1 、当 为 时,分别用费米分布函数和玻尔兹曼分布函数计算

费米—狄拉克分布和玻色—爱因斯坦分布的简单推导费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布是自然界形态分布最为基础和重要的模型。

它们都具有广泛的应用，可用于描述大量自然现象和事件的情况。

费米—狄拉克分布是早期的数学研究的结果，它是由俄国科学家费米和狄拉克合著的。

它表示大量自然现象和事件的分布是以不断变化的指数函数形式发生的，这就是“指数定律”。

当事件发生的频率并不经常发生，而其几率却很大时，便可以用费米—狄拉克分布来进行描述。

例如，地震的最大震级分布可以用费米—狄拉克分布来描述。

而玻色-爱因斯坦分布可以用来描述大量不断变化的量子物理现象，它定义为量子间的相对不确定性，它的形态是以正态分布的形式发生的。

玻色-爱因斯坦分布可以用来描述多种量子现象，例如，电子的空间分布或几率分布可以用玻色-爱因斯坦分布来表示。

总体而言，费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布是自然界形态分布中最为重要的模型，它们各自具有不同的特点，可以用来描述大量自然现象和量子现象。

p 2 c2
+
m
2 e
c4.
为了简化,
把所有的能量以
m e c2
为单位, 动量以 m e c为单位, 上式化为
ne = 8KP3e Q]1
1+
E E2 - 1 exp [ (E - Le - 1)
/kT ]
dE,
( 7)
Ke = h /m e c为电子的 Com pton波长.
如果要计算电子处在 E 1和 E 2之间的几率 f2, 则需要
0. 3109 0. 1230 2. 5286 0. 5722 0. 0347 16. 4914
0. 3109 0. 1707 1. 8217 0. 5722 0. 0483 11. 8537
2
0. 3109 0. 2353 1. 3215 0. 5722 0. 0716 7. 9958
1
0. 3109 0. 2829 1. 0991 0. 5722 0. 0983 5. 8221
后左右调一点但是值不变就是它合理的上限.
3 数值结果和分析 [ 4- 8]
表 1给出了在不同温度和化学势下玻尔兹曼分布和 费米 ) 狄拉克分布的比较. 其中左列为温度 kT= 0. 5M eV, 电子动能 0. 5- 1M eV的几率; 右列为 kT = 0. 05M eV, 电子 动能 0. 05- 0. 5M eV 的几率. f1 和 f2 分别代表玻尔兹曼分 布和费米 ) 狄拉克分布的结果. 由于玻尔兹曼分布不受化 学势的影响, 故化学势变化保持恒值; 费米 ) 狄拉克分布 的值随化学势减小而变大. 当温度较高, 如左列, 在化学势 很小时, 它们的分布几率是相差不大的. 但随温度降低, 如 右列, 它们偏离会增加. 随着 kT 值的增大, 物态越接近于 理想气体, 故两种分布几率越接近.

第四章1. 当E-E F 分别为kT 、4kT 、7kT ，用费米分布和玻尔兹曼分布分别计算分布概率，并对结果进行讨论。

解：电子的费米分布 ()011F F D E E k Tf E e--=+，玻尔兹曼近似为()0F E E k TM B f E e---=（1）E-E F =kT 时 ()10.268941F D f E e-==+ ，()1=0.36788M B f E e --= （2）E-E F =4kT 时 ()410.018321F D f E e-=≈+ ，()40.01799M B f E e --=≈ （3）E-E F =7kT 时 ()710.000911F D f E e-=≈+ ，()70.00091M B f E e --=≈ 当0F E E k Te-远大于1时，就可以用较为简单的玻尔兹曼分布近似代替费米狄拉克分布来计算电子或空穴对能态的占据概率，从本题看出E-E F =4kT 时，两者差别已经很小。

