2020届高考文科数学考前指导

目录/ contents6月21日等差数列、等比数列 (01)6月22日数列的求和及应用 (17)6月23日不等式（线性规划、基本不等式） (35)6月24日空间几何体（三视图、表面积、体积） (57)6月25日立体几何——点、线、面的位置关系 (83)6月26日直线与圆 (111)6月27日圆锥曲线 (132)时间：6月21日今日心情：核心考点解读——等差数列、等比数列等差数列的概念与通项公式（II）等差数列的前n项和（II）等比数列的概念与通项公式（II）等比数列的前n项和（II）等差数列、等比数列的性质（II）1.从考查的题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题、填空题的形式考查，利用等差数列的概念判断性质真假，利用等差数列的通项公式、前n项和公式进行相关的求值计算；利用等比数列的概念判断性质真假，利用等比数列的通项公式、前n项和公式进行相关的求值计算等.2.从考查内容来看，主要考查等差数列、等比数列的相关运算，重点在于掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，能够利用“1,,,,n na d n a S”和“1,,,,n na q n a S”这五个量进行相互转化，达到“知三求二”的目的.3.从考查热点来看，数列计算是高考命题的热点，要注意通项公式与求和公式的正确使用及利用数列的性质简化运算.1.等差数列的概念与证明(1)熟练掌握等差数列的定义与定义式：1n>，1n na a d--=.要注意，数列要从第二项开始，然后是每一项与前一项的差是同一个常数，这个常数就是公差.由此要明确，一个数列能够构成等差数列，至少需要三项.(2)若三个数,,a b c构成等差数列，则称b为,a c的等差中项，记作2a cb+=或2b a c=+.(3)等差数列的证明，通常根据题中所给的递推关系式，利用定义进行证明，若1n>时，推理得到1n na a--的差为常数，并能够确定这个常数，则可判定数列为等差数列.2.等差数列的通项公式及性质(1)等差数列的通项公式：11(1)()()n ma a n d a n m d dn p p a d=+-=+-=+=-.知道等差数列的通项公式的推理方法是根据定义式叠加而得，了解等差数列与一次函数之间的联系与区别.(2)等差数列的性质：若m n p q+=+，则m n p qa a a a+=+.等差数列的性质反映了项与项数之间对称的等量关系，由此得到等差数列前n项和的推导方法——倒序相加法.3.等差数列的前n项和(1)等差数列的前n项和：2111()(1)(222nnn a an n dS na d n kn k a+-=+==+=-)2d.能够利用首项与公差表示等差数列的前n项和，了解二次函数与等差数列前n 项和的关系.(2)掌握等差数列前n项和的性质：232,,,n n n n nS S S S S--L成等差数列，nSn⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列.4.等比数列的概念与证明(1)熟练掌握等比数列的定义与定义式：1n>，1(0)nnaq qa-=≠.要注意，数列要从第二项开始，然后是每一项与前一项的比值是同一个常数，这个常数就是公比.由此要明确，一个数列能够构成等比数列，至少需要三项.(2)若三个数,,a b c构成等比数列，则称b为,a c的等比中项，记作b ac=±或2b ac=.(3)等比数列的证明，通常根据题中所给的递推关系式，利用定义进行证明，若1n>时，推理得到1nnaa-的比值为常数，并能够确定这个常数，则可判定数列为等比数列.5.等比数列的通项公式及其性质(1)等比数列的通项公式：111()n n m nn maa a q a q a q aq--=⋅=⋅=⋅=.知道等比数列通项公式的推理方法是根据定义式叠乘而得，了解等比数列与指数函数之间的联系与区别.(2)等比数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅. 6.等比数列的前n 项和(1)等比数列的前n 项和：111,1,(1), 1.11n n n na q S a a q a qq q q =⎧⎪=-⋅-⎨=≠⎪--⎩能够利用首项与公比表示等比数列的前n 项和，了解指数函数与等比数列前n 项和公式之间的关系.掌握等比数列前n 项和公式的推导方法——错位相减法.(2)掌握等比数列前n 项和的性质：n mm n n m m n S S q S S q S +=+=+；当1q ≠-或1q =-且k 为奇数时，232,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列.7.等差数列、等比数列的混合计算(1)等差数列中利用某项确定，另有不连续三项按某种条件构成等比数列，由此计算得到等差数列的首项与公差，并求通项与前n 项和.(2)等比数列中利用某项确定，另有不连续三项按某种条件构成等差数列，由此计算得到等比数列的首项与公比，并求通项与前n 项和. (3)注意在数列计算中基本量1,,,a d q n 的应用. 8.等差数列前n 项和的最大（小）项利用等差数列的前n 项和公式，结合二次函数的求最值的特点及相应的图象，利用函数的单调性判断最值.1．（2019年高考全国III 卷文数）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 2．（2019年高考浙江卷）设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则 A ． 当101,102b a => B ． 当101,104b a => C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =->【答案】A【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n *=∈N .②当<0b 时，令2x x b =+，即20x x b -+=.则该方程140b ∆=->，即必存在0x ，使得2000x x b -+=， 则一定存在10 ==a a x ，使得21n n n a a b a +=+=对任意n *∈N 成立，解方程20a a b -+=，得1142ba ±-=， 当114102b +-≤时，即90b -…时，总存在1142ba +-=，使得121010a a a ==⋯=≤， 故C 、D 两项均不正确.③当0b >时，221a a b b =+≥，则2232a a b b b =+≥+，()22243a a b b b b =+++….（ⅰ）当12b =时，22451111711,1222162a a ⎡⎤⎛⎫++=>>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥，则26111112224a ⎛⎫>++=> ⎪⎝⎭，2719222a >+=， 28918310224a ⎛⎫>+=> ⎪⎝⎭ ，则2981102a a =+>， 21091102a a =+> ， 故A 项正确.（ⅱ）当14b =时，令1==0a a ，则2231111,4442a a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭，所以224311114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，以此类推，所以2210911114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，故B 项不正确. 故本题正确答案为A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.3．（2018北京卷文科）设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当14,1,1,4a b c d ====时，,,,a b c d 不成等比数列，所以不是充分条件； 当,,,a b c d 成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件. 综上所述，“ad bc =”是“,,,a b c d 成等比数列”的必要不充分条件. 故选B.【名师点睛】证明“ad bc =”⇒“,,,a b c d 成等比数列”只需举出反例即可，论证“,,,a b c d 成等比数列”⇒“ad bc =”可利用等比数列的性质.4．