安徽省合肥市六校2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题(教师版)

2019-2020学年第一学期高一期末考试数学试题卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项符合题意，答案填涂到答题卡上.1.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )A. {}1,3-B. {}1,0C. {}1,3D. {}1,5【答案】C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+=∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2.函数()f x =的定义域为（ ）A. 1(0,)2B. (2,)+∞C. 1(0,)(2,)2+∞D. 1(0,][2,)2+∞【答案】C 【解析】由题意得220(log )10x x >⎧⎨->⎩，0,1202x x x 或>⎧⎪⎨><<⎪⎩所以x ∈()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭，选C. 3.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，则cos2θ=（ ） A. 45-B.35C.35D.45【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求出cos θ，利用二倍角公式求出cos2θ【详解】解：当θ的终边在第一象限时，取直线3y x =上的点(1,3)，则r =，故cos10θ==，同理：当θ的终边在第三象限时，cos θ=，所以224cos 22cos 12(15θθ=-=-=-. 故选：A.【点睛】本题考查了三角函数的定义、二倍角公式，解题的关键是画出图形，准确使用定义和倍角公式. 4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]“今有宛田，下周六步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长6步，其所在圆的直径是4步，问这块田的面积是（ ）平方步？ A. 12 B. 9C. 6D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形面积公式，求出扇形面积.【详解】解：因为弧长为6步，所在圆的直径为4步， 所以12662S =⨯⨯=（平方步）. 故选：C.【点睛】本题考查了扇形的面积公式，解题的关键是熟记扇形面积公式.5.若0,4πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 28θ=，则sin θ=（ ）A.35B.C.45D.34【答案】B 【解析】 【分析】根据sin 2θ，先求出cos2θ，利用二倍角公式可以解出结果. 【详解】解：[0,]4πθ∈2[0,]2πθ∴∈故1cos 28θ===又2cos 212sin θθ=- 即2112sin 8θ=- 由[0,]4πθ∈，解得：sin θ=. 故选：B.【点睛】本题考查了同角三角函数关系、倍角公式等知识，解题的关键是灵活运用三角变换中的公式.6.已知函数()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ） A. 是奇函数，且在R 上是增函数 B. 是偶函数，且在R 上是增函数 C. 是奇函数，且在R 上是减函数 D. 是偶函数，且在R 上是减函数【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性、奇偶性定义等方法判断函数的性质.【详解】解：函数()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，因为()1144()()44xx x x f x f x --⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭， 所以()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数；因为14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，4x y =-在R 上的减函数， 所以()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上的减函数， 综上：函数()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数，在R 上是减函数. 故选：C.【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的研究，解决问题的关键是熟练运用函数性质的定义.7.要得到函数4sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需要将函数4sin3y x =的图像（ ） A. 向左平移9π个单位 B. 向右平移9π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位 【答案】B 【解析】 【分析】先将函数4sin 33y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭转化为4sin(3())9y x π=-，然后根据平移的规则即可得出答案.【详解】解：函数4sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭等价于4sin(3())9y x π=-，故只需要将4sin3y x =向右平移9π即可得到. 故选：B.【点睛】本题考查了三角函数图象平移的规则，解题的关键是理清函数图象左右平移时，是自变量的平移.8.函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A. B.C. D.【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．9.设函数()2cos cos f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）A. 与b 有关，但与c 无关B. 与b 有关，且与c 有关C. 与b 无关，且与c 无关D. 与b 无关，但与c 有关【答案】A 【解析】【分析】根据三角恒等变换化简()1cos 2cos 2xb xc f x +=++，对b ，c 分类讨论即可得解. 【详解】由于()21cos 2cos cos cos 2x x b x c b x c f x +=++=++. 当0b =时，()f x 的最小正周期为π； 当0b ≠时，()f x 的最小正周期2π；c 的变化会引起()f x 的图象的上下平移，不会影响其最小正周期.故选：A.【点睛】此题考查函数周期的辨析，关键在于弄清参数对函数的影响.10.已知函数 ()()2x 3x,x 0f x ln x 1,x 0⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若 ()f x ax ≥∣∣，则 a 取值范围是 ()A. (],0∞-B. (],1∞- C. []3,0-D. []3,1-【答案】C 【解析】当0x <时，230x x -+<，()23f x x x ax =-≥，所以3a x ≥-恒成立，所以3a ≥-；当0x ≥时，()ln(1)f x x ax =+≥恒成立，则在同一坐标系中由函数ln(1)(0)y x x =+≥与(0)y ax x =≥的图象可知0a ≤，综上，30a -≤≤，故选C ．点睛：本题主要考查了分段函数的解析式和不等式的恒成立问题的求解，其中解答中涉及到分段函数的解析式，二次函数的性质和对数函数的单调性的应用，解答中牢记恒成立问题的求解和函数的基本性质是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题. 【此处有视频，请去附件查看】11.已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1mi i i x y =+=∑（ ）A. 0B. mC. 2mD. 4m【答案】C 【解析】 【分析】函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，得到()y f x =是关于点(0,2)对称，函数21x y x+=经过化简也可以得到关于(0,2)对称，由此可知两个函数的交点就关于(0,2)对称，根据点的对称性，就可以得到()1miii x y =+∑的值.【详解】解：因为函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-， 即函数()f x （x ∈R ）满足()()22f x f x -+=，所以()y f x =是关于点(0,2)对称，函数21x y x +=等价于12y x =+， 所以函数21x y x +=也关于点(0,2)对称，所以函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 也关于点(0,2)对称，故交点()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 成对出现，且每一对点都关于(0,2)对称，故()12121()()0422mi i m m i mx y x x x y y y m =+=+++++++=+⨯=∑. 故选：C.【点睛】本题考查了抽象函数对称性的综合应用，在解决抽象函数的问题时，和具体函数研究的方法相同，也是从奇偶性（对称性）、单调性、周期性等性质着手研究，然后可根据性质作出大致的草图进行研究. 12.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数 ②()f x 的最大值为2 ③()f x 在[],ππ-有4个零点 ④()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③【答案】A 【解析】 【分析】函数的奇偶性可根据定义判断，最值、零点、单调性等可将函数去绝对值进行分析. 【详解】解：()sin |||sin |f x x x =+的定义域为R ， 因为()sin sin()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=， 故()f x 为偶函数，结论①正确，当*[2,(21)],x k k k N ππ∈+∈，()sin sin 2sin f x x x x =+= 当*((21),(22)],x k k k N ππ∈++∈，()sin sin 0f x x x =-=故当0x ≥时，()**2sin ,[2,(21)],0,((21),(22)],x x k k k N f x x k k k N ππππ⎧∈+∈=⎨∈++∈⎩根据函数为偶函数，作出大致图象，如图所示故函数的最大值为2，结论②正确，根据图象可得，()f x 在[],ππ-有3个零点，故结论③错误， 由图象可以看出，()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，结论④正确.故选：A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、三角函数的图象与性质，考查学生的推理论证能力和运算求解能力等.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应位置上.13.已知函数())ln22f x x =+，则()1lg 5lg 5f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】4 【解析】 【分析】先研究函数())ln22f x x =+的性质，然后利用对称性求解.【详解】解：令)()ln 2g x x =函数)()ln2g x x =的定义域为R ，)))1()ln2ln2ln2()g x x xx g x --===-=-，所以函数)()ln2g x x =为奇函数，故()()()()()1lg 5lg lg 5lg 5lg 52lg 525f f f f g g ⎛⎫+=+-=++-+ ⎪⎝⎭()()lg5lg544g g =-+=.故答案为：4.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，研究函数问题常见的方法是从函数的性质、图象等角度研究.14.已知()()()()sin 5cos 8tan 3sin cos 22f αππααπαππαα----=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()f α=______.【答案】12- 【解析】 【分析】先利用诱导公式对函数()()()()sin 5cos 8tan 3sin cos 22f αππααπαππαα----=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭进行化简，再求解出31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而求解出()f α的值. 