 三、解答题10. [2014·四川成都检测]已知双曲线焦距为4，焦点在x 轴上，且过点P (2,3)．(1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线m 经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m 被双曲线截得的弦长．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)，由已知可得左、右焦点F 1、F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)， 则|PF 1|－|PF 2|＝2＝2a ，所以a ＝1， 又c ＝2，所以b ＝3， 所以双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)由题意可知直线m 方程为y ＝x －2，联立双曲线及直线方程消去y 得2x 2＋4x －7＝0，设两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－72， 由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝6.11．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，取PA →＝512PB →，求a 的值． 解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.所以⎩⎨⎧1－a 2≠04a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1，所以e >62且e ≠ 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)， 因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)． 由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0， 所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2. 消去x 2得：－2a 21－a2＝28960.由a >0，解得：a ＝1713.12. [2013·江西省三校联考]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，直线l 过A (a,0)、B (0，－b )两点，原点O 到l 的距离是32.(1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若OM →·ON →＝－23，求直线m 的方程．解：(1)依题意，直线l 的方程为：x a ＋y－b ＝1，即bx －ay －ab ＝0.由原点O 到l 的距离是32，得aba 2＋b 2＝abc ＝32， 又e ＝c a ＝233，所以b ＝1，a ＝ 3. 故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y ＝kx －1，设点M ，N 坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 23－y 2＝1消去y 得(1－3k 2)x 2＋6kx －6＝0.①依题意知1－3k 2≠0，由根与系数的关系知x 1＋x 2＝6k3k 2－1，x 1x 2＝63k 2－1. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1＝6(1＋k 2)3k 2－1－6k 23k 2－1＋1＝－23，解得k ＝±12， 当k ＝±12时，判别式Δ＝15>0，方程①有两个不等的实数根，满足条件．故直线l 方程为y ＝12x －1或y ＝－12x －1.。

2.3.2 双曲线的简单几何性质课前导引问题导入中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1、F 2，且|F 1F 2|=132，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.（1）求两曲线的方程；（2）若P 为两曲线的交点，求cos ∠F 1PF 2.思路分析：（1）设两曲线的方程分别为2222b y a x +=1，2222n y m x -=1. 则半焦距c=13. 由已知得⎪⎩⎪⎨⎧==-7:3:4m c a c m a =3∶7，解得⎩⎨⎧==,6,7b a ⎩⎨⎧==.2,3n m 故所求两曲线方程分别为364922y x +=1及4922y x -=1. （2）设∠F 1PF 2=θ，由余弦定理得：|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cosθ=52.由椭圆定义得：|PF 1|2+2|PF 1|·|PF 2|+|PF 2|2=196.由双曲线定义得：|PF 1|2-2|PF 1|·|PF 2|+|PF 2|2=36.由②-①得：|PF 1|·|PF 2|·（1+cosθ）=72.由①-③得：|PF 1|·|PF 2|·（1-cosθ）=8. ∴872cos 1cos 1=-+θθ=9. 解得cosθ=54，∴所求cos ∠F 1PF 2=54. 知识预览1.双曲线2222by a x -=1（a ＞0，b ＞0）在不等式___________区域内. 答案：x≥0与x≤-a 所表示2.双曲线2222by a x -=1(a ＞0,b ＞0)关于____________对称.双曲线的对称中心叫做双曲线的______________.答案：两个坐标轴和原点 中心3.在双曲线的标准方程2222by a x -=1(a ＞0，b ＞0)中，点A 1(-a,0)、A 2(a,0)叫做双曲线的________________.线段A 1A 2叫做双曲线的_____________，线段B 1B 2〔B 1(0,-b),B 2(0,b)〕叫做双曲线的______________.直线_____________叫做双曲线的渐近线. 答案：顶点 实轴 虚轴 y=±ab x4.实轴和虚轴等长的双曲线叫做___________________.答案：等轴双曲线5.双曲线的___________________________,叫做双曲线的离心率. 答案：焦距与实轴长的比6.双曲线2222by a x =1的渐近线方程为_______________,即_______________________. 答案：a x ±b y =0 y=±a b x。

