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B题足球队排名次01组B 题 足球队排名次摘 要本文对十二支球队的排名进行了讨论与分析，并推广到任意N 个队的排名。
鉴于该问题是半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题，我们主要利用层次分析法对此作出决策。
首先将该问题的层次结构模型分为三层，即目标层、准则层、球队层，然后构造判断矩阵及一致性检验，使用MATLAB 软件，求解各矩阵的权向量：(0697.00615.00285.01275.00832.01199.0)T 0572.00339.00827.00868.00805.01670.0 再通过总体一致性检验，得总体一致性很好，由此提供较有说服力的结果。
显然，排出了十二支球队的名次：411125*********T T T T T T T T T T T T 。
关键词：层次分析法(AHP) 归一化 一致性检验 权向量 最大特征值一、问题重述在1988~1989年足球甲级联赛中12支球队进行循环赛，记录了队与队之间比赛的场次及比分，如表一所示要求：(1) 设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法，并给出用该算法排名次的结果。
(2) 把算法推广到任意N个队的情况。
(3) 讨论：数据应具备什么样的条件，用你的方法才能够排出诸队的名次。
1212(2) 符号X表示球队未曾比赛。
(3) 数字表示两队比赛结果。
如：T3与T8比两场，比分为0:1和3:1。
二、符号说明O目标层；C准则层；P球队层；CI一致性指标；RI随机一致性指标；CR一致性比率；A判断矩阵；i判断矩阵的最大特征值；maxW最大特征值对应的特征向量；in判断矩阵的阶数；三、模型假设1、各个球队水平发挥正常；2、裁判吹罚公平；3、外界环境和场地对两队球员的发挥都不造成影响；4、每支球队所参加的比赛场数的多少对平均积分影响不大；四、模型的建立与求解在足球循环比赛中，排名规则为：1、积分高者排名靠前；2、总净胜球高者排名靠前；3、总进球数高者排名靠前。
模糊分析法解足球队排名问题摘要：本文解答了93年全国大学生数学建模竞赛B题，运用模糊聚类分析法，讨论了足球队比赛的排名问题。
首先，我们将数据进行预处理，求出每队的胜,负,平以及总场数，归一化处理后作为建模的影响因子，然后由相似系数构建模糊相似矩阵，最后构建模糊等价矩阵截取进行排名，并将得到的结果从12支队推广到了N支队的情况。
本文中所用的方法经过验证，得到的结果合理，可信。
关键词：模糊分析法，相似系数，比赛排名一问题分析根据题目所给的表格，我们能得到的数据是残缺和不整齐对称的，这样就给排名造成了困难。
例如在图表中，T1队和T2队打了三场比赛，和T5只打了一场比赛，和T11没打比赛。
这样如果只是单纯的利用胜利的场数来进行排名，所得到的结果必定是不完善的，同时也是不准确的。
因此为了得到较完善的结果，我们可以先将每个队所参加的比赛中，胜，负和平的场数列表如下，得到每个队实力的大概了解。
表一接着，我们分析各队在每场比赛中的平均进球数，失球数和进失球数差数，这些数据也有助于我们进一步了解各队的实力。
列表如下：表二通过表一，二的分析，我们可以确定T7是最好的，T4是最差的，但是对于其他的球队仅以上述数据还是无法得出准确可信的排名。
为了得出合理可信的排名，我们还应该考虑，Ti与其余各队的比赛成绩，由于有的对和其余的对没有比赛，其成绩难以确定。
为了解决这个难题，我们准备先制定一个规则，为各队定义一组特征数据，同时计算各队之间的模糊相似度。
最后综合表一二，即可得出合理的排名出来。
二模型假设1,基本假设1) 参赛各队存在客观的真实实力,这是任何一种排名算法的基础2) 在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比是以它们的真实实力对比为中心的互相独立的正态分布,这条假设保证了我们可以以比赛成绩为依据对球队的真实实力进行排名,3) 每场比赛对于排名的重要性相同，每个进失球对于排名也同样重要。
4) 确定各队的特征数据时，仅计算进失球的差数。
