北京市朝阳区高二数学上学期期末试卷 理(含解析)

北京市朝阳区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．（5分）椭圆+=1的离心率是（）

A． B． C． D．

2．（5分）已知两条不同的直线a，b和平面α，那么下列命题中的真命题是（）

A． 若a⊥b，b⊥α，则a∥α B． 若a∥α，b∥α，则a∥b

C． 若a⊥α，b⊥α，则a∥b D． 若a∥b，b∥α，则a∥α

3．（5分）直线截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为（）

A． B． C． D．

4．（5分）已知a，b是两条不同的直线，且b⊂平面α，则“a⊥b”是“a⊥α”的（）

A． 充分且不必要条件 B． 必要且不充分条件

C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

5．（5分）已知抛物线x2=4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为3，则点M的纵坐标是（）

A． 0 B． C． 2

6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）

A． 2 B． 4 C． 8 D． 12

7．（5分）已知双曲线M的焦点与椭圆+=1的焦点相同．如果直线y=﹣x是M的一条渐近线，那么M的方程为（）

A． ﹣=1 B． ﹣=1 C． ﹣=1 D． ﹣=1

8．（5分）给出如下四个命题：

①已知p，q都是命题，若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；

②命题“若a＞b，则3a＞3b﹣1”的否命题为“若a≤b，则3a≤3b﹣1”；

③命题“对任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”；

④“a≥0”是“∃x∈R，使得ax2+x+1≥0”的充分必要条件．

其中正确命题的序号是（）

A． ①③ B． ②③ C． ②③④ D． ②④

9．（5分）已知点A的坐标为（1，0），点P（x，y）（x≠1）为圆（x﹣2）2+y2=1上的任意一点，设直线AP的倾斜角为θ，若|AP|=d，则函数d=f（θ）的大致图象是（）

A． B． C． D．

10．（5分）已知E，F分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D的棱AB，AA1上的点，且AE=AB，AF=AA1，M，N分别为线段D1E和线段C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有（）

A． 1条 B． 3条 C． 6条 D． 无数条

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.

11．（5分）在空间直角坐标系中，点（4，﹣1，2）与原点的距离是．

12．（5分）以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为．

13．（5分）已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆C交于M，N两点，则△F2MN的周长为．

14．（5分）如图，某三棱柱的正视图中的实线部分是边长为4的正方形，俯视图是等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为．

15．（5分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，抛物线C上的两点A，B满足=2．若点T（﹣，0），则的值为．

16．（5分）已知等边△ABC的边长为2，沿△ABC的高AD将△BAD折起到△B′AD，使得B′C=，则此时四面体B′﹣ADC的体积为，该四面体外接球的表面积为．

三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，侧棱DD1⊥平面ABCD，且AD=AA1=1，AB=2．

（Ⅰ）求证：平面BCD1⊥平面DCC1D1；

（Ⅱ）求异面直线CD1与A1D所成角的余弦值．

18．（10分）在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，点E在棱PD上，且PE：ED=2：1．

（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角P﹣AE﹣C的余弦值；

（Ⅲ）在棱PC上是否存在点F，使得BF∥平面AEC？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），设圆C的半径为，且圆心C在直线l：y=2x﹣4上．

（Ⅰ）若圆心C又在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求此切线的方程；

（Ⅱ）若圆C上存在点M，使得|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．

20．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的一个端点到它的左焦点距离为2，直线l：y=kx与椭圆C交于M，N两点，P为椭圆C上异于M，N的点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，判断PM，PN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；

（Ⅲ）求△PMN面积的最大值．

北京市朝阳区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．（5分）椭圆+=1的离心率是（）

A． B． C． D．

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 由椭圆+=1，可得a2=25，b2=16，利用c2=a2﹣b2可得c，再利用离心率计算公式即可得出．

解答： 解：由椭圆+=1，可得a2=25，b2=16，

∴a=5，c2=a2﹣b2=9，

解得c=3．

∴椭圆的离心率e==．

故选：A．

点评： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2．（5分）已知两条不同的直线a，b和平面α，那么下列命题中的真命题是（） A． 若a⊥b，b⊥α，则a∥α B． 若a∥α，b∥α，则a∥b

C． 若a⊥α，b⊥α，则a∥b D． 若a∥b，b∥α，则a∥α

考点： 空间中直线与平面之间的位置关系．

专题： 空间位置关系与距离．

分析： 利用线面垂直的性质以及线面平行即垂直的判定定理解答．

解答： 解：对于A，若a⊥b，b⊥α，那么a∥α或者a⊂α，故A错误；

对于B，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行、相交或者异面；故B错误；

对于C，如果a⊥α，b⊥α，则a∥b，正确；

对于D，若a∥b，b∥α，则a∥α或者a⊂α，故D错误；

故选C．

点评： 本题考查了线面垂直、线面平行的性质、直线平行的性质，熟练运用定理是关键．

3．（5分）直线截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为（）

A． B． C． D．

考点： 直线与圆的位置关系．

分析： 先解劣弧所对圆心角的一半，就是利用弦心距和半径之比求之．

解答： 解：圆到直线的距离为：=1，又因为半径是2，设劣弧所对圆心角的一半为α，cosα=0.5，∴α=60°，劣弧所对圆心角为120°．

故选 D．

点评： 直线与圆的关系中，弦心距、半径、弦长的关系，是2015届高考考点，本题是基础题．

4．（5分）已知a，b是两条不同的直线，且b⊂平面α，则“a⊥b”是“a⊥α”的（）

A． 充分且不必要条件 B． 必要且不充分条件

C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题： 简易逻辑．

分析： 根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．

解答： 解：若a⊥b，则a不一定垂直于α，不是充分条件，

若a⊥α，则a⊥b，是必要条件，

故选：B．

点评： 本题考查了充分必要条件，考查了直线和平面的判定定理，是一道基础题．

5．（5分）已知抛物线x2=4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为3，则点M的纵坐标是（）

A． 0 B． C． 2

考点： 抛物线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 求得抛物线x2=4y的焦点为（0，1），准线方程为y=﹣1，设M（m，n），则由抛物线的定义可得，可得n+1=3，即可求得点M的纵坐标．

解答： 解：抛物线x2=4y的焦点为（0，1），准线方程为y=﹣1，

设M（m，n），则由抛物线的定义可得，

M到此抛物线的焦点的距离即为M到准线的距离，

即有n+1=3，解得n=2．

故选C．

点评： 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及准线方程的运用，属于基础题．

6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）

A． 2 B． 4 C． 8 D． 12

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题；空间位置关系与距离．

分析： 根据三视图判断几何体由两部分组成，左边部分是四棱锥，且四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为2；右边部分是三棱锥，且三棱锥的高为2，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，把数据代入棱锥的体积公式计算．

解答： 解：由三视图知几何体的左边部分是四棱锥，且四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为2；

几何体的右边部分是三棱锥，且三棱锥的高为2，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，

其直观图如图：

∴几何体的体积V=×22×2+××2×2×2=4．

故选：B

点评： 本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关键．