课时分层作业(十一) 双曲线的简单几何性质(建议用时：60分钟)一、选择题1．已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A ．x 24－y 24＝1 B ．y 24－x 24＝1 C ．y 24－x 28＝1D ．x 28－y 24＝1B[由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2a ＋2b ＝2×2c ，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2．易知双曲线的焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程为y 24－x 24＝1．]2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24－y 23＝1 B ．x 29－y 216＝1 C ．x 216－y 29＝1D ．x 23－y 24＝1C [∵e ＝c a ＝54，右焦点F 2(5,0)， ∴c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9， ∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1．]3．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C．4 D．4 2C[由已知得e＝ca＝2，所以a＝12c，故b＝c2－a2＝32c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±ba x＝±3x，由焦点到渐近线的距离为3，得32c＝3，解得c＝2，故2c＝4，故选C．]4．若实数k满足0<k<5，则曲线x216－y25－k＝1与曲线x216－k－y25＝1的()A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等D[若0<k<5，则5－k>0,16－k>0，故方程x216－y25－k＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k，焦距2c＝221－k，离心率e＝21－k4；同理方程x216－k－y25＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为16－k，虚半轴的长为5，焦距2c＝221－k，离心率e＝21－k16－k．可知两曲线的焦距相等，故选D．]5．已知双曲线x24＋y2m＝1的离心率e∈(1,2)，则m的取值范围是()A．(－12,0) B．(－∞，0) C．(－3,0) D．(－60，－12)A[因为双曲线x24＋y2m＝1的实半轴长a＝2，虚半轴长为－m，c＝4－m为半焦距，所以离心率e＝4－m 2．又因为e∈(1,2)，所以1<4－m2<2，解得－12<m <0．]二、填空题6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线方程为________．x 24－y 2＝1 [由题意可得⎩⎨⎧b a ＝12，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求双曲线方程为x 24－y 2＝1．]7．若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是________． (1，2) [e 2＝1＋1a 2，由a >1得1<e 2<2． 所以1<e <2．]8．若直线x ＝2与双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，且△AOB 的面积为8，则焦距为________．25 [双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则A (2,2b )，B (2，－2b )，|AB |＝4b ，从而S △AOB ＝12×4b ×2＝8．解得b ＝2，所以c 2＝5，从而焦距为25．] 三、解答题9．已知圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆C ：x 250＋y 225＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．[解] 椭圆C ：x 250＋y 225＝1的两焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 故双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5．设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则G 的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25． ∵圆M 的圆心为(0,5)，半径为r ＝3， ∴|5a |a 2＋b2＝3⇒a ＝3，b ＝4．∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1．10．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围．[解] (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2． 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1． (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由直线l 与双曲线交于不同的两点得：⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)>0，即k 2≠13且k 2<1． ①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3． ② 由①②得13<k 2<1．故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A ．355B ．62C ．32D ．55A [曲线C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3,0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b 2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A ．]2．设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32B [由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ．因为D ，E 分别为直线x ＝a 与双曲线C 的两条渐近线的交点，所以不妨设D (a ，b )，E (a ，－b )，所以S △ODE ＝12×a ×|DE |＝12×a ×2b ＝ab ＝8，所以c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16，所以c ≥4，所以2c ≥8，所以C 的焦距的最小值为8，故选B ．]3．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e 为________．