第17章 层次分析法本章主要针对一些目标（因素）结构复杂且缺乏必要的数据的决策问题，介绍了一种比较有效的决策方法，即层次分析法。
它可以将决策者的经验判断给予量化，从而将一些定性决策问题定量化。
书中介绍了层次分析法的基本原理及具体的实现步骤，并结合实例利用MATLAB 软件给予实现。
17.1 引例 旅游方案的决策问题人们在日常生活中常常会碰到许多事情需要做出决策：例如某人计划去旅游，可供选择的目的地有：（1）苏州；（2）北京；（3）桂林。
在选择旅游目的地时，须考虑到景色、费用、居住条件、饮食条件、旅途费用等因素，在综合考虑了这些因素后，选择一种对此人最为合理的决策方案。
在上述决策问题中，可供选择的方案有三种，即：（1）苏州；（2）北京；（3）桂林。
要选择一种最为合理的方案，须对这三种方案的优劣性进行综合评价，排队后，才能做出决策。
对这类复杂的决策问题，一般可按如下步骤进行处理：（1）先对问题所涉及的因素进行分类，然后构造一个各因素之间相互联结的层次结构模型。
因素分类包括：（一）为目标类,即选择合适的旅游景点；（二）为准则类，这是衡量目标能否实现的标准，即景色、费用、居住条件、饮食条件、旅途费用等因素；（三）为措施类，是指实现目标的方案、方法、手段等，即指苏州、北京、桂林三个旅游目的地。
（2）按目标到措施自上而下地将各类因素之间的直接影响关系排列于不同层次，并构成一层次结构图，如图17-1所示。
（3）依据上面的层次结构图，由决策者的经验给出每一层的各因素的相对图17-1 选择旅游地的层次结构目标层A准则层C方案层P重要性的权数，从而得到一些判断矩阵，然后将其不断修正，直至其通过一致性检验。
（4）进行组合权重计算，计算出措施层各方案的相对权数。
从而确定出各方案的优劣次序，以便供决策者决策。
上面便是层次分析法的一般步骤，它可以较为有效地处理一些决策问题。
17.2 层次分析法的基本原理人们在处理上述决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但有一个共同的特点是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素，在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或优先程度往往难以量化。
人的主观选择会起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。
T ．L ．Saaty 等人在七十年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法(Analytic Hierarchy Process ，简称AHP 法)，这是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法。
它可以将决策者的经验判断给予量化，能将一些半定性、半定量问题转化为定量计算问题，从而可以使人们的思维过程层次化，逐层比较多种关联因素，为分析、决策、预测或控制事物的发展提供定量的依据，这对于处理一些目标（因素）结构复杂且缺乏必要的数据的决策问题尤为实用。
下面结合一些实际问题对其基本原理给予介绍。
设有n 件物体n A A A ,...,,21；它们的重量分别为n w w w ,...,,21。
若将它们两两地比较重量，其比值可构成n n ⨯矩阵A 。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A ...............212221212111 将重量向量T n w w w W ),...,,(21=右乘矩阵A ，可得nW w w w n w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w AW n n n n n n n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.....................2121212221212111 即0)(=-W nI A （17.1） 由矩阵理论知，W 为特征向量，n 为特征向量。
若W 为未知时，则可根据决策者对物体之间两两相比的关系，主观做出比值的判断，使矩阵A 为已知，于是得一判断矩阵，记作A 。
显然矩阵n n ij a A ⨯=)(有以下特点：(1) n j n i j i a a a jiij ij ,,2,1,,,2,1, ,1,0 ==≠=> (2) n i a ii ,,2,1 , 1 ==这里矩阵n n ij a A ⨯=)(称为正互反矩阵。
若正互反矩阵n n ij a A ⨯=)(满足条件n k j i a a a ik jk ij ,.2,1,, ,. ==则A 成为一致矩阵。
它具有下列性质：1) n n ij a A ⨯=)(的转置也是一致矩阵；2) n n ij a A ⨯=)(的每一行均为任意指定一行的正倍数，从而rank(A )=1； 3) n n ij a A ⨯=)(的最大特征根n =max λ，其余的特征根为零； 4) 若n =max λ对应的特征向量为,),,,(21Tn w w w W =则jiij w w a =。
若给出的判断矩阵A 具有上述特性，则该矩阵具有完全一致性。
然而人们对复杂事务的各因素，采用两两比较时，不可能做到判断的完全一致性，而存在估计误差，这必然导致特征值及特征向量也有偏差。
这时问题由nW AW =变成'max 'W W A λ=，这里max λ是矩阵A 的最大特征值，'W 便是带有偏差的相对权重向量。
