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等腰三角形

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第一章三角形的证明等腰三角形导学案(1)主备人审核人班级：姓名：学习目标：1、认知目标：经历“探索——发现——猜想——归纳”的过程，能用语言表述等腰三角形的性质。

2、能力目标：掌握等腰三角形的性质，能灵活地运用它们进行论证。

提高数学思维能力和解决问题能力。

学习重点和难点：重点是等腰三角形性质；难点是等腰三角形性质的灵活运用。

导学过程：一、预习导学：1、什么样的三角形是等腰三角形？2、画一个等腰三角形并标识出等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。

二、自主探索：1.实验与探究：如图，用纸剪一个等腰三角形ABC,将三角形对折，使它的两腰AB与AC重合，记折痕与底边BC的交点为D,把纸展平后铺平。

思考下面的问题：（1）等腰三角形ABC是轴对称图形吗？（2）∠BAD与∠CAD相等吗？为什么？（3）∠B与∠C相等吗？为什么？（4）折痕所在的直线AD与底边BC有什么位置关系?（5）线段BD与CD 线段相等吗?（6）你能总结一下折痕所在的直线AD具有的性质吗？2.总结等腰三角形的性质：等腰三角形是_________图形，_______是对称轴，有条对称轴；等腰三角形的两个底角________,简称“______________________________”。

等腰三角形顶角的平分线_____________________________相互重合，简称“三线合一”。

三、课堂合作研讨1．证明等腰三角形两个底角相等。

已知：如图，⊿ABC中，AB=AC.求证：∠B = ∠C.+2、已知：如图3，⊿ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,点D、E是底边上两点，且BD=AD,CE=AE.求∠DAE的度数。

作业1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC。

（1）∵AD⊥BC，∴∠ =∠， = 。

（2）∵AD是底边上的中线∴⊥，∠ = ∠（3）∵AD是顶角的平分线，∴⊥， =2．如图：房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。

3、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．求这个等腰三角形的边长．4、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4 ，则这个等腰三角形顶角的度数为多少？5、如图：点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CEA B图 5CA 1DB2 3 图7 12图8 图9 B DACEA BCD E图10图14第2课时 1.等腰三角形导学案第二课时主备人 审核人 班级： 姓名：学习目标：1、 了解等边三角形的性质和判定方法。

2、 会用等边三角形得相关性质解决简单的实际问题。

学习重点：了解等边三角形的性质和判定方法。

学习难点：了解等边三角形的性质和判定方法。

学习过程：1、前置准备：（1）、等腰三角形的性质是什么？（2）、等腰三角形的一个内角为700，则顶角为 。

（3）、等腰三角形的一个外角为1000，则其顶角为 。

2、自主学习：（1）、在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线、中线、高），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？（2）、等腰三角形的两底的角平分线相等吗？怎样证明。

已知： 求证： 证明：得出定理： 。

问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流。

一、自学课本5 -6页内容后完成下列各题：1.等边三角形的概念:三边都 的三角形叫做等边三角形,它是特殊的 三角形,也叫 . 2.等边三角形的性质:等边三角形的内角都 ,且等于 度;反过来,三个内角都等于 度的三角形一定是等边三角形.等边三角形是 图形,等边三角形每条边上的 、 和所对角的 都三线合一,它们所在的直线都是等边三角形的 .【例1】已知，如图3，延长ABC △的各边，使得BFAC =，AE CD AB ==，顺次连接D E F ，，，得到DEF △为等边三角形．说明下列结论成立的理由. （1）AEF CDE △≌△；（2）ABC △为等边三角形．作业1. 如图5, 等边△ABC,延长BC 至D,使AC=CD,连结AD,则∠BAD 的度数是……（ ）A.80°B.90°C.100°D.110°2. 如图6,正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于……………（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°3．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等 腰三角形．其中是等边三角形的有…………………………………………………………（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④4. 如图7，ABC ∆是等边三角形，CBD ∠=90°，BD=BC , 则1∠的度数是________.5.如图8，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2= ．6.如图9，在等边△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点， 且AD =CE ，则∠BCD ＋∠CBE =______度．7. 如图10，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，交AB 、AC 于D、E ．则△ADE 是等边三角形．试说明理由. 8. 如图14，△ABC 是一个等边三角形，点D 、E 分别在AB 、AC 上，F 是BE 和CD 的交点，已知∠BFC ＝120°．则AD ＝CE ．请说明理由.图3A BCDEFAF BCE等腰三角形第三课时导学案主备人 审核人 班级： 姓名：学习目标：1、经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理.2、能够灵活运用公理和等腰三角形有关性质、判定定理进行相关题目的证明，进一步发展推理能力.学习重点：探索并证明等腰三角形的性质、判定的过程. 学习难点：用文字语言叙述的几何命题的证明及辅助线的添加． 学习过程：一．学前准备：回想一下，我们探索过的等腰三角形的性质？ 性质1： ；性质2： . 二、自主学习，合作探究：前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等。

