下载文档原格式
江苏省东台市三仓中学2015届高三12月月考
数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．
1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{－1,0,1}，则A ∪B ＝____________. 2．命题“2,10x R x ∀∈+>”的否定是 __________________ ． 3．已知向量(1,2),(2,)a b k ==-，且a b ∥，则实数=k .
4．已知一个等比数列前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为______________． 5．已知(
,)2
π
απ∈，且tan 2α=-，则cos 2α= ___ ．
6．已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
21－
x ，x ≤1，
2－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≥1的x 的取值范围
是____________． 7．已知函数()1
ln f x x x
=-
，若函数()f x 的零点所在的区间为()(),1k k k Z +∈，则 k = ___ .
8．如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →
，则AO →
＝____________(用向量a 和b 表示)．
9．若函数()()(2)f x x a b x a =++(,)a b R ∈是偶函数，且它的值域为(,8]-∞，则
ab = ．
10．1()sin()(0)26
f x x π
ωω=
+>的图象与直线y m =相切，相邻切点之间的距离为π． 若点00(,)A x y 是()y f x =图象的一个对称中心，且00,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， 则0x = ___ ． 11．已知定义在R 上的偶函数f(x)在恒成立，则实数a 的取值范围是______________．
12．函数()2
()241f x x x x R =-+∈，若12()()f x f x =，且12x x >，则22
12
12
x x x x +-的最小值
为 ___ ．
13． 已知向量OA ，OB 满足||1OA =，||2OB =，||7AB =()()AC OA OB R λλ=+∈，
若||7BC =λ所有可能的值为 _________ ．
14． 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )，若函数f(x)在区间上是单调减函数，则a 2
＋b 2的最小值为____________．
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答卷纸相应位置上． 15．（本题满分14分）
已知函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4. (1) 求函数f(x)的最小正周期；
(2) 求函数f(x)在区间⎣
⎡⎦
⎤0，π2上的值域
16．（本题满分14分）
在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，已知向量()cos ,sin m B B =，
()sin 2sin ,cos n C A C =-，且m n ⊥.
（1）求角B 的大小；
（2）若7a c +=，b =，求BA BC ⋅的值.
17．（本小题满分14分） 已知函数f(x)＝
2x －1
1－x
，若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称． (1) 写出函数g(x)的解析式；
(2) 记y ＝g(x)的定义域为A ，不等式x 2－(2a －1)x ＋a(a －1)≤0的解集为B.若A 是B 的真子集，求a 的取值范围
18．（本小题满分16分）
某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10⎝⎛⎭
⎫a －3x
500万元(a ＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%. (1) 若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
(2) 在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的最大值是多少？
19．（本小题满分16分）
已知数列{a n }的首项a 1＝2，且对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝ba n ＋c ，其中b ，c 是常数．
(1) 若数列{a n }是等差数列，且c ＝2，求数列{a n }的通项公式；
(2) 若数列{a n }是等比数列，且|b|＜1，当从数列{a n }中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等差数列，求使数列{a n }的前n 项和S n ＜341
256
成立的n 的取值集合．
20．（本小题满分16分） 已知函数2
()6f x ax x
=+
+，其中a 为实常数. （1）若()3f x x >在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围； （2）已知3
4
a =
，12,P P 是函数()f x 图象上两点，若在点12,P P 处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；
（3）设定义在区间D 上的函数()y s x =在点00(,)P x y 处的切线方程为:()l y t x =，当
0x x ≠时，若
()()
0s x t x x x ->-在D 上恒成立，则称点P 为函数()y s x =的“好点”
．试问函数2()()g x x f x =是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．