（2018北京卷文科）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A 32 B 322 C ．1252 D ．1272【答案】D【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为122，所以()*12122,n n a a n n -=≥∈N，又1a f =，则71277128122a a q f ===.故选D.【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种： （1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n ≠∈N ）或1n n aq a -=（*0,2,q n n ≠≥∈N ），数列{}n a 是等比数列； （2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n ≥∈N ），则数列{}n a 是等比数列.5．（2019年高考天津卷文数）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知1123323,,43a b b a b a ====+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足21n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数,，为偶数.求*112222()n n a c a c a c n +++∈N L .【答案】（1）3n a n =，3nn b =；（2）22(21)369()2n n n n +*-++∈N【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 依题意，得2332,3154,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,3,d q =⎧⎨=⎩故133(1)3,333n n n n a n n b -=+-==⨯=.所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3nn b =.（2）112222n n a c a c a c +++L()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++L L123(1)36(6312318363)2n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎣⎦L()2123613233n n n =+⨯+⨯++⨯L .记1213233nn T n =⨯+⨯++⨯L ,① 则231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯L ,②②−①得，()12311313(21)332333331332n n n n n n n T n n +++--+=---⨯=-+⨯=--+-L . 所以，122112222(21)3336332n n n n n a c a c a c n T n +-++++=+=+⨯L()22(21)3692n n n n +*-++=∈N . 【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.6．（2019年高考浙江卷）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,,2nn na c nb *=∈N 证明：12+2,.n c c c n n *++<∈N L 【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ． 所以2*n S n n n =-∈N ，，由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-． 所以2*,n b n n n =+∈N ．（2）*221,22(1)(1)n n n a n n c n b n n n n --===∈++N ． 我们用数学归纳法证明．（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；（ii ）假设()*n k k =∈N 时不等式成立，即122k c c c k +++<L ． 那么，当1n k =+时，121122(1)(2)1k k k c c c c k k k k k +++++<<+++L 222(1211k k k k k k k<=+=+++．即当1n k =+时不等式也成立．根据（i ）和（ii ），不等式122n c c c n +++<L 对任意*n ∈N 成立．【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.7．（2018新课标全国Ⅰ文科）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．【解析】（1）由条件可得a n +1=2(1)n n a n+． 将n =1代入得，a 2=4a 1， 而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2， 所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n na a n n+=+，即b n +1=2b n ， 又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n na n-=， 所以a n =n ·2n -1．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列{b n }的通项公式，借助于{b n }的通项公式求得数列{a n }的通项公式，从而求得最后的结果.8．（2017新课标全国Ⅰ文科）记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=−6． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列． 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ．由题设可得121(1)2,(1) 6.a q a q q +=⎧⎨++=-⎩解得2q =-，12a =-．故{}n a 的通项公式为(2)nn a =-．（2）由（1）可得11(1)22()1331n n n n a q S q +-==--+-．由于3212142222()2[()]2313313n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-， 故1n S +，n S ，2n S +成等差数列．【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．1.（2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期第二次“战疫”线上测试数学（文）试题）在等差数列{}n a 中，若38137a a a ++=，2111414a a a ++=，则8a 和9a 的等比中项为（ ） A. 723±B.23C. 273±D.2732．（2020届河南省名校联盟高三4月教学质量检测）已知函数()314,01log ,0x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩，在等差数列{}n a 中，77a =，911a =，则()8f a =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．43．（2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末数学（文)）已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n n n a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a =( )A ．16B ．25C ．28D ．334．（2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学（文)）在等比数列{}n a 中，已知15a =，91040a a =，则18a =________.5．