多种思路解决足球赛排名次问题摘要本题是一个给定了足球比赛时，两两相比的比分，然后给12支球队排名，并推广到n 支球队的问题。
模型一中，我们用了层次分析法中的成对比较阵求出各队的权重，然后进行排名。
对于题中比分的残缺问题，用了辅助矩阵来解决。
用这种方法给足球队排得名次为：411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T模型二中，我们列出了评判球队实力的三个因素：场均积分，场均净胜球数，场均进球数，然后根据问题中各因素的因果关系将其分为三层，即目标层、准则层和决策层。
由准则层与目标层、决策层与准则层之间的关系，分别建立准则层对目标层、决策层对准则层的判断矩阵，并对判断矩阵的一致性进行检验，得出的一致性指标10.0<CI ,可靠度较高。
然后再确定三者的权重，分别建立判断矩阵，再求出组合权重，最终可排出最后的名次。
用这种方法给足球队排得名次为：411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T可见，两种方法得出的结论是一致的，可互相验证两种模型的正确性。
题中的比较矩阵均为一致阵，所以可以推广到n 支球队的情况，而且对数据没有要求。
但是比赛场次越多，数据残缺越少，越能反映各队的真实实力。
一．问题重述本题给出了12支球队间相互比赛的比分，要求我们设计能依据所给数据给12只球队排名的算法，并推广到N个球队，同时给出当我们算法成立时数据所说明：（1）12支球队依次记作T1,T2,…T12。
（2）符号X 表示两队未曾比赛。
（3）数字表示两队比赛结果，如T3行与T8行交叉处的数字表示：T3与T8比赛了2场；T3与T8的进球数之比为0：1和3：1.二． 模型假设1. 比赛的结果真实可靠2. 评判球队的实力只看场均净胜球，场均积分，及场均进球数3.三． 符号说明模型一：1. j i ij T T a 表示两球队的实力之比2. ij m 为i T 与j T比赛，平均每场的净胜球数 3. A 表示判断矩阵4. A~表示辅助矩阵 模型二：1. k p 表示12支球队，k=1,2, …12 2．1C 表示因素：场均积分 3. 2C 表示因素：场均净胜球 4. 3C 表示因素：场均进球数5. A 表示准则层对目标层的判断矩阵6. i w 表示决策层对准则层的比较矩阵，i=1,2,37. 1W 表示准则层对目标层的权重；8. 2W 表示方案层对准则层的权重；⎪⎩⎪⎨⎧==+≠≠=0a ，0的个数0行为第,,10a 且,a ~ij i i ij ij ij i m j i m j i a 9. W 表示方案层对目标层的组合权重；四． 模型建立与求解模型一：利用层次分析法中的成对比较阵排序Step1:构造判断矩阵 元素确定原则：令i=1,2, ...12；j=1,2, (12)⑴若i T 与j T 比赛时互胜场次相等，则 a. 净胜球等于0，直接令ij a =ji a =1； b. i T 净胜球多于j T ，则认为i T 胜j T 一场； ⑵i T 胜j T k 场，k>0,则⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤≤=4,941,2k k k b ijij m 为i T 与j T 比赛，平均每场的净胜球数⎪⎩⎪⎨⎧<-≤≤>=0,120,02,1ij ij ij ijm m m c ij a =ij b +ij cji ij a a 1=若两队无成绩，则令0a ==ji ij aStep2:构造辅助矩阵A~ 令Step3：求最大特征根和特征向量 用MATLAB 编程可得()0015.0,0996.0,0546.0,0089.0,0869.0,3867.0,0404.0,0416.0,1526.0,1853.0,0964.0,1680.0-----=WStep3：排序根据求出的最大特征向量，可得12个队的排名为：411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T模型二：层次分析法层次分析法中，要确定目标层，准则层，决策层。
B题足球比赛的排名问题组号：14足球比赛的排名问题摘要本文讨论问题是足球比赛的排名方案。