3＋1 [以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，则M 在y 轴上，可设|F 1F 2|＝2c ，M 在y 轴正半轴，则M (0，3c )，又F 1(－c,0)，则边MF 1的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2，32c ，代入双曲线方程，可得c 24a 2－3c 24b 2＝1，由于b 2＝c 2－a 2，e ＝c a ，则有e 2－3e 2e 2－1＝4，即有e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，由于e >1，即有e ＝1＋3．]4．已知直线l ：x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则实数m 的值是________．±1[由⎩⎨⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1消去y 得x 2－2mx －m 2－2＝0．则Δ＝4m 2＋4m 2＋8＝8m 2＋8>0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝4m ，所以线段AB 的中点坐标为(m,2m )．又点(m,2m )在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5，得m ＝±1．]5．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)求△F 1MF 2的面积．[解] (1)因为离心率e ＝2，所以a 2＝b 2，设所求双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，知λ＝42－(－10)2＝6，所以双曲线方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y26＝1．(2)若点M (3，m )在双曲线上，则32－m 2＝6，所以m 2＝3． 由双曲线x 2－y 2＝6知，F 1(23，0)，F 2(－23，0)，所以MF 1→·MF 2→＝(23－3，－m )·(－23－3，－m )＝9－(23)2＋m 2＝0． 所以MF 1→⊥MF 2→，所以点M 在以F 1F 2为直径的圆上． (3)S △F 1MF 2＝12×2c ×|m |＝c |m |＝23×3＝6．。

练习七一、选择题1．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程应是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝12．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( ) A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线3．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x4．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．45．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( ) A.3 B.62 C.63 D.336．已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．1<e <5－2B ．1<e <2C ．1<e <3D ．1<e <2＋ 5二填空题7．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________．8．已知双曲线与椭圆x 2＋4y 2＝64共焦点，它的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则双曲线的方程为________．三解答题9．双曲线与圆x 2＋y 2＝17有公共点A (4，－1)，圆在A 点的切线与双曲线的一条渐近线平行，求双曲线的标准方程．10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，焦距为2c ，左顶点为A ，虚轴的上端点为B (0，b )，若BA →·BF→＝3ac ，求该双曲线的离心率．练习七1.C ；2.C ；3.D ；4.C ；5.B ；6.D ；7. 1；8. x 236－y 212＝1；9. [解析] ∵点A 与圆心O 连线的斜率为－14，∴过A 的切线的斜率为4.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±4x .设双曲线方程为x 2－y 216＝λ.∵点A (4，－1)在双曲线上，∴16－116＝λ，λ＝25516.∴双曲线的标准方程为x 225516－y 2255＝1.10. [解析] 由条件知F (c,0)，A (－a,0)， ∴BA→＝(－a ，－b )，BF →＝(c ，－b )， ∵BA →·BF→＝3ac ，∴－ac ＋b 2＝3ac ， 又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－4ac ＝0，∵e >1，∴e ＝c a ＝2＋ 5.。

2.3.2 双曲线的简单几何性质【学习目标】1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a ，b ，c ，e 间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．【学习过程】一、自主学习知识点一 双曲线的范围、对称性(1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中要求x ∈ ，y ∈R . 双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)中要求x ∈R ，y ∈ (2)双曲线的对称轴为 ，对称中心为 ．知识点二 双曲线的顶点梳理 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的顶点坐标为 ， ； 双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的顶点坐标为 ， ． 知识点三 渐近线与离心率(1)渐近线：直线y ＝±b a x 叫做双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线． (2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比c a叫做双曲线的离心率，用e 表示(e >1)． (3)双曲线的几何性质见下表标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)图形性范围 x ≥a 或x ≤－a y ≤－a 或y ≥a质 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点顶点坐标：A 1(－a,0)，A 2(a,0) 顶点坐标：A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b a x y ＝±a b x 离心率 e ＝c a，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 a ，b ，c 间的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0) 问题1观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？