2. 设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近的能量Ec(k)和价带极大值附近的能量En(k)分别为()()m k k m k k E c 212223-+= ，()m k m k k E v 2221236 -= 式中m 为电子惯性质量，14.3,/1==a a k πÅ,试求出：（1）禁带宽度（2）导带底电子的有效质量； （3）价带顶电子的有效质量；（4）导带底的电子跃迁到价带顶时准动量的改变量。

解： （1） 令 0)(=∂∂k k E c 即 ()023201202=-+m k k h m k h 得到导带底相应的 143k k =令 0)(=∂∂k k E v 即 0602=m kh 得到价带顶相应的 0=k故禁带宽度()0212210221021641433043m k h k m h k m hk E k k E E v c g -⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛==-⎪⎭⎫ ⎝⎛==将k 1=a/2代入，得到022481m a h E g =（2）导带底电子有效质量02C 22nm 83dk E d /h m ==*（3）价带顶空穴有效质量02V 22p m 61dk E d /h m -==* （4）动量变化为a 8h30k 43p 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆3. 一块补偿硅材料，已知掺入受主杂质浓度N A =1⨯1015cm -3, 室温下测得其费米能级位置恰好与施主能级重合，并测得热平衡时电子浓度n 0=5⨯1015cm -3。

•单原子分子：无内部结构的质点（没有转动等自由度）。
•理想气体：分子之间没有相互作用。
•考虑无外场，因此分子运动看作是在容器内的自由运动
ε=
p2 = 2m
1 2m
(
px2
+
py2
+
pz2 )
∫ ∫ = Z1 = e−βε dΩ
e−
β
1 2m
(
px2
+
p
2 y
+
pz2
)
dxdydzdpxdpydpz
h3
2kT m
方均根速率：
∫ ∫ vs=2 v=2
f (v)v2d=v
4
−
πAe
m 2kT
v2
v
4
d=v
3kT
m
= vs = v2
using: 1+ x + x2 + ... = (1− x)−1
每个单粒子态上的平均粒子数为
N
= − ∂ ln ξ ∂α
= eα +β1ε −1
= e(ε −µ )1/kT
−1
f BE
(ε
)
=
e(ε
1
−µ )/kT
-1
∈ (0,
+ ∞)
上式称为玻色分布函数，其意义是：玻色系统处于平衡态时， 各单粒子态（能量为ε）上的平均占据数无限制。
1
≈
1
exp[(ε − µ) kT ] ±1 exp[(ε − µ) kT ]
= exp[(µ − ε ) kT ] = fB (ε )
fB (ε=) exp(−α − βε=) exp[(µ − ε ) kT ] 1

E EF 5k0T , f ( E ) 0.993;
EF 的位置比较直观地标志了电子占据量子态的情况，标志了
电子填充能级的水平。费米能级位置较高，说明有较多的能量较
高的量子态上有电子。
热平衡，孤立系
统，近独立粒子
2、波耳兹曼(Boltzmann)分布函数
(1) 电子服从的Boltzmann分布
1
1.8%
当E-EF=4 k0T 时，f E
4
1 e
fB (E) e

E EF
k0T
f B E e4 1.83%
1
5
f
E


4.53978

10


当E-EF=10 k0T时，
1 e10
f B E e10 4.53999 105
§ 3.2 费米能级和载流子的统计分布
Fermi level and statistical distribution of carriers
知识回顾与问题提出：
第一节给出导带底和价带顶附近的状态密度，即单位能量间隔中的量子态数。
2m

dz
gc ( E )
4 V
dE
h3
* 3/ 2
n
k0T
(2) 空穴服从的Boltzmann分布
1 f (E)
EF E k0T
1
E E
1 exp F

k
T
0


1 f ( E) e
E EF
k0T
空穴服从的
Boltzmann分布
➢上式表明，当E << EF 时，空穴占据能量为E的量子态几率很

第三章作业题解答1、 计算能量在C E E =到2*2100(/8)C n E E h m L =+之间单位体积的量子态数。

解：导带底C E 附近每单位能量间隔内的量子态数为：13/223(2*)()()2n C C m V g E E E π=-则在导带底C E 附近dE 能量间隔之间的量子态数为()C g E dE 。

