《选修 4 −4 坐标系与参数方程》
- 1 - 4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换
【教学目标】
通过具体例子，了解在平面直角坐标系中图形在伸缩变换下平面图形的变化情况。
【教学重点】
平面图形的伸缩变换及伸缩变换下的图形的变化规律。
【教学过程】
一、问题情境
圆 x2 +y2 = 100在水平方向将其拉长，得到的是表示怎样的一条曲线？
函数y = sin(3x) 是由y = sin x经过怎样的变换得到的？
二、讲授新课
伸缩变换
1．一般地，由
kx = x'，y = y'
所确定的伸缩变换，是伸缩系数为k向着y轴的伸缩变换。
当k > 1时，表示伸长；当 k < 1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 k 倍。
这里P（x，y)是变换前的点，P'(x'，y')是变换后的点。
2．同样由 x = x'，ky = y'所确定的伸缩变换是伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换。
3．由k1x = x'，k2y = y'所确定的伸缩变换的意义是什么？
若伸缩变换的方向是任意的，按平面向量基本定理，可以将它们分解为向着 x 轴和向着 y 轴的伸缩变换。
《选修 4 −4 坐标系与参数方程》
- 2 - 三、例题选讲
【例1】对下列曲线向着x轴进行伸缩变换，伸缩系数 k = 14。
⑴ 2x +3y −6 = 0；
⑵ x2 +y2 =16。
【例2】设M1是A1（x1，y1)与B1（x2，y2)的中点，经过伸缩变换后，它们分别是M2，A2，B2，求证：M2是A2B2的中点。
【例3】证明：直线经过伸缩系数k向着x轴（或y轴）的伸缩变换后，仍是直线。
《选修 4 −4 坐标系与参数方程》
- 3 - 【例4】将椭圆 x2 + y24 = 1 向着y 轴方向伸缩变换为圆，写出坐标变换公式；
桑植四中三主五步2012-2013学年高二 学案 编号：07 使用时间：2012. 编制人：钟玉红 审核人： 审批人： 班级： 小组： 姓名： 评价
第 1 页 共 4 页 第 2页 共4页 2.平面直角坐标系中的伸缩变换
学习目标：1、理解平面直角坐标系中的伸缩变换；
2，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；
3、学会应用平面直角坐标系的伸缩变换解决一些简单问题；
学习重点难点：伸缩变换在解题中的应用
预 习 案
一、复习回顾：
1、在三角函数中，什么是振幅变换、周期变换、相位变换？
2、你会把函数y=sinx变为y=3sin(2x+6)吗？
二、学习新课：
问题1、怎样由正弦曲线y=sinx得到y=sin2x的图像？
以上问题的实质是什么？
设P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，保持纵坐标y不变，横坐标缩为原来的21，得到新点'P('',yx),那么，你能写出这两个点坐标间的关系吗？
上式叫做平面直角坐标系中的一个___________________.
问题2：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?
以上问题的实质是什么？
设P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，保持横坐标x不变，纵坐标伸长为原来的3倍，得到新点'P('',yx),那么，你能写出这两个点坐标间的关系吗？
上式叫做平面直角坐标系中的一个___________________.
问题3：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x的图像？
设平面直角坐标系中的任意一点P(x,y)经过上述变换后变为新点'P('',yx)，它们坐标间的关系又如何？
这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！
看人生峰高处，唯有磨难多正果。 1 4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换
同步测控
我夯基，我达标
1.已知同一直线上三点A、B、C，其中B是AC中点，若向着x轴按照伸缩系数k＝2进行伸缩变换后，对于它们的对应点A′、B′、C′有以下说法：①仍在同一直线上；②不在同一直线上；③B′是A′C′的中点；④B′是A′C′的三等分点；⑤A′、B′、C′有可能重合．其中正确的说法是( )
A．② B．①③ C．①④ D．⑤
解析：由于在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变，所以②不在同一直线上不正确；根据教材中的例2可知B′仍是A′C′的中点．故选B．
答案：B
2.在同一平面坐标系中，经过伸缩变换yyxx3,5后，曲线C变为曲线2x′2+8y′2=0，则曲线C的方程为( )
A.25x2+36y2=0 B.9x2+100y2=0 C.10x+24y=0 D.09825222yx
解析：将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．
将yyxx3.5直接代入2x′2+8y′2＝０，得2×(5x)2+8×(3y)2＝０，即25x2+36y2＝０为所求曲线C的方程.
答案：Ａ
3.直线y=x按伸缩系数k＝2向着y轴进行伸缩变换后的方程为_______________
解析：设P(x,y)是变换前直线上的点，P′(x′,y′)是变换后曲线上的点，由题意,知,,2yyxx即.,2yyxx代入y=x中，得2xy.所以直线y=x经过伸缩变换后的方程为y=21x．
答案：y=21x
4.直线y=21x按照伸缩系数k＝2向着x轴进行伸缩变换后的方程为___________
第 1 页 共 4 页
2 平面直角坐标系中的伸缩变换
主备： 审核：
学习目标：
1.理解平面直角坐标系中的伸缩变换；
2．了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况；
3.会用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.
学习重点：在伸缩变换作用下，图形的变化情况.
学习难点：用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.
学习过程：
一、课前准备
阅读教材14PP的内容，体会平面直角坐标系中伸缩变换的情况.并回顾以下问题：
1.在直角坐标系中，已知点(,)Mab，则
①M关于原点O的对称点为 ； ②M关于x轴的对称点为 ；
③M关于y轴的对称点为 ； ④M关于直线yx的对称点为 ；
⑤M关于直线yx的对称点为 ；
⑥M关于直线yxt的对称点为 .
2．平移变换
①平面上任一点P的坐标(,)xy，按向量(,)ahk平移后的坐标为(,)Pxy，则有
②曲线(,)0Fxy的图像，按(,)ahk平移后的曲线方程为 .
3.填空题：
（1）已知点(4,3)P按向量(1,5)a平移到Q点，则Q的坐标为 ．
（2）函数2()23fxx向右平移3个单位，向下平移1个单位，得到的函数解析式是
()fx .
(3) 抛物线22yx按向量(3,2)n平移，得到的曲线的方程是 .
二、新课导学
（一）新知：
伸缩变换
①一般地，由(0)kxxkyy所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的k倍；
第 2 页 共 4 页
②由(0)xxkkyy所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的k倍；
