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计算方法 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式

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牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式

牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
( c 02 ) =
1/8 16/45 25/144 34/105
2989/ 17280 10496/ 28350
7/90 25/96 9/280
2989/ 17280 -4540/ 28350
19/288 9/35
1323/ 17280 10496/ 28350
41/840
3577/ 17280 -928/ 28350 751/ 17280 5888/ 28350 989/ 28350
k
xj
dx
在[a, b]作等距的插值基点 a=x0<x1<……<xn=b ， 作等距的插值基点
A =∫ ∏ dx k a j=0 x x j k
j≠k
b n
xxj
ba , x k = a + kh , k = 0,1 , n 设节点步长 h = n
积分作变量替换x= 积分作变量替换 a+th
步长
当x=a时 当x=b时
t=0， t=n，
t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n) Ak = ∫ lk ( x)dx = h∫ dt nk 0 a k !(n k )!(1) (1)nk n = h ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )! nk n (1) =nh ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )!n
Newton-Cotes公式 公式
牛顿—柯特斯 牛顿 柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 柯特斯 求积公式
Newton—Cotes公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式

牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式

牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )

72第二节 牛顿—柯特斯公式

72第二节 牛顿—柯特斯公式
j 0 2k
(u j )
j k
k
是奇函数，故在对称区间上的积分为0，即Rn(f)=0. 这就证明了n阶牛顿-柯特斯公式在n为偶数的时 候代数精度至少为n +1，从而定理得证.
数学学院 信息与计算科学系
抛物线公式(Simpson 公式)是n=2 时的牛顿-柯 特斯公式，故其代数精度至少为3，但由于
(b a )7 (6) f ( ) 1935360
[ a , b]
数学学院 信息与计算科学系
例1 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公 式计算积分 1 1 I dx 2 0.6 1 x 解 由梯形公式得
1 0.6 1 1 I T 0.2470588 2 2 2 1 0.6 11
n
n
( n) 当C k 有正有负时 , 因为
n
而 | C
k 0
n
( n) C k 1 k 0
( n) k
| 可能会很大, f (xk) 可以取得足够精确,
但初始数据的误差对计算结果影响会很大, 方法
可能是不稳定的.
(k=0,1,…,n) 记 则有
( n) Ck n n ( 1) ( t j )dt (k=0,1,…,n) 0 nk !( n k )! j k n k
( n) Ak ( b a )C k ,
数学学院 信息与计算科学系
于是得求积公式
n k 0 ( n) I n Ak f ( xk ) (b a ) C k f ( xk ) k 0 n
由辛卜生公式得 1 0.6 1 1 1 IS 4 0.2449546 2 2 2 6 1 0.6 1 0.8 1 1

第七章数值微积分

第七章数值微积分

Ck(n)
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
误差估计 （一）求积公式的代数精确度 若当f(x)为任意次数不高于m的多项式时，求积公 n b 式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
f ′′( x − θ 2 h) f ( x ) − f ( x − h) f ′( x) − =− h = O ( h) h 2
f ( x + h) − f ( x − h) f ′( x) − 2h f ′′′( x + θ 1 h) + f ′′′( x − θ 2 h) 2 =− h = O(h 2 ) 12
a k =0
均成立，而对某个m+1次多项式，公式不精确成立， 则称该求积公式具有m次代数精确度. 可以验证：梯形公式具有1次代数精确度。 事实上，由f(x)为1次多项式， f ′′(ξ ) R1 ( x ) = f ( x) − L1 ( x ) = ( x − a )( x − b) = 0 2
⇒∫
求导得且分别 代入三点有:
截断误差
h2 ′ f ′′′(ξ 0 ) R2 ( x 0 ) = − 3 h2 ′ f ′′′(ξ1 ) ξ 0 , ξ1 , ξ 2 ∈ (a, b) R2 ( x1 ) = − 6 h2 ′ f ′′′(ξ 2 ) R2 ( x1 ) = 3
b
a
b−a f ( x)dx = ∫ L1 ( x)dx = [ f (a ) + f (b)] a 2
b
b
若取f(x)=x2 ⇒ ∫a

