2013数学高考真题—立体几何分类汇编

2013数学高考真题—立体几何分类汇编

1.（北京理14）如图，在棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，E为BC中点，点P在线段ED1上。点P在线段ED1上，点P到直线1CC距离的最小值为 。

2.（北京理17）如图，在三棱柱111CBAABC中，CCAA11是边长为4的正方形，平面ABC平面CCAA11，5,3BCAB.

（1）求证：1AA平面ABC； （2）求二面角111BBCA的余弦值；

（3）证明：在线段1BC上存在点D，使得BAAD1，并求1BCBD的值。

3.（北京文8）如图，在正方体1111DCBAABCD中，P为对角线1BD的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（ ）

.A3个 .B4个 .C5个 .D6个

4（北京文10）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 。

4（北京文17）如图，四棱锥ABCDP中，AB∥CD，ADAB,ABCD2,平面PAD底面ABCD，ADPA，E和F分别是CD和PC中点。求证：

（1）PA底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF平面PCD

5（大纲理10）已知正四棱柱1111DCBAABCD中，ABAA21，则CD与平面1BDC所成角的正弦值等于（ ）

.A32 .B33 .C32 .D31 ABCDA1B1C1D1EPC 1 B 1 A 1

C B A

A B C D A 1 B 1 C 1 D 1

P

俯视图121正（主）视图12侧（左）视图ABCDEFP6（大纲文理16）已知圆O与圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，23OK,且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为060，则球O的表面积等于 。

7（大纲理19）如图，四棱锥ABCDP中，090BADABC,ADBC2,PAB和PAD都是等边三角形。

（1）证明：CDPB；

（2）求二面角CPDA的大小。

8（大纲文11）已知正四棱柱1111DCBAABCD中，ABAA21，则CD与平面1BDC所成角的正弦值等于（ ）

.A32 .B33 .C32 .D31

9（大纲文19）如图，四棱锥ABCDP中，090BADABC,ADBC2,PAB和PAD都是边长为2等边三角形。

（1）证明：CDPB；

（2）求点A到平面PCD的距离

10（湖南理7）已知棱长为1的正方体其俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ） .A1 .B2 .C212 .D212

11（湖南理19）如图5，在直棱柱1111DCBAABCD中，AD∥BC，090BAD，BDAC，1BC,31AAAD

（1）证明：DBAC1；

（2）求直线11CB与平面1ACD所成角的正弦值。

12（湖南文7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，俯视图是一个面积为2的矩形，则正方体的正视图的面积等于（ ）

23.A .B1 .C212 .D2 13（湖南文17）如图，在直棱柱111CBAABC中，090BAC,2ACAB,31AA,D是BC中点，点E在棱1BB上运动。

（1）证明：ECAD1；

（2）当异面直线ECAC1,所成的角为060时，求三棱锥EBAC111的体积。

14（江西理8）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且AB∥CD，正方体六个面所在的平面与直线EFCE,相交的平面个数分别记为nm,，那么nm（ ）

.A8 9.B 10.C 11.D

15（江西理19）如图，四棱锥ABCDP中，PA平面ABCD，E为BD中点，G为PD中点，DAB≌DCB,1ABEBEA，23PA,连结CE并延长交AD于点F。

（1）求证：AD平面CFG；

（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值。

16（江西文8）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

.A9200 .B18200 .C9140 .D18140

a A B C D E F A

B C

D

A 1

B 1 C 1

E

A

B

C D

E F G P 17（江西文15）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数是 。

18（江西文19）如图，直四棱锥1111DCBAABCD中，AB∥CD,ABAD,2AB，2AD，31AA,E为CD上一点，3,1ECDE

（1）证明：BE平面CCBB11

（2）求点1B到平面11CEA的距离

19（辽宁文理10）已知直三棱柱111CBAABC的6个顶点都在球O的球面上，若4,3ACAB,ACAB，121AA,则球O的半径为（ ）

.A2173 .B102 .C213 .D103

20（辽宁文理13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 。

21（辽宁文18）如图，AB是圆O的直径，PA圆所在的平面，C是圆O上的点。

（1）求证：BC平面PAC；

（2）若Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG∥平面PBC

a A B C D E F

4 2 1 1 2 1 1

P

A B O

C G Q 22（辽宁理18）如图，AB是圆的直径，PA圆所在的平面，C是圆上的点。

（1）求证：平面PAC平面PBC；

（2）若1,1,2PAACAB，求二面角APBC的余弦值。

23（山东理4）已知三棱柱111CBAABC的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P为底面111CBA的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为

.A125 .B3 .C4 .D6

24（山东理18）如图所示，在三棱锥ABQP中，PB平面ABQ，BQBPBA,FECD,,,分别是BPAPBQAQ,,,的中点，BDAQ2，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。

（1）证明：AB∥GH；

（2）求二面角EGHD的余弦值。

25（山东文4）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，在该四棱锥的侧面积和体积分别是

.A8,54 .B38,54 .C38),15(4 .D8,8

26（山东文19）如图，四棱锥ABCDP中，ACAB，PAAB，AB∥CD，CDAB2，NMGFE,,,,分别为PCPDBCABPB,,,,的中点。

（1）求证：CE∥平面PAD；

（2）求证：平面EFG⊥平面EMN

27（陕西理12）某几何体的三视图如图所示，则其体积为 。

A B

C P

俯视图12主视图11左视图28（陕西理18）如图，四棱柱1111DCBAABCD的底面ABCD是正方形，O为底面中心，OA1平面ABCD，21AAAB。

（1） 证明：CA1平面DDBB11；

（2） 求平面1OCB与平面DDBB11的夹角的大小。

29（陕西文12）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 。

30（陕西文18）如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,

12ABAA.

(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;

(Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.

31（天津理17）如图，四棱柱1111DCBAABCD中，侧棱AA1底面ABCD，AB∥DC，ADAB,1CDAD,21ABAA,E为棱1AA的中点。

（1）证明：CECB11;

（2）求二面角11CCEB的正弦值；

（3）设点M在线段EC1上，且直线AM与平面11AADD所成角的正弦值为62，求线段AM的长。

32（天津文10）一个正方体的所有顶点都在同一个球面上，若球的体积为29，则正方体的棱长为 A B C D

O A 1

B 1 C 1 D 1

俯视图主视图21左视图O

D 1

B 1 C 1

D

A C

B A 1 33（天津文17）如图，三棱柱111CBAABC中，侧棱AA1底面ABCD，且各棱长均相等，FED,,分别为棱11,,CABCAB的中点。

（1）证明：EF∥平面CDA1；

（2）证明平面CDA1平面11AABB

（3）直线BC与平面CDA1所成角的正弦值。

34（新课标1理6）如图，有一个平面放置的透明无盖的正方体容器，容器高cm8，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为cm6，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）

.A33500cm .B33866cm .C331372cm .D332048cm

35（新课标1文理8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

.A816 .B88 .C1616 .D168

36（新课标1理18）如图，三棱柱111CBAABC中，CBCA,1AAAB,0160BAA

（1）证明：CAAB1；

（2）若平面ABC平面BBAA11,CBAB，求直线CA1与平面CCBB11所成角的正弦值

侧视图

俯视图 4 4 4 2 2

2 4 2

主视图

A B C C1

A1 B1