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第十章 足球队排名问题(II)_层次分析法

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足球队排名次 第1组

足球队排名次 第1组

B题足球队排名次01组B 题 足球队排名次摘 要本文对十二支球队的排名进行了讨论与分析，并推广到任意N 个队的排名。

鉴于该问题是半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题，我们主要利用层次分析法对此作出决策。

首先将该问题的层次结构模型分为三层，即目标层、准则层、球队层，然后构造判断矩阵及一致性检验，使用MATLAB 软件，求解各矩阵的权向量：(0697.00615.00285.01275.00832.01199.0)T 0572.00339.00827.00868.00805.01670.0 再通过总体一致性检验，得总体一致性很好，由此提供较有说服力的结果。

显然，排出了十二支球队的名次：411125*********T T T T T T T T T T T T 。

关键词：层次分析法(AHP) 归一化 一致性检验 权向量 最大特征值一、问题重述在1988~1989年足球甲级联赛中12支球队进行循环赛，记录了队与队之间比赛的场次及比分，如表一所示要求：(1) 设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法，并给出用该算法排名次的结果。

(2) 把算法推广到任意N个队的情况。

(3) 讨论：数据应具备什么样的条件，用你的方法才能够排出诸队的名次。

1212(2) 符号X表示球队未曾比赛。

(3) 数字表示两队比赛结果。

如：T3与T8比两场，比分为0:1和3:1。

二、符号说明O目标层；C准则层；P球队层；CI一致性指标；RI随机一致性指标；CR一致性比率；A判断矩阵；i判断矩阵的最大特征值；maxW最大特征值对应的特征向量；in判断矩阵的阶数；三、模型假设1、各个球队水平发挥正常；2、裁判吹罚公平；3、外界环境和场地对两队球员的发挥都不造成影响；4、每支球队所参加的比赛场数的多少对平均积分影响不大；四、模型的建立与求解在足球循环比赛中，排名规则为：1、积分高者排名靠前；2、总净胜球高者排名靠前；3、总进球数高者排名靠前。

模糊分析法解足球队排名问题-数学建模

模糊分析法解足球队排名问题-数学建模

模糊分析法解足球队排名问题摘要：本文解答了93年全国大学生数学建模竞赛B题，运用模糊聚类分析法，讨论了足球队比赛的排名问题。

首先，我们将数据进行预处理，求出每队的胜,负,平以及总场数，归一化处理后作为建模的影响因子，然后由相似系数构建模糊相似矩阵，最后构建模糊等价矩阵截取进行排名，并将得到的结果从12支队推广到了N支队的情况。

本文中所用的方法经过验证，得到的结果合理，可信。

关键词：模糊分析法，相似系数，比赛排名一问题分析根据题目所给的表格，我们能得到的数据是残缺和不整齐对称的，这样就给排名造成了困难。

例如在图表中，T1队和T2队打了三场比赛，和T5只打了一场比赛，和T11没打比赛。

这样如果只是单纯的利用胜利的场数来进行排名，所得到的结果必定是不完善的，同时也是不准确的。

因此为了得到较完善的结果，我们可以先将每个队所参加的比赛中，胜，负和平的场数列表如下，得到每个队实力的大概了解。

表一接着，我们分析各队在每场比赛中的平均进球数，失球数和进失球数差数，这些数据也有助于我们进一步了解各队的实力。

列表如下：表二通过表一，二的分析，我们可以确定T7是最好的，T4是最差的，但是对于其他的球队仅以上述数据还是无法得出准确可信的排名。

为了得出合理可信的排名，我们还应该考虑，Ti与其余各队的比赛成绩，由于有的对和其余的对没有比赛，其成绩难以确定。

为了解决这个难题，我们准备先制定一个规则，为各队定义一组特征数据，同时计算各队之间的模糊相似度。

最后综合表一二，即可得出合理的排名出来。

二模型假设1,基本假设1) 参赛各队存在客观的真实实力,这是任何一种排名算法的基础2) 在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比是以它们的真实实力对比为中心的互相独立的正态分布,这条假设保证了我们可以以比赛成绩为依据对球队的真实实力进行排名,3) 每场比赛对于排名的重要性相同，每个进失球对于排名也同样重要。

