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专题08 基本不等式及其应用（平均值不等式及其应用，三角不等式）知识梳理一、基本不等式：1.若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号2.（1）“积定和最小”：ab b a 2≥+⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值（2）“和定积最大”：22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S 。
3.若,a b R +∈2a b+≥ 加权平均》算术平均》几何平均二、平均值不等式：若a 、b 为正数，则2a b+≥a b =时取等号变式：222()22a b a b ab ++≥≥推广：123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++称为这n 个正数的算术平均数，称为这n个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n ++⋅⋅⋅+≥12n a a a ===时等号成立。
三、三角形不等式如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤ 注：当b a ,为复数或向量时结论也成立. 推论1：1212n n a a a a a a ++++++≤推论2：如果a b c 、、是实数,那么a c a b b c --+-≤,当且仅当()()0a b b c --≥时,等号成立.例题解析一、简单基本不等式问题【例1】条件“0>a 且0>b ”是结论“ab ba ≥+2”成立的 条件。
【难度】★【答案】充分非必要条件 【例2】已知正数y x ,满足12=+y x ，求yx 11+的最小值。
判断下述解法正确与否，若不正确，请给出正确的解法，若正确，则说明理由。
y x xyxy y x xy y x y x 112422221,2110,0+∴≥∴≥+=≥+∴>> 的最小值为24【难度】★【答案】不正确，忽略了前两个小不等式中的取等条件， 当时，即，取得最小值。
上海教育版数学高一上2.4《基本不等式及其应用》word教案2篇2.4（1）基本不等式及其应用一、教学内容分析基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的.二、教学目标设计1、掌握两个基本不等式：a2+b2≥2ab（a、b∈R）、a+b2≥ab（a、b为任意正数），并能用于解决一些简单问题.2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法.3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化等辨证唯物主义观点.三、教学重点及难点重点两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用.难点基本不等式的应用.四、教学用具准备电脑、投影仪五、教学流程设计新课引入基本不等式1及其证明基本不等式1的图形解释图形引入基本不等式2基本不等式2的证明基本不等式的简单应用（探索）课堂小结作业布置（含课外思考）六、教学过程设计一、新课引入在客观世界中，有些量的大小关系是永远成立的.例如，3>2、a2≥0（a∈R）、三角形任意两边之和大于第三边、三角形任意两边0 .当 ab 时， a bb之差小于第三边等等.二、新课讲授1、基本不等式 1基本不等式 1 对于任意实数 a 和 b ，有 a 2（1）基本不等式 1 的证明b 22ab ，当且仅当 a b 时等号成立.证明：因为 a 2b 2 2ab a b20 ，所以 a 2 b 2 2ab .当 ab 时， a b2 20 .所以，当且仅当 ab 时， a 2b 2 2ab 的等号成立.（2）基本不等式 1 的几何解释① 解释 1边长为 a 的正方形面积与边长为 b 的正方形面积之和大于等于以a 、b 为邻边长的矩形面积的 2 倍（当且仅当 ab 时等号成立）A已知正方形 ABCD ，分别在边 AD 、边 DC 上取点 E 、F ，使得 DE DF . 分别过点 E 、 F 作 EG BC 、FHAB ，垂足为 G 、 H . EG 和 HF 交于点 M .由几何画板进行动态计算演示，得到阴影部分的面积剩余部分的面积，当且仅当点 E 移至 AD 中点时等号成立.aMH FbB G C② 解释 2某届数学大会的会徽怎样的？三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为：如图所示，以 a 、b 、c 分别表示勾、股、弦，那么，ca b 表示“弦图”中两块“朱实”的面积， b a表示“中黄实”a中黄实的面积. 于是，从图中可明显看出，四块“朱实”的面积加上一个“中黄实”的面积就等于以 c 为边长的正方形“弦实”的面积，即朱实“弦图”的现代数学图示(a≥0，所以a+b≥ab.证明：因为a+b-2ab=(a-b )=0.当a≠b时，(a-b)>0.