（2020届江西省吉安市高三上学期期末数学（文)）已知数列{}n a 是等差数列，84a =，且2a ，4a ，5a成等比数列，则11a =______．6．（2020届江苏省常州市高三上学期期末数学试题）等比数列{}n a 中，若11a =，24a ，32a ，4a 成等差数列，则17a a =______.7．（2020届广东省中山市高三上学期期末数学（文)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，121n n a a +=+.（1）证明{}1n a +为等比数列；（2）判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？并说明理由.8．（河南省名校联盟2019-2020学年高三11月教学质量检测）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)． (1)求0P ，1P ，2P ，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用2n P -和1n P -表示n P ；(2)求证：1{}12100()n n P P n --=⋯，，，为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率．1．已知公差0d ≠的等差数列{}n a 满足11a =，且2a ，42a -，6a 成等比数列，若正整数m ，n 满足10m n -=，则m n a a -=A ．10B ．20C ．30D ．5或402．设{}n a 是等比数列，且245a a a =，427a =，则{}n a 的通项公式为_______． 3．在公差为2的等差数列{a n }中，a 3−2a 5=4，则a 4−2a 7=_______． 4．在等比数列{a n }中，公比q >0，其前n 项和为S n ，且S 2=3,S 4=15． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 2a n+1，若数列{b n }的前n 项和为T n ，则b n 2,2T n ,b n+12是否成等比数列?并说明理由．5．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且252a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若915,,m S a a 成等比数列，求m 的值．名校预测 1.【答案】A【解析】由题意得：3813837a a a a ++==，所以873a =，211149314a a a a ++==， 所以9143a =.89989a a ⋅=， 所以8a 和9a 的等比中项为723±故选A. 2．【答案】C【解析】由等差中项性质可得7982a a a +=，即87112a +=，所以89a =， 则()()8391log 93f a f ==+=. 故选：C.【点睛】本题考查分段函数值的计算，同时也涉及了等差中项的计算，考查计算能力，属于基础题. 3．【答案】C【解析】n=1时，2134a =+=， n=2时，32419a =⨯+=， n=3时，49312a =+=， n=4时，5212125a =⨯+=， n=5时，625328a =+=. 故选：C 4．【答案】8【解析】因为等比数列,故118910a a a a =,故9101814085a a a a ===. 故答案为：8 5．【答案】4或10.【解析】设数列{}n a 的公差为d ，由2a ，4a ，5a 成等比数列得()()()211134a d a d a d +=+⨯+，解得2150d a d +=，则0d =或15a d =-．又84a =，当0d =时，4n a =，则114a =；当15a d =-时，由8174a a d =+=，解得2d =且110a =-，则212n a n =-，即1110a =．综上得满足条件的114a =或10故答案为：4或10 6．【答案】64【解析】设等比数列的公比为()0q q ≠. ∵24a ，32a ，4a 成等差数列24344a a a +=∴ 3211144a q a q a q +=∴∵11a =∴3244q q q +=∵0q ≠ ∴2q =∴266171264a a a q === 故答案为：64.7．【答案】（1）证明见解析 （2）成等差数列，理由见解析【解析】（1）证明：∵23a =，2121a a =+，∴11a =， 由题意得10n a +≠，1122211n n n n a a a a +++==++，∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）12nn a +=，∴21n n a =-.∴11222212n n n S n n ++-=-=---，∴()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=，∴2n n n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列. 8．【答案】（1）01P =，112P =，234P =，211122n n n P P P --=+；（2）证明见解析；（3）10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】(1)棋子开始在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为12，所以112P =． 棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为12；②前两次掷骰子出现奇数点，其概率为14，所以2113244P =+=．棋子跳到第(299)n n 剟站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点，其概率为212n P -；②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点，其概率为112n P -． 故211122n n n P P P --=+． (2)由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--．又因为1012P P -=-， 所以1{}(1,2,,100)n n P P n --=L 是首项为12-，公比为12-的等比数列． (3)由(2)知，11111222n nn n P P --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 所以9999989897100()()()P P P P P P P P =-+-++-+L99981111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L99111221112⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭10021132⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 所以玩该游戏获胜的概率为10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查随机事件的概率和等比数列的概念、通项公式及前n 项和公式．考查累加法求和，属于难题. 专家押题 1．【答案】C【解析】由题知()24262a a a -=，因为{}n a 为等差数列，所以()()()231115d d d -=++， 又0d ≠， 解得3d =，从而()30m n a a m n d -=-=. 故选C ．2．【答案】13-=n n a ，n *∈N .【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为245a a a =，427a =， 所以223542427a a a a q q q ====，解得3q =，所以41327127a a q ===， 因此，13-=n n a ，n *∈N .故答案为13-=n n a ，n *∈N .【名师点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，熟记等比数列的通项公式即可，属于常考题型. 3．