4) 确定各队的特征数据时，仅计算进失球的差数。

足球队排名问题II层次分析法

足球队排名问题II层次分析法

AW
a2, 1 L
a2, 2 L
L L
a1, n a2, n L
w1 w2 L
n
w1 w2 L
nW
(3)
an,1 an, 2 L
an,
n
wn
wn
这说明W 还是成对比较矩阵A的特征向量，对应的特 征值为n，理论上已严格地证明了n是A的唯一最大特
征值。按类比法，我们也可以用求最大特征对的办
法来得到重要性向量。这就是下面的特征根法计 算相对权重的由来。
（1）权重计算方法
已知n个元素u1,u2,…,un对于准则C的判断矩阵为A，
求u1,u2,…,un对于准则C的相对权重 1,2 ,L ,n ,
写成向量形式即 W (1 , 2 , , n )T .
①列和归一化： 将判断矩阵A的n个行向量归一化
（iii）A的任意两行成比例，比例因子大于零，从而 rank( A) 1 （同样，A的任意两列也成比例）。 （iv）A的最大特征值 max n ，其中n为矩阵的阶。A的 其余特征根均为零。 （v）若A的最大特征值对应的特征向量为
W (w1, w2 , L , wn )T
w1
w2
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
j 1
wn
a1, j
a2,
j
M
an, j
(2)
根据类比性，我们猜想因素的重要性向量与成 对比较矩阵之间也有同样的关系存在。这就是 下面给出的计算相对权重的列和归一化方法的 思想。
类似的分析还可给出几何平均法计算权重的思想。
对(1)式进一步观察，还有
a1,1 a1, 2 L
系统分析法：层次分析法, 它将定性分析和定量分析相结 合，把人们的思维过程层次化和数量化，在目标结构复 杂且缺乏必要的数据情况下尤为实用

足球队排名

足球队排名

多种思路解决足球赛排名次问题摘要本题是一个给定了足球比赛时，两两相比的比分，然后给12支球队排名，并推广到n 支球队的问题。

模型一中，我们用了层次分析法中的成对比较阵求出各队的权重，然后进行排名。

对于题中比分的残缺问题，用了辅助矩阵来解决。

用这种方法给足球队排得名次为：411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T模型二中，我们列出了评判球队实力的三个因素：场均积分，场均净胜球数，场均进球数，然后根据问题中各因素的因果关系将其分为三层，即目标层、准则层和决策层。

由准则层与目标层、决策层与准则层之间的关系，分别建立准则层对目标层、决策层对准则层的判断矩阵，并对判断矩阵的一致性进行检验，得出的一致性指标10.0<CI ,可靠度较高。

然后再确定三者的权重，分别建立判断矩阵，再求出组合权重，最终可排出最后的名次。

用这种方法给足球队排得名次为：411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T可见，两种方法得出的结论是一致的，可互相验证两种模型的正确性。

题中的比较矩阵均为一致阵，所以可以推广到n 支球队的情况，而且对数据没有要求。

但是比赛场次越多，数据残缺越少，越能反映各队的真实实力。

一．问题重述本题给出了12支球队间相互比赛的比分，要求我们设计能依据所给数据给12只球队排名的算法，并推广到N个球队，同时给出当我们算法成立时数据所说明：（1）12支球队依次记作T1,T2,…T12。

（2）符号X 表示两队未曾比赛。

（3）数字表示两队比赛结果，如T3行与T8行交叉处的数字表示：T3与T8比赛了2场；T3与T8的进球数之比为0：1和3：1.二． 模型假设1. 比赛的结果真实可靠2. 评判球队的实力只看场均净胜球，场均积分，及场均进球数3.三． 符号说明模型一：1. j i ij T T a 表示两球队的实力之比2. ij m 为i T 与j T比赛，平均每场的净胜球数 3. A 表示判断矩阵4. A~表示辅助矩阵 模型二：1. k p 表示12支球队，k=1,2, …12 2．1C 表示因素：场均积分 3. 2C 表示因素：场均净胜球 4. 3C 表示因素：场均进球数5. A 表示准则层对目标层的判断矩阵6. i w 表示决策层对准则层的比较矩阵，i=1,2,37. 1W 表示准则层对目标层的权重；8. 2W 表示方案层对准则层的权重；⎪⎩⎪⎨⎧==+≠≠=0a ，0的个数0行为第,,10a 且,a ~ij i i ij ij ij i m j i m j i a 9. W 表示方案层对目标层的组合权重；四． 模型建立与求解模型一：利用层次分析法中的成对比较阵排序Step1:构造判断矩阵 元素确定原则：令i=1,2, ...12；j=1,2, (12)⑴若i T 与j T 比赛时互胜场次相等，则 a. 净胜球等于0，直接令ij a =ji a =1； b. i T 净胜球多于j T ，则认为i T 胜j T 一场； ⑵i T 胜j T k 场，k>0,则⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤≤=4,941,2k k k b ijij m 为i T 与j T 比赛，平均每场的净胜球数⎪⎩⎪⎨⎧<-≤≤>=0,120,02,1ij ij ij ijm m m c ij a =ij b +ij cji ij a a 1=若两队无成绩，则令0a ==ji ij aStep2:构造辅助矩阵A~ 令Step3：求最大特征根和特征向量 用MATLAB 编程可得()0015.0,0996.0,0546.0,0089.0,0869.0,3867.0,0404.0,0416.0,1526.0,1853.0,0964.0,1680.0-----=WStep3：排序根据求出的最大特征向量，可得12个队的排名为：411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T模型二：层次分析法层次分析法中，要确定目标层，准则层，决策层。

