双曲线的简单几何性质习题

知识回顾：二、讲解新课： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a, a 叫做虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-by a x 中，令y=0得ax ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x 轴为双曲线12222=-by a x 的对称轴，所以()0,),0,(21a A a A -与其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a.在方程12222=-by a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。

但Y 轴上的两个特殊点()b B b B -,0),,0(21把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混3．渐近线过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B作X 轴的平行线b y ±=矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ±=（0=±bya x ）分析：要证明直线x ab y ±=（0=±b ya x ）是双曲线12222=-by a x 的渐近线，即要证明随着X4．等轴双曲线a=b 结合图形说明：a=b 时，双曲线方程变成222a y x =-(或)2b ，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为x y ±= 它们互相垂直且平分5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x6．双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的三、讲解范例：例1 求双曲线1422=-y x 的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近例2 求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K 例2 (1)已知双曲线的两条渐近线方程是xy 23±=，焦点坐标是)26,0(-，)26,0(，求双曲线的标准方程．(2)求与双曲线13422=-x y 有共同的渐近线，且经过点)2,3(-M 的双曲线的标准方程．（2）已知双曲线的一条渐近线方程是043=+y x ，且焦距为8，求此双曲线的离心率及标准方程．四、课堂练习：1．下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是12)(12)(1164)(1416)(22222222=-=-=-=-y x D y x C y x B y x A24.过点(3,0)的直线l 与双曲线4x 2-9y 2=36只有一个公共点,则直线l 共有 (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条34.若方程ak 4y a k 3x 22-++=1表示双曲线，其中a 为负常数，则k 的取值范围是( )(A)(3a ,-4a ) (B)(4a ,-3a ) (C)(-3a ,4a ) (D)(-∞,4a )∪(-3a,+∞)45.中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是(A)138********x y -= (B)13361381122x y -= (C)536554122x y -= (D)554536122x y -=55.与双曲线x y 22916-=λ有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程是（ ）(A)x y 22144811-= (B)--=x y 22144811 (C)x y 221691-= (D)-+=x y 22274811(/)65.一双曲线焦点的坐标、离心率分别为(±5，0)、32，则它的共轭双曲线的焦点坐标、离心率分别是 （ ） (A)(0，±5)，35 (B)(0，±532)， (C)(0，±532)， (D)(0，±535)，75.双曲线2kx 2-ky 2=1的一焦点是F(0，4)，则k 等于 ( )１．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为)2,0(，则双曲线的标准方程为 ．２．双曲线与椭圆1641622=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线方程为 ．３．双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为 ．４．中心在原点，离心率为35的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为 ．５．与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且经过点)32,3(-A 的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ．五、小结 ：双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线草图的画法；双曲线12222=-by a x 的渐近线是x aby ±=，但反过来此渐近线对应的双曲线则是)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x λ=-2222b y a x。

3.2.2 双曲线的简单几何性质第1课时 双曲线的简单几何性质一、选择题1.已知双曲线的方程为x 2-8y 2=32,则该双曲线的( ) A .实轴长为4√2,虚轴长为2B .实轴长为8√2,虚轴长为4C .实轴长为2,虚轴长为4√2D .实轴长为4,虚轴长为8√22.双曲线x 24-y 29=1的离心率为 ( )A .√132B .√133C .32D .433.点(3,0)到双曲线x 216-y 29=1的一条渐近线的距离为 ( ) A .95 B .85 C .65D .45 4.已知双曲线C :x 24-y 23=m (m ≠0),则当实数m 变化时,这些双曲线有( ) A .相同的焦点B .相同的实轴长C .相同的离心率D .相同的渐近线 5.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),过左焦点F 作一条渐近线的垂线,记垂足为P ,点Q 在双曲线上,且满足FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则双曲线的离心率为 ( )A .√5B .√3C .√2D .26.[2024·重庆八中高二期中] 如图所示的冷却塔的侧面是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,已知该冷却塔的上口半径为3 cm,下口半径为4 cm,高为8 cm,则冷却塔的最小直径为 ( )A .√5748 cm B .√2878 cm C .√5744 cm D .√2874 cm7.[2024·深圳中学高二期中] 已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),点B 的坐标为(0,b ),若C 上的任意一点P 都满足|PB|≥b ,则C 的离心率的取值范围是 ( )A .(1,√5+12]B .[√5+12,+∞)C .(1,√2]D .[√2,+∞)8.(多选题)[2024·湖南雅礼中学高二月考] 已知曲线x 2m -2+y 24-m =1(m ∈R),则下列说法正确的是 ( )A .若该曲线是双曲线,则m>4或m<2B .若m ∈(2,4),则该曲线为椭圆C .若该曲线的离心率为√32,则m=125D .若该曲线为焦点在y 轴上的双曲线,则离心率e ∈(1,√2)9.(多选题)已知双曲线y 29-x 216=1的上、下焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线上,则下列结论正确的是 ( )A .双曲线的离心率为2B .双曲线的渐近线方程为y=±34x C .若PF 1⊥PF 2,则△PF 1F 2的面积为9D .点P 到两条渐近线的距离的乘积为14425 二、填空题10.已知双曲线C :x 26-y 23=1,则C 的右焦点的坐标为 ,C 的焦点到其渐近线的距离是 .11.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√103,双曲线上的点到焦点的最小距离为√10-3,则双曲线上的点到点A (5,0)的最小距离为 .12.[2024·河南商丘部分学校高二期中] 已知F 1(-c ,0),F 2(c ,0)分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,M 是C 右支上的一点,∠F 1MF 2=θ,△MF 1F 2的周长为4a+2c ,面积为3√352a 2cos θ,则C 的离心率为 .三、解答题13.求下列双曲线的标准方程.(1)与双曲线x 29-y 23=1有共同的渐近线,并且经过点(√6,-1); (2)等轴双曲线C 与椭圆x 210+y 26=1有公共的焦点;(3)双曲线C 的渐近线方程为y=±√3x ,两顶点间的距离为6.14.[2024·安徽滁州九校高二期中] 已知双曲线C:x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.(1)若点A的坐标是(0,b),且△AF1F2的面积为√2a2,求双曲线C的渐近线方程;(2)若以F1F2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,且|F1P|=√3|OP|(O为原点),求双曲线C的离心率.15.(多选题)已知F1,F2分别为双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且|F1F2|=2b2a,点P为双曲线右支上一点,I为△PF1F2的内心,若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2,则下列结论正确的是( )A.当PF2⊥x轴时,∠PF1F2=30°B.双曲线的离心率e=1+√52C.λ=√5-12D.点I的横坐标为定值a16.对于双曲线C1:x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0),定义C2:x2a2+y2b2=1为其伴随曲线,记双曲线C1的左、右顶点分别为A,B.(1)当a>b时,记双曲线C1的焦距为2c1,其伴随曲线C2的焦距为2c2,若c1=2c2,求双曲线C1的渐近线方程;(2)若双曲线C1:x 24-y22=1,弦PQ⊥x轴,记直线PA与QB的交点为M,求动点M的轨迹方程.。