4-2牛顿—柯特斯公式

4-2牛顿—柯特斯公式

而 n= 4时的牛顿—柯特斯公式为
ba C [7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )] 90 ba x k a kh, h 这里 4
特别称为 柯特斯(Cotes)公式*
注：其余柯特斯系数详见书上p104表4-1.
二、偶阶牛顿-柯特斯求积公式的代数精度
作为插值求积公式，n阶牛 顿 — 柯特斯公式至少具有 n 次 代数精度，那么
是否有更进一步的结果？
两个简单偶阶求积公式的代数精度
辛甫生(Simpson)公式
ba ab S [ f (a ) 4 f ( ) f (b)] 6 2
首先它是二阶公式，因此至少具有二次代数 精度，进一步考察当 f(x)=x3时，

n
0
t j dt j 0 k j jk
n
1 n 1 n j 0 k j
jk
0
n
( t j )dt ( h b a ) j 0
jk
n
n
n n 1 1 1 ( t j )dt n k ( k 1)...1 ( 1)( 2)...( k n) 0 j 0 jk
所以 余项为
max | f ( x ) | f (1) 8.1548
1 x 2
f ( ) | RT | (b a ) 3 12
( 2 1) max | f ( x ) | 0.6796 12 1 x 2
3
用辛甫生公式计算
1 1 21 1.5 2 e dx ( e 4 e e ) 2.0263 1 6
解
2
dx 的近似值，并估计余项。

第3章 数值积分和数值微分

第3章 数值积分和数值微分

数值分析
插值型求积公式的代数精度
若形如 ab f ( x)dx n的A求k f积( x公k 式) 至少有n k 0
次代数精度，则
b
n
a l k ( x)dx
A j l k ( x j ) Ak
j 0
因为
l k (x j ) δkj
1 0
k j k j
故此时求积公式是插值型的。
定理：形如
A0 f (x0 )
解：令f (x) 1, x，得方程组： 解之得
x0
1 (a b) 2
A0
x0
A0
(b
b
2
a a2
)
/
2
于是得求积公式为 b f (x)dx (b a) f (b a )
a
2
数值分析
用代数精度来构造求积公式
例3：给定形如
1 0
f
(x)dx
A0
f
(0)
A1
f
Ai
b
a li ( x)dx
b a
n
i0, ik
x xi dx xk xi
h
n
0
n
i0, ik
ti ki
dt
(b
a
)C
(n k
)
数值分析
§4.2 牛顿—柯特斯公式
其
中C
(n k
)为
柯
特
斯(Cotes)系
数
C (n) k
(1)nk n k!(n k)!
n
0 t(t 1) (t k 1)(t k 1) (t n)dt
1 (1)nk
nn
( (t i))dt, (k 0, , n)

4.2牛顿-柯特斯公式


函数值f ( xk )的计算引起
只需讨论f ( xk )的舍入误差对公式的影 响
假设f ( xk )为精确值, 而以f ( xk )作为f ( xk )的近似值 (计算值)
k f ( xk ) f ( xk ) 为误差
记
(n) ( b a ) C In k f ( xk ) k 0 n n
梯形(trapezia)公式具有1次代数精度
2.Simpson公式及其余项
ba ba 取n 2 , 则x0 a , x1 , x2 b , h 2 2
Cotes系数为
C
(2) 0
1 2 1 (t 1)( t 2 )dt 4 0 6 1 2 4 t (t 2 )dt 0 2 6 1 2 1 (t 1)tdt 4 0 6
n
n
n 2
n
n 2
2
被积函数 ( j )是奇函数
n 2
n 2
n n n n g ( ) ( j ) ( )( 1) ( 1)( ) 2 2 2 2 n 2 n n n n g ( ) ( )( 1) ( ) ( 1)( ) 2 2 2 2 g ( ) (1) n1 g ( ) g ( )
上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式 记为
S I2 ( f )
4.5 4 3.5
Simpson公式的余项为
3 2.5
R( S ) R( I 2 ) a R2 ( x)dx
b a b a 4 (4) ( ) f ( ) 180 2
b
2 1.5 1 0.5 0 -0.5