本文求解这一问题用到的数学方法主要是是层次分析法。
文中利用层次分析法，根据题中给出的足球比赛成绩求出了足球比赛的排名顺序，并且运用矩阵论、图论等方面的知识验证了利用层次分析法进行足球比赛的排名是较为科学的。
本文考虑了比赛可能出现的两种情况：一种情况是偶然因素，某支球队侥幸获胜或发挥失常，导致比赛成绩不能反映各足球队的真实水平，或者是在比赛成绩中出现了一些相互矛盾的结果，另一种情况是比赛场次安排不够完全，即存在某几个球队之间的优劣无法比较的情况。
前者反映在层次分析法的一致性比率上，后者反映在所构造的图的连通性上。
最后我们应用建立的模型求出了题中所给的12支球队的排名情况，从左到右为第一名至第十二名：7 3 1 9 10 8 2 12 6 5 11 4。
此外，使用本文建立的数学模型的前提是数据必须是不可约的（即构造的判断矩阵是连通的），且数据必须满足层次分析法的一致性比率。
关键词：足球赛排名层次分析法矩阵图论一、问题重述按照题中要求，本文需要依据所给出的足球队比赛成绩给出反映球队真实实力的成绩排名。
这就需要建立一个数学模型，可以根据足球队的比赛成绩得到足球队的实力排名，而且这一模型应该有较好的健壮性。
应该满足以下几点要求：（1） 科学合理；（2） 保持一定的一致性；（3） 能够克服数据残缺；（4） 能够判断成绩表的可约性；（5） 结果具有稳定性。
要求（1）科学合理，即球队的成绩排名是从足球队比赛成绩中得来的，符合比赛结果。
要求（2）保持一定的一致性，即足球队比赛成绩可能存在偶然因素，或数据不完美，导致球队的成绩排名不精确，但是误差应该是在一个可以控制的范围。
要求（3） 能够克服数据残缺，即某两个球队之间并没有直接进行比赛，但是可以通过整体数据判断出两球队能力之别。
要求（4） 能够判断成绩表的可约性，不可约即不会出现有某些球队之间无法比较实力的现象。
基于层次分析法的足球俱乐部综合评价曾丽萍;谷红霞;周莹【摘要】本文选择联赛成绩、欧冠成绩、球星身价、教练水平、商业价值和球迷数量作为12支足球俱乐部的评价指标,并对这6个评价指标进行了量化处理和标准化处理.建立了基于层次分析法的模糊综合评价模型.计算了每个评价指标的相对隶属度的模糊评价矩阵;构造了用于确定各评价指标权重的判断矩阵,并对判断矩阵的一致性进行了检验;计算出各评价指标的权重.最后,得到模糊综合评价指标值,得出12支俱乐部量化评价后的综合得分排名.【期刊名称】《价值工程》【年(卷),期】2019(038)017【总页数】4页(P90-93)【关键词】足球俱乐部;一致性检验;层次分析法;模糊综合评价【作者】曾丽萍;谷红霞;周莹【作者单位】广东理工学院电气与电子工程学院,肇庆526100;广东理工学院电气与电子工程学院,肇庆526100;广东理工学院电气与电子工程学院,肇庆526100【正文语种】中文【中图分类】F2240 引言层次分析法（Analytic Hierarchy Process,AHP）是从定性分析到定量分析综合集成的一种典型的系统工程方法。
AHP在农业、电力、交通、建筑、医疗等方面的综合评价当中，均有广泛应用。
文献[1]选择土壤腐蚀性、防腐层性能、阴极保护有效性和杂散电流干扰强度作为评价指标，基于改进的层次分析法构建了多层次灰色评价模型来对管道外腐蚀情况进行评价。
文献[2]针对威胁评估问题，提出了一种基于AHP和熵值法的目标多属性威胁评估方法。
文献 [3]以配电网调度管理业务为评价对象，提出了基于AHP和熵权法的综合评价模型。
文献[4]采用AHP分析法并将田园综合体与使用后评价相结合，构建了苏南地区“田园综合体”的使用后评价体系。
文献[5]运用模糊层次分析法（fuzzy analytical hierarchy process,FAHP)建立了多层次多指标的混凝土建筑物耐久性综合评估模型。
足球队排名问题的解决方法摘要本文利用层次分析法和竞赛图法建立了不同的解决排名问题的数学模型。
在层次分析法中，我们根据各队成绩推算出他们的实力对比情况，并据此构建了判断矩阵，并判断其可约性，在不可约的情况下进行排名；构造判断矩阵的辅助矩阵,通过计算其主特征根、主特征向量，得出排名情况；文中可以看出此模型充分考虑了排名结果对各场比赛的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象。