课时作业(十一)[学业水平层次]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1D.y 28－x 28＝1【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)， ∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18，故双曲线方程为x 218－y 218＝1.【答案】 B2．(2014·天水高二考试)已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】 因为双曲线方程为x 2－y24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】 B3．(2014·大纲全国卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2【解析】 由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C.【答案】 C4．(2014·广东高考)假设实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解析】 假设0<k <5，则5－k >0,16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k 4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】 D二、填空题5．(2014·南京高二检测)在平面直角坐标系xOy 中，假设双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 【解析】 ∵c 2＝m ＋m 2＋4， ∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5， ∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2. 【答案】 26．(2013·辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．假设PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．【解析】 由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5,0)，且A (5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 447．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，假设点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x ，得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－ba x ，得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ， 则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2， ∵k AB ＝13，∴k CP ＝3b 2m 9b 2－a 2a 2m 9b 2－a2－m ＝－3，即3b 2a 2－(9b 2－a 2)＝－3，化简得a 2＝4b 2， 即a 2＝4(c 2－a 2)，∴4c 2＝5a 2， ∴e 2＝54，∴e ＝52. 【答案】 52 三、解答题8．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率．【解】由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上， ∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ， ∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a 2＝1. 又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24. ∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1. 由a 2＝24，c 2＝48， 得e 2＝c 2a 2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.9．(2014·玉溪高二检测)已知双曲线x 23－y 2b 2＝1的右焦点为(2,0)． (1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积． 【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2,0)，且双曲线方程为x 23－y 2b2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3＋b 2＝4，∴b 2＝1， ∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1. (2)∵a ＝3，b ＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ， 令x ＝－2，则y ＝±233，设直线x ＝－2与双曲线的渐近线的交点为A 、B ，则|AB |＝433，记双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形面积为S ，则S ＝12×433×2＝43 3.[能力提升层次]1．(2014·山东省实验中学高二检测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线离心率等于( )A.355B.62C.32D.55【解析】 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3,0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b 2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A.【答案】 A2．(2014·北京市东城区)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．假设在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0【解析】 由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D.【答案】 D3．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A 、B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．【解析】 双曲线的左焦点为F 1(－2,0)， 将直线AB 方程y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程， 得8x 2－4x －13＝0.显然Δ＞0， 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3.【答案】 34．(2014·安徽师大)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)假设直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围．【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)>0，即k 2≠13且k 2<1.① 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1， 于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，1.。

[学业水平训练] 1．双曲线y 29－x 216＝1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±43x B ．y ＝±34x C ．y ＝±169x D ．y ＝±916x 解析：选B.双曲线方程为y 29－x 216＝1， 则令y 29－x 216＝0，得渐近线方程为y ＝±34x . 2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析：选A.令y ＝0得，x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A. 3．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4 D.14解析：选A.由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m ＜0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1.又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m＝b 2＝4， ∴m ＝－14，故选A. 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 2C.52D.22解析：选B.由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a ＝b ，c ＝a 2＋b 2＝2a ，于是e ＝c a＝ 2. 5．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P (1,3)，离心率为2的双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1 C.x 28－y 28＝1 D.y 28－x 28＝1 解析：选D.由离心率为2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝2，即a ＝b ，∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．又点P (1,3)在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 28＝1.故选D. 6．(2014·岳阳质检)等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为________．解析：因等轴双曲线的焦点为(－6,0)，∴c ＝6，∴2a 2＝36，a 2＝18.∴双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1. 答案：x 218－y 218＝1 7．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________． 解析：双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝c a ＝4－k 2. 又∵e ∈(1,2)，则1＜4－k 2＜2，解得－12＜k ＜0. 答案：(－12,0)8．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：29．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)．解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 因为双曲线过点(3，－2)，则9a 2－2b2＝1.① 又e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝52， 故a 2＝4b 2.②由①②得a 2＝1，b 2＝14， 故所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. (2)由2a ＝2b 得a ＝b ，∴e ＝1＋b 2a2＝2， ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.∴双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1. 10．已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4.(1)若直线与双曲线没有公共点，求k 的取值范围；(2)若直线与双曲线只有一个公共点，求k 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －1x 2－y 2＝4， 得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0.①(1)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＜0， 解得k ＞52或k ＜－52， 则k 的取值范围为k ＞52 或k ＜－52. (2)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解．当1－k 2＝0，即k ＝±1时，①式方程只有一解；当1－k 2≠0时，应满足Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＝0，解得k ＝±52，故k 的值为±1或±52. [高考水平训练]1．