问题2(1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？探究点1 由双曲线方程研究其几何性质例1 求双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标、焦点坐标、半实轴长、半虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．探究点2 由双曲线的几何性质确定标准方程例2 求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆y 225＋x 216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)； (3)过点(3,92)，离心率e ＝103.探究点3 直线与双曲线的位置关系例3 已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4.(1)若直线与双曲线没有公共点，求k 的取值范围；(2)若直线与双曲线只有一个公共点，求k 的取值范围．三、当堂测试1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 22．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( ) A ．－4 B ．－3 C ．2 D ．13．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a ＞0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( ) A.3414 B.324 C.32 D.434．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( )A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1C.y 218－x 218＝1D.x 218－y 218＝1 5．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________． 6．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．四、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?五、学后反思 1、我的疑问：2、我的收获：。

课后训练1．双曲线的实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，那么它的离心率为()A．43B．53C．2 D．32倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A．22=144x y-B．22=144y x-C．22=148y x-D．22=184x y-3．过点(2，－2)且与22=12xy-有公共渐近线的双曲线方程为()A．22=142x y-+B．22=142x y-C．22=124x y-+D．22=124x y-4．F1，F2是双曲线C的两个焦点，P是双曲线右支上一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为()A．B．C．3D．5．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m＝()A．1 B．2C．3 D．46．已知双曲线2222=1x ya b-的离心率为2，焦点与椭圆22=1259x y+的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．7．双曲线22=12516y x-的渐近线方程为__________．8．若双曲线22=149x yk++的离心率为2，则k的值是__________．9．根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．(1)过点P (3,，离心率2e =； (2)焦点在x 轴上，F 1，F 2是双曲线的左，右焦点，P 是双曲线上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，12PF F S ∆，且离心率为2.10．如图所示，已知F 1，F 2为双曲线2222=1(0,0)x y a b a b->>的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°.求双曲线的渐近线方程．参考答案1.答案：B因为双曲线的实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，所以4b＝2a＋2c，即a＋c＝2b，再由a2＋b2＝c2即可求得离心率53 e=.2.答案：B由方程组2222,22,,aa ba b c=⎧⎪==⎨⎪+=⎩得a＝2，b＝2.∵双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的标准方程为22=1 44y x-.3.答案：A由题意可设双曲线方程为22=2xy k-，又双曲线过点(2，－2)，代入即可求得k，从而求出双曲线方程为22=1 42x y-+.4.答案：A由△PF1F2为等腰直角三角形，又|PF1|≠|PF2|，故必有|F1F2|＝|PF2|，即22bca=，从而得c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0，解之，得1e=∵e＞1，∴e=5.答案：D双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)，一个顶点10,3⎛⎫⎪⎝⎭，一条渐近线3y－mx＝0，145m=⇒=.6.答案：(±4,0)y±=∵椭圆22=1259x y+的焦点坐标为(±4,0)，∴双曲线的焦点坐标为(±4,0)，∴c＝4，=2ca，c2＝a2＋b2，∴a＝2，b2＝12，∴双曲线方程为22=1412x y -，∴渐近线方程为by x a =±=0y ±=. 7. 答案：54y x =± 利用公式a y x b =±可得渐近线方程为54y x =±.8. 答案：－31 利用双曲线的定义及离心率公式即可求得k ＝－31.9. 答案：解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设2222=1x y a b -为所求．由e =得2254c a =.①由点P (3,-在双曲线上，得2292=1a b -.② 又a 2＋b 2＝c 2，由①②得a 2＝1，214b =.若双曲线的焦点在y 轴上，设2222=1y x a b -为所求．