10足球队排名问题

10足球队排名问题

2) 建立层次结构模型是进行层次分析的基础，它将思维过 程结构化、层次化，为进一步分析研究创造了条件。
步2 构造判断矩阵 层次结构反映了因素之间的关系，例如上图中目标层利润 利用是否合理可由准则层中的各准则反映出来。但准则层中的 各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心 目中，它们各占有一定的比例。
竞赛图法
完全图的定向图 G=(V,E) ---- 竞赛图
应用: 循环比赛的名次 • n支球队循环赛，每场比赛只计胜负，没有平局。 • 根据比赛结果排出各队名次
例 6支球队比赛结果
1 2
6
3
方法1：寻找按箭头方向通过 全部顶点的路径。 312456 146325 …… 无法排名
5 4
方法2：计算得分：1队胜4场，2, 3队各胜3场，4, 5 队各胜2场， 6队胜1场。 2, 3队， 4, 5队无法排名 3→2，4 →5 排名 132456 合理吗
s
(7)
s ( 6 ) = ( 9 ,8,5,8 ) T
(8 )
s = As
(k )
( k −1)
(k )
=Ae
k
= (13 ,13 ,8,9 ) , s
T
= ( 21,17 ,9,13 )
T
k → ∞, s
→?
""
双向连通竞赛图的名次排序
s = As
(k )
( k −1)
=Ae
k
• 对于n(>3)个顶点的双向连通竞赛图，存在 正整数r，使邻接矩阵A 满足Ar >0，A称素阵 • 素阵A的最大特征根为正单 根λ，对应正特征向量s，且
在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时， 遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。虽然你必须 让决策者根据经验提供这些数据，但假如你提出“调动职工 积极性在判断利润利用是否合理中占百分之几的比例”之类 的问题，不仅会让人感到难以精确回答，而且还会使人感 到你书生气十足，不能胜任这一工作。此外，当影响某因 素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的 影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出 与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能 提出一组隐含矛盾的数据。

足球排名问题优秀论文

足球排名问题优秀论文

B题足球比赛的排名问题组号：14足球比赛的排名问题摘要本文讨论问题是足球比赛的排名方案。

本文求解这一问题用到的数学方法主要是是层次分析法。

文中利用层次分析法，根据题中给出的足球比赛成绩求出了足球比赛的排名顺序，并且运用矩阵论、图论等方面的知识验证了利用层次分析法进行足球比赛的排名是较为科学的。

本文考虑了比赛可能出现的两种情况：一种情况是偶然因素，某支球队侥幸获胜或发挥失常，导致比赛成绩不能反映各足球队的真实水平，或者是在比赛成绩中出现了一些相互矛盾的结果，另一种情况是比赛场次安排不够完全，即存在某几个球队之间的优劣无法比较的情况。