当a=b时，(a)+(b)≥2c2=(b-a)2+2ab=b2-2ab+a2+2ab=a2+b2[这就是勾股定理的一般表达式.由图可知：以c为边长的正方形“弦实”的面积≥四块“朱实”的面积即，a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）.2、基本不等式2观察下面这个几何图形.已知半圆O，D是半圆上任一点，AB是直径.DC O过D作DC⊥AB，垂足为C.显然有线段OD的长度大于等于垂线段DC的长度.A a b B设AC=a，CB=b，请用a、b来表示上述这个不等关系.（即且仅当a=b时等号成立.）a+b2≥ab，当基本不等式2对于任意正数a、b，有a+b2≥ab，当且仅当a=b时等号成立.我们把a+b2和ab分别叫做正数a、b的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（1）基本不等式2的证明2222所以，当且仅当a=b时，a+b≥ab的等号成立. 2另证：因为a、b为正数，所以a、b均存在.由基本不等式1，得22a b，当且仅当a=b时等号成立.即a+b2≥ab，当且仅当a=b时等号成立.（2）基本不等式2的扩充证明：因为ab>0，所以a、b同号，并有>0，>0.矩形面积S=ab，正方形面积S'= ?≥ab，又由不等式的性质得?≥(ab)，即S'≥S.对于任意非负数a、b，有a+b≥ab，当且仅当a=b时等号成立. 2例1已知ab>0，求证：b a+≥2，并指出等号成立的条件.a bb aa b所以，b a b a b a+≥2?=2.当且仅当=，即a=b≠0时等号成立.a b a b a b[说明]1、体会代换的方法.2、用语言表述上述结论.3、思考：若ab<0，则代数式b a b a+的取值范围是什么？（+≤-2，当且仅当a b a ba=-b≠0时等号成立.）3、两个基本不等式的简单应用（1）几何问题例2在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？猜想：由几何画板电脑演示得出.A中点C折点MB解：设矩形的长、宽分别A aMbM'B为a、b（a、b∈R+）且a+b=m（定值），则同样周长的正方形的边长为a+b?22?a+b 2.由基本不等式2，得a+b?a+b?22?2?2由题意， a + b = m （定值），所以S ≤ ? = （定值）.当且仅当a = b ，即矩1 ? 1 ? y = x (1 - x ) = - x2 + x = - x - ? + （ 0 < x < 1 ），得0 < y ≤m ?2 m 2 ? 2 ?4形为正方形时，矩形的面积最大.[说明]当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值.例如，若 0 < x < 1 时，有 x (1 - x ) ≤1 1，当且仅当 x = 时等号成立 .（事实上，由 4 22 ?2 ?411 ，当且仅当 x = 时等4 2号成立.）三、课堂小结略四、作业布置1、练习 2.4（1）2、思考题（1）通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释.（2 ）在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？（3）整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.七、教学设计说明本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好的教学效果.整堂课主要采用“观察——猜测——归纳——证明”的探索流程，让学生通过观察两式的大小关系、几何图形中线段的长度来猜测相应的结论，最后再由讨论、归纳得出两个基本不等式.在教学过程中始终“关注学生的思维发展”.例如，将教科书上例1的证明题改成了一道探索题，通过对有关过程的设计，进而培养学生自行探索、解决问题的能力.此外，为了培养学生“观察——猜测”的能力，借用了几何画板的有关功能，帮助学生进行有关的猜想与验证，使学生始终处于自我发现、自我探索的过程中.通过整堂课的教学，不仅要求学生对有关知识点的掌握，此外还对应初步理解代换的数学方法有一定要求，并在公式的探求过程中，继续领悟数形结合的数学思想.2.4（2）基本不等式及其应用一、教学目标设计1、进一步掌握两个基本不等式：a2b22ab（a、b R）、a b2ab（a、b为任意正数）2、利用基本不等式解决一些简单问题，如求最值或求取值范围的简单问题以及简单不等式的证明.3、进一步理解代换的数学方法.二、教学重点及难点基本不等式的简单应用.三、教学流程设计复习回顾基本不等式的应用（几何问题）基本不等式的应用（代数证明）拓广引申课堂小结作业布置（含课外思考）四、教学过程设计一、复习基本不等式1对于任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立.基本不等式2对于任意正数a、b，有a+b2≥ab，当且仅当a=b时等号成立.我们把a+b2和ab分别叫做正数a、b的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.