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析：选B.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 1)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a2. 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1， 所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 2．已知点F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：不妨设双曲线方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 设点P 在该双曲线的右支上，点F 1，F 2分别是双曲线的左，右焦点，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a .由△PF 1F 2为等腰直角三角形得b 2a ＝2c ，c 2－a 2＝2ac ，c 2－a 2ac ＝2，e －1e＝2， 即e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2.又e ＞1，于是e ＝2＋1.答案：2＋13．(2014·汝阳高二检测)双曲线的离心率等于2，且与椭圆x 225＋y 29＝1有相同的顶点，求此双曲线的标准方程．解：∵椭圆x 225＋y 29＝1的顶点为(－5,0)，(5,0)，(0，－3)，(0,3)，当顶点为(－5,0)，(5,0)时，焦点在x 轴上，且a ＝5.又c a ＝c 5＝2，∴c ＝10，从而b 2＝75，∴标准方程为x 225－y 275＝1. 当顶点为(0，－3)，(0,3)时，焦点在y 轴上，且a ＝3.又e ＝c a ＝c 3＝2， ∴c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝36－9＝27，∴标准方程为y 29－x 227＝1. 综上可知，双曲线的标准方程为x 225－y 275＝1或y 29－x 227＝1. 4．已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1. (1)求与双曲线C 1有相同的焦点，且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程．(2)直线l ：y ＝x ＋m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A ，B 两点．当OA →·OB →＝3时，求实数m 的值．解：(1)双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1， ∴双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1. (2)双曲线C 1的渐近线方程为y ＝2x ，y ＝－2x ，设A (x 1,2x 1)，B (x 2，－2x 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 24＝0，y ＝x ＋m ，消去y 化简得3x 2－2mx －m 2＝0， 由Δ＝(－2m )2－4×3×(－m 2)＝16m 2＞0，得m ≠0.∵x 1x 2＝－m 23， OA →·OB →＝x 1x 2＋(2x 1)(－2x 2)＝－3x 1x 2，∴m 2＝3，即m ＝±3.。

双曲线的简单几何性质典型例题典型例题一例1 求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过()332-，A 点的双曲线方程及离心率．解法一：双曲线191622=-y x 的渐近线方程为：x y 43±= （1）设所求双曲线方程为12222=-by a x ∵43=a b ，∴a b 43= ① ∵()332-，A 在双曲线上∴191222=-ba ② 由①－②，得方程组无解（2）设双曲线方程为12222=-bx a y ∵43=a b ，∴a b 34= ③ ∵()332-，A 在双曲线上，∴112922=-ba ④ 由③④得492=a ，42=b ∴所求双曲线方程为：144922=-x y 且离心率35=e 解法二：设与双曲线191622=-y x 共渐近线的双曲线方程为：()091622≠=-λλy x ∵点()332-，A 在双曲线上，∴41991612-=-=λ ∴所求双曲线方程为：4191622-=-y x ，即144922=-x y ．说明：（1）很显然，解法二优于解法一．（2）不难证明与双曲线191622=-y x 共渐近线的双曲线方程()091622≠=-λλy x ．一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程()02222≠=-λλb y a x 求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数λ．（3）以上优美巧妙的解法，达到了化繁为易的目的．教学中，要引起重视．典型例题二例2 作方程21x y -=的图象．分析：∵21x y -=()()>-≤-?111122x x x x ∴方程图象应该是圆122=+y x 及双曲线122=-y x 在x 轴上方的图象．说明：在根据方程作出相应图象时，应遵循：“如果曲线C 的方程是()0=y x f ，，那么点()00y x P ，在曲线C 上的充要条件是()000=y x f ，”这一原则；另外，须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大，而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一部分．典型例题三例3 求以曲线0104222=--+x y x 和222-=x y 的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数．解：∵-==--+2201042222x y x y x ，∴==23y x 或-==23y x ，∴渐近线方程为x y 32±= 当焦点在x 轴上时，由3 2=a b 且6=a ，得4=b ．∴所求双曲线方程为1163622=-y x 当焦点在y 轴上时，由32=b a ，且6=a ，得9=b ．∴所求双曲线方程为1813622=-x y 说明：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握．（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成．。

双曲线的简单几何性质练习题班级 姓名 学号1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1C.x 210－y 26＝1D.x 26－y 210＝1 2．(新课标卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x 3．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 4．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝45．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( ) A.3B.2C.52D.226．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－10,0) B ．(－12,0)C ．(－3,0) D ．(－60，－12)7．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 8．(江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________． 9．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为．10．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．11．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．12．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3，－2)，离心率e＝5 2；(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－10)．14．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，且a2c＝33.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．参考答案1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1D.x 26－y 210＝1 解析：选A 由题意知c ＝4，焦点在x 轴上， 所以⎝⎛⎭⎫b a 2＋1＝e 2＝4，所以b a ＝3，又由a 2＋b 2＝4a 2＝c 2＝16，得a 2＝4，b 2＝12.所以双曲线方程为x 24－y 212＝1. 2．(新课标卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x 解析：选C 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax .又离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .3．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：选B 由e ＝62得e 2＝32，∴c 2a 2＝32， 则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.因此可知B 正确． 4．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4 解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( ) A.3B. 2 C.52D.22解析：选B 由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a ＝b ，c ＝ a 2＋b 2＝2a ，于是e ＝c a＝ 2. 6．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析：选B 由题意知k <0，∴a 2＝4，b 2＝－k .∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4. 又e ∈(1,2)，∴1<1－k 4<4，∴－12<k <0. 7．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 1)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1， 所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 8．(江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________． 解析：令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x . 答案：y ＝±34x 9．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，∴双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1. 答案：x 29－y 216＝1 10．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．解析：双曲线的左焦点为F 1(－2,0)，将直线AB 方程：y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程， 得8x 2－4x －13＝0.