文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队在发挥水平上小的波动不会对排名顺序造成大的变动，并证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序。
在竞赛图法中我们参考了国际足联联赛积分制度的规定胜一场积3分，平一场积1分负一场积0分的积分制度来考虑两队的水平对比，认为净胜球对球队的实力影响小于胜负平局对实力影响。
这两个模型较好的解决了足球队的排名问题，而且经过简单修改可以应用于很多对抗型比赛的排名关键字：层次分析法图论法可约性一致性稳定性1.问题的背景及提出在一些小型的足球比赛中，各队名次排列往往比较简单，因为其涉及的比赛团队较少，数据不复杂。
而在一些大型比赛中影响因素很多，比如有的球队间没有直接的比赛，有的球队会超水平发挥或失误，主场优势等。
基于这些因素的影响，人们往往会对比赛结果产生质疑。
为了解除人们的疑惑，我们必须提出可以克服上述诸多不确定因素的影响，使得排名结果能准确的反映球队的真实实力。
2.问题分析排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队的真实实力状况的一个顺序，所以说一个好的排名算法应满足下面的一些基本要求：（1）保序性：我们认为各队的真实实力水平在成绩表中反映出来，所以根据排名的目的，我们要求排名顺序与成绩表所反映的各队的真实水平是一致的。
也就是说,如果a比b表现出色,a的名次就应排在b前面．但a比b 出色不能只是由a对b这一场比赛所决定,必须参考a,b相对于其他队的成绩,像a平c,c胜d,d平b这组比赛对a,b的相对表现是有影响的。
一个给足球队排名次的方法------B题戚立峰毛威马斌指导教师樊启洪(北京大学数学系,100871)摘要本文利用层次分析法建立了一个为足球队排名次的数学模型,它首先对用来排名次的数据是否充分作出判断,在能够排名次时对数据的可依赖程度作出估计,然后给出名次. 文中证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序.文中将看到此模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象.文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队在发挥水平上的波动不会对排名顺序造成大的变动.本模型比较完满的解决了足球队排名次的问题,而且经过简单修改,它可以使用于任何一种对抗型比赛的排名.§1.问题的提出及分析表1(见73页的表)给出的是我国12支足球队在1988-1989年全国甲级对联赛中的成绩,要求通过建立数学模型,对各队进行排名次.按照通常的理解,排名的目的是根据比赛成绩排出反映真实实力状况的一个顺序.为达到这一点,一个好的排名算法应满足下面一些基本要求:(1)保序性;(2)稳定性;(3)能够处理不同场比赛的权重;(4)能够判断成绩表的可约性;(5)能够准确地进行补残;(6)容忍不一致现象;(7)对数据可依赖程度给出较为准确的描述.可以想象,各队的真实实力水平在成绩中反映出来(见§3假定II),所以根据排名目的,我们要求排名顺序与成绩表所反映的各队实力水平的顺序是一致的,这就是要求(1).也就是说,如果a比b表现出色,a的名次就应排在b前面.但a比b出色不能只由a对b 的这一场比赛所决定,必须参考a,b相对于其他队的成绩,象a平c,c胜d,d平b这组比赛对a,b的相对表现是有影响的.为使一个算法满足保序性,就必须充分考虑到将a,b连结起来的所有场比赛.下面的例子表明积分法不满足保序性.例1.a平c,c胜d,d平b,a平b.在上述比赛中a表现比b出色,但按积分法计算a,b都积2分.其原因就在于积分法没有把a平c,c胜d,d平b这组比赛中所体现的a,b实力对比情况考虑进去;要求(2)是说成绩表小的变动不会对排名结果造成巨大影响.这是由于球队发挥水平存在正常波动而必须提出的,如果这种正常的小波动引起名次的巨大变化,那么排名就不令人信服;要求(3)使得不同场比赛在排名中的地位不同,这是因为在实际比赛中,往往会有的队不幸遇到较强的队而输掉.