[说明]复习过程中需强调三点：1、两个基本不等式各自适用的范围.2、两个基本不等式各自等号成立的条件.3、两个基本不等式之间的联系.二、新课讲授（2）几何问题根据上节课的讨论，我们知道在周长保持不变的条件下，当且仅当矩形相邻两边相等即为正方形时，其面积最大.很自然我们会考虑下面的问题.例3在面积保持不变的条件下，何时矩形的周长最小？解：设矩形的长、宽分别为a、b（a、b∈R+）且ab=m（定值），则同样面积的正方形的边长为ab.矩形周长C=2(a+b)，正方形周长C'=4ab.由基本不等式2，得a+b≥ab，又由不等式的性质得2(a+b)≥4ab，即C≥C'. 2由题意，ab=m（定值），所以C≥4m（定值）.当且仅当a=b，即矩形为正方形时，矩形的周长最小.[说明]当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值.例如，若x≠0时，x+1≥2，当且仅当x=±1时等号成立.（一方面当x>0时，有x≥ 2，当且仅当 x = 1 时等号成立 .另一方面当 x < 0 时，有 (- x )+ - ? ≥ 2 ，即 c ca1 12 2x + 1 ? 1 ? x ? x ?x + 1 x≤ -2 ，当且仅当 x = -1 时等号成立.）两个正数的和为定值，则它们的积有最大值；两个正数的积为定值，则它们的和有最小值.这两个结论常常用于求解最值问题.在具体应用时，要注意“一正、二定、三等号”.（2）代数证明例 4 求证：对于任意实数a 、b 、 c ，有a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab +bc +ca ，当且仅当 a = b = c时等号成立证明：由基本不等式 1，得a 2 +b 2 ≥ 2ab ， b 2 +c 2 ≥ 2bc ，a 2 + c 2 ≥ 2ac ，把上述三个式子的两边分别相加，得 2 (a 2 +b 2 +c 2 )≥ 2 (ab + bc + ca ) ，即a 2 +b 2 +c 2 ≥ a b + b + ，当且仅当 a = b = c 时等号成立.另证： (a2+ b 2 + c 2)- (ab + bc + ca ) = 1 (2a 2+ 2b 2+ 2c 2- 2ab - 2bc - 2ca )2= 1 ?(a -b )2 + (b -c )2 + (a - c )2 ? ≥ 0 . 2 ? ?即a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ，当且仅当 a = b = c 时等号成立.例 5 均值不等式链设 a 、b ∈ R + ，则 2 a+ b a 2 +b 2+a b≤ ab ≤ ≤（调和均值≤ 几何均值≤ 算术均值≤ 平方均值），当且仅当 a = b 时等号成立.证明：（1）由 a 、b ∈ R + ，得 1 1+a b ≥ 2 1 1 1 2= ? a b ab 1 1+a b≤ ab ，当且仅当a = b 时等号成立（2）ab ≤a + b2，当且仅当 a = b 时等号成立，已证.)≥(a+b)2=a+b1122①ab≤ ?，当且仅当a=b时等号成立.a+b?≥2ab?(a+b)2≥4ab?ab≤ ?，当且仅当a=b时等号+b 2≥a+b不等式a+b（3）由a2+b2≥2ab?2(a2+b22?a2+b2(a+b)2≥24a2+b22≥(a+b)24=a+b2.所以，当a、b∈R+时，有a+b a2+b2≤22，当且仅当a=b时等号成立.综合（1）、（2）、（3）得，当a、b∈R+时，有且仅当a=b时等号成立.[说明]事实上当a、b∈R时，有：a+b?22?2a+ba2+b2+a b≤ab≤≤，当②a2+b2a+b a+b≥≥222.证明：①由a22成立.?2?2②由a2+b2≥2ab?2(a2+b2)≥(a+b)2a2+b2(a+b)2≥24a2+b22≥(a+b)24=a+b2.即，a2+b2a+b a+b≥≥222.不等式a2+b2a+b≥22等号成立当且仅当a=b.a+b≥等号成立当且仅当a+b≥0. 22t 1 (1 + b ? 1 = ta +b )。
平均值不等式及其应用摘要：平均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一. 本文总结性地介绍了平均值不等式的几种具有代表性的证明方法，包括逆向归纳法、马克罗林的替代法、概率论方法、泰勒公式、不等式证明等，并归纳总结了其在不等式证明、求函数极值和最值、判断数列及级数的敛散性、解决积分不等式问题、比较大小等各方面应用，为今后此类问题的研究提供了便利，为解决其他不等式的证明提供了帮助.