同理有2254c a =，2229=1a b-，a 2＋b 2＝c 2.解之，得2172b =-(舍去)．故所求双曲线的标准方程为22=114y x -. (2)设双曲线的标准方程为2222=1x y a b -，因|F 1F 2|＝2c ，而==2ce a，由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c .由余弦定理，得(2c )2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|·(1－cos 60°)，∴4c 2＝c 2＋|PF 1|·|PF 2|.又∵1212PF F S ∆=12sin 60PF PF ⋅⋅︒ ∴|PF 1|·|PF 2|＝48.∴3c 2＝48，c 2＝16，由此得a 2＝4，b 2＝12.故所求双曲线的标准方程为22=1412x y -.10. 答案：分析：由于双曲线2222=1x y a b -的渐近线方程为b y x a =±，故只需求出ba的值即可，可以通过已知解Rt △F 1F 2P 求得．解：解法一：设F 2(c,0)(c ＞0)，P (c ，y 0)代入方程得20b y a =±，∴22||=b PF a .在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°，∴122||F F ，即22b c a=.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2.∴ba=故所求双曲线的渐近线方程为=y ±. 解法二：∵在Rt △PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2|PF 2|.由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a .∴122||F F .∴2c =，c 2＝3a 2＝a 2＋b 2.∴2a 2＝b 2.∴ba=，故所求双曲线的渐近线方程为=y ±.。

数学人教B选修2-1第二章2.3.2 双曲线的几何性质1．理解并掌握双曲线的几何性质．2．能根据这些几何性质解决一些简单问题．________________________________对称轴：________对称中心：______对称轴：________对称中心：______顶点坐标A1____，A2____顶点坐标____，A2________________________与椭圆的标准方程相比较，在双曲线的标准方程中，a，b只限制a＞0，b＞0，二者没有大小要求．若a＞b＞0，a＝b＞0,0＜a＜b，双曲线的离心率受到影响．因为e＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫ba2，故当a＞b＞0时，1＜e＜2，当a＝b＞0时，e＝2(亦称等轴双曲线)，当0＜a＜b时，e＞ 2.【做一做1－1】已知双曲线的方程为2x2－3y2＝6，则此双曲线的离心率为()A．32B．52C．153D．253【做一做1－2】已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则其标准方程为________________．1．对有共同渐近线的双曲线系方程的理解剖析：若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝±1与双曲线x 2a ′2－y 2b ′2＝±1有相同的渐近线，即两对直线x a ±yb＝0与x a ′±y b ′＝0分别重合，则必有a a ′＝b b ′＝1k(k ＞0)．故a ′＝ka ，b ′＝kb . 反之，易求得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝±1与x 2(ka )2－y 2(kb )2＝±1有相同的渐近线y ＝±ba x ，故与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝±1有相同的渐近线的双曲线系方程为x 2(ka )2－y 2(kb )2＝±1.上述方程可简化为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．那么在已知渐近线方程的情况下，利用双曲线系x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)求双曲线方程较为方便．2．已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率的方法剖析：设双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，其中y ＝bax 的倾斜角为θ.若双曲线的焦点在x轴上，则e ＝1cos θ；若双曲线的焦点在y 轴上，则e ＝1sin θ.显然a ，b ，c 可以看成一个直角三角形的三条边．题型一 已知双曲线方程求其几何性质【例1】求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．分析：将双曲线方程变为标准方程，确定a ，b ，c 后求解．反思：求双曲线几何性质必须先把方程化为标准形式，作几何图形时，应先画出两条渐近线和两个顶点．题型二 已知双曲线的几何性质求双曲线方程【例2】已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，且过点M (1，15)，求双曲线的方程．分析：应先根据渐近线方程设出双曲线方程，再代入点M 的坐标求解．反思：要注意在已知渐近线的情况下双曲线方程的设法，即已知渐近线方程为x a ±yb＝0或y ＝±ba x 时，设双曲线方程为⎝⎛⎭⎫y ＋b a x ⎝⎛⎭⎫y －b a x ＝m (m ≠0)． 题型三 与双曲线的渐近线有关的问题【例3】双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程为______．反思：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程，一般有两种方法，即①代入y ＝±bax 得渐近线方程．②令x 2a 2－y 2b 2＝0得x a ±yb ＝0，即y ＝±bax .此法简明有效．题型四 求双曲线的离心率【例4】双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作等边三角形MF 1F 2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为( )A ．3＋1B ．4＋2 3C ．23－2D ．23＋2反思：双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a2，因此要求离心率，只要找到a ，b ，c 三者之间任意两者的关系式即可．1．(2010·安徽高考，文5)双曲线的方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．⎝⎛⎭⎫22，0 B ．⎝⎛⎭⎫52，0C ．⎝⎛⎭⎫62，0 D ．()3，02．