73第三节 复合求积公式


1 I S2 n 2 S2 n Sn 4 1 这从而有递推化(变步长)的复合辛卜生公式. 进一步，还可以得到递推化(变步长)的复合牛 顿-柯特斯公式. 这里就不在赘述了.
得到
数学学院 信息与计算科学系
2. 复合辛卜生公式 将积分区间[a, b]2n等分, 步长h=(b-a)/2n，节点为 xk=a+kh, k=0,1, …,2n，则在每个子区间[x2k, x2k+2]上 的积分用辛卜生公式，得
I f ( x )dx
b a n 1 k 0 n 1 x2 k 2 x2 k
(1)用复合梯形公式计算，由误差估计式有
( b a )3 e 1 4 R f ( ) 10 12n2 12n2 2
e 102 67.3087, 计算有 n 6 故取n=68，即将区间[0, 1]进行68等分就满足要求.
(2)用复合辛卜生公式计算，由误差估计式有
n，但这要用到高阶导数，一般是比较困难的.
数学学院 信息与计算科学系
在实际中，常采用积分步长h的自动选取， 具体说，就是在求积过程中，将步长逐次折半， 反复利用复合求积公式，直到相邻两次的计算结
果之差的绝对值小于允许误差为止，这实际上是
一种事后估计误差的方法.
数学学院 信息与计算科学系
对复合梯形公式，将区间[a, b]n等分的余项式为
2k 1 f f (1) 8
数学学院 信息与计算科学系
3 3 1 4 4 4 4 2 4 2 2 k 2 2 k 1 2 24 1 0 1 ( ) 1 ( ) 1 1 k 1 k 0 4 8
3 3 1 3 16 64 2 4 2 2 6 2 16 k 64 (2 k 1) k 1 k 0

数值计算方法 复化求积公式 - 复化求积公式


nn
(t
0 j0
j )dt
jk
柯
特点： 插值型的、节点等距
特 斯
存在问题： 节点较多时，高次插值的不稳定导致高阶N-
公
K
式
解决办法公：式的复不化稳求定积。
复化求积法：区间分成若干子区间,在每个子区间上用低 阶求积公式。
N=1时的牛-柯公式
1
梯 形 公 式 T b a f a f b
牛 顿 －
xk1 xk
f
( x )dx
h[ 2
f
(xk )
f
(
xk
1
)]
h3 12
f ''(k )
k [ xk , xk1]
求和可得
I
b
n1
f (x)dx
xk1 f ( x )dx
a
k0 xk
h 2
n1
[
k0
f
(
xk
)
f ( xk1)]
Rn ( f )
2
记
Tn
h 2
n1 k0
[
f
(
xk
)
f ( xk1)]
b
lim
n
T
n
a
f ( x)dx,
复 化
事实上
h n1
Tn
2
[
k0
f
(
xk
)
Hale Waihona Puke f ( xk1 )]梯 形 公
1 b a n1
ba n
2 n
f (xk )
k0
n
f ( xk ).
k 1
式 的 收
lim