为了避免由于对手的强弱不同造成的不公平,要求(3)是必须的.但现行的排名制度大都满足不了要求(3),以致于许多时候“运气”对名次起了重要作用;要求(4)-(7)是为适应实际比赛中可能出现的一些复杂情况而提出的.首先是可能某两个队之间没有打比赛,我们称之为数据(成绩)残缺.对于两队成绩残缺,只能通过它们同其他队的比赛成绩来判断它们的实力对比.如果残缺元素过多,就有可能导致参赛队分成两组,组与组之间没有比赛,称这种情况为成绩表可约,这时显然是不应该排名次的.这样就有要求(4),(5);其次是前后比赛成绩矛盾,比如说a胜b,b胜c,c平a,称这种情况为数据不一致.如果不一致情况过于严重,说明比赛偶然因素太大,数据的可依赖程度太低,应该考虑放弃比赛成绩.所以排名算法还应满足(6),(7).本文使用的层次分析法的特征根方法已满足了上述要求,下面将在§2中给出具体算法,§3中给出算法满足上述要求的解释和论证.§2.模型设计及其算法一．基本假设和名词约定假设I．参赛各队存在客观的真实实力（见名词约定１）．这是任何一种排名算法的基础．假设II．在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比是以它们的真实实力对比为中心的正态分布．（见名词约定２）这条假设保证了我们可以以比赛成绩为依据对球队的真实实力进行排名，另外它在很大程度上反映了球队水平发挥的不稳定性．名词约定1.称w=(w1,w2,…,w n)为真实实力向量，如果w i的大小表现了T i的实力强弱．当w i的大小表现了T i在比赛中出色程度时，称w为排名向量．由假设II，两者应是近似相同的，以后就把它们当成同一个．2.称T i对T j这场比赛中体现出来的T i对T j的相对强弱程度为T i对T j的表面实力对比，一般记作a ij，当T i与T j成绩残缺时约定a ij= 0．显然地有（i）a ij≥ 0, (ii)a ji= 1/a ij,(iii)a ii= 1. (2.1)矩阵A=(a ij)nⅹn就称为比赛成绩的判断矩阵，它是可以通过各种方法（见§５）从比赛成绩中求出来的．由假设II，若T i对T j成绩不残缺且w i/w j≥1时有a ij～N(w i/w j,σij2) (2.2)这里w是真实实力向量．3.称方阵A nⅹn为正互反对称的，若（１）a ij > 0,(2) a ji =1/a ij， 1≤ i,j ≤ n.显然一个残缺的比赛成绩的判断矩阵是正互反对称的．4.称矩阵A nⅹn是可约的，若A能用行列同时调换化为，这里A1,A4都是方阵．在［1］的227页证明了一个判断矩阵可约当且仅当成绩表可约．5.称判断矩阵A是一致的，若对任意1 ≤ i,k,j≤ n满足a ij·a jk = a ik.显然地，A一致则存在w ，使得A =（w i /w j ）n ⅹn (2.3)6.λmax 为主特征根；对应于λmax 的右特征向量w 称为主特且w i > 0．Perron-Frobenius 定理，一个判断矩阵A 存在唯一且可以让对应于λmax 的特征向量w (1)的每个分量都大于零，令w = w(1)(1)即得主特征向量．二．模型的设计与算法我们的模型的主要部分是一个算法，模型的输入是一张成绩表，输出是关于是否可约的判断，数据可依赖程度 和排名次的结果． 算法(一)根据比赛成绩表构造判断矩阵A . i 从1到n,j 从1到n 循环． 1)若T i 与T j 互胜场次相等，则 1净胜球＝0 时令a ij = a ji = 1；跳出作下一步循环；20净胜球多时以T i 净胜T j 一场作后续处理． 2) 若T i 净胜T j κ场κ > 0，则1b ij20m ij =d ij30a ij =b ij + d ij ,, a ii = 1/a ij3)若T i 与T j 无比赛成绩，则a ij = a ji = 0(二)检测A 的可约性，如果可约则输出可约信息后退出．(三)构造辅助矩阵 Âi 从1到n ，j 从1到n 循环a ij ,i<>j 且 a ij ≠ 0 ;ãij = m i + 1,i=j, 其中m i 为A 的第i 行0的个数；0, a ij = 0.