【详解】解：()()()()sin 5cos 8tan 3sin cos 22f αππααπαππαα----=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()[sin ]cos [tan ][cos ]sin ααααα--=-tan α=-，由31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭化简得1sin 5α=-， 因为α是第三象限角，所以cos 5α===-，故tan α==， 所以()f α=故答案为：. 【点睛】本题考查了三角函数诱导公式、同角三角函数的关系等知识点，熟练运用公式是解决本题的关键.15.若04πα<<，04πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 3βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】9【解析】 【分析】由于()()3443βππβαα+=+--，利用两角和差公式可求出cos 3βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】解：因为04πα<<，所以442πππα<+<，所以sin 4πα⎛⎫+==⎪⎝⎭，同理可得：sin 433πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭ 故cos cos[()()]3443βππβαα⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭ cos()cos()sin()sin()443443ππβππβαα=+-++-1··33339=+=.. 【点睛】本题考查了两角和差公式的知识，解决问题的关键是整体思想的意识，还要关注角的范围的确定. 16.设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()3f x x =.又函数()()cos g x x x π=，则函数()()()h x g x f x =-在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，解出()f x 在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数表达式，将零点问题转化为方程问题，结合函数图象进行求解. 【详解】解：当1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，10,2x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 故()33()()f x f x x x =-=-=-；当31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,12x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故()3(2)(2)f x f x x =-=-.函数()()()h x g x f x =-的零点即为方程()()g x f x =的根， 故接下来研究方程()()g x f x =解的情况. 当1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 方程()()g x f x =即为()3cos x x x π=-， 化简得()3cos x x x π-=-，显然0x =是一个根，当0x ≠时，方程()3cos x x x π-=-等价于()2cos x x π=，在1[,0)2x ∈-内，作出函数()cos y x π=与2y x 的图象，如图所示，可得有一个交点，故当1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()()h x g x f x =-有两个零点； 当(0,1]x ∈时，方程()()g x f x =即为()3cos x x x π=，化简得()2cos x x π=，在(0,1]x ∈内，作出函数()cos y x π=与2yx 的图象，如图所示，可得有3个交点，故当(0,1]x ∈时，函数()()()h x g x f x =-有3个零点； 当3(1,]2x ∈时，方程()()g x f x =即为()3cos (2)x x x π=-，化简得()3(2)cos x x xπ-=，在3(1,]2x ∈内，作出函数()cos y x π=与3(2)x y x-=的图象，如图所示，可得有一个交点，故当3(1,]2x ∈时，函数()()()h x g x f x =-有1个零点； 综上：函数()()()h x g x f x =-有6个零点. 故答案为：6.【点睛】本题考查了函数的性质与图像、函数零点等知识，考查了转化与化归、数形结合等思想方法，属于函数综合应用问题，难度大.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17.已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，sin α.（1）求sin 6απ⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）求5cos 23πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【答案】（1；（2【解析】 【分析】（1）利用两角和差公式求解；（2）利用二倍角公式、两角和差公式求解.【详解】解：（1）因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α，所以cos α=， 所以sin sin cos cos sin 666πππααα⎛⎫+=+⎪⎝⎭1·(?252510=-+=，即sin 610πα⎛⎫+=⎪⎝⎭； （2）223cos 212sin 155αα=-=-=，4sin 22sin cos 2?·555ααα-===-， 555cos 2cos cos 2sin sin 2333πππααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭134(()255=⨯+⨯-=即5cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭【点睛】本题考查了两角和差公式、二倍角公式、同角三角函数关系等知识，熟练运用公式是解题的关键.18.已知函数22()sin cos cos f x x x x x =-+ （1）求()3f π的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）2；（2）最小正周期为π，单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ．【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值． （2）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．【详解】解：（1）22()sin cos cos f x x x x x =-+，cos22x x =-，2sin(2)6x π=-，即()2sin(2)6f x x π=-则2()2sin()2336f πππ=-=，（2）由（1）知()2sin(2)6f x x π=-()f x ∴的最小正周期为22T ππ==， 令：222262k x k πππππ-+-+，()k ∈Z ，得：63k x k ππππ-+，()k ∈Z ，所以函数的递增区间为：,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用，周期性的应用，属于中档题．19.若函数()y f x =是周期为2的偶函数，当[]1,2x ∈时，()3f x x =-+.在()y f x =的图象上有两点A 、B ，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间[]1,3上.（1）求当[]2,3x ∈时()f x 的解析式；（2）定点C 的坐标为()0,3，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）当[]2,3x ∈时，()1f x x ；（2）1【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性与周期性，求解()f x 在[]2,3x ∈上的解析式；（2）设出A 、B 两点的纵坐标，根据题意，构建出ABC ∆的面积函数，运用函数性质求解最值. 【详解】解：（1）当[]2,3x ∈时 则[]3,2x -∈--， 故[]41,2x -∈，根据函数为偶函数且周期为2得， 所以()()(4)(4)31f x f x f x x x =-=-=--+=-，即[]2,3x ∈时，()1f x x ；（2）设A 在3y x =-+上，B 在1y x =-上， 且A 、B 两点的纵坐标为(12)m m <≤， 则3A x m =-，1B x m =+，3122A B x x m m m -=---=-，21(22)(3)432ABC S m m m m ∆=--=-+-，12m <≤ 当2m =时，ABC S ∆最大，最大值为1.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、周期性等性质，考查函数解析式的求解，考查二次函数的图象与性质，考查学生的综合应用能力.20.如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边CD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，2AB =，1AD =，现要将此木块锯出一个等腰三角形EFG ，其底边EF AB ⊥，点E 在半圆上.（1）设6EOC π∠=，求三角形木块EFG 面积；（2）设EOC θ∠=，试用θ表示三角形木块EFG 的面积S ，并求S 的最大值. 【答案】（1）EFG 633S 8∆+=；（2）1sin cos sin cos 2S θθθθ+++=,EFG ∆的面积最大值为3224+【解析】 【分析】（1）构造垂线，将EF 、GH 的长度进行转化，EF 的长度即为EM MF +的值，GH 的长度即为DO OM +的值，从而求解出EFG S ∆；（2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出EFG S ∆的表达式，然后将sin cos θθ+看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值.【详解】解：（1）过点G 作GH EF ⊥交EF 于点H ，设EF 交CD 于点M ，所以11?cos16GH DM DO OM π==+=+=, 311?sin62EF EM MF π=+=+=，所以1132622228EFG S EF GH ∆++=⨯⨯=⨯⨯=； （2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性， 所以可只分析[0,]2πθ∈时的情况，11?cos 1cos GH DM DO OM θθ==+=+=+， 11?sin 1sin EF EM MF θθ=+=+=+，所以11(1cos )(1sin )22EFG S EF GH θθ∆=⨯⨯=⨯+⨯+ 1sin cos sin cos 2θθθθ+++=，令sin cos t θθ+=，[0,]2πθ∈，故21sin cos 2t θθ-=，sin cos )4t πθθθ=+=+，[0,]2πθ∈3[,]444πππθ∴+∈，sin()[,1]42πθ∴+∈， t ∴∈，221121224EFGt t t t S ∆-++++==， 函数2214t t y ++=在单调递增，所以当t =时，EFG ∆的面积最大，最大值为34+.【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中应用，考查了三角函数的值域问题，三角函数中sin cos θθ±与sin cos θθ的联系等等，考查了学生综合应用能力.21.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()2f x f x -=-，则称“局部中心函数”.（1）已知二次函数()2241f x ax x a =+-+（a R ∈），试判断()f x 是否为“局部中心函数”，并说明理由； （2）若()12423xx f x m m +=-⋅+-是定义域为R 上的“局部中心函数”，求实数m 的取值范围.【答案】(1) ()f x 为“局部中心函数”，理由详见解题过程；（2）1m -≤≤【解析】 【分析】（1）判断()f x 是否为“局部中心函数”，即判断方程()()2f x f x -=-是否有解，若有解，则说明()f x 是“局部中心函数”，否则说明()f x 不是“局部中心函数”； （2）条件()12423xx f x m m +=-⋅+-是定义域为R 上的“局部中心函数”可转化为方程()()2f x f x -=-有解，再利用整体思路得出结果.