前者反映在层次分析法的一致性比率上，后者反映在所构造的图的连通性上。

最后我们应用建立的模型求出了题中所给的12支球队的排名情况，从左到右为第一名至第十二名：7 3 1 9 10 8 2 12 6 5 11 4。

此外，使用本文建立的数学模型的前提是数据必须是不可约的（即构造的判断矩阵是连通的），且数据必须满足层次分析法的一致性比率。

关键词：足球赛排名层次分析法矩阵图论一、问题重述按照题中要求，本文需要依据所给出的足球队比赛成绩给出反映球队真实实力的成绩排名。

这就需要建立一个数学模型，可以根据足球队的比赛成绩得到足球队的实力排名，而且这一模型应该有较好的健壮性。

应该满足以下几点要求：（1） 科学合理；（2） 保持一定的一致性；（3） 能够克服数据残缺；（4） 能够判断成绩表的可约性；（5） 结果具有稳定性。

要求（1）科学合理，即球队的成绩排名是从足球队比赛成绩中得来的，符合比赛结果。

要求（2）保持一定的一致性，即足球队比赛成绩可能存在偶然因素，或数据不完美，导致球队的成绩排名不精确，但是误差应该是在一个可以控制的范围。

要求（3） 能够克服数据残缺，即某两个球队之间并没有直接进行比赛，但是可以通过整体数据判断出两球队能力之别。

要求（4） 能够判断成绩表的可约性，不可约即不会出现有某些球队之间无法比较实力的现象。

第十章 足球队排名问题(III)_建模举例


准则层
A1 景色
A2 费用
A3 居住
A4 饮食
A5 旅途
方案层
B1 桂林
B2 黄山
B3 北戴河
（2）构造成对比较的判断矩阵
1 2 1 A 4 1 3 1 3
1 A2 3 8 1 3 1 3 1 8 1 3 1
W3 (0.125, 0.125, 0.375, 0.375, 0)
T
总排序与一致性检验
上述过程中求出的是同一层次中相应元素对于上一层次 中的某个因素相对重要性的排序权值，这称为层次单排序。 若模型由多层次构成，计算同一层次所有因素对于总目标相 对重要性的排序称为总排序。这一过程是由最高层到最低层 逐层进行的。 设上一层次A包含m个因素A1, A2, …, Am，其总排序的 权重值分别为 a1, a2, …, am ；下一层次 B 包含k个因素 B1, B2, …, Bk，，它们对于Aj的层次单排序的权重值分别为b1,j , b2,j, …, bk,j (当Bi与Aj无联系时，bi,j = 0 )；此时B层i元素在 总排序中的权重值可以由上一层次总排序的权重值与本层次 的层次单排序的权重值复合而成，结果为：
现对问题2.1的总排序进行一致性检验：
准则层判断矩阵的一致性指标分别为 0.0179, 0.04,0.0， 随机指标分别为 1.12,0.9,0.9 由于准则层的排序权重为 0.105,0.637,0.258
故
0.0179 0.105+0.04 0.637+0.0 0.258 C.R. 0.029 1.2 0.105+0.9 0.637+0.9 0.258
1 2 1 1 7 1 5 1 5

基于层次分析法的足球俱乐部综合评价

基于层次分析法的足球俱乐部综合评价曾丽萍;谷红霞;周莹【摘要】本文选择联赛成绩、欧冠成绩、球星身价、教练水平、商业价值和球迷数量作为12支足球俱乐部的评价指标,并对这6个评价指标进行了量化处理和标准化处理.建立了基于层次分析法的模糊综合评价模型.计算了每个评价指标的相对隶属度的模糊评价矩阵;构造了用于确定各评价指标权重的判断矩阵,并对判断矩阵的一致性进行了检验;计算出各评价指标的权重.最后,得到模糊综合评价指标值,得出12支俱乐部量化评价后的综合得分排名.【期刊名称】《价值工程》【年(卷),期】2019(038)017【总页数】4页(P90-93)【关键词】足球俱乐部;一致性检验;层次分析法;模糊综合评价【作者】曾丽萍;谷红霞;周莹【作者单位】广东理工学院电气与电子工程学院,肇庆526100;广东理工学院电气与电子工程学院,肇庆526100;广东理工学院电气与电子工程学院,肇庆526100【正文语种】中文【中图分类】F2240 引言层次分析法（Analytic Hierarchy Process,AHP）是从定性分析到定量分析综合集成的一种典型的系统工程方法。

AHP在农业、电力、交通、建筑、医疗等方面的综合评价当中，均有广泛应用。

文献[1]选择土壤腐蚀性、防腐层性能、阴极保护有效性和杂散电流干扰强度作为评价指标，基于改进的层次分析法构建了多层次灰色评价模型来对管道外腐蚀情况进行评价。

文献[2]针对威胁评估问题，提出了一种基于AHP和熵值法的目标多属性威胁评估方法。

文献 [3]以配电网调度管理业务为评价对象，提出了基于AHP和熵权法的综合评价模型。

文献[4]采用AHP分析法并将田园综合体与使用后评价相结合，构建了苏南地区“田园综合体”的使用后评价体系。

文献[5]运用模糊层次分析法（fuzzy analytical hierarchy process,FAHP)建立了多层次多指标的混凝土建筑物耐久性综合评估模型。