【答案】−2【解析】由题意得a 4−2a 7=(a 3+d)−2(a 5+2d)=a 3−2a 5−3d =4−3×2=−2． 4．【解析】（1）由S 2=3,S 4=15，得a 1+a 2=3，a 1+a 2+a 3+a 4=15， 两式相减，得a 3+a 4=12，即q 2(a 1+a 2)=12，∴q 2=4， 由q >0，得q =2，∴a 1+2a 1=3，解得a 1=1， 故数列{a n }的通项公式为a n =2n−1.（2）由（1）知b n =log 2a n+1=log 22n =n ， 可得T n =n(n+1)2，则(2T n )2=[n(n +1)]2=n 2(n +1)2=b n 2b n+12， 故b n 2,2T n ,b n+12成等比数列.5．【解析】（1）因为252a a +=，2d =，所以11252102a d a +=+=，解得14a =-， 所以26n a n =-. （2）2(1)2524m m m S m m m -=+⨯=--，912a =，1524a =， 因为915,,m S a a 成等比数列，所以2915m a S a =，即221224()5m m =-，整理得2560m m --=，解得6,1m m ==-， 因为*m ∈N ，所以6m =.时间：6月22日今日心情：核心考点解读——数列的求和及应用数列前n项和与通项的关系（II）分组法求数列的和（II）裂项相消法求数列的和（II）错位相减法求数列的和（II）应用数列的递推关系式求通项、前n项和（II）1.从考查题型来看，涉及本知识点的选择题、填空题一般考查利用数列的递推关系或等差数列、等比数列的特征进行相关的求值计算；解答题中一般利用等差数列、等比数列的重要特征，结合几个主要求和方法的类型进行化简、求值、计算，达到将数列的前n项和化简的目的.2.从考查内容来看，本知识点主要考查数列求和，重点根据数列的通项特征，正确选用分组求和、裂项相消求和、错位相减求和方法，然后正确运算.3.从考查热点来看，数列求和是高考命题的热点，等差数列、等比数列求和是数列求和的重要基础，裂项相消求和与错位相减求和是数列求和的难点所在，关键在于能够通过数列的通项公式合理、正确地选择求和方法.1.数列的前n项和与通项的关系(1)数列的前n项和：12n nS a a a=+++L.(2)前n项和nS与通项na之间的关系：11,1,,1,nn nS naS S n-=⎧=⎨->⎩能够利用前n项和nS的关系式求得na，此时要注意1n>；也能够利用na表示前n项和nS.2.等差数列、等比数列的前n项和nS(1)等差数列的前n项和2111()(1)(222nnn a an n dS na d n kn k a+-=+==+=)2d-；(2)等比数列的前n项和111,1,(1), 1.11nn nna qS a a qa qqq q=⎧⎪=-⋅-⎨=≠⎪--⎩3.分组求和法求数列的前n项和分组求和法可以解决形如n n nc a b=+类数列的求和问题，其基本步骤是首先确定通项公式，然后对通项公式进行拆分，拆成几个可以直接求和的数列（最好是等差数列或等比数列），再分别求和后相加即可得到原数列的和.4.裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法的基本思想是把数列的通项na拆分成1n n na b b+=-等的形式，从而在求和时起到逐项相消的目的.比较常见的类型有：(1)1111()()n n k k n n k=-++，(2)11()n k nkn k n=+-++，(3)1111()(21)(21)22121n n n n=--+-+等.采用裂项相消法求数列的前n项和时，要注意系数的问题以及求和逐项相消后前后剩余的项的问题.5.错位相减法求数列的前n项和错位相减法主要应用于求解由等差数列{}n a与等比数列{}n b的对应项之积组成的数列{}n c的求和问题，即求n n nc a b=⋅的和.其一般步骤为先识别数列的通项公式是否为等差数列与等比数列对应项之积构成的数列，并确定等比数列的公比，然后写出前n项和nS的表达式，并在等式两边同时乘以公比或公比的倒数，得到另一个式子，再对两式作差，最后根据差式中间的1n-项构成的等比数列求和，合并同类项即得所求的前n项和.错位相减法的计算过程较为复杂，对计算的能力要求比较高，同时考查的力度也相对较高，应注意加强训练.6.应用数列的递推关系式求通项、求和(1)在形如“1n na aλμ+=+”的递推关系式中，根据数列的某一项求指定项的值的问题，若所求项不是很大，可以采用逐项求值的方法进行；也可以通过递推关系式确定通项，再求指定项的值；(2)在形如“n n S a λμ=+”的递推关系式中，根据数列的某一项求指定项的问题，可以利用1n n n a S S -=-，1n >转化为上述(1)的形式，再按(1)中的方法进行化简、求值、计算.计算过程中要注意1n >.1．（2019年高考全国I 卷文数）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________．【答案】58【解析】设等比数列的公比为q ，由已知223111314S a a q a q q q =++=++=，即2104q q ++=. 解得12q =-，所以441411()(1)521181()2a q S q ---===---． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算3343431315()428S S a S a q =+=+=+-=，避免繁分式计算．2．（2019年高考全国III 卷文数）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.【答案】100【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 【名师点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键.3．（2019年高考江苏卷）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是__________． 【答案】16【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组. 4．（2017年高考江苏卷）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =___________． 【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．5．（2019年高考全国I 卷文数）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=-a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．【答案】（1）210n a n =-+；（2）110()n n *≤≤∈N .【解析】（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a ≥等价于211100n n -+…，解得1≤n ≤10． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n *≤≤∈N ．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.6．（2019年高考全国II 卷文数）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）212n n a -=；（2）2n .【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=．解得2q =-（舍去）或q =4．因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=．（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-， 因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=L ．【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.7．（2019年高考北京卷文数）设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．