为了避免误差太大，所以须检验矩阵A 的一致性。
当矩阵A 完全一致时，因1=ij a ，n ani ijn i i ==∑∑==11λ，故存在唯一的非零特征值n ==max λλ。
当矩阵A 不一致时，一般是n ≥max λ，这时n ani iji i==+∑∑=≠1maxmax λλ于是有∑≠-=-maxmax i i n λλ以其平均值作为检验判断矩阵一致性指标 1max --=n nCI λ （17.2）当,0,max ==CI n λ矩阵A 完全一致；CI 值越大，判断矩阵的完全一致性越差。
判断矩阵A 的维数n 越大，判断的一致性越差，为了放宽对高维判断矩阵一致性的要求，引入修正值，即随机一致性指标RI ，见表17-1，并取更为合理的CR 作为衡量判断矩阵一致性的指标RICICR =（17.3） 这里CR 称为随机一致性比率。
表17-1随机一致性指标RI 的取值当CR<0.1时，认为A 具有满意的一致性，否则必须重新调整判别矩阵A ，直至其具有满意的一致性。
为了使各因素之间进行两两比较得到量化的判断矩阵，引入1~9的标度，根据心里学家的研究提出：人们区分信息等级的极限能力为27±，特制定表见表17-2。
表17-2 标度的定义表如果需要比9大的数字，那么可以根据情况，先将因素聚类进行类比，再比较每一类中的元素，从而避免用1~9以外的数字。
17.3 层次分析法的实现1. 建立层次结构模型对一个具体决策问题进行处理时，首先应将它所包含的因素分层，一般可以分为目标层、准则层和方案措施层．复杂的问题可分为总目标层、子目标层、准则层（或制约因素层）、方案措施层，或分为层次更多的结构。
下面举例加以说明。
例1：国家实力分析方案的选取一些高层研究人员要对美、俄、中、英、法、日、德等大国的国家综合实力进行分析判断．考虑的因素有国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易等，对此问题可建立如下层次结构图．图17-2 国家综合实力分析的层次结构目标层A 准则层C 方案层P例2：科研课题的选取研究所有三个科研课题，限于人力、物力只能研究一个课题．有三个需考虑的因素(1)科研成果贡献大(包括实用价值和科学意义)；(2)课题的可行性(包括课题的难易程度,研究周期及资金)；(3)人才的培养．在这些因素的影响下，如何选择课题？对此问题可建立如下层次结构图。
例3：教师贡献的评价方案的选取某学校要对四位教师P 1、P 2、P 3、P 4在教学与科研两方面的贡献进行评价．其中P 1、P 2只从事教学工作， P 4只从事科研工作， P 3既从事教学工作又搞科学研究．对此问题可建立如下层次结构图.2. 判断矩阵的构造按给出的层次结构模型，设为目标层A 、准则层C （有K 个准则因素）、图17-4评价教师贡献的结构方案层P 准则层C目标层A 目标层A 准则层C 方案层P 图17-3 选择科研课题的层次结构方案层P （有n 个方案）。
由决策者根据经验给出各层因素之间的两两比较的判断矩阵如下：C A -判断矩阵然后分别给出P C i -的判断矩阵),...,2,1(K i =。
例如上面选择旅游地问题中，准则层对目标层的两两比较矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11311112315131211417133412155721A 其中514=a ，表示景色条件1p 与饮食条件4p 这个因素对选择旅游地这个目标的重要性之比为5:1，因此5141=a 。
3．层次单排序及其一致性检验层次单排序就是根据判别矩阵，计算对于上一层某因素而言，本层次与之 有联系的元素的重要性次序的权值，计算的方法有：行和正规化法，列和正规化法，方根法，特征向量法，梯度特征向量法等。
常用的是特征向量法。
利用MATLAB 计算各判断矩阵的最大特征值max λ及其相应的特征向量T n ),...,,{21ωωωϖ=，这也是各因素的相对权重。
将max λ代入（17.3），对判断矩阵进行一致性检验。
若判断矩阵具有满意一致性，则将max λ所对应的特征向量,进行标准化，然后作为层次单排序的权值，当各层次的诸因素的相对权重都得到后，进行措施层的组合权重计算。
4．组合权向量的计算同一层次所有因素对总目标相对重要性的排序权值称为组合权向量。
计算组合权向量的过程也称为层次总排序。
此过程是从最高层到最低层逐层进行的。
对于最高层下面的第二层，其层次单排序即为总排序。
设有目标层A 、准则层C 、方案层P 构成的层次模型（当层次更多时，计算过程相同），目标层A 对准则层C （包含K 个准则）的相对权重为：TK w w w w ),...,,()1()1(2)1(1)1(=准则层C 的各准则),...,2,1(K i C i =对方案层P 的n 个方案的相对权重为：),...,2,1(),...,,(21K i T ni i i i ==ωωωϖ则方案层P 的n 个方案对目标而言，其相对权重可通过)1(w 与),...,2,1(K i i =ϖ的组合得到，即：TK K K n n n K K w w w w w w w ),...,,( )2()2(2)2(1)1()1(2)1(1,2,1,,22221,11211)2(=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ϖϖϖϖϖϖϖϖϖ （17.4）这时得到的向量)2(w的各个分量就是P 层各方案的相对权重，将其排序，即得各方案的优劣次序。