【详解】解：（1）由题意，()2241f x ax x a =+-+（a R ∈）， 所以()2241f x ax x a -=--+，()2222241124f x ax x a ax x a -=--+-=--+，当()()2f x f x -=-时，22241124ax x a ax x a --+=--+解得：2(4)0a x -=， 由于a R ∈，所以2x =±， 所以()f x 为“局部中心函数”. （2）因为()12423xx f x m m +=-⋅+-是定义域为R 上的“局部中心函数”，所以方程()()2f x f x -=-有解，即12124232423x x x x m m m m --++-⋅+-=-+⋅-+在R 上有解，整理得：2442(22)280x xx x m m --+-⋅++-=，令22x x t -+=，[2,)t ∈+∞，故题意转化为2222100t m t m -⋅+-=在[2,)t ∈+∞上有解， 设函数22()2210g t t m t m =-⋅+-，当(2)0g ≤时，2222100t m t m -⋅+-=在[2,)t ∈+∞上有解， 即2442100m m -+-≤， 解得：13m -≤≤； 当(2)0g >时，则需要满足(2)002g m >⎧⎪∆≥⎨⎪>⎩才能使2222100t m t m -⋅+-=在[2,)t ∈+∞上有解，解得：3m <≤综上：1m -≤≤【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、指数函数的图象与性质，考查了整体换元的思想方法，还考查了学生理解新定义的能力. 22.已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）当9a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程()()2log 3240f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围； （3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）不等式的解集为：{|0x x >或1}8x <-；（2）312a <≤或2a =或3a =；（3）23a ≥. 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的单调性，求解对数不等式；（2）将对数方程转化为整式方程，根据解集只有一个元素以及真数要大于0进行分情况讨论求解； （3）先求出最大值与最小值的差，进而转化为恒成立问题进行求解，分离变量构建新函数，求解最值，从而得出结果.【详解】解：（1）当9a =时，21log 90x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭即为191x +>， 故18x>-， 等价于(81)0x x +>， 解得：0x >或18x <-，所以不等式的解集为：{|0x x >或1}8x <-.（2）方程()()2log 3240f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦ 即为()221log ()log 3240a a x a x ⎡⎤+--+-=⎣⎦，等价于当()3240a x a -+->时，方程()1324a a x a x+=-+-①有一解， ①式化简为：(1)((3)1)0x a x +--=②，当3a =时，方程②的解为1x =-，满足条件()3240a x a -+->，故成立；当2a =时，方程②的解为1x =-，满足条件()3240a x a -+->，故成立；当3a ≠且2a ≠时，方程②的解为1x =-或13x a =-， 若1x =-是方程①解，则10a ->，即1a >， 若13x a =-是方程①的解，则230a ->，即32a >， 要使方程①有且只有一解，故312a <≤. 综上：方程()()2log 3240f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰好有一个元素时，a 的取值范围为312a <≤或2a =或3a =.（3）因为函数()f x 在区间[,1]t t +上单调递减，所以对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1， 可转化为()(1)1f t f t -+≤对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 即2211log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 因为0a >， 所以等价于112()1a a t t +≤++对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 分离变量得到：121a t t ≥-+对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 令12()1g t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 121()1(1)t g t t t t t -=-=++， 当1t =时，()0g t =， 当1[,1)2t ∈时，令1t m -=，1(0,]2m ∈，2121()21(1)(2)323m m g t t t m m m m m m=-===+---++-， 因为当1(0,]2m ∈时，函数2y m m=+单调递减， 故当12m =时，min 29()2m m +=， 故max 2()3g t =， 所以23a ≥. 【点睛】本题考查了对数不等式、对数函数、二次方程、二次不等式等知识，考查了常见函数的单调最值等性质，还考查了分类讨论、分离变量等思想方法.。

2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知||4a =r ，||2b =r ，()()3b a b a a b +⋅-=⋅v v vv v v ，则向量a r 与向量b r 的夹角等于( )A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π 2．如图，OAB V 是边长为2的正三角形，记OAB V 位于直线(02)x t t =<≤左侧的图形的面积为()f t ，则函数()y f t =的图象可能为( )A. B.C. D.3．若从集合{}2,1,2A =-中随机取一个数a ，从集合{}1,1,3B =-中随机取一个数b ，则直线0ax y b -+=一定．．经过第四象限的概率为( ) A ．29B ．13C ．49D ．59412sin(2)cos(2)ππ+-⋅-( ) A.sin 2cos2+ B.cos2sin 2- C.sin 2cos2-D.cos2sin 2±-5．实数20.2a =，2log b =，0.22c =的大小关系正确的是( ) A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<6．设函数()sin(2)6f x x π=+的图象为C ，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于直线6x π=对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向左平移3π个单位长度得到 D ．函数()f x 在区间(,)122ππ-上是增函数7．若直线1l ：60x ay ++=与2l ：()2320a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为( ) A.2B.823C.3D.8338．已知0a >且1a ≠，函数()()()2360(0)x a x a x f x a x ⎧-+-≤=⎨>⎩，满足对任意实数()1212,x x x x ≠，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.()2,3B.(]2,3C.72,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.72,3⎛⎤ ⎥⎝⎦9．已知函数()()2log x(x 0)x f x 3x 0>⎧=≤⎨⎩，那么1f f 4⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为( )A.9B.19C.9-D.19- 10．是一个平面，是两条直线，是一个点，若，，且，，则的位置关系不可能是( ) A ．垂直 B ．相交C ．异面D ．平行11．如果函数在区间上是增函数，而函数在区间上是减函数，那么称函数是区间上的“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”，若函是区间上的“缓增函数”，则其“缓增区间”为 A ． B ．C ．D ．12．的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°，若SAB V 的面积为8，则该圆锥的体积为__________．14．设定义域为R 的函数，若关于x 的函数，若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是______． 15．已知(0,)απ∈且3cos()65πα-=．求cos α=_________. 16．已知实数x ，y 满足不等式组2202x y y y x+-≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则1y x +的最大值为_______.三、解答题17．如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.18．已知()f x 在x ∈R 是恒有22[()]()f f x x x f x x x -+=-+.（1）若(2)3f =，求(1)f ；（2）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析式. 19．已知0a >，0b >，直线1x ya b+=经过点()12，． （1）求ab 的最小值； （2）求2+a b 的最小值． 20．已知函数21()cos 4sin 22sin 2sin 2f x x x x x =+-，x ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移8π个单位长度，得到()y g x =图象．若对任意[]12,0,x x t ∈，当12x x <时，都有1212()()()()f x f x g x g x -<-成立，求实数t 的最大值．21．已知二次函数()21(0)f x ax bx a =++>，若()10f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥成立，设()()g x f x kx =-()1当[]2,2x ∈-时，()g x 为单调函数，求实数k 的范围； ()2当[]1,2x ∈时，()0g x <恒成立，求实数k 的范围．22．已知中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若，求周长的最大值．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D C B B B D B D DC13．8π 14．．15334- 16．2 三、解答题17．（1）略； （2）略.18．（1）(1)1f =（2）2()1f x x x =-+19．（1）8（2）920．（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为π，最大值是22（Ⅱ）π821．（1）{|2k k ≤-，或6}k ≥；（2）92k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭22．(1)；(2)面积的最大值为．2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知函数()222xf x m x m =⋅++-，若存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则实数m 的取值范围为（ ）A.(]2(01]-∞-⋃，，B.[)(]2001-⋃，， C.[)[)201-⋃+∞，， D.(][)21-∞-⋃+∞，， 2．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-3．已知点()1,2A 在直线10(0,0)ax by a b +-=>>上，若存在满足该条件的,a b 使得不等式2128m m a b+≤+成立，则实数m 的取值范围是（） A ．(,1][9,)-∞-⋃+∞ B ．(,9][1,)-∞-⋃+∞ C ．[]1,9- D ．[]9,1-4．