【答案】（1）212n a n =-；（2）当5n =或者6n =时，n S 取到最小值30-. 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ．因为110a =-，所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+． 因为23410,8,6a a a +++成等比数列， 所以()()()23248106a a a +=++．所以2(22)(43)d d d -+=-+．解得2d =．所以1(1) 212n a a n d n =+-=-． （2）由（1）知，212n a n =-．所以，当7n ≥时，0n a >；当6n ≤时，0n a ≤． 所以，n S 的最小值为630S =-．【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.8．（2018新课标全国Ⅱ文科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值． 【解析】（1）设{a n }的公差为d ， 由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．9．（2018新课标全国Ⅲ文科）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ， 由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =． 故1(2)n n a -=-或12n n a -=． （2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3nn S --=．由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解． 若12n n a -=，则21n n S =-． 由63m S =得264m =，解得6m =． 综上，6m =．10．（2018北京文科）设{}n a 是等差数列，且123ln2,5ln2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n aa a +++L .【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵235ln2a a +=， ∴1235ln2a d +=， 又1ln2a =， ∴ln2d =.∴()11ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（1）知ln2n a n =， ∵ln 2ln2e e e =2nn a n n ==， ∴{}ena 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴212ln2ln2ln221e e e e e e =222=22nn a a a n n ++++=++++++-L L L .∴12e e e n a a a +++L 1=22n +-.【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和共涉及五个基本量1,,,,n n a a d n S ，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.（1）设公差为d ，根据题意可列关于1,a d 的方程组，求解1,a d ，代入通项公式可得；（2）由（1）可得e 2n a n =，进而可利用等比数列求和公式进行求解.11．（2017新课标全国II 文科）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .【解析】设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则a n =−1+（n −1）d , b n =q n−1. 由a 2+b 2=2得d +q =3.①（1）由a 3+b 3=5得2d +q 2=6.② 联立①和②解得{d =3，q =0（舍去），{d =1，q =2.因此{b n }的通项公式为b n =2n−1.（2）由b 1=1，T 3=21得q 2+q −20=0. 解得q =−5，q =4.当q =−5时，由①得d =8，则S 3=21. 当q =4时，由①得d =−1，则S 3=−6.【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两种处理思路：一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.12．（2017新课标全国Ⅲ文科）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=L .（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.【解析】（1）因为a 1+3a 2+…+（2n -1）a n =2n ，故当n ≥2时，a 1+3a 2+…+（2n -3）a n−1 =2（n -1）.两式相减得（2n -1）a n =2， 所以a n =22n−1(n ≥2).又由题设可得 a 1=2， 从而{a n }的通项公式为a n =22n−1.（2）记{an2n+1}的前n 项和为S n ，由（1）知a n2n+1 =2(2n+1)(2n−1) =12n−1-12n+1.则 S n = 11- 13+ 13- 15+…+12n−1-12n+1=2n2n+1.【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类是隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n a n n =++或1(2)na n n =+. 13．（2017年高考天津卷文数）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．【答案】（1）32n a n =-，2n n b =；（2）2(34)216n n +-+．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =，所以2nn b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①； 由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-．所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2nn b =．（2）设数列2{}n n a b 的前n 项和为n T ，由262n a n =-，有2342102162(62)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得23112(12)42626262(62)24(612n nn n T n n +⨯--=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=----L122)2(34)216n n n ++⨯=---，得2(34)216n n T n +=-+．所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为2(34)216n n +-+．【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．1．（河北省正定中学（实验中学）2019-2020学年高三第二学期第三次质检（文科）数学试卷）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知13a 3+S 13＝52，则S 9＝（ ） A ．9 B ．18C ．27D ．362．（2020届安徽省合肥市肥东县高级中学高三下学期4月调研）设数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若113S ≤，410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值为（ ） A ．3 B ．4C ．7-D ．5-3．（2020届名校联盟高三联考评估卷（八））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2 B ．32C ．3D ．4。