显然Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 答案：311．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a， 即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：212．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x . 不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 答案：3215. 13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)．解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 因为双曲线过点(3，－2)，则9a 2－2b2＝1.① 又e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝52，故a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，故所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意． 综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. (2)由2a ＝2b 得a ＝b ，∴e ＝1＋b 2a2＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.∴双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1. 14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且a 2c ＝33. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧a 2c ＝33，c a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝ 3. 所以b 2＝c 2－a 2＝2. 所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m . 因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5.故m ＝±1.。

2．3.2 双曲线的简单几何性质自测自评1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94x2．双曲线x 22－y 214＝1的离心率为( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．43．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 自测自评1．解析：a 2＝4，b 2＝9，焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y ＝±b a x ＝±32x .答案：C2．解析：∵a 2＝2，∴a ＝ 2.又b 2＝14，∴c 2＝a 2＋b 2＝16.∴c ＝4.∴e ＝ca＝2 2. 答案：B3．解析：考虑焦点在x 轴或y 轴两种情况，选B. 答案：B忽略标准方程与渐近线的对应关系致错． 基础巩固1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 21．解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.故选C.答案：C2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 2．解析：2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又a ＝2，且a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝2，b ＝2. 答案：B3．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414 B.324 C.32 D.433．解析：根据离心率的定义求解．由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5，∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32.答案：C4．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．4．解析：∵a >0，∴焦点在x 轴上，∴4－a ＝a ＋2，∴a ＝1. 答案：1 能力提升5．(2014·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 5．解析：由题意知，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴b a＝2.∵双曲线的左焦点(－c ，0)在直线l 上，∴0＝－2c ＋10，∴c ＝5.又∵a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1.答案：A6．(2014·重庆卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3 6．解析：不妨设P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，联立|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，平方相减得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24，则由题设条件，得9b 2－4a 24＝94ab ，整理得b a ＝43(负值舍去)，∴e ＝ca＝1＋（ba）2＝1＋（43）2＝53.答案：B7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．7．解析：由题意得m ＞0，所以a ＝m ，b ＝m 2＋4，c ＝m 2＋m ＋4，由e ＝c a ＝5得m 2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2.答案：28．双曲线C 1与椭圆C 2：x 29＋y 225＝1共焦点，且C 1与C 2的离心率之和为145，则双曲线C 1的标准方程为______________．8．解析：椭圆的焦点是(0，4)，(0，－4)，所以c ＝4，e ＝45，所以双曲线的离心率等于145－45＝2，所以4a＝2，所以a ＝2，所以b 2＝42－22＝12.所以双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1.答案：y 24－x 212＝19．设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．9．解析：双曲线x 29－y 216＝1中a ＝3，c ＝5，不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 而|F 1F 2|＝2c ＝10，得|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝ (|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝100， 即|PF 1|·|PF 2|＝64，S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝16 3.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．10．解析：(1)因为e ＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P (4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，所以c ＝23，所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)， 所以kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，所以kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23，因为点M (3，m )在双曲线上， 所以9－m 2＝6，得m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，所以MF 1⊥MF 2，所以MF 1→·MF 2→＝0. (3)△F 1MF 2的底边|F 1F 2|＝43，底边F 1F 2上的高h ＝|m |＝3， 所以S △F 1MF 2＝6.。

3.2.2 双曲线的简单几何性质【考点1：双曲线的方程、图形及性质】【考点2：离心率的值及取值范围】【考点3：根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】【考点4：求共焦点的双曲线方程】【考点5：双曲线的渐近线】【考点6：等轴双曲线】【考点7：双曲线的实际应用】知识点1双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R知识点2 双曲线中的几个常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .（4）设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.（5）P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F 1PF 2.（6）等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．②性质：a ＝b ;e ＝2；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.【考点1： 双曲线的方程、图形及性质】【典例1】双曲线9x 2−4y 2=36的一个焦点坐标为（ ） A ．(√13,0)B ．(0,√13)C ．(√5,0)D ．(0,√5)【变式11】已知双曲线C:x 25−y 2b 2=1的焦距为6，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．√3B ．2C ．4D ．√31【变式12】若双曲线x 2m 2+1−y 2=1的实轴长为4，则正数m =（ ） A ．√3 B ．2C ．94D ．72【考点2：离心率的值及取值范围】【典例2】已知双曲线x2−y2=4，则其离心率是（）A．2B．√2C．√3D．√5【变式21】已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,−4)，点(−6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．4B．3C．2D．√2【变式22】已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π3，则此双曲线的离心率e为（）A．2B．2√33C．2或2√33D．√3或2【变式23】若双曲线x 2a2−y2=1(a>0)的离心率为√2，则a=（）A．2B．√2C．1D．√22【考点3：根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】【典例3】已知双曲线C经过点(0,1)，离心率为√2，则C的标准方程为（）A．x2−y2=1B．x2−y23=1C．y2−x2=1D．y2−x23=1【变式31】双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=2，且点P(√6,3)在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为（）A．x24−y212=1B．x22−y26=1C．x23−y29=1D．