高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换

《选修 4 −4 坐标系与参数方程》

- 1 - 4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换

【教学目标】

通过具体例子，了解在平面直角坐标系中图形在伸缩变换下平面图形的变化情况。

【教学重点】

平面图形的伸缩变换及伸缩变换下的图形的变化规律。

【教学过程】

一、问题情境

圆 x2 +y2 = 100在水平方向将其拉长，得到的是表示怎样的一条曲线？

函数y = sin(3x) 是由y = sin x经过怎样的变换得到的？

二、讲授新课

伸缩变换

1．一般地，由

kx = x'，y = y'

所确定的伸缩变换，是伸缩系数为k向着y轴的伸缩变换。

当k > 1时，表示伸长；当 k < 1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 k 倍。

这里P（x，y)是变换前的点，P'(x'，y')是变换后的点。

2．同样由 x = x'，ky = y'所确定的伸缩变换是伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换。

3．由k1x = x'，k2y = y'所确定的伸缩变换的意义是什么？

若伸缩变换的方向是任意的，按平面向量基本定理，可以将它们分解为向着 x 轴和向着 y 轴的伸缩变换。

《选修 4 −4 坐标系与参数方程》

- 2 - 三、例题选讲

【例1】对下列曲线向着x轴进行伸缩变换，伸缩系数 k = 14。

⑴ 2x +3y −6 = 0；

⑵ x2 +y2 =16。

【例2】设M1是A1（x1，y1)与B1（x2，y2)的中点，经过伸缩变换后，它们分别是M2，A2，B2，求证：M2是A2B2的中点。

【例3】证明：直线经过伸缩系数k向着x轴（或y轴）的伸缩变换后，仍是直线。

《选修 4 −4 坐标系与参数方程》

- 3 - 【例4】将椭圆 x2 + y24 = 1 向着y 轴方向伸缩变换为圆，写出坐标变换公式；

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 1 4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换

同步测控

我夯基，我达标

1.已知同一直线上三点A、B、C，其中B是AC中点，若向着x轴按照伸缩系数k＝2进行伸缩变换后，对于它们的对应点A′、B′、C′有以下说法：①仍在同一直线上；②不在同一直线上；③B′是A′C′的中点；④B′是A′C′的三等分点；⑤A′、B′、C′有可能重合．其中正确的说法是( )

A．② B．①③ C．①④ D．⑤

解析：由于在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变，所以②不在同一直线上不正确；根据教材中的例2可知B′仍是A′C′的中点．故选B．

答案：B

2.在同一平面坐标系中，经过伸缩变换yyxx3,5后，曲线C变为曲线2x′2+8y′2=0，则曲线C的方程为( )

A.25x2+36y2=0 B.9x2+100y2=0 C.10x+24y=0 D.09825222yx

解析：将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．

将yyxx3.5直接代入2x′2+8y′2＝０，得2×(5x)2+8×(3y)2＝０，即25x2+36y2＝０为所求曲线C的方程.

答案：Ａ

3.直线y=x按伸缩系数k＝2向着y轴进行伸缩变换后的方程为_______________

解析：设P(x,y)是变换前直线上的点，P′(x′,y′)是变换后曲线上的点，由题意,知,,2yyxx即.,2yyxx代入y=x中，得2xy.所以直线y=x经过伸缩变换后的方程为y=21x．

答案：y=21x

4.直线y=21x按照伸缩系数k＝2向着x轴进行伸缩变换后的方程为___________

一、平面直角坐标系中的伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x，y)对应到P'(x'，y')，称为平面直角坐标系中的伸缩变换。

在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。

数轴（直线坐标系）:

在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴．如图，

平面直角坐标系：

在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。

如图：

建立坐标系必须满足的条件:

任意一点都有确定的坐标与它对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置．

坐标系的作用：

①坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物；

②可找到动点的轨迹方程，确定动点运动的轨迹（或范围）；

③可通过数形结合，用代数的方法解决几何问题。

平面直角坐标系知识点

（1）平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。

（2）两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做x轴或横轴，垂直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

（3）x轴y轴将坐标平面分成了四个象限，右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

（4）坐标平面内的点与有序实数对一一对应。有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对,记作(a,b)。

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1 平面直角坐标系中的伸缩变换

【知识要点归纳】

（1） 以坐标法为工具，用代数方法研究几何图形是解析几何的主要问题，它的特点是“数形结合”。

（2） 能根据问题建立适当的坐标系又是能否准确解决问题的关键。

（3） 设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

),0(,),0(,:yyxx的作用下，点P(x,y)对应到点),(yxP，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。

【典型例题】 在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。

（1） 将直线22yx变成直线42yx，

（2） 曲线0222xyx变成曲线0416/22xyx

【解题能力测试】

1、已知xxfxxfsin)(,sin)(21（)0)(2xf的图象可以看作把)(1xf的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则为（ ）

A．21 B .2 C.3 D.31

2.在同一直角坐标系中，经过伸缩变换yyxx35后，曲线C变为曲线18222yx则曲线C的方程为（ ）

A．1725022yx B.1100922yx C．12410yx D.19825222yx

3．在同一平面坐标系中，经过伸缩变换yyxx,3后，曲线C变为曲线9922yx，求曲线C的方程并画出图象。

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2 4.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换yyxx3121后的图形。

求： （1）;025yx （2）122yx。

5.已知点A为定点，线段BC在定直线l上滑动，已知|BC|=4，点A到直线l的距离为3，求∆ABC的外心的轨迹方程。