在导带底C E 附近dE 能量间隔之间的单位体积的量子态数为()C g E dEV。

故能量在C E E =到22*2100(/2)C n E E m L π=+ 之间单位体积的量子态数为：22*222*2100(/2)13/2100(/2)233()(2*)()21000/3C n CC n CE m L C E E m L n C E g E dEZ Vm V E E dE L ππππ++⋅==-=⎰⎰2、试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为3/23(2*)()4()n C C m g E V E E h π=-(没有布置这一题)证明：Si 、Ge 在导带底附近的等能面为沿主轴方向的旋转椭球面，设其极值为C E ,则()E k k 关系为：2222312()()2C t lk k k h E k E m m +=++与椭球的标准方程：2223122221k k k a b c++= 比较得：1/222()[]t C m E E a b h -==，1/222()[]l C m E E c h-= ,,a b c k 即空间等能面（旋转椭球）的三个半径，故椭球体积为：1/23/2344(8)()33l t C V abc m m E E hππ==-对应能量为E E dE →+范围内两椭球壳之间体积为：dVdV dE dE=即 21/21/232(8)()l t C dV m m E E dE hπ=- 设晶体体积为V ，则其量子态密度为2V （考虑自旋），故在能量空间dV 体积内的量子态数为：21/21/2322(8)()l t C dZ V m m E E dE hπ=⨯- 因为导带极值在k 空间有S 个，所以状态密度为：21/21/23(8)()4()l t C C m m dZg E S V E E dE hπ==⨯- 又2/321/3*()n dn l t m m S m m ==所以 3/21/23(2*)()4()n C C m g E V E E hπ=-3、 当F E E -为0001.5,4,10k T k T k T 时，分别用费米分布函数和玻尔兹曼分布函数计算电子占据各该能级的概率。

此时,电子的费米分布函数近似为
f F E
1＋exp
E
EF kT
－1
exp(- E - EF kT
)
即这时电子的费米分布函数转化为电子的玻耳兹曼分布函数：
fBE
exp
E EF k0T
23
课堂优质
23
3.2.2 玻耳兹曼分布函数
2. 空穴的玻耳兹曼分布函数
类似地，若 EF E kT时, exp [(EF-E)/kT] 1 此时,空穴的费米分布函数近似为
先考虑导带:
E E+dE内的量子态数: dZ=gc(E)dE; 电子占据能量为E的量子态的概率: f(E); 则E E+dE内的所有量子态上的电子数为: dN=f(E)gc(E)dE
课堂优质
29
3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度
对旋转椭球形等能面:
gc (E)
4V
(2mn )3/ 2 h3
15
3.1.3 状（能）态密度的总结
课堂优质
16
3.2 费米能级和载流子的统计分布
课堂优质
17
热平衡状态下，电子按能量大小，具有一定的统计分布规律性。 电子是费米子，遵从费米分布。
3.2.1 费米分布函数
绝对温度T 下的物体内，电子达到热平衡状态时，一个 能量为Ｅ的独立量子态，被一个电子占据的几率f(E）为：
37
3.2.4 载流子浓度乘积
讨论
1. 电子和空穴浓度乘积与费米能级无关，也与掺杂无关， 取决于不同材料的禁带宽度及其状态密度有效质量。
2. 在特定温度下，对于确定的半导体材料，热平衡下载流 子浓度的乘积保持恒定。
课堂优质
38
3.3 本征半导体的载流子浓度

杂质半导体的载流子分布摘 要：非简并杂质半导体的载流子浓度和费米能级由温度和杂质浓度所决定。

对于杂质浓度一定的半导体，随着温度的升高载流子则是从以杂质电离为主要来源过渡到以本征激发为主要来源的过程，相应地，费米能级则从位于 杂质能级附近逐渐移近禁带中线处。