x2−y23=1【变式32】已知双曲线x 2a2−y2b2=1的虚轴长为4，离心率为√2，则该双曲线的方程为（）A．x2−y24=1B．x24−y2=1C．x24−y24=1D．x22−y22=1【变式33】以椭圆x 28+y24=1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（）A．x24−y24=1B．x28−y24=1C．x24−y2=1D．x28−y2=1【考点4：双曲线的渐近线】【典例4】已知双曲线C:y 2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√6，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±√5x B．y=±√6x C．y=±√55x D．y=±√66x【变式41】双曲线x 23m −y26m=1的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√22xC．y=±2x D．y=±12x【变式42】双曲线y 24m −x22m=1的渐近线方程为（）A．y=±√22x B．y=±√2x C．y=±2x D．y=±12x【变式43】已知双曲线C1:x2+y2m=1(m≠0)与C2:x2−y2=2共焦点，则C1的渐近线方程为（）.A．x±y=0B．√2x±y=0C．x±√3y=0D．√3x±y=0【变式44】双曲线x 24−y25=1的渐近线方程为.【考点5：等轴双曲线】【典例5】已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A(4√2,2)，则双曲线C的标准方程为（）A．x236−y236=1B．y236−x236=1C．x228−y228=1D．y228−x228=1【变式51】等轴双曲线的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√3x C．y=±x D．y=±√5x【变式52】若双曲线C：x 2m +y2m2−2=1为等轴双曲线，其焦点在y轴上，则实数m=（）A．1B．−1C．2D．−2【变式53】中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线x−4y+2√2=0上的等轴双曲线方程是（）A．x2−y2=8B．x2−y2=4C．y2−x2=8D．y2−x2=4【考点6：共焦点的双曲线】【典例6】多选题过点(3,2)且与椭圆x 28+y23=1有相同焦点的圆锥曲线方程为（）A．x225+y220=1B．x215+y210=1C．x23−y22=1D．x22−y23=1【变式61】过点(2,3)且与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点的双曲线的标准方程为（）A．x2−y23=1B．x29−y2=1C．x22−y29=1D．x29−y25=1【变式62】与双曲线x 216−y24=1有公共焦点，且过点(3√2,2)的双曲线方程为．【考点7：双曲线的实际应用】【典例7】3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为√10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6√2cm，下底直径为9√2cm，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（）A．272cm B．18cm C．27√22cm D．18√2cm【变式71】单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100m，楼底的直径为50√22m，楼顶直径为50√6m，最细处距楼底300m，则该地标建筑的高为（）A．350m B．375m C．400m D．450m【变式72】祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为x2−y24=1（−2≤y≤1），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为．【变式73】青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形左右对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为16cm，上瓶口圆的直径为20cm，上瓶口圆与最小圆圆心间的距离为12cm，则该双曲线的离心率为.一、单选题1．已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A(4√2,2)，则双曲线C的标准方程为（）A．x236−y236=1B．y236−x236=1C．x228−y228=1D．y228−x228=12．等轴双曲线的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√3x C．y=±x D．y=±√5x3．若双曲线C：x2m +y2m2−2=1为等轴双曲线，其焦点在y轴上，则实数m=（）A．1B．−1C．2D．−24．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线x−4y+2√2=0上的等轴双曲线方程是（）A．x2−y2=8B．x2−y2=4C．y2−x2=8D．y2−x2=45．设双曲线E的中心为O，一个焦点为F，过F作E的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B．若|BF|=√2|OA|，则E的离心率等于（）A．√62B．√2C．√3D．36．若双曲线x25+y2m=1的离心率为2，则m的值为（）A．−5B．−10C．−15D．−207．已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的实半轴长为√3，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±√3x B．y=±√33x C．y=±√32x D．y=±2√33x8．双曲线E:x29−y236=1的渐近线方程为（）A．y=±14x B．y=±12x C．y=±2x D．y=±4x9．已知双曲线C:x24−y23=1，以右顶点A为圆心，r为半径的圆上一点M（M不在x轴上）处的切线与C交于S、T两点，且M为ST中点，则r的取值范围为（）A．r>2√217B．0<r<4√57C．r>67D．r>110．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，点B的坐标为（0,b），若C上存在点P使得|PB|<b成立，则C的离心率取值范围是（）A．[√2+12,+∞)B．[√5+32,+∞)C．(√2,+∞)D．(√5+12,+∞)11．双曲线y23−x26=1的焦点坐标为（）A．(±√3,0)B．(0,±√3)C．(±3,0)D．(0,±3)12．已知点A为双曲线x24−y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若△ABC是等腰直角三角形，则△ABC的面积是（）A．4B．89C．169D．329二、填空题13．双曲线x29−y27=1的右焦点坐标为.14．如果双曲线关于原点对称，它的焦点在y轴上，实轴的长为8，焦距为10．则双曲线的标准方程为．15．已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与左支交于A,B两点，若|AB|=5，且双曲线的实轴长为8，则△ABF2的周长为.三、解答题16．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10,F为双曲线的右焦点，且点F到渐近线的距离为4．(1)求双曲线C的方程；(2)若点A(12,0)，点P为双曲线C左支上一点，求|PA|+|PF|的最小值．17．已知双曲线C与椭圆x24+y2=1有公共焦点，其渐近线方程为y=±√22x.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线y=x+m与双曲线C交于A，B两点，且|AB|=4√2，求实数m的值.。

2.2.2 双曲线的简单几何性质参考答案1．B【解析】∵2ce a==，∴2c a =，又2239b ==，222c a b =+，∴2249,a a a =+.考点：双曲线的离心率及,,a b c 的关系. 2．C【解析】∵c e a ==，∴2254c a =，∴22254a b a +=，∴2214b a =，∴1.2b a = ∴渐近线方程为12y x =±. 考点：求双曲线的渐近线. 3．B【解析】把方程化为标准形式为22113y x m m -=， 2221313,+4a b c m m m m∴==∴==，，解得1m =.故选B. 考点：由双曲线的焦点坐标求参数.4．B【解析】设双曲线的方程为()222210,0y x a b a b-=>>，由题意得2c =，即224a b +=，渐近线方程为ay x b=±，可得a =，解得1a b ==，所以双曲线的方程为2213y x -=，故选B ． 考点：双曲线的标准方程及其简单的几何性质． 5．C【解析】由题意得()15,0F -，()25,0F ，则1210F F =，设2ΡF x =，则143ΡF x =，由双曲线的性质知423x x -=，解得6x =，∴18ΡF =，26ΡF =，∴1290F ΡF ∠=︒，∴△12PF F 的面积是186242⨯⨯=．故选C ． 考点：双曲线的性质和应用． 6．D【解析】双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，∵双曲线的渐近线与圆()2223x y -+=相切，=，∴b =，∵双曲线的一个焦点为()F ，∴228a b +=，∴a =b =22126x y -=．故选D ． 考点：双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用． 7．C【解析】由渐近线方程可知双曲线为等轴双曲线，所以22b =，22122x y ∴-=， 代入点P 的坐标可得201y =，由2c =可知()()122,0,2,0F F -.()()1200220PF PF y y ∴⋅=-⋅=.考点：双曲线性质及向量运算. 8．B【解析】设(),M x y ，由题意得()()12,0,,0A a A a -，则12,MA MA y yk k x a x a==+-， 则12222MA MA y k k x a ⋅=-，又因为点M 在双曲线上，所以2222222211x y x y b a b a ⎛⎫-=⇒=- ⎪⎝⎭，代入12222MA MA y k k x a ⋅=-中可得()22222222222222121b x a b b c a e e aa a x a --=<⇒=-<⇒<<- B.考点：直线的斜率，双曲线的离心率.9．13k <<【解析】由方程22+113x y k k =--表示双曲线，可得()()130k k --<， 解得13k <<．考点：双曲线的简单性质． 10．12或9-【解析】由题意得3b =，因此233,0,333,m m m m ⎧><⎧⎨⎨-=-=⎩⎩或则实数m 的值是12或9-. 考点：双曲线的性质.11【解析】由双曲线的定义可知122PF PF a -=，又因为122PF PF =，所以124,2PF a PF a ==，又因为12PF PF ⊥，所以2221212PF PF F F +=，即()()()222422a a c +=，整理得225c a =，所以ce a==. 考点：双曲线的定义及简单的几何性质.12．（1）53或54（2）221916x y -= 【解析】（1）设经过第一、三象限的渐近线的方程为y kx =，4=，解得43k =， 若双曲线焦点在x 轴上，则45,33b e a ==；若双曲线焦点在y 轴上， 则45,34a e b ==，故所求双曲线的离心率为53e =或54e =． （2）由题意设()()12,0,,0F c F c -，由12PF PF ⊥得120PF PF ⋅= ．()()33160c c ∴+-+=，即5c =，由（1）知43b a =，又22225a b c +==，所以3,4a b ==，所以双曲线的方程为221916x y -=. 考点：直线与圆的位置关系，双曲线的标准方程与几何性质.13．（1）2212y x -=（2）47y x =-【解析】（1）由已知得22,a c =2221,2a b c a ∴==-=.所以双曲线C 的方程为2212y x -=. （2）设点()()1122,,,A x y B x y ，由题意可知直线l 的斜率存在，则可设直线l 的方 程为()12y k x -=-，即12y kx k =+-.把12y kx k =+-代入双曲线C 的方程2212y x -=， 得()()()22222121220kxk k x k ------=，①由题意可知220k -≠，所以()12212222M k k x x x k -+===-，解得4k =． 当4k =时，方程①可化为21456510x x -+=.此时25656512800∆=-⨯=>，方程①有两个不等的实数解． 所以直线l 的方程为47.y x =-考点：双曲线方程，直线与双曲线的位置关系． 14．（1）226x y -=（2）证明见解析（3）6【解析】（1）∵e =ca∴=222c b a =+ ，22a b ∴=，∴可设双曲线方程为()220x y λλ-=≠．∵双曲线过点(4,，∴1610λ-=，即6λ=，∴双曲线方程为226x y -=．（2）证明：由（1）可知，在双曲线中a b ==c =，∴()()12,F F -，∴12MF MF k k ==又∵点()3,M m 在双曲线上，∴296m -=，23m =．∴12213MF MF m k k ⋅==-=-，∴12MF MF ⊥.（3）由（2）知12MF MF ⊥， ∴△12MF F 为直角三角形．又()()12,F F -，m =(M 或(3,M ，由两点间距离公式得：1MF ==1MF ==∴1212111126222F MF S MF MF ∆==⨯==． 即△12F MF 的面积为6．考点：双曲线的标准方程，圆与双曲线的综合．。