综合评价方法(参考)数学建模


第一章 综合评价概述
一、综合评价的目的 二、综合评价的一般步骤
一、综合评价的目的
＊
综合评价一般表现为以下几类问题： ａ。分类——对所研究对象的全部个体进行分类，
但不同于复合分组（重叠分组）； ｂ。比较、排序（直接对全部评价单位排序，或
在分类基础上对各小类按优劣排序）； ｃ。考察某一综合目标的整体实现程度（对某一
• 指标的无量纲化就是把不同计量单位的 指标数值，改造成可以直接加总的同量 纲数值，。即通过数学变换，消除计量 单位对原数据的影响。
• 指标的无量纲化是综合评价的前提 • 多数场合下，同向化处理过程与无量纲
化过程是同时进行的。
＊
数据指标的无量纲化处理方法
(1)标准差法：
xij

xij x j sj
– 相邻指标比较法；（先按重要性将全部评价指标排 序，再将相邻指标的重要性进行比较
– 层次分析法（ＡＨＰ）——互反式两两比较构权法。 – 模糊综合评价——模糊评价法奠基于模糊数学。它
不仅可对评价对象按综合分值的大小进行评价和排 序，而且还可根据模糊评价集上的值按最大隶属度 原则去评定对象的等级。
＊

2(x j Mj 2(M
Mj
mj mj j xj mj
) )
, ,
mj M
xj
j m 2
M j x
j j
mj 2
Mj
其中M j＝max(xij ),m j min(xij )
＊
•1.3 将区间型化为极大型
对某个区间型数据指标 x ，则
x
f (x) a ln x b , 3 x 5
其中, , a,b 为待定常数．

足球队排名问题的解决方法

足球队排名问题的解决方法摘要本文利用层次分析法和竞赛图法建立了不同的解决排名问题的数学模型。

在层次分析法中，我们根据各队成绩推算出他们的实力对比情况，并据此构建了判断矩阵，并判断其可约性，在不可约的情况下进行排名；构造判断矩阵的辅助矩阵,通过计算其主特征根、主特征向量，得出排名情况；文中可以看出此模型充分考虑了排名结果对各场比赛的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象。

文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队在发挥水平上小的波动不会对排名顺序造成大的变动，并证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序。

在竞赛图法中我们参考了国际足联联赛积分制度的规定胜一场积3分，平一场积1分负一场积0分的积分制度来考虑两队的水平对比，认为净胜球对球队的实力影响小于胜负平局对实力影响。

这两个模型较好的解决了足球队的排名问题，而且经过简单修改可以应用于很多对抗型比赛的排名关键字：层次分析法图论法可约性一致性稳定性1.问题的背景及提出在一些小型的足球比赛中，各队名次排列往往比较简单，因为其涉及的比赛团队较少，数据不复杂。

而在一些大型比赛中影响因素很多，比如有的球队间没有直接的比赛，有的球队会超水平发挥或失误，主场优势等。

基于这些因素的影响，人们往往会对比赛结果产生质疑。

为了解除人们的疑惑，我们必须提出可以克服上述诸多不确定因素的影响，使得排名结果能准确的反映球队的真实实力。

2.问题分析排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队的真实实力状况的一个顺序，所以说一个好的排名算法应满足下面的一些基本要求：（1）保序性：我们认为各队的真实实力水平在成绩表中反映出来，所以根据排名的目的，我们要求排名顺序与成绩表所反映的各队的真实水平是一致的。

也就是说,如果a比b表现出色,a的名次就应排在b前面．但a比b 出色不能只是由a对b这一场比赛所决定,必须参考a,b相对于其他队的成绩,像a平c,c胜d,d平b这组比赛对a,b的相对表现是有影响的。