双曲线x 225－y 29＝1的顶点坐标是( )A ．(±5,0)B ．(±5,0)或(0，±3)C ．(±4,0)D ．(±4,0)或(0，±3)3．双曲线x 225－y216＝1的离心率是( )A ．35B ．53C ．415D ．5414．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为x3＋y ＝0，则此双曲线的离心率为______．5．已知以原点O 为中心，F (5，0)为右焦点的双曲线C 的离心率e ＝52.求双曲线C的标准方程及其渐近线方程．答案： 基础知识·梳理1．x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 坐标轴 原点 坐标轴 原点 (－a,0) (a,0) (0，－a )(0，a ) y ＝±b a x y ＝±a b x ca(1，＋∞) a 2＋b 2A 1A 2 2aB 1B 2 2b a b 2b 2a【做一做1－1】C 双曲线的方程可化为x 23－y 22＝1，∴a ＝3，c ＝5， ∴e ＝153.【做一做1－2】x 24－y 212＝1 ∵ca ＝2，c ＝4，∴a ＝2，b ＝23，∴双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.典型例题·领悟 【例1】解：将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，所以a ＝3，b ＝2，c ＝13. 因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .作出草图如下：【例2】解：渐近线方程为y ＝±3x 的双曲线方程可设为(y ＋3x )(y －3x )＝m ，即y 2－3x 2＝m .将M (1，15)代入上式，得m ＝12， 所以双曲线的方程为y 2－3x 2＝12，即y 212－x 24＝1. 【例3】y ＝±2x 利用渐近线的定义求解． 方法一：方程x 24－y 28＝1，即为x 222－y 2(22)2＝1，∴a ＝2，b ＝2 2.∴双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程为y ＝±2x .方法二：令x 24－y 28＝0，即x 2＋y 22＝0，或x 2－y22＝0，即y ＝－2x ，或y ＝2x .∴双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程为y ＝±2x .【例4】A |F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c ，又∵|NF 1|－|NF 2|＝2a ， 即3c －c ＝2a . ∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.随堂练习·巩固1．C 由双曲线的方程，可知a 2＝1，b 2＝12，c 2＝32，从而c ＝62， 所以双曲线的右焦点为⎝⎛⎭⎫62，0.2．A3．C 利用双曲线的标准方程求得a ，b ，c ，即可得到离心率的值． 4．103 渐近线方程为x 3＋y ＝0，∴b a ＝13. 又a 2＋b 2＝c 2，从而c a ＝103，即e ＝103.5．分析：由题意可知焦点在x 轴上，所以可设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，再由离心率知c a ＝52，又因为c ＝5，从而可求得a ，b ，即可求得双曲线C 的标准方程及其渐近线方程．解：设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则由题意c ＝5，e ＝c a ＝52，得a ＝2，b ＝c 2－a 2＝1，所以双曲线C 的标准方程为x 24－y 2＝1.所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x .。

2.2.2 双曲线的简单几何性质1.双曲线14522=-y x 的实轴长等于______，虚轴长等于______，焦点坐标是______，离心率是______，渐近线方程是______ .2.双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点F \、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（ ） A.3 B.26 C. 36 D. 33 3.已知双曲线的离心率等于2，且过点M （2，-3），此双曲线标准方程是______.4.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）顶点在x 轴上，两顶点的距离是8，e =45. （2）焦点在y 轴上，焦距是16，e =34.5.求以椭圆15822=+y x 的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程.6.等轴双曲线的一个焦点是F 1（-6，0），求它的标准方程和渐近线方程.7. 求以曲线2x 2+y 2-4x -10=0和y 2=2x -2的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程.8. 已知双曲线的渐近线方程为3x ±2y =0，两条准线间的距离为131316,求双曲线标准方程.9. 中心在原点，一个焦点为F （1，0）的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为m ，求双曲线标准方程.参考答案 1. 25 4 F 1（-3，0），F 2（3，0） 553 y =±552x 2. B 3. 123323132222=-=-x y y x 或 4.（1）191622=-y x (2)1283622=-y x 5.15322=-y x 6.1181822=-y x ;渐近线方程为y =±x 7. ∵ 2x 2+y 2-4x -10=0, y 2=2x -2∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==2323y x y x 或 ∴渐近线方程为y =±32x 当焦点在x 轴上时， 由32=a b 且a =6,得b =4. ∴所求双曲线方程为1163622=-y x 当焦点在y 轴上时， 由32=b a ,且a =6,得b =9. ∴所求双曲线方程为1813622=-x y 8. ∵双曲线渐近线方程为y =±23x ∴设双曲线方程为19422=-y x λ(λ≠0) （1）若λ＞0,则a 2=4λ,b 2=9λ∴准线方程为：x =±λ131342±=c a ∴13131613138=λ∴λ=4(2)若λ＜0,则a 2=-9λ,b 2=-4λ∴准线方程为：y =±131392λ-±=c a ∴131316131318=-λ ∴λ=-8164 ∴所求双曲线方程为：1361622=-y x 或12568164922=-x y 9. 设双曲线的标准方程为12222=-b y a x ,则⎪⎩⎪⎨⎧===+m b a c b a 221222 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=11122222m b m m a ∴111122222=+-+m y m m x 为所求双曲线的标准方程.。