反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ 1、如图：在△ABC 中，∠B=∠C ，求证：AB=AC. 反证法例题用反证法证明：一个三角形中不能有两个是直角 三、自我小结：等腰三角形的判定方法：如果有一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边 ，简写成 。

作业1．如上图，在△ABC 中BC=AC ，CD ⊥AB ，DE ∥BC ，试说明△ADE 和△CED 都是等腰三角形。

2．如图，点D 在AC 上，点E 在AB 上，且AB=AC ，BC=BD=BE ，AE=DE ，求∠A 的度数。

3，已知AB=AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的延长线于F ，说明△ADF是等腰三角形的理由。

4、已知：如图2，在△ABC 中，AB=AC ，D 是AB 的中点，E 是AC 的中点，DF ⊥BC ，EG ⊥BC ，垂足分别是点F ，G 。

求证：DF=EG 。

5、已知，如图3，点D ，E 分别在AB ，AC 上，AB=AC ，DE ∥BC 。

求证：BD=CE 。

D CBA图1 ED CBABEDCA图3CABDE图2CABF G DECAB等腰三角形导学案第四课时主备人 审核人 班级 姓名学习目标：1、掌握含30°角的直角三角形的性质。

2、会用含30°角的直角三角形的性质解决简单的实际问题。

教学重点、难点：重点：含30°角的直角三角形的性质；几何问题的代数解法。

难点：理解含30°角的直角三角形的性质的理论依据。

导学过程：一、合作探究： 自己动手操作，用两个含30°角的三角尺摆一摆，猜一猜，证一证。

用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．1、其中，图（1）中ΔABC 是 三角形，为什么？2、图（1）中，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=12．即 BD=12，所以可得出在Rt △ABD 中，∠BAD=30°，它所对的边 是斜边 的 ．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么 。

已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=12AB ．、分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ． 证明：二、展示 例5：右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BD 、DE 要多长？ 作业 判断：1、等边三角形的对称轴只有一条 ( )2、等腰三角形的底角可以是直角 （ ）3、等腰三角形的中线是它的对称轴（ ）4、等腰三角形的中线是它的对称轴（ ） 仔细做一做：1、等腰三角形的顶角与底角的比为3︰1，则三个角的度数为_______2、等边三角形有_________条对称轴3. 如果一个三角形的一个内角的平分线垂直于对边，那么它是______三角形。

4．在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△PAB 、△PBC 、△PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P有____________个。

5．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A ．30° B ．30°或150° C ．120°或150° D ．30°或120°或150° 6.如图：∠BCD=90,DC 是边BD 的一半，AC 是BD 边上的中线，求∠CAD 的度数。

7、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．8已知：如图，△ABC 中，BC ⊥AC,DE ⊥AC ，点D 是AB 的中点，∠A=300，DE=1.8，求AB 的长。