若函数的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍个图象沿轴向左平移个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数的图象则是（ ） A ． B ． C ．D ．5．在ABC ∆中，若2sin sin cos 2AB C = ，则ABC ∆是（ ） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形D.等腰直角三角形6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．400，40B ．200，10C ．400，80D ．200，207．若2log 3a =，4log 7b =，40.7c =，则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>8．若从集合{}2,1,2A =-中随机取一个数a ，从集合{}1,1,3B =-中随机取一个数b ，则直线0ax y b -+=一定．．经过第四象限的概率为( ) A ．29B ．13C ．49D ．599．若函数()()3sin 0f x x ωω=>能够在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大值3，且在,1110ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则整数ω的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合11,0,,2,32M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A.1B.3C.7D.3111．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为321，，，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为( )A.至少有一个白球；都是白球B.至少有一个白球；至少有一个红球C.恰有一个白球；一个白球一个黑球D.至少有一个白球；红球、黑球各一个12．将函数()3sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上的所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向右平移()0m m >个单位后得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A.6πB.3π C.23π D.56π 二、填空题13．函数y=1-sin 2x-2sinx 的值域是______ ．14．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是______． 15．数，定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当时，若，则有成立；④当时，函数有个零点.其中正确命题的个数为_________.16．已知直线:360l x y +-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_______.三、解答题17．已知数列{}n a 中，12a =，()124,2n n a a n n N n *--+=∈≥.(1)求数列{}n a 的通项公式: (2)设121n n b a =-，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .18．某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资x 成正比，其关系如图甲，B 产品的利润y 与投资x 的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位为万元).()1分别将A ，B 两种产品的利润y 表示为投资x 的函数关系式；()2该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产.问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少万元？19．已知圆M ：x 2+(y-1)2=16外有一点A(4，-2)，过点A 作直线l 。

安徽省合肥市六校2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷(考试时间：100分钟 满分：120分)命题学校一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在 答题卡上）1. 已知集合}1|{},2,1,0,1{2≤=-=x x Q P ，则=Q P （ ）A. }2,1,0{B. }1,0,1{- C .}1,0{ D. }1,1{-2.=（ ）A. B.CD.3. 已知2.023.02,2.0log ,2.0===p n m ，则 （ ）A.p n m >> B. m n p >> C . p m n >> D. n m p >>4 .已知则 （ ）A.B.C .D.5 函数2)(-+=x e x f x的零点所在的一个区间是 （ ） A. )1,2(-- B. )0,1(- C . )1,0( D. )2,1( 6. 下列各式中正确的是 （ ）A.B.C.D.7. 函数的图象大致是 ( )8. 若函数是偶函数，则的值不可能是 （ ）A.B.C.D.9. 将函数图象上每一点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象，再将图象向左平移个单位长度，得到图象，则图象的一个对称中心是 （ ）A. B.C. D.10. 已知函数),3(log )(22a ax x x f +-=对于任意的2≥x ，当0>∆x 时，恒有)()(x f x x f >∆+，则实数a 的取值范围是（ ）A. )4,4[-B. ]4,(-∞C .]4,4(- D.),4[+∞二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.幂函数的图像经过点)81,2(，则满足27)(-=x f 的x 的值为12.函数(a的最小正周期为2,则13. 已知函数1sin )(++=x b ax x f ，若,7)5(=f 则=-)5(f14.已知，则15. 将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个.若每个涨价1元，则日销售量减少10个，为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个 元.三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）16.已知函数.110,11,11)(≥<<⎪⎩⎪⎨⎧--=x x xx x f （1）指出函数)(x f 在区间),1[),1,0(+∞上的单调性（不必证明）； （2）当b a <<0，且)()(b f a f =时，求ba 11+的值； 17.已知函数的部分图象如图所示,图象与x 轴两个交点的横坐标分别为和.(1) 求、、的值. (2) 求使成立的x 取值的集合.18.若函数122)(12-⋅-=+x xa x f 在区间]1,0[上的最小值为1-，求实数a 的值.19.已知函数.(1)求f(x)的最小正周期与单调减区间.(2)20.已知函数)01,()(>>>∈-=b a R k kb a x f xx ，是否存在这样的a 、b 、k ，满足下面三个条件：①不等式0)(>x f 的解集是),0(+∞； ②函数)(x f 在),1[+∞上的最小值等于1；③2)2(f.若存在，求出a、b、k的值；若不存在，请说明理由.数学答案一、选择题二、填空题11. -13 12． 32+ ; 13. 5- ; 14. ; 15. 14.三、解答题16.解：（1）)(x f 在)1,0(上为减函数，在),1[+∞上是增函数. … …5分 (2)由b a <<0，且)()(b f a f =，知b a <<<10，则bb f a a f 11)(,11)(-=-=，b a 1111-=-∴，.211=+∴ba … …10分 17.解：(1)又,又,(2)18.解：设则原函数可化为,2t x=2()21,[1,2]g t t at t =--∈，.3分 (1)当2≥a 时，,143)2()(min -=-==a g t g 解得1=a ，舍去..5分(2)当21<<a 时，,11)()(2min -=--==a a g t g 解得0=a ，舍去..7分 (3)当1≤a 时，,12)1()(min -=-==a g t g 解得21=a ，舍去.10.分19.解：(1)单调减区间为(2),8分20.解：由,0>-xxkb a 得. … …2分(1)当0≤k 时，则R x ∈;显然不符合题意 … …3分 (2)当0>k 时，k x ba log >，而0)(>x f 的解集是),0(+∞，故.1,0log ==k k ba … …5分)01()(>>>-=b a b a x f x x 是增函数， … …7分因为函数)(x f 在),1[+∞上的最小值等于1，故1)1(=-=b a f ，又2)2(=f ，故222=-b a ，解得.21,23==b a … …9分 故存在21,23==b a ，1=k 同时满足题设条件. … …10分。

安徽省合肥市六校2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(考试时间：100分钟 满分：120分)命题学校一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在 答题卡上）1. 已知集合}1|{},2,1,0,1{2≤=-=x x Q P ，则=Q P I （ ） A. }2,1,0{ B. }1,0,1{- C.}1,0{ D. }1,1{-2.=（ ）A. B. C D.3. 已知2.023.02,2.0log ,2.0===p n m ，则 （ ）A. p n m >>B. m n p >>C. p m n >>D. n m p >>4 .已知则 （ ）A.B.C.D.5 函数2)(-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是 （ ） A. )1,2(-- B. )0,1(- C. )1,0( D. )2,1( 6. 下列各式中正确的是 （ ） A.B.C.D.7. 函数的图象大致是 ( )8. 若函数是偶函数，则的值不可能是 （ ） A.B.C.D.9. 将函数图象上每一点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象，再将图象向左平移个单位长度，得到图象，则图象的一个对称中心是 （ ） A.B .C.D.10. 已知函数),3(log )(22a ax x x f +-=对于任意的2≥x ，当0>∆x 时，恒有)()(x f x x f >∆+，则实数a 的取值范围是（ ）A. )4,4[-B. ]4,(-∞C.]4,4(-D.),4[+∞二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.幂函数的图像经过点)81,2(，则满足27)(-=x f 的x 的值为 12.函数(a的最小正周期为2,则13. 已知函数1sin )(++=x b ax x f ，若,7)5(=f 则=-)5(f 14.已知，则15. 将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个.若每个涨价1元，则日销售量减少10个，为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个 元.三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）16.已知函数.110,11,11)(≥<<⎪⎩⎪⎨⎧--=x x xx x f（1）指出函数)(x f 在区间),1[),1,0(+∞上的单调性（不必证明）； （2）当b a <<0，且)()(b f a f =时，求ba 11+的值； 17.已知函数的部分图象如图所示,图象与x 轴两个交点的横坐标分别为和.(1) 求、、的值. (2) 求使成立的x 取值的集合.18.若函数122)(12-⋅-=+x xa x f 在区间]1,0[上的最小值为1-，求实数a 的值.19.已知函数.(1)求f(x)的最小正周期与单调减区间.(2)20.已知函数)01,()(>>>∈-=baRkkbaxf xx，是否存在这样的a、b、k，满足下面三个条件：①不等式)(>xf的解集是),0(+∞；②函数)(xf在),1[+∞上的最小值等于1；③2)2(=f.若存在，求出a、b、k的值；若不存在，请说明理由.数学答案一、选择题二、填空题11.-13 12．32+ ; 13. 5- ; 14. ; 15. 14.三、解答题16.解：（1）)(xf在)1,0(上为减函数，在),1[+∞上是增函数. ……5分(2)由ba<<0，且)()(bfaf=，知ba<<<10，则bbfaaf11)(,11)(-=-=，ba1111-=-∴，.211=+∴ba……10分17.解：(1)又,又,(2)18.解：设则原函数可化为,2tx=2()21,[1,2]g t t at t=--∈，.3分Λ(1)当2≥a时，,143)2()(min-=-==agtg解得1=a，舍去..5分Λ(2)当21<<a时，,11)()(2min-=--==aagtg解得0=a，舍去..7分Λ(3)当1≤a时，,12)1()(min-=-==agtg解得21=a，舍去.10.L分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B B D D C C A C A C19.解：(1)单调减区间为(2),8分20.解：由,0>-xxkb a 得. … …2分(1)当0≤k 时，则R x ∈;显然不符合题意 … …3分 (2)当0>k 时，k x ba log >，而0)(>x f 的解集是),0(+∞，故.1,0log ==k k ba … …5分)01()(>>>-=b a b a x f x x 是增函数， … …7分因为函数)(x f 在),1[+∞上的最小值等于1，故1)1(=-=b a f ，又2)2(=f ，故222=-b a ，解得.21,23==b a … …9分 故存在21,23==b a ，1=k 同时满足题设条件. … …10分。