(四)计算Â的主特征根λmax 和主特征向量w 1)允许误差ε，任取初始正向量χ(0)= (χ1(0), χ2(0), …, χn (0))T，令κ=0，计算m 0 = max{χi(0)};y (0)= (y 1(0),y 2(0),…,y n (0)) T = 1/ m 0·χ(0).2)迭代计算χ(κ+1)= Ãy (κ);m κ+1 = max {χi(κ+1)};y (κ+1) = (1/ m κ+1)χ(κ+1);κ= κ + 1;直到 | m κ+1 - m κ| <ε.3) λmax = m κ;w = y (κ)κ). (五)按w 各分量由大到小的顺序对参赛各队排名次． (六)计算/（w i /w j 2+ Σ(a ij /（w i /w j ）- 1)2; 2 ,其中m i 为A 的第i 行0的个数。
足球队排名目录一．问题的提出二．问题的重述三．模型的假设四．符号说明五．模型的建立和求解六．模型的评价与推广摘要本论文针对足球的排名问题设计一个依据各队的成绩排出各队的名次的模型。
对于这个足球队排名问题，我们采用竞赛图法和层次分析法这两种方法给出足球队的排名顺序。
用竞赛图法我们应该先建立竞赛图，以n个队，T1,T2,T3….Tn为竞赛图的G的顶点集建立竞赛图G的边集就可以算出各队的排名顺序。
这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序，所建立的模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象，本模型比较完满的解决了足球队排名出问题，而且经过简单的修改，他可适用于任何一种对抗赛的排名。
一、提出问题附表给出的是我国12支球队字1988~1989年全国甲级联赛中的成绩，要求建立数学模型，对各队进行排名次。
排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队正是实力状况的一个顺序，所以说一个好的排名算法应满足下面的一些基本要求：（1）保序性：我们认为各队的真实实力水平在成绩表中反映出来，所以根据排名的目的，我们要求排名顺序与成绩表所反映的各队的真实水平是一致的。
（2）稳定性:成绩表中校的变动不会对排名造成巨大的影响。
（3）能够处理不同场次的权重：应为不同比赛在排名中的地位不同，往往会出现有的对不信遇到较强的对而输掉，避免由于对手的强弱不同造成的不公平（4）能够准确的进行补残：两个队之间没有打比赛，我们只为成绩表残缺，对于两队成绩的残缺，只能通过他们同其他队的比赛成绩判断他们实力的大小。
（5）能够判断成绩表的可约性。
（6）容忍不一致现象（7）对数据可依赖程度给出较为精确的描述。
二、问题的重述下表给出了我国12 只足球队在1988—1989 年全国足球甲级联赛中的成绩要求（见附表一）1) 设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法并给出用该算法排名次的结果2) 把算法推广到任意N 个队的情况3) 讨论数据应具备什么样的条件用你的方法才能够排出诸队的名次对下表的说明1) 12 支球队依次记作 T1,T2,··· T122) 符号 X 表示两队未曾比赛3) 数字表示两队比赛结果如T3行与T8列交叉处的数字表示T3与T8比赛了2 场T1 与T2 的进球数之比为 0：1 和 3 ：1五、模型的建立和求解方法、竞赛图法（问题一）、设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法并给出用该算法排名次的结果根据问题的假设和比赛成绩表，我们构造竞赛图如下：以n个参赛队T1,T2,T3,…,Tn为竞赛图G 的顶点，G的边集按如下算法求得：i从1到n循环，j从1到n循环。
层次分析法练习练习一、市政工程项目建设决策问题提出市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地铁）。
除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多准则决策问题，试运用层次分析法建模解决。