关键词：平均值不等式；数学归纳法；泰勒公式；应用Mean Value Inequality and its Application Abstract：The mean value inequality is of great importance in inequalities, and it is one of the most widely used inequality in modern analytical mathematic. In this paper ,we summarize several typical proof methods of the mean value inequality, including mathematic induction, Mark Rollin's alternative method, probability theory method, Taylor formua, inequality method. Furthermore, we introduce some applications of the mean value inequality through examples. It can use in proving inequalities, judging the divergence of certain sequences and the progression, and solving the integral inequality question, as well as seeking the extreme value of function and so on.Key words：mean value inequality；mathematic induction；Taylor formula；application1．引言平均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是数学中最重要的基本不等式12之一，也是人们最为熟悉的不等式，因此，它在数学的很多领域中都有着广泛的应用.平均值不等式是数学分析中解决许多极限问题以及其他应用问题的一个重要依据，特别是算术-几何平均值不等式的应用更是尤为广泛，许多极限问题的证明都要应用到这一不等式.2．平均值不等式下面介绍一下平均值不等式：考虑n 个正数n a a a ,,,21 的算术平均(n A )和几何平均(n G )：∑==ni i n a n A 11， n n n a a a G 21=平方平均(n Q )和调和平均(n H )：n a a a Q n n 22221+++= ，nn a a a nH 11121+++= 平均值不等式：n n n n Q A G H ≤≤≤，即22212121121111nnn n i i na a a na a a a n n a a a =+++≤≤≤+++∑ .其中当且仅当n a a a === 21时等号成立.3．平均值不等式的证明关于平均值不等式的证明方法，常见的有利用数学归纳法及詹生不等式的证明，下面介绍几种另外的证明方法.在介绍第一种证明方法之前，首先介绍一下逆向归纳法的证明思路. 逆向归纳法：设有一个与自然数n 有关的命题，如果(1) 命题对于无穷多个自然数成立；(2) 假设命题对n =k 时成立，得出命题对n =k-1时也成立； 那么这个命题对于一切自然数n 都成立.3证法一[2]（逆向归纳法）证明 i) 首先证明命题对一切2(1,2,)k n k == 成立. 当2n =时，12122a a a a +≥，命题成立； 当4n =时，有不等式：2234121234()()22a a a a a a a a ++≤⋅ 2341222a a a a ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭43412412342224a a a a a a a a ++⎛⎫+ ⎪+++⎛⎫≤=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，即命题成立. 同理推出命题对3428,2,,2s n n n ==== 都成立(s 为任意自然数)，所以命题对无穷多个自然数成立.ii) 设命题对n k =成立，令 12k k a a a S k +++=，12111k k a a a S k --+++=- ，由上式立即得：12111k k k a a a S S k---++++= .由归纳假设得：121111211kk k k k k k a a a S Sa a a S k -----++++⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，即 11121k k k S a a a ---≥ . 故12111211k k k a a a a a a k ---+++≥- ，从而命题对1n k =-也成立.综合i)、ii)，由反归纳法原理知，命题对一切自然数n 都成立.证法二[2] (马克罗林的替代法证明)证明 我们保持12a a s +=和不变，以122a a +分别代替1a 和2a ，这时两个数122a a +的和仍然是s ，但两个数的积却增加了，即有21212()2a aa a +≥，实际上两个数的算术平均值大于几何平均值，且当两个数相等时等号成立.现在变动诸数12,,,n a a a ，但保持它们的和12n a a a s +++= 不变，这时乘4积12nn a a a 必须在12n a a a === 时取极大值，因为只要i j a a ≠，我们用2i ja a +分别代替i a 和j a ，这时和12n a a a s +++= 仍然不变，但它们的乘积却增加了，即有：121222i ji jn i j n a a a a a a a a a a a a ++>当且仅当12n a a a === 时，1212nn n a a a a a a n+++= .