安徽合肥市2019～2020学年高一上学期“金汤白泥乐槐”六校联考数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = ( )A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2.已知集合，{A x y ==，若，则实数的取值范围为（） A. B. C. D.3.下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是（ ）A. B. C. D.4. 函数的定义域是（ ）A. [ -2,2)B.C.D.5．已知函数, 则 的值为（ ）A ．13B ．﹣13C ．7D ．﹣76．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数， 则下列结论错误的是( )A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())()f f x f x =的解只有1x =D ．方程(())f f x x =的解只有1x =7.函数 的图象是（ ）A. B. C. D.8.下列函数是偶函数且在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ）7)3(,3)(35=--+-=f cx bx ax x f )3(f 111)(+-=x x f.A 2y x = .B 1y x =.C y x = .D 2y x =- 9．已知 , 则 （ ） A ．x 2+8x+7 B ．x 2+6x C ．x 2+2x ﹣3 D ．x 2+6x ﹣1010．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系 (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时 11．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞)12. 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )． A ．(－∞，－2]∪ B ．(－∞，－2]∪ C. ∪ D. ∪二、填空题：(本大题4小题，每小题3分，共12分)13. 已知则f[f （3）]=__________. 14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，__________． 15.已知f (x )是奇函数，g (x )＝ ，若g (2)＝3，则g (－2)＝________. 16.给出下列命题：①函数()212+-=x y 在[]0,3上的值域为[]63，；②函数3x y =，(]1,1-∈x 是奇函数；③函数xx f 1)(=在R 上是减函数；其中正确的个数为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）．已知集合，， （1）求，（2）求.54)1(2-+=-x x x f =+)1(x f b kx e y +=)23,1(-)43,1(--)41,1(-),41(∞+)43,1(--),41(∞+)()(2x f x f +B A18．（12分）已知 (x ∈R, 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R)． (1)求f (2)，g (2)的值；(2)求f (g (2))的值；(3)求f (a －1)，g (a ＋1)的值．19.(12分)已知函数f (x )的定义域是满足x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.求证：(1)f (x )是偶函数；(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．20．（12分）已知 为定义在 上的奇函数，且 时， . (1)求时，函数 的解析式； (2)写出函数的单调区间（不需证明）.21.（12分） 庐江中心城某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件元，该店每月销售量（百件）与销售单价（元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为元，该店还应交付的其它费用为每月元.（Ⅰ）把表示为的函数； （Ⅱ）当销售价为每件元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （Ⅲ）若该店只有名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润?（利润收入支出）()11f x x=+()f x R 0x ≥()22f x x x =-+0x <()f x ()f x22.（12分）已知函数 (1)判断函数的奇偶性；(2)证明：f (x )在定义域内是增函数；(3)求f (x )的值域．()10101010x xx x f x ---=+六校联盟高一数学第一次联考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．CCCBB CBDAC CB二、填空题：(本大题4小题，每小题3分，共12分)13. 10 14.15. -116. 0三．解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解：(1)由，可得， 所以， 又因为所以； （2）由可得或， 由可得. 所以. 18.解：(1)∵f (x )＝，∴f (2)＝＝； 又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)f (g (2))＝f (6)＝＝.(3)f (a －1)＝＝；g (a ＋1)＝(a ＋1)2＋2＝a 2＋2a ＋3.19.证明 (1)令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝2f (－1)，∴f (－1)＝0，令x 1＝－1，x 2＝x ，得f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. ∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 20.解析：（1）任取0x <，则0x ->， ()()()2222f x x x x x ∴-=--+-=--， 又()f x 为奇函数， ()()22f x f x x x ∴=--=+，所以0x <时，函数()22f x x x =+；(2) ()f x 的单调递增区间是[-1,1]；单调递减区间是][(,1,1,)-∞-+∞. 21.解：（1）. …………………4分当时，， 所以时，取最大值15000元； 当时，， 所以时，取最大值15000元； 故当时，取最大值15000元， 即销售单价定为元时，该专卖店月利润最大.22.解 (1)∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝10－x －10x10x ＋10－x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)证法一：f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝102x－1102x ＋1＝1－2102x ＋1，令x 2>x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2102x 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2102x 1＋1＝2×102x 2－102x 1102x 2＋1102x 1＋1.∵x 2>x 1，∴102x 2－102x 1>0，又102x 2＋1>0,102x1＋1>0，f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，∴函数f (x )在定义域内是增函数．证法二：f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x ＝1－2102x ＋1.∵y 1＝10x为增函数，∴y 2＝102x ＋1为增函数，y 3＝2102x ＋1为减函数，y 4＝－2102x ＋1为增函数，f (x )＝1－2102x ＋1为增函数．∴f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x 在定义域内是增函数．(3)令y ＝f (x )，由y ＝10x －10－x10x ＋10－x ，解得102x ＝1＋y1－y ，∵102x >0，∴－1<y <1，即函数f (x )的值域是(－1,1)．。

2019-2020学年度第一学期合肥市六校联考高一年级期末教学质量检测数学试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合 题目要求.）1.已知集合{}|22A x x =-≤<，{}2|230B x x x =--≤，则A B =：A.[1,1]-B.[2,1]--C.[1,2)D.[1,2)-2.设函数()()()2111x x f x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(4)]f f -的值为： A.16 B.15 C.5- D.15-3.已知角α的终边上一点P 的坐标为22(sin,cos )33P ππ，则sin α的值为： A.12-B.12C.2D.2-4.在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ： A.3144AB AC + B.1344AB AC -C.3144AB AC -D.1344AB AC + 5.已知，0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则：A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a <<6.已知1sin()33πα+=，则5cos()6πα+=： A.13B.3C.13-D.3-7.函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间是：A.1(,0)4-B.13(,)24C.1(0,)4D.11(,)428.已知非零向量,a b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为： A.3πB.6π C.56π D.23π 9.幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--在(0,)+∞时是减函数,则实数m 的值为：A.2B.21-或C.1-D.-21或10.设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论错误的是：A.()f x 的一个周期为2-πB.()f x 在上(,)2ππ单调递减C.()y f x =的图像关于直线83x π=对称 D.()f x π+的一个零点为6x π= 11.已知,0a b >，且1,1a b ≠≠，若log 1a b > ，则有：A.(1)()0b b a -->B.(1)()0a a b -->C.(1)()0b b a --<D.(1)(1)0a b --< 12.函数2sin ()cos x xf x x x+=+在[,]ππ-的图像大致为： A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.） 13.23log 9log 4⋅= . 14.已知1tan 3α=-，tan()1αβ+=，则tan β= . 15.函数sin 3y x x =图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移 个单位长 度得到. 16.