1．已知双曲线C ：x 2－y 24＝1，过点P (1,2)的直线l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，点P 在渐近线上，双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P 且与双曲线相切的切线只有一条．过点P 平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．答案：B2．如图，ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab (ab ≠0)所表示的图形只可能是( )解析：直线方程可化为y ＝ax ＋b ，曲线方程可化为x 2a ＋y 2b ＝1.对于A ，直线中a >0，b >0，此时曲线表示椭圆，故A 不正确；对于B 、D ，由椭圆知直线斜率应满足a >0，而由B ，D 知直线斜率均为负值，故B ，D 不正确；由C 中直线可知a >0，b <0，曲线方程即为x 2a －y 2－b ＝1，表示焦点在x 轴上的双曲线．答案：C3．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若AB ＝12BC ，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 5D.10解析：右顶点为A (a,0)，则直线方程为x ＋y －a ＝0，可求得直线与两渐近线的交点坐标B (a 2a ＋b ，ab a ＋b )，C (a 2a －b ，－ab a －b )，则BC ＝(2a 2b a 2－b 2，－2a 2b a 2－b 2)，AB ＝(－ab a ＋b ，aba ＋b).又2AB ＝BC ，∴2a ＝b ，∴e ＝ 5. 答案：C4．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点.若△ABF 2为直角三角形，则双曲线的离心率为 ( )A ．1＋ 2B ．1±2 C. 2D.2±1解析：∵△ABF 2是直角三角形， ∴∠AF 2F 1＝45°， |AF 1|＝|F 1F 2|，b 2a ＝2c . ∴b 2＝2ac ，∴c 2－a 2＝2ac ， ∴e 2－2e －1＝0. 解得e ＝1±2.又e >1， ∴e ＝1＋ 2. 答案：A5．过双曲线x 24－y 2b 2＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值为________．解析：由双曲线方程知a ＝2. MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝2a ＋|MF 1|＋2a ＋|NF 1|－|MN | ＝4a ＋|MN |－|MN | ＝4a ＝8. 答案：86．(2011·山东高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c ＝7，e ＝274＝c a ，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线的方程是x 24－y 23＝1.答案：x 24－y 23＝17．双曲线C 的中心在坐标原点，顶点为A (0，2)，A 点关于一条渐近线的对称点是B (2，0)，斜率为2且过点B 的直线l 交双曲线C 于M ，N 两点，求：(1)双曲线的方程； (2)|MN |.解：(1)依题意可设双曲线方程为y 22－x 2b 2＝1，线段AB 以中垂线y ＝x即渐近线，∴b 2＝2，双曲线方程为y 22－x 22＝1. (2)MN 的方程为y ＝2(x －2)， ⎩⎪⎨⎪⎧y 22－x 22＝1，y ＝2(x －2)⇒3x 2－82x ＋6＝0. Δ＝56>0，x 1＋x 2＝823，x 1x 2＝2，∴|MN |＝1＋22|x 1－x 2|＝ 5 ·64×29－8＝2703. 8．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 且垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．已知|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且BF 与FA 同向．(1)求双曲线的离心率；(2)设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：(1)设OA ＝m －d ，AB ＝m ，OB ＝m ＋d . 由勾股定理可得 (m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2， 得d ＝14m ，tan ∠AOF ＝b a ，tan ∠AOB ＝tan 2∠AOF ＝AB OA ＝43.由倍角公式得2b a 1－(b a )2＝43，解得b a ＝12，则离心率e ＝52.(2)直线AB 的方程为y ＝－a b (x －c )，与双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1联立消y 并将a ＝2b ，c ＝5b 代入，化简有154b2x2－85b x＋21＝0.设交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则＝1＋(ab)2|x1－x2|＝[1＋(ab)2][(x1＋x2)2－4x1x2]＝４，将数值代入，有4＝5[(325b15)2－4·28b25]，解得b＝3，故所求的双曲线方程为x236－y29＝1.。

第二章 2.3 课时作业 20一、选择题1．以下列图， ax －y ＋ b ＝ 0 和 bx 2＋ay 2＝ ab(ab ≠0)所表示的曲线只可能是( )2 2分析： 直线方程可化为y ＝ax ＋ b ，曲线方程可化为x＋ y＝ 1，若 a>0，b>0，则曲线表a b示椭圆，故 A 不正确．对于 B 、D ，由椭圆知直线斜率应知足a>0，而由 B ， D 知直线斜率均为负值，故 B ，D 不正确．由 C 可知 a>0， b<0.答案： C2．设双曲线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为B ，假如直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. 2B. 3C. 3＋1D.5＋ 122分析： 设双曲线方程为x 2y 2F( c,0) ，虚轴端点为 B(0，a 2－b 2＝1(a ，b>0) ，不如设一个焦点为 b)，则 k FB ＝－ bb，因此由直线垂直关系得－b b ＝－ 1( －b 明显不切合 )，c 又渐近线的斜率为 ±·aac a 即 b 2＝ ac ，2222222－ e －1＝ 0，解得 e ＝ 5＋ 1又 c － a ＝ b ，故 c－a ＝ ac ，两边同除以 a ，得方程 e2 (舍负) ．答案： D3．