高考数学考前冲刺知识点归纳指导2020年高考离我们不远了，那么学生如何在高考到来之前进行数学复习呢?下面就是小编给大家带来的高考数学考前冲刺指导，希望大家喜欢!高考数学考前冲刺指导(一)了解课程标准，熟读考试大纲，紧扣考试说明高考(课程)命题注重考查考生的数学基础知识、基本技能和数学思想方法，考查考生对数学本质的理解水平，体现课程标准对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标要求。

(二)关注近年新课标高考试题，为高三复习指明方向重视新增内容考查，新课标高考对新增内容的考查比例远远超出它们在教材中占有的比例。

例如：三视图、茎叶图、定积分、正态分布、统计案例等。

立足基础，强调通性通法，增大覆盖面。

从历年高考试题看，高考数学命题都把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，即关注学生在学习数学和应用数学解决问题的过程中最为重要的、必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能，紧紧地围绕“双基”对数学的核心内容与基本能力进行重点考查。

突出新课程理念，关注应用，倡导“学以致用”。

新课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识。

加强应用意识的培养与考查是教育改革的需要，也是作为工具学科的数学学科特点的体现。

有意训练每年高考试题中都出现的高频考点。

(三)给高考考生的建议1.再次回归课本。

题在书外，但理都在书中。

对高考试卷进行分析就不难发现，许多题目都能在课本上找到“影子”，不少高考题就是将课本题目进行引申、拓宽和变化。

通过看课本系统梳理高中数学知识，巩固高中数学基本概念。

看课本，有三个建议，一是打乱顺序按模块阅读，二是要注意里面的小字和旁白以及后面的“阅读与思考”，三是对于基础较弱的学生，可把书后典型习题再做一遍。

2.利用好错题本(或者积累本)。

要把自己常犯的错或易忽略的内容在高考之前彻底解决，给自己积极的心理暗示。

3.限时强化训练，全真模拟训练。

除了强化知识，还要学会非智力因素在考试中的应用，适当的懂得放弃。

2020高考文科数学考前提分必备考前速查之记超级结论必记最后一波助攻一、集合、常用逻辑用语、不等式与推理证明1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素。