若函数2(21)1,0()(2),0m x m x f x x m x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩在R 上为单调递增函数，则实数m 的取值范围 为 .三、解答题（本大题共6小题，满分70分,解答题应写出文字说明及演算步骤.） 17.（本题满分10分）已知集合{}|3A x a x a =≤≤+，{}=|-15RB x x ≤≤.（1）若=A B φ，求实数a 的取值范围；（2）若=A B A ，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分） 已知2sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπαπαπα---+=+--.（1）化简()f α；（2）若α是第四象限角，且33cos()25πα-=，求()f α的值.19.（本题满分12分）已知函数1()(01)1x xa f x a a a -=>≠+且 . （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若01a <<，判断函数()f x 在R 上的单调性，并证明.20.（本题满分12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，12()log (1)f x x =-+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围.21.（本题满分12分）已知向量413(cos ,sin ),(cos ,sin ),||13a b a b ααββ==-=. （1）求cos()αβ-的值； （2）若0,022ππαβ<<-<<，且4sin 5β=-，求sin α的值.22.（本题满分12分） 已知函数2()sin(2)sin(2)2cos 1,33f x x x x x R ππ=++-+-∈.（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）若函数()21y f x a =-+在[0,]2π上有两个零点，求实数a 的取值范围.2019-2020学年度第一学期合肥市六校联考 高一年级期末教学质量检测数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上．）13. 4 14. 2 15. 3π16. [1,2]三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答题应写出文字说明及演算步骤.） 17. 解： （1）由{}=|-15RB x x ≤≤得：{}|15B x x x =<->或. ......2分若=A B φ，则有：-135a a ≥⎧⎨+≤⎩，故12a -≤≤. ......6分（2）若=AB A ，则有A B ⊆，结合数轴得：315a a +<->或，45a a <->即或.......10分18. 解： （1）2sin cos (tan )()2cos tan sin f ααααααα-==-. ......6分（2）33cos()sin 25παα-=-=，所以3sin 5α=-，又α是第四象限角， 故4cos 5α=.即8()5f α=-. ......12分 19.解：（1）函数的定义域为R ， 11()()11x xxxa a f x f x a a-----===-++.有()()f x f x -=-,所以()f x 是奇函数. ......6分（2）设1212(,R)x x x x <∈，1212121212112()11(1)(1()-())x x x x x x x x a a a a a a a a f x f x ----==++++. 当01a <<时，12x xa a >，有12()()f x f x >，所以()f x 在R 上是减函数；......12分20.解：（1）当0x >时，0x -<，故12log (()1)f x x -=+，又()f x 是偶函数，所以0x >时，12()()log (1)f x f x x ==+-.综上，1212log (1),0()log (1),0x x f x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩. ......6分（2）由()f x 为偶函数得：()(||)f x f x =.又()f x 在[0,)+∞为减函数，且(1)1f =-， 故有(|1|)(1)f a f -<，即|1|1a ->，解得20a a ><或.故所求实数a 的取值范围为：(,0)(2+)-∞∞，. ......12分21.解：（1）(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--， 222||(cos cos )(sin sin )a b αβαβ-==-+-22co )3s 16(1αβ-==-，所以5os(13c )βα-= . ......6分 （2）由-02πβ<<，及4sin 5β=-，得：3cos 5β=. 由0,022ππαβ<<-<< 得： 0αβπ<-<，所以12()13sin βα-=.故sin =sin[)]ααββ-+=（ 1235416()sin )cos cos )si 131565n 53αββαββ-+-⨯=+⨯-=（（. ......12分22.解：（1）()sin 2coscos 2sinsin 2coscos 2sincos 23333f x x x x x x ππππ=++-+sin 2cos2x x =+)4x π=+. 3222()242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈令，得： 5()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 故函数()f x 的单调递减区间为：5,]()88k k k Z ππππ++∈[ . ......6分 （2）函数()21y f x a =-+在[0,]2π上有两个零点，等价于方程()21f x a =-在[0,]2π有 两个不等的实根，即函数()f x 在[0,]2π上的图像与直线21y a =-有两个不同的交点.作出函数()f x 在[0,]2π上的图像，由121a ≤-<112a ≤<.......12分。

2019-2020学年安徽省合肥市六校联考高一上学期期末考试数学试卷及答案一、单选题1．已知集合{}|22A x x =-≤<，{}2|230B x x x =--≤，则A B = （）A ．[1,1]-B ．[2,1]--C ．[1,2)D ．[1,2)-2．设函数()()()2111x x f x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(4)]f f -的值为（）A ．16B ．15C ．5-D ．15-3．已知角α的终边上一点P 的坐标为2233sincos ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，则sin α的值为（）A ．12B ．1-2C ．2D ．3-24．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144AB AC+D ．1344AB AC+5．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．b c a<<6．已知1sin()33πα+=，则5cos()6πα+=（）A ．13B ．13-C ．3D ．3-7．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知非零向量a ，b 满足2a b = ，且()a b b -⊥ ，则a 与b的夹角为()A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．幂函数()()2231m m f x m m x+-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为()A ．2或1-B ．1-C ．2D ．2-或110．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称C ．f(x+π)的一个零点为x=6πD ．f(x)在(2π,π)单调递减11．已知a ，b ＞0，且a≠1，b≠1.若log >1a b ，则A ．(1)(1)0a b --<B ．(1)()0a a b -->C ．D ．(1)()0b b a -->12．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．23log 9log 4⨯=.14．已知1tan 3α=-，tan()1αβ+=，则tan β=_______.15．函数sin y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．16．若函数()()()2211,02,0b x b x f x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩在R 上为增函数，则实数b 的取值范围为________.三、解答题17．已知集合{}|3A x a x a =≤≤+，{}=|-15R B x x ≤≤ð.（1）若=A B φ⋂，求实数a 的取值范围；（2）若=A B A ，求实数a 的取值范围.18．已知2sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπαπαπα---+=+--.（1）化简()f α；（2）若α是第四象限角，且33cos()25πα-=，求()f α的值.19．已知函数1()1x x a f x a -=+（0a >且1a ≠）.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若01a <<，判断函数()f x 在R 上的单调性，并证明.20．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，12()log (1)f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围。

2019学年安徽省合肥市高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，则的子集共有（）A ． 2个B ． 3个C ． 4个D ． 5个2. 函数的定义域为（）A ．B ． ________C ．________D ．3. 函数的零点所在区间是（）A ．________B ．_________C ．_________D ．4. 等于（）A ．B ．C ． ________D ． 45. 函数的图象的一条对称轴是（）A ．B ．C ．________D ．6. 函数的部分图象如图所示，则的解析式为（）A ．B ．C ．D ．7. 已知平面直角坐标系内的两个向量，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数），则的取值范围是（） A．B．C．D ．8. 设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（）A ．________B ． 3C ． 6D ． 99. 为平面上的定点，、、是平面上不共线的三点，若，则是（）A．以为底边的等腰三角形B ．以为斜边的直角三角形C．以为底边的等腰三角形D ．以为斜边的直角三角形10. 函数是偶函数，在区间上单调递减，则（） A．B ．C．D ．11. 已知函数，若是周期为的偶函数，则的一个可能值是（）A ．________B ．C ．D ．12. 如图，分别是函数的图象与两条直线的两个交点，记，则的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13. 已知，且与夹角为120°，则________ ．14. 已知，则 _______ ．15. 计算： ________ ．16. 如图，矩形内放置5个边长均为的小正方形，其中在矩形的边上，且为的中点，则 _______ ．三、解答题17. 设、、分别是的边、、上的点，且，，若记，试用表示、．18. 已知角的终边经过点，且，求的值．19. 已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2 ）函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得的图象，求函数在上的最大值及最小值．20. 已知点、、的坐标分别为、．（1）若，求角的值；（2）若，求的值．21. 已知．（1）当时，求；（2）若，求当为何值时，的最小值为．22. 已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立．（1）函数是否属于集合？说明理由；（2）设函数（，且）的图像与的图像有公共点，证明：；（3）若函数，求实数的值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