3.2.2双曲线的简单几何性质【题组1由双曲线的方程求几何性质】1、求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程：（1）22149x y -=；（2）22194y x -=．【答案】（1）双曲线实轴长为4，虚轴长为6，顶点坐标为(20)±,，离心率为2，渐近线方程为32y x=±（2）实轴长为6，虚轴长为4，顶点坐标为(0,3)±，离心率为133，渐近线方程为32y x=±【解析】（1）由题意，双曲线方程为22149x y -=，故222224,9,13a b c a b ===+=故双曲线的实轴长为：24a =虚轴长为：26b =，顶点坐标为：(20)±,离心率为：c e a ==32b y x x a =±=±故双曲线实轴长为4，虚轴长为6，顶点坐标为(20)±,，离心率为132，渐近线方程为32y x=±（2）由题意，双曲线方程为22194y x -=，故222229,4,13a b c a b ===+=故双曲线的实轴长为：26a =虚轴长为：24b =，顶点坐标为：(0,3)±离心率为：c e a ==32a y x x b =±=±故双曲线实轴长为6，虚轴长为4，顶点坐标为(0,3)±，32y x=±2、（多选）已知双曲线22:184x y C -=，则下列说法正确的是（）A．渐近线方程为y =B．焦点坐标为()±C．顶点坐标为()±D．实轴长为【答案】BC【解析】对于双曲线22:184x y C -=，a =2b =，c =.所以，双曲线C 的渐近线方程为b y x a =±=，焦点坐标为()±，顶点坐标为()±，实轴长为因此，AD 选项错误，BC 选项正确.故选：BC.3、我们把方程分别为：22221x y a b -=和22221y x b a-=的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同（）A．离心率B．渐近线C．焦点D．顶点【答案】B【解析】共轭双曲线22221x y a b-=和22221y x b a -=的c =0a >，0b >，可得它们的焦点分别为(,0)c ±，(0,)c ±，渐近线方程均为by x a=±，离心率分别为c a 和cb，它们的顶点分别为(,0)a ±，(0,)b ±，故选：B．4、曲线221259x y -=与曲线221259+x y k k -=-（925k -<<）的（）A．顶点相同B．虚轴长相等C．焦点相同D．离心率相等【答案】C【解析】顶点坐标为()5,0±，虚轴长为6，焦点坐标为()考查曲线221259+x y k k-=-（925k -<<）的性质：顶点坐标为()，虚轴长为焦点坐标为()；据此可知两曲线的焦点相同.本题选择C 选项.5、（多选）已知双曲线222(0)3x y m m -=≠，则不因m 的值改变而改变的是（）A．焦距B．离心率C．顶点坐标D．渐近线方程【答案】BD【解析】∵双曲线222(0)3x y m m -=≠，∴222213x y m m-=，c =该双曲线焦距为：=顶点坐标为)和()0，渐近线方程为y =不因m 的值改变而改变的是离心率与渐近线方程.故选：BD.【题组2由几何性质求双曲线的标准方程】曲线的标准方程为（）A．2244x y -=1B．2244y x -=1C．2248y x -=1D．2284x y -=1【答案】B【解析】由方程组2222222a a b c a b c =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，得a =2，b =2.∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的标准方程为2244y x -=1.故选：B.2、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为（）A．2212x y -=B．22x y -C．222x y -=D．224x y -=【答案】D【解析】由一个焦点到一条渐近线的距离为2，得2b =，又因双曲线的实轴与虚轴相等，所以2a =，由双曲线焦点在x 轴上，可知双曲线方程为224x y -=.故选：D.3、已知双曲线的虚轴在y 轴上，且虚轴长为，离心率为3，则该双曲线方程为（）．A．2218y x -=B．2218y x -=C．22198x y -=D．2218x y -=【答案】A【解析】设双曲线方程22222221,x y a b c a b-=+=，32c b a⎧⎪⎨==⎪⎩，所以1,a b ==所以双曲线方程为2218y x -=，故选：A4、已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的实轴的长度比虚轴的长度大2，焦距为10，则双曲线的方程为（）A．221164x y -=B．221169x y -=C．221916x y -=D．221259x y -=【答案】B【解析】依题意可得222222500a b a b a b -=⎧⎪+=⎨⎪>>⎩，，得43a b =⎧⎨=⎩，所以双曲线的方程为221169x y -=．故选B．5、以椭圆22x y 143+=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（）A．22y x 13-=B．22y x 13-=C．22x y 143-=D．22x y 134-=【答案】B【解析】设双曲线为22221x y a b-=，由椭圆22143x y +=得焦点为（±1，0），顶点为（±2，0）．∴双曲线的顶点为（±1，0）焦点为（±2，0）．∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2﹣a 2＝3．∴双曲线为2213y x -=．故选B ．【题组3与双曲线的渐进线相关的问题】1、双曲线()221R x my m -=∈的右焦点坐标为()2,0，则该双曲线的渐近线方程为（）A．13y x =±B．3y x=±C．y =D．y x =【答案】C【解析】双曲线221(R)x my m -=∈，即2211y x m-=的右焦点坐标为()2,0，所以2112m +=，解得13m =，所以双曲线方程为2213y x -=，则双曲线的渐近线为y =；故选：C2、若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>）A．12y x =±B．y =C．y =D．2y x=±【答案】D【解析】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>即c a =，所以2222215a b b a a +=+=，则2ba=，故C 的渐近线方程为2y x =±.故选：D.3、与双曲线221x y -=有相同的渐近线，且过点()2,1的双曲线的标准方程为___________.【答案】22133y x -=【解析】由题意可知，设()220x y λλ-=≠，因为所求双曲线过点()2,1，所以2221λ-=，解得3λ=.所以所求双曲线的标准方程为：22133y x -=.故答案为：22133y x -=.4、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 为虚轴上的端点，若12AF F △是顶角为120︒的等腰三角形，则C 的渐近线方程为（）A．22y x =±B．y =C．2y x=±D．y =±【答案】A【解析】设原点为O ，由12AF F △是顶角为120︒的等腰三角形，可1||tan 303OA b OF c ==︒=，c ∴=，a =，22b a ∴=故C 的渐近线方程为22y x =.故选：A.5、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F且斜率为-直线与双曲线在第二象限交于点A ，M 为2AF 的中点，且120MF MF ⋅=，则双曲线C 的渐近线方程是（）A．y =B．3y x =±C．125y x =±D．512y x =±【答案】A【解析】由1AF k =-12tan AF F ∠=-又121212sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠=∠，且221212sin cos 1AF F AF F ∠+∠=，解得121cos 8AF F ∠=-或121cos 8AF F ∠=（舍去），由12MF MF ⊥且M 为2AF 的中点，知1122AF F F c ==，∴2222214422298AF c c c c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，∴23AF c =，∴212a AF AF c =-=，又222c a b =+，∴b =，∴渐近线方程为y =.故选：A【题组4求双曲线的离心率的值或取值范围】1、双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，则其离心率为（）A．3D．5【答案】A【解析】由条件可知b a =3c a =.故选：A2、设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，若双曲线上存在点M 满足1222MF MO MF ==，则双曲线的离心率为（）A．6B．3【答案】C【解析】因为1222MF MO MF ==,则2MO MF =，M 在双曲线右支上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为A ，则A 为2OF 的中点，所以22cAF =，132c AF =，设2MF m =，则12MF m =，故在1Rt MAF △中，2229||44MA m c =-.在Rt 2MAF 中，222||4cMA m =-，则22229444c m c m -=-，即2232m c =.因为122MF MF a -=，则2m a =，所以223(2)2a c ⨯=，即226c a =，所以ce a==3、已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积为S ，且满足232S p =，则该双曲线的离心率为（）A．32B．2C．2【答案】C【解析】由题意可得，121222MF MF a p MF MF ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1244p MF a p MF a⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又12F F 为直径，所以四边形12F NF M 为矩形，所以22124p S MF MF a ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，又232S p =，所以222324p p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2232p a =，由2221212MF MF F F +=，得222248p a c +=，即2232a c =，所以22232c e a ==，即2e =．