牛顿-柯特斯公式


(a, b )
3 . 柯特斯公式的余项
若f
( x ) 在 [ a , b ]上连续 , 则柯特斯公式的余项为
6 (6)
2 (b a ) b a R4 [ f ] I C f 945 4
( ), [ a , b ]. (2.8)
四 复化求积公式
所以I = S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多 项式准确成立，用同样的方法可以验证对于f (x)=x4，辛 卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三 次。
定理3
2 n 阶 N C 公式至少具有 2 n 1次代数精度 .
2 n1
证明 : 设 f ( x ) a 2 n 1 x R2 n ( f )

b a
H ( x ) dx
ba 6
( H (a ) H (
a b 2
) H ( b ))
因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分： (4) f ( ) ab 2 b
RS I S
a
2
由于 ( x a )( x
ab
4!
( x a )( x
2
0 t ( t 2 ) dt
2
4 6

( 1)
1
2 1! 1!
0 t ( t 2 ) dt
2
1 6
当 n 2 时 , 得到 辛普森(Simpso n)公式 6 当 n 4 时 ,得到 柯特斯(cotes) 公式
C ba 90
a f ( x )d x S
此时复化梯形公式为
12
( b a ) k 1
f ( k ) n
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k 0 (n) k
n
称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数
柯特斯系数的性质
1. 将区间[a, b]分为n等分，则n+1个柯特斯系
数之和为1
k 0
C
n
k
1
证：由于插值型积分公式的系数Ak 之和等于（b-a） 由关系： 得：
Ck
k
1 Ak b a
n
k 0
C
n

k 0

1 1 Ak b a b a

b
a
f(x)dx
ba 7f(x 0 ) 32f(x1 ) 12f(x2 ) 32f(x3 ) 7f(x 4 ) 90
7/90
16/45
2/15
16/45
7/90
定理4.4（柯特斯公式的误差）设在[a, b]上具有连续的 6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为：
8 R 4 (f) 945
对n=6, 7, 8的情况，见教材。
几个重要的低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分
别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特
斯公式。

b
a
f(x)dx (b a) C f(x k ，x ) k a kh
k 0 (n) k
n
(1) 梯形公式（是插值型求积公式） 当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式
定理的证明从略。
b a (6) 4 f (η )，η (a, b)
当b-a>4时，误差较大； b-a<4时，误差较小
7
总结：Newton-Cotes公式给出了等距节点的插值型求积 公式的统一计算公式。
定义：在插值求积公式


b
b
a
f(x)dx
中,当所取节点
生公式具有3次代数精度，柯特斯公式具有5次代数精度， 它们对被积函数为3次多项式当然是精确成立的。
复合求积公式
(2) 用辛卜生公式
0.5
0.75
1
1]

1
0.5
1 0.5 xdx [ 0.5 4 (0.5 1)/2 6 1 [0.70711 4 0.86603 1] 12
0.43093403 0.43093
误差
(1 0.5)5 (4) (1 0.5) 5 15 1 R 2 (f) f (η ) 2880 16 η 3 η 2880
C1
( 1)0 1 1!0!
1 0 tdt 2
1
似曾 相识
当n=2时，由
C
(n) k
( 1)n k nk! (n k)!
( (t
0 i0 i k
n
n
i))dt
( 1)2 2 1 C0 (t 1)(t 2)dt 0 2 0!2! 6 C1 C2 ( 1)1 2 1!1! 2 0 t(t 2)dt 3
4.2 牛顿—柯特斯求积公式 定义：在插值求积公式

b
a
f(x)dx

b
a
P(x)dx Ak f(x k )
k 0
n
中,当所取节点
n
a x0 x1 xn b 是等距
)， Ak
n
时称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式，其中：
P(x)
k 0
k! h (1)
k
n k
(n k)! h
n k
(1)nk k! (n k)! hn
a=x0 x1 x2
xi
xk
xn=b
作变量替换
x a th
a
并注意
b n
xi a ih
得：
Ak
l ( x ) dx k
a
b

i 0 i k
x xi dx x k x i
( (t i))dt
0 i0 i k
n
n
k=0,…,n
n=1，梯形公式；n=2, 辛普生公式；n=4，牛顿-柯特 斯公式. Home
牛顿-柯特斯求积公式例题
例4.11 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式
计算定积分
1
0.5
xdx 的近似值 .
0.5 1
(1) 用梯形公式计算

