高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4.1 对数的概念教学设计3 北师大版必修1-北师大版高一

【教学设计·中学数学】

《对数函数的概念》教学设计

对数函数的概念

一、教学目标：

1.知识与技能

理解对数函数的概念，了解对数函数与指数函数的关系.

2.过程与方法

从指数函数入手，引出对数函数的概念及对数函数与指数函数的关系。

3.情感、态度与价值观

增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数函数的价值，形成正确的价值观

二、教学重点、难点

重点 ：（1）对数函数的概念；（2）对数函数与指数函数的相互转化.

难点 ：对数函数概念的理解；

三、学法与教法

1、学法：复习回顾，类比归纳，语言表达。2、教法：探究讨论法。

四、教学设计

（一）：复习

（1）：函数的概念是什么？

（2）：什么是一一映射？

（设计目的：本节要学习对数函数，而对数函数是一个新的函数函数模型，所以

必须从基本的函数概念入手对其进行分析。）

（二）：新知探究：

1.引入

在细胞分裂的问题中，细胞分裂个数y和分裂次数x的函数关系,用正整数指数函数y=2x表示.在学习过程中我们已经把它推广到实数指数函数.那么如果分裂次数未知，细胞个数已知，完成下表

（引导学生填表并观察，归纳出分裂次数x与细胞个数y之间的对应关系yx2log）

2：探究一

思考： 一般的指数函数y=ax(a>0,a≠1)中的两个变量,能不能把y当作自变量,使得x是y的函数?

指数函数y=ax(a>0,a≠1),对于x每一个确定值,y都有唯一确定的值和它对应.并且当2121yyxx时，如图（1）。就是说，指数函数反应的了数集R与数集{y|y>0}之间的一一对应。可见，对于任意y∈(0,+∞)有唯一x∈R满足y=ax

把y当作自变量,x是y的函数，即

)1,0(logaayxa

图（1）

函数 )1,0(logaayxa叫作对数函数，这里0.1,0yaa自变量

第2课时 对数的运算性质及换底公式

内 容 标 准 学 科 素 养

1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算．

2.了解换底公式、能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 准确定义概念

熟练等价转化

提升数学运算

授课提示：对应学生用书第52页

[基础认识]

知识点一 对数的运算性质

预习教材P80－82，思考并完成以下问题

当m＞0，N＞0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？

提示：不一定成立．

知识梳理 对数的运算性质

条件 a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0

性质 loga(MN)＝logaM＋logaN

logaMN＝logaM－logaN

logaMn＝nlogaM(n∈R)

知识点二 换底公式

思考并完成以下问题

(1)换底公式中的底数a是特定数还是任意数？

提示：是大于0且不等于1的任意数．

(2)换底公式有哪些作用？

提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于运用对数的运算性质进行化简、求值．

知识梳理

logab＝logcblogca(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．

2．用换底公式推得的两个常用结论：

(1)logab·logba＝1(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1)；

(2)logambn＝nmlogab(a＞0，且a≠1；b＞0；m≠0)．

知识点三 常用结论 思考并完成以下问题

结合教材P81－82，例4和例5，你认为怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？

提示：第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化．

第二步：利用对数的性质化简、求值．

知识梳理 常用结论

由换底公式可以得到以下常用结论：

(1)logab＝1logba；

(2)logab·logbc·logca＝1；

(3)loganbn＝logab；

(4)loganbm＝mnlogab；

§3指数函数(一)学习目标1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图像和

性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．

知识点一指数函数

思考细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分

裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系

式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？

答案y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来．

梳理一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：

①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，

无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须

位于指数的位置上；③ax的系数必须为1；④指数函数等号右边不会是多项式，如y＝2x＋1

不是指数函数．

知识点二指数函数的图像和性质

思考函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？

答案函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点

作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．

梳理指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质：a>10

图像

性质(1)定义域：R

(2)值域：(0，＋∞)

(3)过点(0,1)，即x＝0时，y＝1(4)当x>0时，y>1；

x<0时，00时，0

x<0时，y>1

(5)是R上的增函数(5)是R上的减函数

1．y＝xx(x>0)是指数函数．(×)

2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．(×)

3．因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1)．(√)4．y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.(×)

类型一求指数函数的解析式

例1已知指数函数f(x)的图像过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．

3.4.1习题课 课时目标

　1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分

法”求方程的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维

方式．

1．函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则下列正确命题的个数为

________．

①f(0)>0，f(2)<0；

②f(0)·f(2)<0；

③在区间(0,2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)<0.

2．函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两条坐标轴共有两个交点，那么函

数y＝f(x)的零点个数是________．

3．设函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围

是________．

4．方程2x－x－2＝0在实数范围内的解的个数是________．

5．函数y＝()x与函数y＝lg x的图象的交点的横坐标是________．(精

确到0.1)

6．方程4x2－6x－1＝0位于区间(－1,2)内的解有________个．

一、填空题

1．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，每一次经计算f(0)

<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．

2．函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是________．(填

你认为正确的一个区间即可)

3．函数f(x)＝的零点是________．

4．已知二次函数y＝f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则在(m，m＋

1)上函数零点的个数是______________．

5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a

＝f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系是________．

6．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方

程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值________．

(填“大于0”，“小于0”，“等于0”或“无法判断”)

7．已知偶函数y＝f(x)有四个零点，则方程f(x)＝0的所有实数根之