2019-2020学年安徽省合肥市六校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.）1. 已知集合A ＝{x|−2≤x <2}，B ＝{x|x 2−2x −3≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.[−1, 1] B.[−2, −1] C.[1, 2) D.[−1, 2)2. 设函数f(x)={x 2(x <1)x −1(x ≥1) ，则f[f(−4)]的值为（ ）A.15B.16C.−5D.−153. 已知角α的终边上一点P 的坐标为(sin2π3, cos2π3)，则sin α的值为（ ）A.12B.−12C.√32D.−√324. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=( ) A.34AB →−14AC →B.14AB →−34AC →C.34AB →+14AC →D.14AB →+34AC →5. 已知a =log 20.2，b =20.2，c =0.20.3，则( ) A.a <b <c B.a <c <b C.c <a <b D.b <c <a6. 已知sin (π3+α)=13，则cos (5π6+α)＝（ ）A.13 B.−13C.2√23D.−2√237. 函数f(x)=e x +4x −3的零点所在的大致区间是( ) A.(−14, 0) B.(0, 14)C.(14, 12)D.(12, 34)8. 已知非零向量a →,b →满足|a →|=2|b →|，且(a →−b →)⊥b →，则a →与b →的夹角为（ ）A.π3B.π6C.5π6D.2π39. 幂函数f(x)=(m 2−m −1)x m 2+m−3在(0, +∞)时是减函数，则实数m 的值为（ ）A.2或−1B.−1C.2D.−2或110. 设函数f(x)=cos (x +π3)，则下列结论错误的是（ ）A.f(x)的一个周期为−2πB.f(x)在上(π2,π)单调递减C.y ＝f(x)的图象关于直线x =8π3对称D.f(x +π)的一个零点为x =π611. 已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则（ ） A.(a −1)(b −1)<0 B.(a −1)(a −b)>0 C.(b −1)(b −a)<0 D.(b −1)(b −a)>012. 函数f(x)=sin x+xcos x+x 2在[−π, π]的图象大致为( )A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.）计算 (log 29)⋅(log 34)＝________．已知tan α=−13，tan (α+β)＝1，则tan β＝________．函数y ＝sin x −√3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________π3 个单位长度得到．若函数f(x)={(2b −1)x +b −1,(x >0)−x 2+(2−b)x,(x ≤0) 在(−∞, +∞)上为增函数，实数b 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤.）已知集合A ＝{x|a ≤x ≤a +3}，∁R B ＝{x|−1≤x ≤5}． （1）若A ∩B ＝⌀，求实数a 的取值范围；（2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．已知f(α)=2sin (π−α)cos (2π−α)tan (−α+π)tan (π+α)sin (−π−α)．（1）化简f(α)；（2）若α是第四象限角，且cos (3π2−α)=35，求f(α)的值．已知函数f(x)=a x −1a x +1(a >0且a ≠1)． （1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）若0<a <1，判断函数f(x)在R 上的单调性，并证明．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且x ≤0时，f(x)=log 12(−x +1)．(1)求f(x)的解析式；(2)若f(a −1)<−1，求实数a 的取值范围．已知向量a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，|a →−b →|=4√1313． （1）求cos (α−β)的值；（2）若0<α<π2，−π2<β<0，且sin β=−45，求sin α的值．已知函数f(x)=sin (2x +π3)+sin (2x −π3)+2cos 2x −1，x ∈R ． （1）求函数f(x)的单调递减区间；（2）若函数y ＝f(x)−2a +1在[0,π2]上有两个零点，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年安徽省合肥市六校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.）1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】∵集合A＝{x|−2≤x<2}，B＝{x|x2−2x−3≤0}＝{x|−1≤x≤3}，∴A∩B＝{x|−1≤x<2}＝[−1, 2)．2.【答案】A【考点】函数的求值求函数的值【解析】由于−4<1，将−4代入第一段的解析式求出f(−4)＝16；由于16>1，将16代入第二段上解析式求出f[f(−4)]的值．【解答】∵f(−4)＝16∴f[f(−4)]＝f(16)＝16−1＝153.【答案】B【考点】任意角的三角函数【解析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．【解答】∵角α终边上一点P的坐标是(sin2π3, cos2π3)，∴x＝sin2π3，y＝cos2π3，r＝|OP|＝1，∴sinα＝cos2π3=−12．4.【答案】A【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，EB→=AB→−AE→=AB→−12AD→=AB→−12×12(AB→+AC→)=34AB→−14AC→.故选A.5.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2<0，20.2>1，0<0.20.3<1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：a=log20.2<log21=0，b=20.2>20=1，∵0<0.20.3<0.20=1，∴c=0.20.3∈(0, 1)，∴a<c<b.故选B.6.【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值【解析】利用诱导公式可得cos(5π6+α)＝cos[π2+(π3+α)]＝−sin(π3+α)，利用条件求得结果．【解答】cos(5π6+α)＝cos[π2+(π3+α)]＝−sin(π3+α)=−13，7.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】确定f(0)=1−3=−2<0，f(12)=√e−1>0，f(14)=√e4−2=√e4−√164<0，f(1)=e+4−3=e+1>0，根据零点存在定理，可得结论． 【解答】解：∵ 函数f(x)=e x +4x −3在R 上是增函数， 求解：f(0)=1−3=−2<0， f(12)=√e −1>0，f(14)=√e 4−2=√e 4−√164<0， f(1)=e +4−3=e +1>0， ∴ 根据零点存在定理，可得函数f(x)=e x +4x −3的零点所在的大致区间是(14, 12).故选C ． 8.【答案】 A【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】由题意，计算cos θ的值，从而求得a →与b →的夹角θ的值． 【解答】非零向量a →,b →满足|a →|=2|b →|， 且(a →−b →)⊥b →，则(a →−b →)⋅b →=0， 即a →⋅b →=b →2=|b →|2； 所以cos θ=a →⋅b→|a →|×|b →|=|b →|22|b →|×|b →|=12，又θ∈[0, π]，所以a →与b →的夹角为θ=π3． 9. 【答案】 B【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】由题意利用幂函数的定义和性质可得{m 2−m −1=1m 2+m −3<0，由此解得m 的值．【解答】解：由于幂函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3在(0, +∞)时是减函数，故有{m 2−m −1=1m 2+m −3<0，解得m =−1. 故选B ． 10.【答案】 B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由余弦型函数的图象与性质逐一分析四个选项得答案． 【解答】∵ f(x)=cos (x +π3)，∴ T =2π2=π，则−2π是f(x)的一个周期，故A 正确；由x ∈(π2,π)，得x +π3∈(5π6, 4π3)，可知函数f(x)=cos (x +π3)在(π2,π)上先减后增，故B 错误；由f(8π3)＝cos (8π3+π3)＝cos 3π＝−1，可知y ＝f(x)的图象关于直线x =8π3对称，故C 正确；当x =π6时，f(x +π)＝f(π6+π3+π)＝cos3π2=0，∴ f(x +π)的一个零点为x =π6，故D 正确．∴ 错误的结论是B ， 11. 【答案】 D【考点】不等式的基本性质 【解析】根据对数的运算性质，结合a >1或0<a <1进行判断即可． 【解答】若a >1，则由log a b >1得log a b >log a a ，即b >a >1，此时b −a >0，b >1，即(b −1)(b −a)>0，若0<a <1，则由log a b >1得log a b >log a a ，即b <a <1，此时b −a <0，b <1，即(b −1)(b −a)>0， 综上(b −1)(b −a)>0， 12.【答案】 D【考点】函数图象的作法 函数的图象【解析】由f(x)的解析式知f(x)为奇函数可排除A ，然后计算f(π)，判断正负即可排除B ，C ． 【解答】解：∵ f(x)=sin x+xcos x+x 2，x ∈[−π, π]， ∴ f(−x)=−sin x−xcos (−x)+x =−sin x+xcos x+x =−f(x)， ∴ f(x)为[−π, π]上的奇函数，因此排除A ；又f(π)=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2>0，因此排除B，C.故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.）【答案】4【考点】对数的运算性质【解析】把真数写成幂的形式，然后运用对数式的性质化简计算．【解答】解；(log29)⋅(log34)＝(21og23)⋅(21og32)=4lg3lg2×lg2lg3=4．【答案】2【考点】两角和与差的三角函数【解析】由题意利用两角差的正切公式，求得tanβ的值．【解答】∵已知tanα=−13，tan(α+β)＝1，则tanβ＝tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=2，【答案】π3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】令f(x)＝2sin x，则f(x−φ)＝2in(x−φ)，依题意可得2sin(x−φ)＝2sin(x−π3)，由−φ＝2kπ−π3(k∈Z)，可得答案．【解答】∵y＝sin x−√3cos x＝2sin(x−π3)，令f(x)＝2sin x，则f(x−φ)＝2in(x−φ)(φ>0)，依题意可得2sin(x−φ)＝2sin(x−π3)，故−φ＝2kπ−π3(k∈Z)，即φ＝−2kπ+π3(k∈Z)，当k＝0时，正数φmin=π3，【答案】[1, 2]【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】由题意可得{2b−1>0b−1≥02−b2≥0，解此不等式组求得实数b的取值范围．【解答】∵函数f(x)={(2b−1)x+b−1,(x>0)−x2+(2−b)x,(x≤0)在(−∞, +∞)上为增函数，∴{2b−1>0b−1≥02−b2≥0，解得1≤b≤2，故实数b的取值范围是[1, 2]，三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤.）【答案】∵集合A＝{x|a≤x≤a+3}，∁R B＝{x|−1≤x≤5}．∴B＝{x|x<−1或x>5}，若A∩B＝⌀，则有：{a≥−1a+3≤5，解得−1≤a≤2，∴实数a的取值范围是[−1, 2]．集合A＝{x|a≤x≤a+3}，B＝{x|x<−1或x>5}，若A∩B＝A，则有A⊆B，∴a+3<−1或a>5，即a<−4或a>5．∴实数a的取值范围是(−∞, −4)∪(5, +∞)．