故1212n nn a a a a a a n+++≥ ，即命题成立.注：这个证明方法是由苏格兰科学家马克罗林给出的，所以我们称其为马克罗林替代法.证法三[3] (概率论证明方法) 证明 设1()i P a nξ==，(0,1,2,,)i a i n >= ，则 111()()nni i i i i E a P a a n ξξ===⋅==⋅∑∑ 11n i i a n ==∑.所以 2211()n i i E a n ξ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.又由公式得：222211111()()nnn i i i i i i i E a P a a a n n ξξ====⋅==⋅=∑∑∑，而22()()E E ξξ≤，所以221111n n i i i i a a n n ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ ，即 21111n n i i i i a a n n ==≤∑∑. (1) 由公式11111(ln )ln ()ln ln nnni i i i i i i E a P a a a n n ξξ====⋅==⋅=∑∑∑，511ln()ln n i i E a n ξ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，而(ln )ln()E E ξξ≤，所以有：1111ln ln n n i i i i a a n n ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ ，即 1211ln ln nn n i i a a a a n =⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑ . 故 1211nn n i i a a a a n =≤∑ (2)再设有分布列11()i P a nξ==，(0,1,2,,)i a i n >= ，由(ln )ln()E E ξξ≤可得： 111111ln ln n n i i ii n a n a ==⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 故1211n n ni ina a a a=≤∑ (3)综合(1)、(2)、(3)得： 212111111n n nn i i ni i i ina a a a a n n a ===≤≤≤∑∑∑ . 注：这里，我们利用概率论模型证明了平均值不等式，实际上有许多不等式均可利用这种方法进行证明，这为证明不等式找到了新的途径.证法四[4] (利用不等式1x e x ≥+，1x ≥-) 证明 设12nn a a a A n+++= ，12n n n G a a a = ，(0,1,2,,)i a i n >=由不等式1x e x ≥+，(1x ≥-)可知，对于每一i 有：exp 1i i n na aA A ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，1,2,,i n = .求其乘积，得：6111exp 1exp 1nn i i i i n na a A A ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏ 1nni n i n n a G A A =⎛⎫≥= ⎪⎝⎭∏ 故n n A G ≥，即1212n nn a a a a a a n+++≥ .(0,1,2,,i a i n >= )注：利用不等式证明平均值不等式有几种方法，其中詹生不等式就是一种，而这里是利用不等式1x e x ≥+（1x ≥-）来得到证明.证法五 (利用泰勒公式)证明 设()log a f x x =，(01,0)a x <<>，则 ''21()0ln f x x a=>. 将()f x 在点0x 处展开，由泰勒公式，有：'''200000()()()()()()2f x f x f x f x x x x x =+-+-，其中00()x x x ξθ=+-，(01θ<<)因此有'000()()()()f x f x f x x x ≥+-. 取011ni i x x n ==∑，(,)i x a b ∈，1,2,,i n = ，则有：'111111()()()()n nn i i i i i i i i f x f x f x x x n n n ===≥+-∑∑∑，1,2,,i n = . 故'1111111()()()()nn n n ni i i i i i i i i i f x nf x f x x x n n =====≥+-∑∑∑∑∑ 11()n i i nf x n ==∑， 即 1111()()n ni i i i f x f x n n ==≤∑∑.因此有121211log ()(log log log )an a a a n a a a a a a n n+++≤+++ . 