故选：C．4、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，1A ，2A 是实轴顶点，F 是右焦点，(0,)B b 是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得12(1,2)i PA A i =△构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（）．A．⎭B．⎭C．⎛ ⎝⎭D．⎫+∞⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】以1A ，2A 为直径的圆与线段BF 有两个不同的交点，所以b a >，2222b c a a =->，解得ce a=>且圆心(0,0)到直线BF ：0bx cy bc +-=的距离d a =<，化简得2b ac <，所以22c a ac -<，210e e --<，又1e >，解得1e <e <<5、已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若221PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是（）A．()1,+∞B．(]2,3C．(]1,3D．(]1,2【答案】C【解析】1F ，2F 是左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，所以212PF PF a -=，代入221PF PF 得()22212111124448PF a PF a PF a a a PF PF PF +==+++= ，当且仅当12PF a =时取等号，即12PF a =，又点P 是双曲线左支上任意一点，所以1PF c a - ，即23a c a e -⇒ ，13e < .故选：C．【题组5直线与双曲线的位置关系】1、直线1y x =+与双曲线221x y -=的交点个数为______．【答案】1【解析】由2211y x x y =+⎧⎨-=⎩得：10x y =-⎧⎨=⎩，∴直线1y x =+与双曲线221x y -=有且仅有1个交点.故答案为：1.2、判断直线)1y x =-与双曲线221x y -=的公共点的个数．【答案】2.【解析】由)2211y x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，可得2320x x -+=，∴()234210∆=--⨯=>，∴直线)1y x =-与双曲线221x y -=的公共点的个数为2.3、已知双曲线22:13x C y -=，直线:10l x -=，求直线l 与双曲线C 的公共点的坐标．【答案】2,3⎛ ⎝⎭.【解析】直线l 与双曲线C的公共点的坐标就是方程组221013x x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩的解，解之得，2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线l 与双曲线C的公共点的坐标为⎛ ⎝⎭.4、（多选）下列曲线中与直线23y x =--有交点的是（）A．4210x y +-=B．223x y +=C．2212y x -=D．2212x y -=【答案】BCD【解析】对于A,直线23y x =--和4210x y +-=的斜率都是﹣2，所以两直线平行，不可能有交点．对于B,由22233y x x y =--⎧⎨+=⎩，得251260x x ++=，1441200∆=->，所以直线与B 中的曲线有交点．对于C,由222312y x y x =--⎧⎪⎨-=⎪⎩，得221270x x ++=，212560∆=->，所以直线与C 中的曲线有交点．对于D,由222312y x x y =--⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2724200x x ++=，2245600∆=->，所以直线与D 中的曲线有交点．故选：BCD5、过点P （4，4）且与双曲线221169x y -=只有一个交点的直线有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】D【解析】双曲线方程为：221169x y -=，当k 不存在时，直线为x ＝4，与221169x y -=1的图象有且只有一个公共点，当k 存在时，直线为：y ＝k （x ﹣4）+4，代入双曲线的方程可得：()()2222916128128256+5124000k x kk x k k -+---=，（1）若2916k -＝0，k 34=±时，y ＝34±（x ﹣4）+4与双曲线的渐近线y 34=±x 平行，所以与双曲线只有1个公共点，（2）k 34≠±时，()()()222212812849162565124000k k k k k ∆=----+=，即k 2532=，此时直线y 2532=（x ﹣4）+4与双曲线相切，只有1个公共点．综上过点P （4，4）且与该双曲线只有一个公共点的直线4条．故选：D.【题组6直线与双曲线相交弦长问题】1、过双曲线22136x y -=的右焦点作倾斜角为30°的直线l ，直线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，则AB 的长为______．【解析】双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F ，所以直线l的方程为3)y x =-．由221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得256270x x +-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-，所以1635AB ===．2、已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，与直线y ＝12x 交于A ，B 两点，若|AB |）A．x 2－y 2＝6B．x 2－y 2＝9C．x 2－y 2＝16D．x 2－y 2＝25【答案】B【解析】设等轴双曲线的方程为x 2－y 2＝a 2(a ＞0)，与y ＝12x 联立，得34x 2＝a 2，∴|AB×3aa ＝3故选B.3、已知双曲线x 223y -=1，过点P （2，1）作一条直线交双曲线于A ，B ，并使P 为AB 的中点，求AB 所在直线的方程和弦AB 的长【答案】AB 直线方程：6x ﹣y ﹣11＝0；AB的长为33.【解析】易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y ﹣1＝k （x ﹣2）由221213y k x y x -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩（）得（3﹣k 2）x 2+2k （2k ﹣1）x ﹣4（k 2﹣k +1）＝0设此方程两实根为x 1，x 2，则x 1+x 222213k k k -=-（）又P （2，1）为AB 的中点，所以22213k k k -=-（）4，解得，k ＝6当k ＝6时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的0∆>,所求直线AB 的方程为y ﹣1＝6（x ﹣2）化成一般式为6x ﹣y ﹣11＝0．∴|AB|4244233==．4、已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12，记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）若直线l ：3y x =-和曲线C 相交于E ，F 两点，求EF .【答案】（1）22142x y -=（2x ≠±）；（2）【解析】（1）设(),M x y ，则AM ，BM 的斜率分别为12yk x =+，22y k x =-，由已知得1222y y x x ⋅=+-，化简得22142x y -=（2x ≠±），即曲线C 的方程为22142x y -=（2x ≠±）；（2）联立221423x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩消去y 整理得212220x x -+=，设()11,E x y ，()22,F x y ，则1212x x +=，1222x x =，12EF x =-==5、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0）．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l ：y ＝x +2与双曲线交于A ，B 两点，求弦长|AB |．【答案】（1）23x -y 2＝1；【解析】（1）由已知得a =c ＝2，再由c 2＝a 2+b 2，得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为23x -y 2＝1．（2）由直线与双曲线联立得2x 2+12x +15＝0，解得x ＝﹣3±62,AB,∴|AB|=【题组7双曲线的中点弦与点差法】1、已知椭圆22154x y +=，倾斜角为4π的直线l 与椭圆分别相交于A .B 两点，点P 为线段AB的中点，O 为坐标原点，则直线OP 的斜率为（）A．15-B．45-C．15D．45【答案】B【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则22112222154154x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②整理得1212121211()()()()054x x x x y y y y +-++-=，又因为1212tan 14y y x x π-==-，则12120y y x x -=-≠，所以121211()()054x x y y +++=，又因为点P 为线段AB 的中点，则1201202,2x x x y y y +=+=，所以0021052x y +=，即0045y x =-，所以0045OP y k x ==-，即直线OP 的斜率为45-，故选：B.2、直线l 交双曲线2214x y -=于A 、B 两点，且(4,1)P 为AB 的中点，则l 的斜率为（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因点A ，B 在双曲线2214xy -=上，则221114x y -=，222214x y -=，两式相减得：121212121()(0)()()4x x x x y y y y +--+-=，因P 为AB 中点，则128x x +=，122y y +=，于是得2121y y x x --＝1，即直线l 的斜率为1，此时，直线l 的方程为：3y x =-，由22344y x x y =-⎧⎨-=⎩消去y 并整理得：2324400x x -+=，2244340960∆=-⨯⨯=>，即直线l 与双曲线2214x y -=交于两点，所以直线l 的斜率为1.故选：D3、已知直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，且AB 的中点坐标为（1，2），则直线l 的斜率为（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】C【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，由AB 的中点坐标为（1，2），则12x x ≠，且12122,4x x y y +=+=所以1212AB y y k x x -=-又A ，B 两点在双曲线2212y x -=上，所以221112y x -=，222212y x -=，由两式相减可得2222121222y y x x -=-，即()()()()121212122y y y y x x x x ---+=所以()()()121212122y y y y x x x x -++=-，即44AB k =,所以1AB k =此时直线l 的方程为：1y x =+由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2230x x --=，4+430∆=⨯>满足条件.