费米能级的位置不但反映了半导体导电类型而且还反映了半导体的掺杂水平。

关 键 词：费米能级；状态密度；能量态；非简并结构；玻尔兹曼分布函数 引 言：实践表明，半导体的导电性强烈地随温度而变化。

实际上这种变化主要是由于半导体中载流子浓度随温度变化而变化所造成的。

因此，要深入了解半导体的导电性及其他许多性质必须探求半导体中载流子浓度随温度变化的规律，以及解决如何计算一定温度下半导体中热载流子浓度的问题。

半导体材料中总是含有一定量的杂质，所以研究杂质半导体的载流子分布具有重要意义。

为计算热平衡状态载流子浓度以及求得它随温度变化的规律，我们需先掌握两方面的知识：第一，允许的量子态按能量如何分布；第二，电子在允许的量子态中如何分布；然后根据量子统计理论[1]、电子的费米分布函数f （E ）及数学计算得到非简并杂质半导体的载流子浓度。

在求解过程中用到了电中性条件，由于得到数学表达式较为复杂，因此人们以温度T 为划分标准，划分为几个不同温度区域来近似讨论。

分区是一种非常有用的方法，往往能够使非常复杂的问题进行简化并得到理想的结果。

1 费米能级状态密度概念：假定在能带中能量E~（E+dE ）之间无限小的能量间隔内有dZ 个量子态，则状态密度g(E)为()dZ g E dE= 。

物理意义是：状态密度g(E)就是在能带中能量E 附近每单位能量间隔内的量子态数。

在k 空间中，以|k |为半径作一球面，等能面是球面的情况下，通过计算可得到，导带低附近状态密度g(E)为[2]*3/21/23(2)()4()n c c m dZ g E V E E dE hπ==- （） ，其中*n m 导带低电子有效质量。

玻尔兹曼分布,玻色分布,和费米分布的关系(一)玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布的关系玻尔兹曼分布•玻尔兹曼分布是描述非量子粒子（即经典粒子）分布的统计分布。

•它适用于粒子之间没有限制，可以重复占据同一个量子态的情况。

玻色分布•玻色分布是描述玻色子（一类具有整数自旋的粒子）分布的统计分布。

•它适用于玻色子可以占据相同的量子态的情况。

费米分布•费米分布是描述费米子（一类具有半整数自旋的粒子）分布的统计分布。

•它适用于费米子不可以占据相同的量子态的情况。

关系解释玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布都是基于统计物理的理论模型，用于描述在热平衡状态下粒子的分布情况。

