平面直角坐标系中的伸缩变换

第1节 坐标系与参数方程

第1课时 坐标系

最新考纲 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．

知 识 梳 理

1.平面直角坐标系中的伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·x(λ>0)，y′＝μ·y(μ>0)的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

2.极坐标系

(1)极坐标与极坐标系的概念

在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.

(2)极坐标与直角坐标的互化

设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面的关系式成立：

x＝ρcos θ，y＝ρsin θ或ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)，

这就是极坐标与直角坐标的互化公式.

3.常见曲线的极坐标方程

曲线 图形 极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π)

圆心为(r，0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos__θ

－π2≤θ

圆心为r，π2，半径为r的圆

ρ＝2rsin__θ

(0≤θ

过极点，倾斜角为α的直线

第1节 坐标系与参数方程

第一课时 坐标系

考试要求 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·x（λ＞0），y′＝μ·y（μ＞0）的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.

2.极坐标系与点的极坐标

(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.

(2)极坐标 ①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.

②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角∠xOM叫做点M的极角，记为θ.

③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ).

3.极坐标与直角坐标的互化

点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)

互化公式 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ ρ2＝x2＋y2，

tan θ＝yx(x≠0)

4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π)

圆心为(r，0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos__θ－π2≤θ＜π2

圆心为r，π2，半径为r的圆 ρ＝2rsin__θ(0≤θ＜π)

过极点，倾斜角为α的直线

①θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)

②θ＝α(ρ≥0)和

θ＝π＋α(ρ≥0)

过点(a，0)，与极轴垂直的直线 ρcos__θ＝a－π2＜θ＜π2

过点a，π2，与极轴平行的直线

第一节 坐标系与参数方程 考试要求

1．了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.4.了解参数方程，了解参数的意义.5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．

第一课时 坐标系

[知识排查·微点淘金]

知识点1 平面直角坐标系中的伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·x，（λ＞0），y′＝μ·y，（μ＞0）的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

知识点2 极坐标系与点的极坐标

在如图所示的极坐标系中，点O是极点，射线Ox是极轴，θ为极角(通常取逆时针方向)，ρ为极径(表示极点O与点M的距离)，点M的极坐标是M(ρ，θ)．

[微提醒]

(1)极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向．四者缺一不可．

(2)由极径的意义知ρ＞0时，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系．约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角． 知识点3 直角坐标与极坐标的互化

(1)如图，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标为(x，y)、极坐标为(ρ，θ)，则x＝ρcos

θ，y＝ρsin θ，

ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx（x≠0）Ｗ.

(2)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)．一般取ρ≥0，θ∈[0，2π)．

常用结论

曲线 极坐标方程

圆心为极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π)

圆心为(r，0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ－π2≤θ≤π2

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第一部分：坐标系与参数方程

【考纲知识梳理】

1. 平而直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换©: ° “纟> 的作用卜-，点P(x, y)对应到点

[y =“・％(“>0)

p(p,y),称卩为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

2. 极坐标系的概念

(1) 极坐标系 如图⑴所示,在平而内取一个左点o.叫做极点,自极点o引一条射线&.叫做极轴;再选左一个长度单位，一 个角度单位(通常取弧度)及英正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平而图形为几何背景,而平而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角 坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可•但极坐标系和平而直角坐标系都是平而坐 标系.

(2) 极坐标

设M是平而内一点，极点。与点M的距离IOMI叫做点M的极径，记为°;以极轴Ox为始边，射线OM为终

边的角厶OM叫做点M的极角，记为。有序数对(卩。)叫做点M的极坐标，记作M(p^) ~般地,不作特

殊说明时，我们认为可取任意实数•特别地，当点M在极点时,它的极坐标为(OPX&WR)。和直角 坐标不同，平而内一个点的极坐标有无数种表示•如果规左°>0,05&<2兀,那么除极点外，平而内的点可

用唯一的极坐标(0。)表示;同时,极坐标(Q &)表示的点也是唯一确泄的.

3•极坐标和直角坐标的互化

(1) 互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同

的长度单位，如图(2)所示：

(2) 互化公式:设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(儿极坐标是(％X°no),于

是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点M 直角坐标(%,>') 极坐标(p,0)

互化公式 X = QCOS& < [y = psinO 0 "+〉厂

tan® = —(x 0) X