故选：C4、已知双曲线224x y -=，若过点P 作直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则点P 的坐标可能是（）A．()1,1B．()1,2C．()2,1D．()2,2【答案】B【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，由题得22111212121222224()()()()04x y x x x x y y y y x y ⎧-=∴+--+-=⎨-=⎩，，所以1200120121202()2()0,y y xx x x y y y k x x y ----=∴==-.当P 的坐标为()1,2时，1,2k =直线AB 的方程为1132(1),222y x y x -=-∴=+.把1322y x =+代入双曲线方程得0∆>.对于选项A,C,D 中点P 的坐标经检验得，不满足0∆>.故选：B5、已知倾斜角为π4的直线与双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，相交于A ，B 两点，(1,3)M 是弦AB 的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（）A．B．3C．D．2±【答案】A【解析】设1122(,)(,)A x y A x y 、，则12121212++y y =1=3,122x x y y x x -=-，由22112222222211y x a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得()()()()12121212220y y y y x x x x a b -+-+-=则22620a b-=，即22=3a b，则a =则双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的渐近线的斜率为a b ±=的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP的斜率为C 的离心率为（）B．2D．3【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得2222121222x x y y a b --=，所以2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+.因为1202x x x +=，1202y y y +=，所以21202120-=⋅-y y b x x x a y .因为1212AB y y k x x -==-，00OP y k x ==2=224b a=，故e =【题组8双曲线的定点定值与最值问题】1、已知双曲线2221x y a-=的渐近线倾斜角分别为30°和150︒，F 为其左焦点，P 为双曲线右支上一个动点.（1）求||PF 的取值范围，并说明理由；（2）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为,Q R ，求证：||||PQ PR ⋅为定值.【答案】（1）)+∞，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）双曲线渐近线方程为y x =，又1b =，所以23a =，双曲线的标准方程为2213x y -=，则(F ，设00(,)P x y ，0)x ∈+∞则22220000||((13x PF x y x =++=++-200413x =++所以2||5PF ≥+…所以||PF 的取值范围是)+∞（2）因为2200|3|||||4x y PQ PR -⋅==又220013x y -=，所以3||||4PQ PR ⋅=为定值.2、已知P 是平面上的动点，且点P 与12(2,0),(2,0)F F -的距离之差的绝对值为P 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）设不与y 轴垂直的直线l 过点1F 且交曲线E 于M ，N 两点，曲线E 与x 轴的交点为A ，B ，当||MN ≥AM NB AN MB ⋅+⋅的取值范围．【答案】（1）22122x y -=；（2）(,4][12,)-∞-+∞【解析】（1）依题意，P 是平面上的动点，且点P 与12(2,0),(2,0)F F -的距离之差的绝对值为即12124PF PF F F -=<=，根据双曲线的定义，可得点P 的轨迹E 是以12(2,0)(2,0)F F -、为焦点，其中224a c ==，所以2a c ==，则b =所以轨迹E 的方程为22122x y -=．（2）设直线l 方程为(2)y k x =+，点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程组22(2)122y k x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()()222214420k x k x k ---+=，可得()222121222442,,81011k k x x x x k k k++==-∆=+>--且21k ≠．由弦长公式，可得221||1k MN k +=-因为||MN ≥22121k k +≥-，解得2113k ≤<或213k<≤因为(A B，所以())())11222211,,AM NB AN MB x y x y x y x y ⋅+⋅=+⋅--++⋅-()()21212121242242222x x y y x x k x x =--=--++()()222121228422481k x x k x x k k =-+-+-=-，因为2113k ≤<或213k <≤，所以28(,4][12,)1k ∈-∞-+∞-，所以AM NB AN MB ⋅+⋅的取值范围是(,4][12,)-∞-+∞．3、已知双曲线C 经过点(P ，它的两条渐近线分别为0x=和0x -=.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设双曲线C 的左､右焦点分别为1F ､2F ，过左焦点1F 作直线l 交双曲线的左支于A ､B 两点，求2ABF 周长的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）∞⎫+⎪⎪⎢⎭⎣【解析】（1）设双曲线C 的方程为223x y λ-=，代入点(P ，得22333λ=-=，所以双曲线C 的标准方程为2213x y -=.（2）双曲线C 的左焦点为)(12,0F -，设)(11,A x y ､)(22,B x y ，①若直线l 的斜率不存在，则:2l x =-，得A ､B的坐标分别为⎛- ⎭⎝和2,⎛- ⎭⎝，此时ABC的周长为3.②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)(2y k x =+，由)(22213y k x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩得)(222213121230k x k x k ----=，因为直线l 交双曲线的左支于A ､B 两点，所以)()()(222222122212213012413123012013123013k k k k k x x k k x x k ⎧-≠⎪⎪∆=----->⎪⎪⎨+=<⎪-⎪--⎪=>⎪-⎩，得213k >设2ABF 的周长为z，22112z AF BF AB AF BF AB AB =++=++=======设231t k =-，由213k >，得0t >，11163163333t z t t ++==+，0t >，所以,3z ∞⎛⎫∈+ ⎪⎪ ⎭⎝，综上，由①②可得2ABF 的周长的取值范围∞⎫+⎪⎪⎢⎭⎣.4、已知双曲线2212y x -=，斜率为k (0)k ≠的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点.（1）若直线l 过(0,1)P ，且3PB AP =，求直线l 的斜率k .（2）若线段AB 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为92，求k 的取值范围.【答案】（1）1；（2）,2)(((2,)-∞-+∞U U U 【解析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，因为3BP AP =，所以3PB AP →→=，即2211(,1)3(,1)x y x y -=--，所以2121343x x y y =-⎧⎨=-⎩，所以2211221112(43)(3)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，所以11x =-，10y =，即(10)A -，，所以1011AP k k -===.（2）设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．由2212y kx my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(2)220k x kmx m ----=．则12222km x x k +=-，212222m x x k --=-因为直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A，B 两点于是22k -≠0，且222(2)4(2)(2)0km k m ∆=-+-+>．整理得2220m k +->．设线段AB 的中点坐标00(,)x y ，则120222x x km x k +==-，00222my kx m k =+=-．所以AB 的垂直平分线方程为2221()22m kmy x k k k -=----．此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为23(,0)2km k -，23(0,)2mk -．由题可得221339||||2222km m k k ⋅=--．整理得222(2)||k m k -=，0k ≠．所以可得222(2)20||k k k -+->，整理得22(2)(||2)0k k k --->，0k ≠．解得0||k <<或||2k >．所以k的取值范围是,2)(((2,)-∞-+∞U U U ．5、在平面直角坐标系中，动点(),M x y 与定点()5,0F 的距离和M 到定直线16:5l x =的距离的比是常数54，设动点M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设()2,0P ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于,A B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.【答案】（1）221169x y -=；（2）证明见解析【解析】54=，即222162516(5)5x y x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，整理得221169x y -=；（2）设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，显然直线AP 斜率不为0，设直线AP 方程为2x my =+，联立2211692x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 并整理得()22916361080m y my -+-=，由题设29160m -≠且()22Δ(36)41089160m m =+⨯->，化简得243m >且2169m ≠，由韦达定理可得12236916m y y m -+=-，122108916y y m -=-，直线BD 的方程是()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =得()()()21112212112112121222x x y y my y my x y x y x xy y y y y y -++++=+==+++()1212121212221082222836my y y y y y m m y y y y m++==⨯+=⨯+=++，所以直线BD 过定点()8,0.。