它们的主要区别在于粒子的特性以及对量子态的占据规则。

•玻尔兹曼分布适用于经典粒子，这些粒子之间没有限制，可以重复占据同一个量子态。

因此，在相同的能级上，不同粒子的占据数没有限制，可以存在任意多个粒子。

•玻色分布适用于玻色子，这类粒子具有整数自旋。

根据泡利不相容原理，玻色子可以占据相同的量子态。

因此，在相同的能级上，可以存在多个玻色子，粒子数不受限制。

•费米分布适用于费米子，这类粒子具有半整数自旋。

根据泡利不相容原理，费米子不可以占据相同的量子态。

因此，在相同的能级上，每个费米子最多只能有一个，粒子数受到限制。

通过对比这三种分布，我们可以看到它们在描述粒子分布时所遵循的不同原理。

玻尔兹曼分布是玻色分布和费米分布的特殊情况，当粒子的自旋为整数时，玻尔兹曼分布退化为玻色分布；当粒子的自旋为半整数时，玻尔兹曼分布退化为费米分布。

这种关系的理解对于研究粒子统计行为以及热平衡态下的物理系统都具有重要意义。

NA
解得：
p
NA 2
1
1
4ni2
N
2 A
1
2
1 叶良修，半导体物理学（第二版），上册，129 页。
(1) T 300K 时，硼原子全部电离，此时本征载流子浓度 ni 1.51010cm-3 有：
NA ，
p
NA
1014 cm-3 ， n
ni2 p
2.3106 cm-3 ；
(2) T 400K 时，此时本征载流子浓度23 ni 1.31014 cm-3 NA ，本征激发已不 能忽略，有：
答：当T 300K 时，有：
3
3
NC
2
2 mnkT h2
2
2.509 1019
mn m0
2
cm-3
3
3
NV
2
2
mp h2
kT
2
2.509
1019
mp m0
2
cm-3
ni
NC NV
1
2
exp
Eg 2kT
代入数据得到：
Si GaAs
NC cm-3 2.7581019 4.351017
由波尔兹曼分布近似：
n NA ND nD
n
NC
exp
EC EF kT
以及施主能级上的电子的分布规律：
有：
nD
ND
1 gD
exp
EF ED kT
1
1 gD
exp
EF ED kT
n NA n n ND nD
ND NA n
nD
n
ND nD
1
n
1 gD
exp

第一章习题1．设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近能量E c (k)和价带极大值附近能量E V (k)分别为：E c =0220122021202236)(,)(3m k h m k h k E m k k h m k h V -=-+ 0m 。

试求：为电子惯性质量，nm a ak 314.0,1==π（1）禁带宽度;（2）导带底电子有效质量; （3）价带顶电子有效质量;（4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化 解：（1）eVm k E k E E E k m dk E d k m kdk dE Ec k k m m m dk E d k k m k k m k V C g V V V c 64.012)0()43(0,060064338232430)(2320212102220202020222101202==-==<-===-==>=+===-+ 因此：取极大值处，所以又因为得价带：取极小值处，所以：在又因为：得：由导带：043222*83)2(1m dk E d mk k C nC===sN k k k p k p m dk E d mk k k k V nV/1095.7043)()()4(6)3(25104300222*11-===⨯=-=-=∆=-== 所以：准动量的定义：2. 晶格常数为0.25nm 的一维晶格，当外加102V/m ，107 V/m 的电场时，试分别计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。

解：根据：t k hqE f ∆∆== 得qEkt -∆=∆ sat sat 137192821911027.810106.1)0(1027.810106.1)0(----⨯=⨯⨯--=∆⨯=⨯⨯--=∆ππ补充题1分别计算Si （100），（110），（111）面每平方厘米内的原子个数，即原子面密度（提示：先画出各晶面内原子的位置和分布图）Si 在（100），（110）和（111）面上的原子分布如图1所示：（a ）(100)晶面 （b ）(110)晶面（c ）(111)晶面补充题2一维晶体的电子能带可写为)2cos 81cos 87()22ka ka ma k E +-= （， 式中a 为 晶格常数，试求（1）布里渊区边界； （2）能带宽度；（3）电子在波矢k 状态时的速度；（4）能带底部电子的有效质量*n m ；（5）能带顶部空穴的有效质量*p m解：（1）由0)(=dk k dE 得 an k π= （n=0， 1， 2…） 进一步分析an k π)12(+= ，E （k ）有极大值，214221422142822/1083.7342232212414111/1059.92422124142110/1078.6)1043.5(224141100cm atom a a a cm atom a a a cm atom a a ⨯==⨯+⨯+⨯⨯==⨯⨯+⨯+⨯=⨯==⨯+-）：（）：（）：（222)mak E MAX =（ ank π2=时，E （k ）有极小值所以布里渊区边界为an k π)12(+=(2)能带宽度为222)()ma k E k E MIN MAX =-（ (3）电子在波矢k 状态的速度)2sin 41(sin 1ka ka ma dk dE v -== （4）电子的有效质量)2cos 21(cos 222*ka ka mdkEd m n-== 能带底部 an k π2=所以m m n 2*= (5)能带顶部 an k π)12(+=， 且**n p m m -=，所以能带顶部空穴的有效质量32*mm p =第二章习题1. 实际半导体与理想半导体间的主要区别是什么？答：（1）理想半导体：假设晶格原子严格按周期性排列并静止在格点位置上，实际半导体中原子不是静止的，而是在其平衡位置附近振动。