如{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集。

2．0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}。

3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性。

4．空集是任何集合的子集。

由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B 求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况。

5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则¬q”，其否命题为“若¬p，则¬q”。

6．在对全称命题和特称(存在性)命题进行否定时，不要忽视对量词的改变。

7．对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论。

8．判断命题的真假要先明确命题的构成，由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算。

9．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数时，如果不讨论这个数的正负，容易出错。

10．解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论。

11．求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把f(x)g(x)≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0。

12．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y ＝x ＋3x (x <0)的最值时应先转化为正数再求解。

二、复数、平面向量、程序框图1．复数(1)复数的有关概念(2)运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i 。

2020年高考数学（文科）最后冲刺指导近年高考试题出题特点：（1）试题的设计理念体现“大稳定、小创新、重运算、考思维”。

（2）坚持对五能力两意识的考查：五个能力：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力；两个意识：应用意识和创新意识；注重对数学思想与方法的考查。

（3）体现数学的基础、应用和工具性的学科特色，多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质和思维能力，考查考生对数学本质的理解，考查考生的数学素养和学习潜能。

（4）重视回归课本，每年会借用课本中的一个图形、一个概念的注解、一个例题的思考题或一个练习题等改编包装成高考题。

通过对2011-2019年高考数学全国Ⅰ卷真题（文/理）的研究，发现课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂，从真题中发现命题规律。

文科数学每年必考的知识点有：集合、复数、平面向量、程序框图、三视图、函数与导数、三角函数、圆锥曲线、球的组合体、（概率与统计模块）等。

文科数学每年常考的知识点有：常用逻辑用语、线性规划、数列、解三角形、直线与圆等。

1集合与常用逻辑用语小题 1·集合小题9 年 9 考，每年 1 题，都是交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大。

常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、Z N N 、、*、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式x a 永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是x 还是y 。

例1、已知集合，，则M N =I （ D ）A ．∅B ．C ．{}3,2D ．[3,3]-例2、已知集合，集合，则(A B =I C )A ．(0,)+∞B ．(1,)-+∞C ．[0，)+∞D ．[1-，)+∞例3、集合，，则=B A I （ C ）A ．)1,(--∞B ．]1,(--∞C ．),1(+∞D ．),1[+∞例4、设集合，则(A B =I B ) A ．ϕ B ．(3,4)C ．(2,1)-D ．(4,)+∞例5、已知集合，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为( B ) A ．(4,)+∞ B ．[4，)+∞ C ．(2,)+∞ D ．[2，)+∞2·常用逻辑用语小题9 年 1 考，只有 2013 年考了一个复合命题真假判断．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称，思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂.简单叙述：小范围是大范围的充分不必要；大范围是小范围的必要不充分。