已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 订交于 A ，B 两点，且 AB 的中点为 N( － 12，－ 15)，则 E 的方程为 ()222－y2 x －y＝1B.x ＝ 1A. 364 52 22－y2C.x － y＝ 1D.x ＝ 16 35 4x 2y 222分析：设双曲线的标准方程为 a 2－ b 2＝ 1(a>0，b>0)，由题意知 c ＝ 3，a＋b ＝9.设 A(x 1，2 2x 1 y 1 ＝1222－2a 2b ，两式作差得 y 1－ y 2 ＝bx 1＋ x 2＝ － 12b ＝4by 1)，B( x 2 ，y2222)，则21－ x 21＋ y 225a.又直线 ABx 2y2ay－ 15axa 2－b 2＝ 1的斜率是 －15－ 0 ＝1，因此 4b 2 ＝5a 2.－12－ 322代入 a 2＋b 2＝9 得 a 2＝ 4，b 2＝ 5，因此双曲线的标准方程是x － y＝ 1.4 5答案： B2 24． [2013 浙·江省学军中学期中考试]如图， F 1、 F是双曲线 C ： x 2 y22a －b ＝ 1(a>0， b>0) 的左、右焦点， 过 F 1 的直线与 C 的左、 右两支分别交于A 、B 两点．若 |AB|∶ |BF 2|∶ |AF 2|＝ 3∶4∶ 5，则双曲线的离心率为 ()A. 13B. 15C. 2D.3分析： 此题主要考察双曲线的几何性质．∵|AB |∶ |BF 2|∶ |AF 2 |＝ 3∶ 4∶ 5，不如令 |AB|＝ 3， |BF 2|＝ 4， |AF 2|＝ 5，∵ |AB|2＋ |BF 2|2＝ |AF 2 |2，∴∠ ABF 2＝ 90°，又由双曲线的定义得：|BF 1|－ |BF 2 |＝ 2a ，|AF 2|－ |AF 1|＝ 2a ，∴|AF 1|＋ 3－4＝ 5－ |AF 1 |，∴ |AF 1 |＝3，∴ 2a ＝|AF 2|－ |AF 1|＝ 2，∴a ＝ 1，|BF 1|＝ 6.在 Rt △ BF 1F 2 中，|F 1F 2|2＝ |BF 1|2＋ |BF 2|2＝ 36＋ 16＝ 52，又 |F 1 F 2 |2＝ 4c 2，∴4c 2＝52，∴ c ＝13，∴双曲线的离心率e ＝ c ＝a13，应选A.答案： A二、填空题5．已知双曲线 C ： x 2－ y 2＝ 1，F 是其右焦点，过 F 的直线 l 只与双曲线的右支有独一的交点，则直线 l 的斜率等于 __________ ．分析： 当直线 l 与双曲线的渐近线平行时，与双曲线的右支有独一交点，直线l 的斜率为±1.答案： ±16．直线 3x － y ＋ 3＝ 0 被双曲线 x 2－ y 2＝ 1 截得的弦 AB 的长为 __________．分析： 由3x － y ＋ 3＝ 0， 消去 y ，得x 2－ y 2＝ 1，x 2＋ 3x ＋ 2＝ 0.得 x 1＝－ 1， x 2＝－ 2，又 3x －y ＋ 3＝ 0∴当 x ＝－ 1 时， y ＝ 0，当 x ＝－ 2 时， y ＝－ 3.∴ AB ＝ － 1＋2＋0＋3 2＝ 2.答案： 27．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(7， 0)，直线 y ＝ x － 1 与其订交于 M 、 N 两点， MN 中点的横坐标为－2，则此双曲线的方程是__________ ．32 2分析： 设双曲线方程为 xya 2 －b 2＝ 1(a>0， b>0) ，依题意 c ＝ 7.x 2y 2∴方程可化为 a 2－ 7－ a 2＝ 1.x 2y 2由 a 2－ 7－a 2＝ 1，y ＝ x －1，得 (7－ 2a 2)x 2＋ 2a 2x － 8a 2＋a 4＝ 0.设 M(x 1， y 1)，N(x 2 ，y 2)，－ 2a 2则 x 1＋ x 2＝7－ 2a 2.∵x 1＋ x2＝－ 2，23∴－ a 22＝－ 2 2＝ 2. 7－ 2a 3，解得 ax 2 y 2 ∴双曲线的方程为 2 －5＝1.答案： x2－y 2＝12 5三、解答题8．直线 y ＝ ax ＋ 1 与双曲线 3x 2－y 2＝ 1 订交于 A ， B 两点．(1)求线段 AB 的长；(2)当 a 为什么值时，以 AB 为直径的圆经过坐标原点？y ＝ ax ＋1解： 由 3x 2－ y 2＝ 1，得 (3－ a 2)x 2－ 2ax － 2＝0，＝ 4a 2－ 4(3－ a 2)(－ 2)＝ 24－4a 2>0，∴ a ∈ (－ 6， 6)．设 A(x ， y1)， B(x 2 ， y ＋ x ＝ 2a 2， x1x 2 ＝ － 2 212)，则 x 12 3－ a3－ a.(1)|AB |＝x 1－ x 22＋ y 1－ y 22＝＋ a 2 x 1＋ x 22－ 4x 1x 2]＝＋ a22a2＋82 2 － a 2＋ a3－ a 23－ a 2]＝|3－ a 2| .(2)由题意知， OA ⊥ OB ，则 x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0，∴ x 1x 2＋ (ax 1＋ 1)(ax 2＋ 1) ＝0. 即 (1＋ a 2)x 1x 2＋a(x 1＋ x 2)＋ 1＝0，－ 2 2＋ a ·2a2＋ 1＝ 0，解得 a ＝ ±1.即 a ＝ ±1 时，以 AB 为直径的圆经过坐标∴ (1＋ a 2) ·3－ a3－ a原点．x 2 y 29． [2013 东·北育才学校模考 ]双曲线 C 与椭圆 8 ＋ 4 ＝ 1 有同样的焦点，直线 y ＝ 3x 为C 的一条渐近线．(1)求双曲线 C 的方程；(2)过点 P(0,4)的直线 l ，交双曲线C 于 A ，B 两点， 交 x 轴于点 Q(点 Q 与 C 的极点不重→＝ λ → ＝ λ → 8合) ．当 PQ ，且 λ＋ λ＝－ 时，求点 Q 的坐标．1QA 2QB 12 32 2解： 由椭圆 x ＋ y＝ 1 求得两焦点为 (－ 2,0)， (2,0)，84∴对于双曲线C ： c ＝ 2，设双曲线方程为 x 2 y 2a 2－b 2＝ 1，又 y ＝3x 为双曲线 C 的一条渐近线，∴ b ＝ 3，a 又由于 a 2＋b 2＝c 2，能够解得 a 2＝ 1， b 2＝3，22y∴双曲线 C 的方程为 x －＝ 1.(2)由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零． 设 l 的方程： y ＝ kx ＋ 4， A(x 1， y 1)，B(x 2， y 2)，则 Q(－ 4， 0)，k→→4 ＋ 4， y ∵ PQ ＝ λ，∴ ( － ，－ 4)＝ λ1QAk 1(x 1 k1)，－4＝ λ＋44 4x 1＝－k λ－ k ∴k1x 1 k?14－ 4＝ λ＝－1y 1y 1λ1∵ A(x ， y16 1＋ λ1 2162 (λ1)－2－ 1＝ 0，11)在双曲线C 上，∴ k 3λ1∴ (16－ k 2 2＋ 32λ＋ 16－ 16 2＝ 0.) λ113k同理有： (16－ k22＋ 32λ＋ 16－16 2＝ 0.)λ223k若 16－ k 2＝0，则直线 l 过极点，不合题意，∴ 16－k 2≠0，∴ λ， λ是二次方程 (16－ k22＋ 32x ＋ 16－16 2＝ 0 的两根，12)x3k∴ λ＋1 λ＝2 2 32 ＝－ 8，∴ k 2＝ 4，此时 >0，∴ k ＝ ±2.k － 16 3∴所求 Q 的坐标为 ( ±2,0)．。