在统计物理中，配分函数定义为系统所有可能微 观状态数量的总和，通常表示为Z。
微观状态
在给定宏观状态下，系统所具有的能量状态、粒 子排列等具体细节。
3
宏观状态
系统整体表现出的性质，如温度、压力等。
配分函数的计算方法
直接计算法
01
通过计算系统所有可能微观状态的数量，累加得到配分函数。
微正则系综
02
利用微正则系综的统计性质，通过积分计算配分函数。
多粒子系统的玻尔兹曼分布与配分函数计算
总结词
详细介绍了多粒子系统的玻尔兹曼分布与配分函数计算的方法和步骤。
详细描述
在多粒子系统的计算中，玻尔兹曼分布和配分函数的应用更为复杂。由于粒子间的相互作用，需要使 用更高级的统计物理方法来处理。常用的方法有微扰论、路径积分等。通过这些方法，可以计算出多 粒子系统在平衡态下的分布情况，进一步研究系统的热力学性质和的应用
要点一
总结词
要点二
详细描述
阐述了玻尔兹曼分布与配分函数在热力学中的重要应用。
玻尔兹曼分布和配分函数是热力学中的基本概念，对于理 解系统的热力学性质具有重要意义。通过计算配分函数， 可以得到系统的熵、焓等热力学量，进一步研究系统的相 变行为和热力学过程。同时，玻尔兹曼分布还可以用于研 究非平衡态系统的输运性质和热传导等问题，对于理解复 杂系统的行为具有重要意义。
玻尔兹曼分布的应用场景
玻尔兹曼分布在统计物理学中有着广泛的应用，包括气体分子运动论、热力学、 化学反应动力学等领域。
在实际应用中，玻尔兹曼分布可以用于计算分子的平均动能、分子碰撞频率等物 理量，以及用于分析气体分子的微观行为和宏观性质之间的关系。
02 配分函数的计算
配分函数的定义

费米子所遵循的统计规律公式费米子遵循的统计规律是由恩里科·费米和保罗·狄拉克分别独立发现的，这一规律在量子统计力学中表现为费米-狄拉克分布函数（Fermi-Dirac distribution）。

对于一个处于温度T和化学势μ下的费米子系统，粒子的能量为E时，在状态E的能级上单位体积内的平均粒子数N(E)可以通过下面的公式计算：N(E)=1/（e(E−μ)/kT+1）其中：•e是自然对数的底数（约等于2.71828），•k是玻尔兹曼常数，•T是绝对温度（单位：开尔文K），•μ是化学势，•E是单个粒子的能量。

这个分布描述了在给定条件下，允许费米子占据特定能级的概率，体现了泡利不相容原理，即同一量子态最多只能被一个费米子占据。

1.泡利不相容原理：这是量子力学的基本原理之一，指出在相同的量子态下（即具有相同的所有量子数），不可能有两个或更多的费米子同时占据。

这一原理是导致费米-狄拉克分布与其他统计分布（如玻色-爱因斯坦分布）显著不同的根本原因。

2.能量量子化与填充顺序：在低温和有限体积条件下，费米子会按照能量从低到高的顺序依次填充能级，直至所有费米子都被安置完毕。

这个最高的被占据能级被称为费米能级。

3.零温极限下的费米分布：当温度趋近于绝对零度时，只有能量低于化学势μ的能级会被费米子占据，高于μ的能级则全部空置。

这种现象对于理解固体物理学中的电子结构、超导性等现象至关重要。

4.应用广泛：费米-狄拉克统计不仅应用于粒子物理领域对基本粒子（如电子、质子、中子等）的行为描述，还在凝聚态物理、核物理以及天体物理等领域有着广泛应用，例如解释金属的电阻随温度变化的规律、白矮星内部物质的状态等。