第三章 第1讲[A 级 基础达标]1．若f (x )＝x cos x ，则函数f (x )的导函数f ′(x )＝( ) A ．1－sin x B ．x －sin x C ．sin x ＋x cos x D ．cos x －x sin x【答案】D【解析】f (x )＝x cos x ，则函数f (x )的导函数f ′(x )＝cos x －x sin x ．故选D ． 2．(2018年西安模拟)下列导数运算正确的是( ) A ．(sin x )′＝－cos x B ．(log 2x )′＝1x ·ln 2C ．(3x )′＝3xD ．⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 【答案】B【解析】(sin x )′＝cos x ；(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3；⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2.故选B ． 3．(2018年襄阳模拟)已知f (x )＝sin x －2cos x ，实数α满足(f (α))′＝3f (α)，则tan 2α＝( ) A ．－43B ．43C ．－724D ．724【答案】A【解析】由于函数f (x )＝sin x －2cos x ，由(f (α))′＝3f (α)，得0＝3(sin α－2cos α)，则sin α＝2cos α，可得tan α＝2，因此tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×21－22＝－43.故选A ．4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．2B ．－2C ．94D ．－94【答案】D【解析】因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x ＝2，则f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，所以f ′(2)＝－94.故选D ．5．(2018年临夏模拟)设函数f (x )在x ＝1处的导数为2，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx＝________.【答案】23【解析】由导数的定义，得lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13 lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13f ′(1)＝23.6．(2018年昌吉模拟)如图，函数f (x )的图象在点P 处的切线为y ＝－2x ＋5，则f (2)＋f ′(2)＝________.【答案】－1【解析】因为函数y ＝f (x )的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝－2x ＋5，所以f ′(2)＝－2，f (2)＝－4＋5＝1，所以f (2)＋f ′(2)＝1－2＝－1.7．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋[f (x )]2的最大值； (2)若f (x 0)＝2f ′(x 0)，求1＋sin 2x 0cos 2x 0－sin x cos x 0的值．【解析】(1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝cos x －sin x ，代入F (x )＝f (x )f ′(x )＋[f (x )]2，易得F (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当2x ＋π4＝2k π＋π2⇒x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，[F (x )]max ＝2＋1.(2)由f (x 0)＝2f ′(x 0)，得sin x 0＋cos x 0＝2(cos x 0－sin x 0)，所以cos x 0＝3sin x 0，则tan x 0＝13. 所以1＋sin 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0＝2sin 2x 0＋cos 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0＝2tan 2x 0＋11－tan x 0＝116.8．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．【解析】(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(2)＝1.又f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)．因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)． 又切线过点P (x 20，x 30－4x 20＋5x 0－4)， 所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[B 级 能力提升]9．已知函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12【答案】A【解析】f ′(x )＝g ′(x )＋2x .因为y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以g ′(1)＝2.所以f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝2＋2＝4.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为4.故选A ．10．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B ．32 C ．52D ． 2【答案】D【解析】点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y ＝x －2的斜率为1.由y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故曲线y ＝x 2－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x －2的距离等于2，故点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.故选D ．11．(2018年德阳模拟)已知函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，下列关于f (x )，f ′(x )的描述正确的是( )A ．若f (x )为奇函数，则f ′(x )必为奇函数B ．若f (x )为周期函数，则f ′(x )必为周期函数C ．若f (x )不为周期函数，则f ′(x )必不为周期函数D ．若f (x )为偶函数，则f ′(x )必为偶函数 【答案】B【解析】对于A ，如f (x )＝x 3为奇函数，则f ′(x )＝3x 2，为偶函数，故A 错误；对于B ，f (x )是可导函数，则f (x ＋T )＝f (x )，两边对x 求导得f ′(x ＋T )＝f ′(x )，周期为T ，故若f (x )为周期函数，则f ′(x )必为周期函数，故B 正确；对于C ，如f (x )＝sin x ＋x 不是周期函数，但f ′(x )＝cos x ＋1为周期函数，故C 错误；对于D ，如f (x )＝x 2为偶函数，但f ′(x )＝2x 为奇函数，故D 错误．故选B ．12．(2018年邯郸二模)若过点P (－1，m )可以作三条直线与曲线C ：y ＝x e x 相切，则m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－3e 2，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫－1e ，0 C ．(0，＋∞) D ．⎝⎛⎭⎫－3e2，－1e 【答案】D【解析】设切点为(x 0，x 0e x 0)，由y ＝x e x ，可得y ′＝(x ＋1)e x ，过点P 的切线方程为y －x 0e x 0＝(x 0＋1)e x 0(x －x 0)，将P (－1，m )代入，得m ＝(－x 20－x 0－1)e x 0，即该方程有三个不等根即可．令f (x )＝(－x 2－x －1)e x ，则f ′(x )＝(－x －1)(x ＋2)e x ，函数在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，故得到f (－2)＜m ＜f (－1)，即⎝⎛⎭⎫－3e2，－1e .故选D ．13．已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 019x 1＋log 2 019x 2＋…＋log 2 019x 2 018的值为________．【答案】－1【解析】f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1， 点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1，所以x 1·x 2·…·x 2 018＝12×23×34×…×2 0172 018×2 0182 019＝12 019，则log 2 019x 1＋log 2 019x 2＋…＋log 2 019x 2 018＝log 2 019(x 1x 2…x 2 018)＝－1.14．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．【解析】根据题意有f ′(x )＝1＋2x 2，g ′(x )＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.又f(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－(－1)＝3(x－1)，即3x－y－4＝0.又g(1)＝－6，所以曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－(－6)＝3(x－1)，即3x－y－9＝0.所以，两条切线不是同一条直线．15．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【解析】(1)由已知，得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0.所以a＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)．将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11.①由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10.所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，存在k＝0，使直线m：y＝9是y＝f(x)与y＝g(x)的公切线．。