C(n) k
则
n n ( 1)n k ( (t i))dt, k 0,1,..., n nk! (n k)! 0 i 0 i k
Ak (b a)C ， k 0,1,..., n
(n) k
代入插值求积公式(4.1)有


b
a
f(x)dx (b a) C f(x k )
( (t i))hnhdt
i0 i k n
( 1)n k k! (n k)! hn

n
0
n n ( 1)n k (b a) ( (t i))dt nk! (n k)! 0 i 0 i k
ba 注：最后一步用到：h n
引进记号(柯特斯系数)
1 R 2 (f) 90
b 2
a (4) (b a)5 (4) f (η ) 2880 f (η ) η ( a,b)
5
定理证明从略。
当b-a>2时，误差较大； b-a<2时，误差较小
(3) 柯特斯公式（是插值型求积公式）
当n=4时，牛顿-柯特斯公式为：
31 C 7f(1) 32f(1.5) 12f(2) 32f(2.5) 7f(3) 90 1 35 125 62 7 32 12 9 32 7 9 45 8 8 3
知其误差为 R ( f) 0
62 该定积分的准确值 I ，此例说明，对于同一 3 个积分，当n≥2时，两个公式都是精确的。原因：辛卜
2
积分的准确值为

1
0. 5
2 x dx x 3
3 2
|
1 0. 5
0.43096441
可见，三个求积公式的精度逐渐提高。 精度
柯特斯公式
辛卜生公式
0.43096
梯形公式
0.426777
0.43093
例4.12 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分
3 2 (x 2x 7x 5)dx 3
k 0
A
n
k
1 (b a) 1 b a
2. Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数f(x)的
常数，只要给出n，就可以算出柯特斯系数。
C(n) k
( 1) nk! (n k)!
n k
( (t i))dt
0 i0 i k
n
n
例如，当n=1时
C0
1 1 1 (t 1)dt 1 0!1! 0 2
（2） 辛卜生公式（是插值型求积公式）
当n=2时，牛顿-柯特斯公式就是辛卜生公式

b
a
1 ab f(x)dx (b a)f(a) 4f( ) f(b) 6 2
1/6 2/3 1/6
定理4.3（辛卜生公式的误差）设f(x)在[a, b]上具有连 续的四阶导数，则Simpson公式的误差为
1 [4.94975 25.29822 10.39223 180 29.93326 7] 0.43096
8 R 4 (f) 945
b a (6) 4 f (η )，η (a, b)
11
7
15 7 9 2 (6) f (x) ( )( )x 16 2 2
k 0 (n) k
n
柯特斯系数列表：当n=8的时候，出现负值，不稳定
n 1 2 3 4 5 Ck 1/2 1/2 1/6 2/3 1/6 1/8 3/8 3/8 1/8 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
1 0.5
(1 0.5)5 15 1 0.55 15 1 0.52 15 | R 2 (f) | 3 3 2880 16 η η 2880 16 0.5 0.5 2880 16 0.25 15 1 0.0001151 2880 16 0.707
| R 2(f) | 0.0001151
1 15 7 9 5 8 16 2 2 2 2
7 7
7
8 945
1 15 7 9 1 8 945 1 8 1 1 2 2 945 2 8 2 4 8 4 2 2 0.0000026 2097152 524288
时称为牛顿-柯特斯公式：
n a
a x0 x1 xn b 是等距

b
a
P(x)dx Ak f(x k )
k 0
n
f(x)dx (b a) C(n) ) k a kh k f(x k ，x
k 0
C(n) k
( 1)n k nk! (n k)!
7
8 1 15 7 9 2 R 4 (f) ( )( )( )η ，η (0.5,1) 945 8 16 2 2
8 | R 4 (f) | 945 1 15 7 9 8 16 2 2 2
7
7 11 2
11
8 945
计算方法 (Numerical Analysis)