1、建立递阶层次结构在市政工程项目决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综合效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高”。
为了实现这一目标，需要考虑的主要准则有三个，即经济效益、社会效益和环境效益。
但问题绝不这么简单。
通过深入思考，决策人员认为还必须考虑直接经济效益、间接经济效益、方便日常出行、方便假日出行、减少环境污染、改善城市面貌等因素（准则），从相互关系上分析，这些因素隶属于主要准则，因此放在下一层次考虑，并且分属于不同准则。
假设本问题只考虑这些准则，接下来需要明确为了实现决策目标、在上述准则下可以有哪些方案。
根据题中所述，本问题有两个解决方案，即建高速路或建地铁，这两个因素作为措施层元素放在递阶层次结构的最下层。
很明显，这两个方案于所有准则都相关。
将各个层次的因素按其上下关系摆放好位置，并将它们之间的关系用连线连接起来。
同时，为了方便后面的定量表示，一般从上到下用A、B、C、D。
代表不同层次，同一层次从左到右用1、2、3、4。
代表不同因素。
这样构成的递阶层次结构如下图。
目标层A准则层C措施层D图1 递阶层次结构示意图2、构造判断矩阵并请专家填写征求专家意见，填写后的判断矩阵如下：表2 判断矩阵表3、计算权向量及检验计算所得的权向量及检验结果见下：表4 层次计算权向量及检验结果表4、层次总排序及检验层次总排序及检验结果见下：表5 C层次总排序(CR = 0.0000)表D层次总排序(CR = 0.0000)5、结果分析从方案层总排序的结果看，建地铁（D2）的权重（0.6592）远远大于建高速路（D1）的权重（0.3408），因此，最终的决策方案是建地铁。
足球比赛排名问题足球比赛排名问题摘要本文利用层次分析法构建了一个为足球排名次的数学模型．它首先判断用来排名次的数据是否充分,并在能够排名次时对数据的可依赖程度做出估计,最后给出名次.并且本文证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序.本文构建的模型充分考虑了排名结果对各场比赛的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象．本文还证明了模型的稳定性,保证了各队在发挥水平上的小的波动不会对排名顺序造成大的变动．本模型比较完满地解决了足球队排名次问题,并且经过简单修改,它可以适用于任何一种对抗型比赛的排名,模型得到推广.关键词：足球排名层次分析法模型稳定性分析目录摘要………………………………………………………………第1章绪论…………………………………………………………1.1 出题背景…………………………………………………1.2 题目特点…………………………………………………第2章模型…………………………………………………………2.1 问题提出……………………………………………………2.2 问题分析…………………………………………………2.3 模型假设…………………………………………………2.4 符号表示…………………………………………………2.5 模型建立与求解……………………………………………2.5.1 模型设计………………………………………………2.5.2 结果检验………………………………………………结论…………………………………………………………………参考文献……………………………………………………………致谢…………………………………………………………………附录…………………………………………………………………第1章绪论1.1 出题背景1993年数学模型竞赛征题期间,恰逢中国足球在世界杯外围赛中再次失利.不久后有关报刊发布了世界足球队的排名顺序.仔细观察后发现,在公布的球队中有的队之间有从来没比赛过,所以发生了如下疑问：1.报刊上公布的球队排序的依据是什么.2.如何客观、公正地评价球队之间的智力对比,尽可能消除赛制的偶然或人为因素影响.也就是说,要求我们建立一个客观的评估方法,通过过去一段时间内（几个赛季或几年）每个球队的战绩给出各队的优劣次序.但传统的解决方案由于时间与场地的限制没办法给出排队依据.所以为了克服传统竞赛图法的局限性,拟出本题供参赛者思考.1.2题目特点1.实际可应用性极强,对所有的排名、比赛都适用。