其中q 定义为粒子的配分函数：
qg e i
i
ε /kT i
(粒子按能级分布)
q e
j
ε j/ k T
(粒子按状态分布)
gie
ε i/ k T
—— 经常被称为能级i的有 效状态数，或有效容量。
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2.玻尔兹曼分布的推导（略） 玻尔兹曼分布＝最概然分布＝概率最大的分布 对独立子系统分布D的分布数WD求极大 值，即可得概率最大分布时的分布规律 —— 玻尔兹曼分布的数学式
i
N 0 gi e q
i
kT
上页
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3. 平动配分函数的计算
qt e
j
2
ε j/ k T
2 n y 2 n z 2
ε 2 ) t ( a b c
可以导出：
2 h n x 8m 2
2πmkT 3/2 qt ( ) V 2 h
上页 下页
q qt
0 t
对立方容器：
qt f
ε v,0
q e
0 v
kT
qv qn
q e k T qe
0 e
上页
ε n,0
q e
0 n
kT
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讨论：
(1)对平动与转动，在常温下，q t0 qt , qr0 = qr .但 对振动、电子与核运动,两者的差别不可忽视。
例如：qv0 可等于qv 的10倍以上。
(2) 选择不同能量零点，会影响配分函数的值，但 对计算玻耳兹曼分布中任一个能级上的粒子数ni 没有影响。因为： 0 (ε ε i 0) ε N N kT g e ni gi e k T i ε 0 q 0 kT q e ε0

精心整理第一章习题1．设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近能量E c (k)和价带极大值附近能量E V (k)分别为：E C （K ）=0220122021202236)(,)(3m k h m k h k E m k k h m k h V -=-+ eVm k E k E E m dk V C g V V 64.012)0()43(0212102==-= 因此：又因为精心整理043222*83)2(1m dk E d mk k C nC===2. Si 在（100），（110）和（111）面上的原子分布如图1所示：精心整理，（2）能带宽度；（3）电子在波矢k状态时的速度；m；（4）能带底部电子的有效质量*nm（5）能带顶部空穴的有效质量*p精心整理精心整理解：（1）由0)(=dkk dE 得 an k π=（n=0，±1，±2…）an k π)12(+=(2)能带宽度为222)()ma k E k E MINMAX =-（精心整理(3）电子在波矢k 状态的速度)2sin 41(sin 1ka ka ma dk dE v -==*m n=所以能带顶部空穴的有效质精心整理量32*mm p半导体物理第2章习题1. 实际半导体与理想半导体间的主要区别是什么？同时As ,很小 Ga 有Ga 原穴，并形成负电中心的杂质，称为受主杂质，掺有受主型杂质的半导体叫P 型半导体。

4. 以Si 在GaAs 中的行为为例，说明IV 族杂质在III-V 族化合物中可能出现的双性行为。

Si 取代GaAs 中的Ga 原子则起施主作用； Si 取代GaAs 中的As 原子则起受主作用。

导带中电子浓度随硅杂质浓度的增加而增加，当硅杂质浓度增加到一定程度时趋于饱和。

硅先取代Ga 原子起施主作用，随着硅浓度的增加，硅取代As 原子起受主作精心整理用。

5. 举例说明杂质补偿作用。

当半导体中同时存在施主和受主杂质时，若（1） N D >>N A因为受主能级低于施主能级，所以施主杂质的电子首先跃迁到N A 个受主能级上，还有N D -N A 个电子在施主能级上，杂质全部电离时，跃迁到导带中的导电电子的浓度为n= N D -N A 。