D CAEB DCABDCAB。

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等腰三角形的特点

等腰三角形的特点

等腰三角形的特点等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一些独特的几何特征。

本文将详细介绍等腰三角形的定义、性质、判定方法以及一些相关应用。

一、定义等腰三角形定义为具有两条边长度相等的三角形。

其中，这两条相等的边称为等腰边，不等的边称为底边。

二、性质1. 等腰三角形的顶角和底角相等由于等腰三角形的两条边长度相等，所以其对应的两个角也相等。

具体而言，等腰三角形的顶角和底角的度数相等。

2. 等腰三角形的底角平分了顶角对应的底边等腰三角形的底角将顶角对应的底边平分为两等分。

也就是说，顶角的对边中点与底边的中点重合。

3. 等腰三角形的高线是底边中垂线等腰三角形的高线是从顶点引下与底边垂直的线段。

具体而言，等腰三角形的高线同时也是底边的中垂线，且高线与底边相等。

4. 等腰三角形的两底角相等等腰三角形的两个底角是由底边上的两点与顶点连接而成。

这两个底角相等。

三、判定方法当我们在解决几何问题时，有时需要判断一个给定的三角形是否为等腰三角形。

以下是常用的两种判定方法。

1. 通过边长判断若已知一个三角形的两条边长度相等，则可以判定该三角形为等腰三角形。

反之，若一个三角形的两条边不等，那么它不可能是等腰三角形。

2. 通过角度判断若已知一个三角形的两个角度相等，则可以判定该三角形为等腰三角形。

反之，若一个三角形的两个角度不等，那么它不可能是等腰三角形。

四、相关应用等腰三角形是几何学中经常被应用的一种形状。

它在建筑、工程、艺术等领域都有广泛的应用。

1. 建筑设计在建筑设计中，等腰三角形常被用来设计屋顶的形状。

等腰三角形的稳定性和简洁性使其成为了一个理想的选择。

2. 工程测量在测量工程中，等腰三角形可以用来确定垂直方向。

通过测量等腰三角形的两个角度，可以准确地判断垂直方向。

3. 艺术设计等腰三角形常被用作艺术设计中的基本元素。

它的对称性和美感使得等腰三角形在设计中具有独特的视觉效果。

总结：等腰三角形具有两条边相等、顶角和底角相等、底角平分了顶角对应的底边、高线是底边中垂线等性质。

等腰三角形知识点总结

等腰三角形知识点总结

等腰三角形知识点总结等腰三角形是指有两条边相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形具有很多特性和性质，下面将对等腰三角形的定义、性质以及相关的定理进行总结。

一、定义和性质等腰三角形的定义：拥有两条边相等的三角形被称为等腰三角形。

等腰三角形的性质：1. 两个底角（底边所对的两个角）是相等的。

2. 两条腰（与底边相等的两条边）相等。

3. 顶角（顶点所对的角）等于180度减去底角的一半。

二、等腰三角形的角度性质1. 顶角等于底角的两倍：在等腰三角形中，顶角是底角的两倍。

也就是说，当一个底角为x度时，顶角就是2x度。

2. 底角相等：在等腰三角形中，两个底角是相等的。

如果一个底角为x度，另一个底角也是x度。

3. 顶角对应的边相等：在等腰三角形中，顶角对应的两条边是相等的。

如果一个顶角对应的边长为a，另一个顶角对应的边长也是a。

三、等腰三角形的边长性质1. 两条腰相等：在等腰三角形中，两条腰是相等的。

如果一条腰的长度为a，另一条腰的长度也是a。

2. 底边对应的高相等：在等腰三角形中，底边对应的高是相等的。

如果一条底边的高为h1，另一条底边的高也是h1。

3. 高的长度：在等腰三角形中，可以通过勾股定理来计算高的长度。

如果底边的长度为b，腰的长度为a，则高的长度等于根号下(a^2 -b^2/4)。

四、等腰三角形的判定条件等腰三角形的判定条件：如果三角形的两边边长相等或两个角度相等，则该三角形为等腰三角形。

五、等腰三角形的定理1. 等腰三角形的高与底边垂直：在等腰三角形中，高线与底边垂直。

2. 角平分线等于高线：在等腰三角形中，底边上的角平分线等于高线。

3. 底边上的角平分线相等：在等腰三角形中，底边上的两条角平分线是相等的。

总结：等腰三角形是几何学中重要的概念，在很多问题中都有应用。

通过对等腰三角形的定义、性质以及相关的定理进行了解和掌握，可以帮助我们解决等腰三角形相关的问题，并在数学和几何学中运用到其他各种应用中。

等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点

等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点

等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点等腰三角形是初中数学中的一种基本几何图形，具有很多特殊的性质和定理。

本文将对等腰三角形的相关知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握等腰三角形的特点和应用。

以下是等腰三角形知识点总结汇总，希望对大家的学习有所帮助。

1、等腰三角形知识总结，定义(1)等腰三角形:有两条边相等的三角形叫等腰三角形，相等的两条边叫腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

(2)等边三角形:特殊的等腰三角形，三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

2、等腰三角形知识总结，等腰三角形的相关概念(1)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴。

(2)等腰三角形的外心、内心、重心和垂心都在顶角平分线上，即四心共线。

(3)等边三角形的外心、内心、重心和垂心四心合一，成为等边三角形的中心。

3、等腰三角形知识总结，等腰三角形的性质定理(1）推理格式:在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C。

(2)定理的作用:证明同—个三角形中的两个角相等。

4、等腰三角形知识总结，等腰三角形性质定理的推论(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。

5、等腰三角形知识总结，等腰三角形的判定定理(1)该定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。

(2)注意:该定理不能叙述为“如果一个三角形中有两个底角相等，那么它的两腰也相等”。

因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”、“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”、“腰”。

相等的两条边叫腰；两腰的夹角叫顶角；顶角所对的边叫底；腰与底的夹角叫底角。

(2)等边对等角；(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；(5)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半；(6)顶角等于180°减去底角的两倍；(7)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．等边三角形性质：①具备等腰三角形的一切性质。

等腰三角形

等腰三角形

第一讲 等腰三角形知识点：一、认识三角形 1、三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做 三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

需要稳定的东西 一般都制成三角形的形状。

4、三角形的分类三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形等边三角形 三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等 的直角三角形。

5、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

6、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

7、三角形的面积：三角形的面积=21×底×高 二、等腰三角形相关知识点 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。