等腰三角形典型例题练习
一．选择题（共2小题）
1．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=5cm ，BD=3cm ， 则点D 到AB 的距离为（ ）
2．如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为边并且在AB 的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于N ．给出以下三个结论：
①AE=BD ②CN=CM ③MN ∥AB 其中正确结论的个数是（ ）
二．填空题（共1小题）
3．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于_________ ． 三．解答题（共15小题）
4．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且
∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF ．
5．在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ．请说明DE=BD+EC ．
6．已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AB ，DF
⊥
AC
，
垂足分别为
E
，F
，且DE=DF ．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由．
7．如图，△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 至E ，使CE=CD ．连接DE ． （1）∠E 等于多少度？ （2）△DBE 是什么三角形？为什么？
8．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD ．
9．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 的延长线上，且BD=CE ，DE 与BC 相交于点F ．求证：DF=EF ．
A ． 5cm
B ． 3cm
C ． 2cm
D ． 不能确定 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角
平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，
求证：BD=2CE．
11（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．（1）求证PE+PF=CH．
（2）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（3）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=_________．点P到AB边的距离PE=_________．
（4）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2,求CD的长（请你直接写出结果）．12．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
13．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．
14．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，
求证：AE=CF．
15．已知：如图，在△OAB中，
∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，
∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问
线段AE与BF之间有什么关系？请说
明理由．
等腰三角形典型例题练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=5cm ，BD=3cm ，则点D 到AB 的距离为（ ）
A ． 5cm
B ． 3cm
C ．
2cm D ． 不能确定
考点： 角平分线的性质．
分析： 由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D 到AB 的距离等于D 到AC 的距离即CD 的长，问题可解．
解答：
解：∵∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D
∴D 到AB 的距离即为CD 长CD=5﹣3=2故选C ．
2．如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为边并且在AB 的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于N ．给出以下三个结论：
①AE=BD ②CN=CM ③MN ∥AB 其中正确结论的个数是（ ）
A ． 0
B ． 1
C ． 2
D ． 3
考点： 平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析：
由△ACD 和△BCE 是等边三角形，根据SAS 易证得△ACE ≌△DCB ，即可得①正确；由
△ACE ≌△DCB ，可得∠EAC=∠NDC ，又由∠ACD=
∠MCN=60°，利用ASA ，可证得△ACM ≌△DCN ，即可得②正确；又可证得
△CMN 是等边三角形，即可证得③正确． 解答：
解：∵△ACD 和△BCE 是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC ，EC=BC ， ∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB ，即∠ACE=∠DCB ，∴△ACE ≌△DCB （SAS ）， ∴AE=BD ，故①正确； ∴∠EAC=∠NDC ，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°， ∵AC=DC ，∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴CM=CN ，故②正确； 又∠MCN=180°﹣∠MCA ﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴△CMN 是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN ∥AB ，故③正确．故选D ．
二．填空题（共1小题）
3．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于 1：3 ．
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与
分析：
首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，积比等于相似比的平方，即可求得结果．
解答： 解：∵△ABC 是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=6∵DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，∴∠AFE=∠C
∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FE
∴△DEF 是正三角形，∴BD ：DF=1：①，①÷②，=，∴DF ：AB=1：，∴△DE
故答案为：1：3．
三．解答题（共15小题）
4．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证
DE=DF ． 考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的定义． 分析： 过D 作DM ⊥AB ，于M ，DN ⊥AC 于N ，根据角理和平角定义求出∠AED=∠CFD ，根据全等三解答： 证明：过D 作DM ⊥AB ，于M ，DN ⊥AC 于N