费米分布函数与温度的关系
3.2.1 费米分布函数
温度升高,能量比EF高的量子态被电子占据的概率上升， EEF5kT 时 , f(E)0.007 EEF5kT 时 , f(E)0.993
可见,温度主要影响费米能级附近的电子状态， 关于费米能级的几个要点： 1、一般可以认为,在温度不太高时，能量大于EF 的电子态基本上 没有被电子占据；能量小于EF 的电子态，基本上被电子所占据， 而电子占据E=EF能态的几率在各种温度下总是1/2；
EEF5kT 时 , f(E)0.007 EEF5kT 时 , f(E)0.993
用，费米分布和波耳兹曼分布这两
种统计的结果是相同的。
3.2.2 玻耳兹曼分布函数
低掺杂半导体中, 载流子统计分布 通常遵顺玻耳兹 曼统计分布，这 种电子系统称为 非简并性系统。
高掺杂半导体,载 流子服从费米统 计，这样的电子 系统称为简并性 系统，
n 0 42 m h n 33 /2k0 T2 3e x － E p c k 0 T E F 0 x' x1 2e xdx
式中x'= EC'-EC /k0T ，
3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度
对于实际半导体,导带的能量间隔为几个 eV时，x’的值在几十以上，再依据函数 x1/2e-x随x变化规律 见图3-4 ，积分上限x’ 可用无穷大来代替，
3.2.1 费米分布函数
它描述了在热平衡状态下,在一个费米粒子系统（如电子系统）中 属于能量E的一个量子态被一个电子占据的概率，
T=0K： 若E<EF,则 f E =1； 若E>EF，则 f(E)=0， T>0K： 若E= EF , 则f E =1/2 ； 若E< EF ， 则f(E) >1/2 ； 若E> EF ， 则f(E) <1/2 ；

《半导体物理学》2014年一、选择题1、锗的晶格结构和能带结构分别是（ C ）。

A. 金刚石型和直接禁带型B. 闪锌矿型和直接禁带型C. 金刚石型和间接禁带型D. 闪锌矿型和间接禁带型2、简并半导体是指（ A ）的半导体。

A、(E C-E F)或(E F-E V)≤0B、(E C-E F)或(E F-E V)≥0C、能使用玻耳兹曼近似计算载流子浓度D、导带底和价带顶能容纳多个状态相同的电子3、在某半导体掺入硼的浓度为1014cm-3, 磷为1015 cm-3，则该半导体为（ B ）半导体A. 本征B. n型，C. p型4、如果杂质既有施主的作用又有受主的作用，则这种杂质称为（ D ）。

A. 施主B. 受主C.复合中心D.两性杂质5、一块半导体寿命τ=15µs，光照在材料中会产生非平衡载流子，光照突然停止30µs后，其中非平衡载流子将衰减到原来的（ C ）。

A.1/4 ；B.1/e ；C.1/e2；D.1/26、在纯的半导体硅中掺入硼，在一定的温度下，当掺入的浓度增加时，费米能级向（ A ）移动.A.Ev ；B.Ec ；C.Ei；D. E F7、把磷化镓在氮气中退火，会有氮取代部分的磷，这会在磷化镓中出现（ D ）。

A.改变禁带宽度；B.产生复合中心；C.产生空穴陷阱；D.产生等电子陷阱。

8、对于大注入下的直接复合，非平衡载流子的寿命不再是个常数，它与（ C ）。

A.非平衡载流子浓度成正比；B.平衡载流子浓度成正比；C.非平衡载流子浓度成反比；D.平衡载流子浓度成反比。

9、杂质半导体中的载流子输运过程的散射机构中，当温度升高时，电离杂质散射的概率和晶格振动声子的散射概率的变化分别是（ B ）。

A.变大，变小；B.变小，变大；C.变小，变小；D.变大，变大。

10、在磷掺杂浓度为2×1016cm-3的硅衬底（功函数约为4.25eV）上要做出欧姆接触，下面四种金属最适合的是（ A ）。