【考点】交集及其运算【解析】（1）先求出B＝{x|x<−1或x>5}，再由A∩B＝⌀，得{a≥−1a+3≤5，由此能求出实数a的取值范围．（2）若A∩B＝A，则有A⊆B，从而a+3<−1或a>5，由此能求出实数a的取值范围．【解答】∵集合A＝{x|a≤x≤a+3}，∁R B＝{x|−1≤x≤5}．∴B＝{x|x<−1或x>5}，若A∩B＝⌀，则有：{a≥−1a+3≤5，解得−1≤a≤2，∴实数a的取值范围是[−1, 2]．集合A＝{x|a≤x≤a+3}，B＝{x|x<−1或x>5}，若A∩B＝A，则有A⊆B，∴a+3<−1或a>5，即a<−4或a>5．∴实数a的取值范围是(−∞, −4)∪(5, +∞)．【答案】f(α)=2sinαcosα(−tanα)tanαsinα=−2cosα．cos (3π2−α)=−sin α=35，所以sin α=−35， 又α是第四象限角， 故cos α=45．即f(α)=−85．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 运用诱导公式化简求值【解析】（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可得解．（2）利用诱导公式可求sin α=−35，利用同角三角函数基本关系式可求cos α=45，即可计算得解．【解答】 f(α)=2sin αcos α(−tan α)tan αsin α=−2cos α．cos (3π2−α)=−sin α=35， 所以sin α=−35，又α是第四象限角， 故cos α=45． 即f(α)=−85．【答案】函数的定义域为R ，f(−x)=a −x −1a +1=1−a x1+a =−f(x)． 有f(−x)＝−f(x)，所以f(x) 是奇函数； 设x 1<x 2(x 1, x 2∈R)，f(x 1)−f(x 2)=a x 1−1a x 1+1−a x 2−1a x 2+1=2(a x 1−a x 2)(a x 1+1)(a x 2+1)．当0<a <1时，a x 1>a x 2，有f(x 1)>f(x 2)，所以f(x) 在R 上是减函数． 【考点】函数单调性的性质与判断 函数奇偶性的性质与判断 奇偶性与单调性的综合【解析】（1）因为定义域为R ，化简求出f(−x)＝−f(x)可得为奇函数； （2）由判断函数单调性的定义可得出函数为减函数． 【解答】函数的定义域为R ，f(−x)=a −x −1a −x +1=1−a x 1+a x=−f(x)．有f(−x)＝−f(x)，所以f(x) 是奇函数； 设x 1<x 2(x 1, x 2∈R)，f(x 1)−f(x 2)=a x 1−1a x 1+1−a x 2−1a x 2+1=2(a x 1−a x 2)(a x 1+1)(a x 2+1)．当0<a <1时，a x 1>a x 2，有f(x 1)>f(x 2)，所以f(x) 在R 上是减函数． 【答案】解：(1)令x >0，则−x <0， f(−x)=log 12(x +1)=f(x)，∴ x >0时，f(x)=log 12(x +1)，则f(x)={log 12(x +1)(x >0),log 12(−x +1)(x ≤0).(2)∵ f(x)=log 12(−x +1)在(−∞, 0]上为增函数，∴ f(x)在(0, +∞)上为减函数， ∵ f(a −1)<−1=f(1)， ∴ |a −1|>1， ∴ a >2或a <0．【考点】对数函数的单调性与特殊点 函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求函数f(x)的解析式；（2）若f(a −1)<−1，将不等式进行转化即可求实数a 的取值范围 【解答】解：(1)令x >0，则−x <0，f(−x)=log 12(x +1)=f(x)，∴ x >0时，f(x)=log 12(x +1)，则f(x)={log 12(x +1)(x >0),log 12(−x +1)(x ≤0).(2)∵ f(x)=log 12(−x +1)在(−∞, 0]上为增函数，∴ f(x)在(0, +∞)上为减函数， ∵ f(a −1)<−1=f(1)， ∴ |a −1|>1， ∴ a >2或a <0． 【答案】∵ a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，| ∴ a →−b →=(cos α−cos β, sin α−sin β )．∴ |a →−b →|2＝(cos α−cos β)2+(sin α−sin β )2＝2−2cos (α−β)=1613， ∴ cos (α−β)=513．∵ 0<α<π2，−π2<β<0，且sin β=−45， ∴ cos β=35，且0<α−β<π．又∵ cos (α−β)=513，∴ sin (α−β)=1213，∴ sin α＝sin (α−β+β)＝sin (α−β)cos β+cos (α−β)⋅sin β=1213×35+513×(−45)=1665．【考点】两角和与差的三角函数 【解析】（1）利用向量模的计算方法，结合差角的余弦公式，即可求cos (α−β)的值； （2）利用sin α＝sin (α−β+β)＝sin (α−β)cos β+cos (α−β)⋅sin β，可得结论． 【解答】∵ a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，| ∴ a →−b →=(cos α−cos β, sin α−sin β )．∴ |a →−b →|2＝(cos α−cos β)2+(sin α−sin β )2＝2−2cos (α−β)=1613， ∴ cos (α−β)=513．∵ 0<α<π2，−π2<β<0，且sin β=−45， ∴ cos β=35，且0<α−β<π．又∵ cos (α−β)=513，∴ sin (α−β)=1213，∴ sin α＝sin (α−β+β)＝sin (α−β)cos β+cos (α−β)⋅sin β=1213×35+513×(−45)=1665．【答案】函数f(x)=sin (2x +π3)+sin (2x −π3)+2cos 2x −1＝sin 2x cos π3+cos 2x sin π3+sin 2x cos π3−cos 2x sin π3+cos 2x ＝sin 2x +cos 2x =√2sin (2x +π4)．令2kπ+π2≤2x +π4≤2kπ+3π2(k ∈Z)，得：kπ+π8≤x ≤kπ+5π8(k ∈Z)．故函数f(x)的单调递减区间为：[kπ+π8,kπ+5π8](k ∈Z)．函数y ＝f(x)−2a +1在[0,π2]上有两个零点，等价于方程f(x)＝2a −1在[0,π2]有 两个不等的实根，即函数f(x)在[0,π2]上的图象与直线y ＝2a −1有两个不同的交点． 作出函数f(x)在[0,π2]上的图象，由1≤2a −1<√2得：1≤a <√2+12．【考点】函数与方程的综合运用 两角和与差的三角函数 【解析】（1）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数f(x)=√2sin (2x +π4)．通过正弦函数的单调性求解函数的单调减区间即可．（2）函数y ＝f(x)−2a +1在[0,π2]上有两个零点，等价于函数f(x)在[0,π2]上的图象与直线y ＝2a −1有两个不同的交点．作出函数f(x)在[0,π2]上的图象，列出不等式求解即可． 【解答】函数f(x)=sin (2x +π3)+sin (2x −π3)+2cos 2x −1＝sin 2x cos π3+cos 2x sin π3+sin 2x cos π3−cos 2x sin π3+cos 2x ＝sin 2x +cos 2x =√2sin (2x +π4)．令2kπ+π2≤2x +π4≤2kπ+3π2(k ∈Z)，得：kπ+π8≤x≤kπ+5π8(k∈Z)．故函数f(x)的单调递减区间为：[kπ+π8,kπ+5π8](k∈Z)．函数y＝f(x)−2a+1在[0,π2]上有两个零点，等价于方程f(x)＝2a−1在[0,π2]有两个不等的实根，即函数f(x)在[0,π2]上的图象与直线y＝2a−1有两个不同的交点．作出函数f(x)在[0,π2]上的图象，由1≤2a−1<√2得：1≤a<√2+12．。

2019-2020学年安徽省合肥市金汤白泥乐槐六校高一上学期联考数学试题一、单选题1．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂= A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】 由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2．已知集合{A x y ==，{}|1B x a x a =+≤≤， 若A B=A ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(][),32,-∞-+∞ B ．[]1,2- C ．[]2,1-D ．[)2,+∞ 【答案】C【解析】试题分析：{}{||22A x y x x ===-≤≤，又因为A B A ⋃=即B A ⊆，所以12{2a a +≤≥-，解之得21a -≤≤，故选C. 【考点】1.集合的表示；2.集合的运算.3．下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是( )． A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：图形C 中有“一对多”情形，故选C.【考点】本题考查函数定义。

4．函数()f x =） A.[)2,2-B.[)()2,22,-⋃+∞C.[)2,-+∞D.()2,+∞ 【答案】B【解析】根据函数解析式的特点得到不等式（组），然后解不等式（组）可得函数的定义域．【详解】要使函数有意义，则有2020x x +≥⎧⎨-≠⎩， 解得2x ≥-且2x ≠，所以函数的定义域为[)()2,22,-⋃+∞．故选B ．【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出关于变量的不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．5．已知函数()533f x ax bx cx =-+-，()37f -=，则()3f 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．7D ．7-【答案】B 【解析】试题解析：设()53()3g x f x ax bx cx =+=-+，函数为奇函数 ∴()()()(3)(3)33330313g g f f f +-=++-+=⇒=-【考点】本题考查函数性质点评：解决本题的关键是利用函数奇偶性解题6．函数()()()10x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，则下列结论错误的是( )A.()f x 是偶函数B.()f x 的值域是{}0,1C.方程()()()f f x f x =的解只有1x =D.方程()()f f x x =的解只有1x =【答案】C【解析】根据相关知识对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得结论．【详解】对于A ，当x 为有理数时，有()()1f x f x -==；当x 为无理数时，有()()0f x f x -==，所以函数为偶函数，所以A 正确．对于B ，由题意得函数的值域为{}0,1，所以B 正确．对于C ，若x 为有理数，则方程f (f (x ))=f (1)=1=f (x )恒成立；若x 为无理数，则方程f (f (x ))=f (0)=1≠f (x )，此时无满足条件的x ，故方程f (f (x ))=f (x )的解为任意有理数，所以C 不正确．对于D ，若x 为有理数，则方程f (f (x ))=f (1)=1，此时x =1；若x 为无理数，则方程f (f (x ))=f (0)=1，此时无满足条件的x ，故方程f (f (x ))=x 的解为x =1，所以D 正确． 故选C ．【点睛】解得本题的关键是正确理解函数()f x 的定义，同时结合给出的条件分别进行判断，考查理解和运用的能力，属于基础题．7．函数()111f x x=+-的图象是（ ） A. B. C.D.【答案】B【解析】利用图像的平移变换即可得到结果.【详解】函数()111111f x x x =+=-+--， 把函数1y x =-的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数()f x 的图象，故选：B【点睛】本题考查函数图像的识别，考查函数的图象变换知识，属于基础题.8．下列函数是偶函数且在区间上为增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：和均是奇函数，是偶函数，但在上是减函数；二次函数是偶函数，且在上是增函数，∴正确选项D ．【考点】（1）函数奇偶性的判断；（2）函数单调性判断．9．已知()2145f x x x -=+-，则()1f x +=（ ） A.287x x ++B.26x x +C.223x x +-D.2610x x +-【答案】A 【解析】由已知中f （x ﹣1）=x 2+4x ﹣5，我们利用凑配法可以求出f （x ）的解析式，进而再由代入法可以求出f （x+1）的解析式。