于是7121211log ()log ()a n a n a a a a a a n n≥+++ 112121log ()log ()na n an a a a a a a n≥+++ 故1212n nn a a a a a a n+++≥ .(0,1,2,,i a i n >= ).注：除了上面介绍的几种证明方法外，证明平均值不等式还有拉格朗日乘数法（见[5]）、排序不等式等.4．平均值不等式的应用在数学分析中，平均值不等式可用于判断某些数列及级数的敛散性，解决积分不等式问题，求函数极值等，并且其在求最值，比较大小，证明不等式等各方面都具有巧妙的应用. 下面通过实例说明平均值不等式的一些应用.4.1 判断数列敛散性，并求其极限例1[6]．设13a =，11621n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，(1,2,)n = ，证明lim n n a →∞存在，并求其值.证明 先证有下界. 132a =>；假设2k a >，则有11612611=(1)2123163k k k kk k a a a a a a +⎛⎫⎡⎤+=+++- ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦ 2611(1)223163k k a a ≥+⋅+⨯-=+. 由数学归纳法知：对任意正整数n ，有2n a >，即数列有下界. 再证数列单调递减. 事实上，对任意正整数n ，有11621n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭161(2)2212n n a a ⎛⎫<+=+ ⎪+⎝⎭()12n n n a a a <+=， 即1n n a a +<.8由单调有界原理，极限lim n n a →∞存在. 设lim n n a a →∞=，对等式11621n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭两边取极限，得1621a a a ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭解之得：2a =(负值不合题意，舍去) 故lim 2n n a →∞=.例2．证明：数列12n n n n nn a n ⎧⎫+++=⎨⎬⎩⎭收敛. 证明 首先证明数列是单调的. 对任意的正整数1,2,,1k n =- ，都有11111nn k n k k n n n n ++⋅+⎛⎫<= ⎪++⎝⎭， 所以11(1)(1)n n n n k k n n +++<+. 所以12n n n n n n a n +++= 1111123(1)(1)n n n n n n a n +++++++++<<+ . 即数列{}n a 是单调递增的.再证数列有上界. 对任意的正整数1,2,,1k n =- ，都有1111111kn kn n k n n n ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥-≤-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦ 1kk e e -⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 所以9(1)[(1)]n n n n n n n n n a n +-++--= 11111n nn n n -⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1(1)1111n n e e ee ------<+++=- 1111ee e -<=--， 即数列有上界.由单调有界定理知，该数列收敛.4.2 判断级数敛散性例3[6]．设111111111(1)112132n n b n n n n +⎛⎫=-⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪--⎝⎭ ，证明：级数1n n b ∞=∑是发散级数.证明 因111111111(1)112132n n b n n n n +⎛⎫=-⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪--⎝⎭ ，由2a bab +≤有112n n +⋅≤，12(1)2n n +-≤，1,12n n ++≤ 故1211n n ≥+⋅，1212(1)n n ≥+-，12,11n n ≥+⋅ 从而有1112112(1)1n n b n n n n =+++≥+⋅-⋅ . 因lim 0n n b →∞≠，故级数1n n b ∞=∑发散.4.3 证明函数项级数一致收敛性10例4[7]．试证：22111(1)11lim (1)2n n x n n x x n x n ∞∞→==-=-∑∑. 证明 设 2(1)()(1)n n n x x u x n x -=-，1x ≠，显然有 211lim ()2n x u x n →=. 