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精确值为
w (0.588,0.322,0.090)T , 3.010
1.769 Aw 0.974 0.268
(
1 1.769 0.974 0.268 ) 3.009 3 0.587 0.324 0.089
②几何平均法 将A的各个行向量进行几何平均，然
2) 层次分析法
美 国 运 筹 学 学 家 T.L.Saaty 在 1977 年 创 立 的 层 次 分 析 法 （Analytic Hierarchy Process，简称AHP）
把无结构决策转化为有序的层次结构决策，实质上是一种方 案排序算法
要求重要性判断矩阵满足一致性检验，它特别适用于那些难 以完全定量分析的问题 在经济、科技、文化、军事、环境乃至社会发展的管理决策 中具有广泛的应用
机理分析法: 用经典的数学工具分析现象的因果关系
统计分析法：以随机数学为工具，通过大量的观察数据 寻求统计规律 系统分析法：层次分析法, 它将定性分析和定量分析相结 合，把人们的思维过程层次化和数量化，在目标结构复 杂且缺乏必要的数据情况下尤为实用
1. 层次分析法的基本步骤
层次分析法是把复杂问题分解成各个组成因素，又将这些 因素按支配关系分组形成递阶层次结构。通过两两比较的方式 确定各个因素相对重要性，然后综合决策者的判断，确定决策 方案相对重要性的总排序。运用层次分析法进行系统分析、设 计、决策时，可分为四个步骤进行：
（1）建立系统的层次结构模型； （2）构造两两比较的判断矩阵； （3）计算单层排序的相对权重及一致性检验； （4）计算总排序权重及一致性检验。
步1 层次结构的建立
首先分解复杂问题，分解后各组成部分称为元素，这些元 素又按属性分成若干组，形成不同层次。同一层次的元素作为 准则对下一层的某些元素起支配作用，同时它又受上面层次元 素的支配。层次可分为三类: （1）最高层：这一层次中只有一个元素，它是问题的预定 目标或理想结果，因此也叫目标层； （2）中间层：这一层次包括要实现目标所涉及的中间环 节中需要考虑的准则。该层可由若干层次组成，因而有准 则和子准则之分，这一层也叫准则层； （3）最底层：这一层次包括为实现目标可供选择的各种 措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立 成对比较矩阵的办法。即： 在递阶层次结构中，设上一层元素C为准则，所 支配的下一层元素为u1,u2,…,un对于准则C的相对重 要性即权重。这通常可分两种情况： （ 1 ）如果 u1,u2,…,un 对 C 的重要性可定量（如可以 使用货币、重量等），其权重可直接确定 （2）如果问题复杂，u1,u2,…,un对于C的重要性无 法直接定量，而只能定性，那么确定权重用两两比较 方法。其方法是：对于准则 C，元素 ui和uj哪一个更 重要，重要的程度如何，通常按 1 ～ 9 比例标度对重 要性程度赋值，下表中列出了1～9标度的含义
w1 / wn w2 / wn wn / wn
(1)
经过仔细观察(1)式，我们发现成对比较矩阵的各行之和恰好 与重量向量 W = (w1, w2, …, wn)T成正比，即
w1 w2 wn

j 1
ai j a jk aik ，则称A为 一 致 性
矩阵
不是所有的判断矩阵都满足一致性条件，也没有必要 这样严格要求，但不一致性过于严重将导致所做出的 决策排序毫无意义.
Retrun to Example 2.1
首先考虑不同准则对目标的影响。
B3 比B1的影响稍强，B2 比B3的影响稍强，则两两相对比较
后归一化，得到的行向量就是权重向量。其公式为
i
( aij )
j 1 n 1 n
( a
k 1 j 1
n
n
kj
)
1 n
, i 1, 2, , n
1 n
( Aw)i wi i 1
n
计算步骤如下： 第一步：A的元素按列相乘得一新向量； 第二步：将新向量的每个分量开n次方； 第三步：将所得向量归一化后即为权重向量； 第四步：计算近似最大特征值
对于准则C，n个元素之间相对重要性的比较得到一个两 两比较判断矩阵
A (aij )nn
其中aij 就是元素 ui 和 uj 相对于 C 的重要性的比例标度。判断矩 阵A具有下性质
aij 0, a ji 1 aij , aii 1
正互反矩阵
由判断矩阵所具有的性质知，一个 n 个元素的判断矩阵只需要 给出其上（或下）三角的n(n-1)/2个元素就可以了，即只需做 n(n-1)/2个比较判断即可。 若前后判断一致，即判 断矩阵A的所有元素满足
1i j n

[aij (i / j )]2
为最小。
（2）一致性检验
在计算单准则下权重向量时，必须进行一致性检验。在判断矩阵的构造 中，并不要求判断具有传递性和一致性，即不要求 ai j a jk aik 严格 成立，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的。但要求判 断矩阵满足大体上的一致性是应该的。如果出现“甲比乙极端重要，乙比 丙极端重要，而丙又比甲极端重要”的判断，则显然是违反常识的，一个 混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策上的失误。而且上述各种计 算排序权重向量（即相对权重向量）的方法，在判断矩阵过于偏离一致性 时，其可靠程度也就值得怀疑了，因此要对判断矩阵的一致性进行检验。
作为最大特征根的近似。
列和归一化法计算步骤如下：
第一步：A的元素按列归一化； 第二步：将归一化后的各列相加； 第三步：将相加后的向量除以n，即得权重向量； 第四步：计算 1 n ( Aw)i 作为最大特征根的近似。 n i 1 wi
2 6 1 A 1/ 2 1 4 1/ 6 1/ 4 1
划分层次
像上图中由上层元素对下层元素的支配关系所形成的层 次结构被称为递阶层次结构。当然，上一层元素可以支配下 层的所有元素，但也可只支配其中部分元素。递阶层次结构 中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关， 可不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过 9 个，因为心理学研究表明支配的元素过多会给两两比较判断 重要性带来困难。层次结构的好坏对于解决问题极为重要， 当然，层次结构建立得好坏与决策者对问题的认识是否全面、 深刻有很大关系。
n
a1, j a2, j a n, j

(2)
根据类比性，我们猜想因素的重要性向量与成 对比较矩阵之间也有同样的关系存在。这就是 下面给出的计算相对权重的列和归一化方法的 思想。
类似的分析还可给出几何平均法计算权重的思想。
对(1)式进一步观察，还有
a1,1 a2,1 A a n,1
a1,2 a1,n w1 / w1 w1 / w2 a2,2 a2,n w2 / w1 w2 / w2 an,2 an,n wn / w1 wn / w2
a1, 1 a1, 2 a2, 1 a2, 2 AW an, 1 an, 2 a1, n w1 w1 a2, n w2 n w2 nW an, n wn wn
③特征根法 解判断矩阵A的特征根问题 AW maxW ,
式中 max是A的最大特征根，W是相应的特征向量，
所得到的W经归一化后可作为权重向量。
④对数最小二乘法 用拟合方法确定权重向量
使如下的残差平方和为最小：
1i j n

[1gaij 1g (i / j )]2 .
⑤最小二乘法 确定权重向量 使残差平方和
分析
要处理这类复杂的决策问题，首先需要对问题所涉及 的因素进行分析：哪些是要相互比较的；哪些是相互影响的。 把那些要相互比较的因素归成同一类，相互影响的因素之间用 线段连接，构造出一个各因素类之间相互联结的层次结构模型。 各因素类的层次级别由其与目标的关系而定。上述问题中，因 素可以分为三类： 第一是目标类，即合理地使用今年企业留利××万元； 第二是准则类，这是衡量目标能否实现的标准，如调动职 工劳动积极性、提高企业的生产技术水平等等； 第三是措施类，指实现目标的方案、方法、手段等等。 按目标到措施自上而下地将各类因素之间的直接影响关 系分不同层次排列出来，可以构成一个直观的层次结构图。 如下图所示：
的定量结果如下： B1: B1 1:1; B2 : B1 5:1; B3 : B1 3:1;
B1: B2 1: 5; B2 : B2 1:1; B3 : B2 1: 3; B1: B3 1: 3 B2 : B3 3:1 B3 : B3 1:1
“定性→定量 ” 假定各因素重要性之间的相对关系为：B 比B 的影响强，
注: 建立层次结构模型是进行层次分析的基础，它将思维过 程结构化、层次化，为进一步定量分析创造了条件。
步2 构造两两比较的判断矩阵
层次结构反映了因素之间的关系，例如上图中目标层合理 使用企业留成利润可由准则层中的各准则反映出来。但准则层 中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者 的心目中，它们各占有一定的比例。 在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇 到的主要困难是这些比重常常不易定量化。虽然你必须让决策 者根据经验提供这些数据，但假如你提出“调动职工劳动积极 性在决定合理使用企业利润留成中占百分之几的比例”之类的 问题，不仅会让人感到难以精确回答，而且还会使人感到你书 生气十足，不能胜任这一工作。 此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该 因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而 使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚 至有可能提出一组隐含矛盾的数据。