令21(1)2n u n=，则()n u x 在[0,2]上连续，()0n u x ≥，应用几何平均-算术平均不等式，得21()(1)n n n x u x n x x -=+++ 222221212221n n n x x n n n x x -≤=≤⋅⋅ ，[0,2]x ∈， 又因为211n n∞=∑收敛， 根据魏尔斯特拉斯判别法，得级数1()n n u x ∞=∑在[0,2]上是一致收敛的.故21111111lim ()lim ()2n n x x n n n u x u x n ∞∞∞→→=====∑∑∑， 即 22111(1)11lim (1)2n n x n n x x n x n ∞∞→==-=-∑∑.例5．试证级数2211cos 1nn n x nx x x x∞-=++++∑ 在(0,1]上一致收敛. 证明 设 21()1nn n x a x x x -=+++ ，()cos n b x nx =，1,2,n = ；显然{}()n a x 是递减的，因为21()1n n n x a x x x -=+++ 22112221n n n x x n nn x x -≤=≤⋅ ，(01)x ≤≤ 所以{}()n a x 是递减的且一致收敛于0. 注意到1111sin()sin1122cos 12sin sin sin242nk xn kx x x =+-=≤≤∑，1(1)2x ≤≤ 根据狄里克雷判别法，1()()n n n a x b x ∞=∑在1[,1]2上一致收敛.当102x ≤≤时，1()()2nn n n a x b x x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，1,2,n = ， 而112nn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法，得 1()()n n n a x b x ∞=∑在1(0,]2上一致收敛. 故1()()n n n a x b x ∞=∑在(0,1]上一致收敛.4.4 求函数极值和最值平均值不等式是求最值的常用方法之一，运用平均值不等式求最值时，要注意三个条件：‚一正二定三相等‚，三者缺一不可，求值时，要注意所进行的必须是等价转化. 运用平均值不等式求最值的方法有：负变正法，乘‘1’法，配系数法，添项法，拆项法，平方法，换元法，引入参数法.例6[6]．求函数3()(33)(1)f x x x =-+在开区间(0,1)内的极大值.解 3()(33)(1)f x x x=-+ 44(33)(1)(1)(1)6814416x x x x -++++++⎡⎤⎛⎫≤== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 当且仅当331x x -=+，即12x =时，()f x 有极大值8116.例7[10]．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求414141a b c +++++的最大值.[分析] 当函数恒为正值时，有时对目标函数进行平方，可达到凑和为定值的目的.解 令414141u a b c =+++++，则0u ≥.12所以24()32(41)(41)2(41)(41)2(41)(41)u a b c a b b c a c =++++++++++++72(41)(41)2(41)(41)2(41)(41)a b b c a c =+++++++++7(442)(442)(442)a b b c a c ≤+++++++++ 138()21a b c =+++=.4.5 证明积分不等式例8．若函数()f x 在[,]a b 上连续，且当[,]x a b ∈时()0f x >，则2()()()bbaadxf x dx b a f x ≥-⎰⎰[分析] 证法一中利用了定积分的定义和平均值不等式，定积分的定义是很容易可以想到的，再加上对平均值不等式的熟练掌握和灵活应用，即可解决本题的证明. 另外，如果对定积分的性质比较熟悉的话，也可以直接利用柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwartz )不等式来证明.证法一[6]利用1212111nna a a n na a a +++≤+++ 的变形：21212111()()n na a a n a a a +++⋅+++≥ 由已知条件：()f x 与1()f x 在[,]a b 上均可积. 应用定积分定义，将[,]a b n 等分，得：111()()nn k k k k b a b af x n f x n ==--⋅∑∑ 2121()11[()()]()()n n b a f x f x n f x f x ⎡⎤-=++⋅++⎢⎥⎣⎦ 2222()()b a n b a n-≥⋅=-， 故对上式两边取极限n →+∞，得：2()()()bbaadxf x dx b a f x ≥-⎰⎰.13证法二 由于函数()f x 在[,]a b 上连续，所以()f x 在[,]a b 上可积. 根据Cauchy-Schwartz 不等式，即()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⋅⎰⎰⎰，得：221()()()b ab a f x dt f x ⎛⎫-=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎰()221()()b b aa f x dt dt f x ⎛⎫≤⋅⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ ()()bbaadxf x dx f x =⎰⎰， 即命题得证.例9. 设正值函数()f x 在[0,1]上连续，证明：11()0()f x dx e f x dx ⎰≤⎰.证明 由条件知()f x ，ln ()f x 在[0,1]上可积，将[0,1]进行n 等分，作积分和：111()lim ()n n i if x dx f n n →∞==∑⎰1011112ln ()lim ln ()lim ln[()()()]n n n i i nf x dx f f f f n n n n n n →∞→∞===∑⎰ 11limln[()]nn n i i f n →∞==∏ 所以11011lim ln[()]ln ()1lim[()]nn n i inf f x dx nn n i i e ef n→∞=→∞=∏⎰==∏由平均值不等式得：1111[()]()nn ni i i i f f n n n ==≤∑∏故得101()0()f x dxe f x dx ⎰≤⎰.4.6 证明不等式平均值不等式在不等式的证明中具有非常重要的地位，如果能够灵活应用，往往会达到事半功倍的效果.14例10[9]．若n N +∈，证明：111(1)(1)1n n n n++>++. 证明 由平均值不等式知，1111(1)(1)(1)(1)1n n n n n +=+++⋅ 11(1)11n n n n +⎡⎤+⋅+⎢⎥<⎢⎥+⎢⎥⎣⎦1121()(1)11n n n n n +++==+++ 故得证.例11．设n N ∈且1n >，证明：2(1)(21)(!)6nn n n ++⎡⎤<⎢⎥⎣⎦. 证明 由平均值不等式知，222221212nnn n n+++⋅< .又22112(1)(21)6n n n n n ⋅=++ 所以22(1)(21)126n n n n n ++⋅<两边作n 次乘方，即得2(1)(21)(!)6nn n n ++⎡⎤<⎢⎥⎣⎦.例12．已知,,a b c 都是正实数，求证：(1) 555333222a b c a b c b c a ++≥++； (2) 555222222a b c a b c b c c a a b++≥++.证明 (1)由平均值不等式可得，5553332225a a a b b a b b b++++≥, (1) 5553332225b b b c c b c c c ++++≥， (2) 5553332225c c c a a c a a a++++≥. (3)15(1)+(2)+(3)得：555333222a b c a b c b c a++≥++. (2) 由平均值不等式可得：552222225a a b b c a b c b c++++≥， (4) 552222225b b c c a b c a c a++++≥， (5) 552222225c c a a b c a b a b+++++≥. (6) (4)+(5)+(6)得：555222222a b c a b c b c c a a b++≥++.参考文献：[1] 匡继昌.常用不等式[M].长沙：湖南教育出版社，1989：17-18.[2] 谢刚.证明一类重要不等式的几种方法[J].滁州职业技术学院学报，2010，9(1)：79-80. [3] 姚仲明.蒋秀梅，平均值与平均值不等式[J].安庆师范学院学报，2009，15(1)：96-98. [4] 陈侃.算术-几何平均值不等式的证明[J].巢湖学院学报，2008，10(3)：129-130. [5] 黄东兰.算术-几何平均值不等式的证法[J].福建广播电视大学学报，2007，(4). [6] 刘俊先.平均值不等式在数学分析中的应用[J].廊坊师范学院学报，2009，9(1)：14-16. [7] 饶明贵.几个不等式的应用[J].河南科学，2008，26(8)：900-903.[8] 伏春玲，董建德.均值不等式的性质推广及应用[J].甘肃联合大学学报，2010，24(6)：26-31.[9] 夏立标.均值不等式及其推广[J].宁德师专学报，2010，22(2)：125-127.[10] 沈丙申.运用均值定理求最值的八种方法[J].四川教育学院学报，2007，23(6)：61-62.[11] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2002.[12] 华东师范大学数学系.数学分析：上册[M].北京：高等教育出版社，2001.[13] Akerberg B., A proof of arithmetic geometric mean inequality, Amer. Math Monthly, 1963,70:997-998.[14] Chong, Kong-Ming, An inductive proof of the A.M.-G.M. 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