高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4 对数 3.4.1 对数及其运算教案2 北师大版必修1

指数函数与对数函数的运算

指数函数与对数函数的运算是高等数学中一种重要的数学运算方法。指数函数是一种以底数为常数，指数为变量的函数，表示为f(x) = a^x，其中a为底数。对数函数是指数函数的逆运算，表示为f(x) = log_a(x)，其中a为底数。

指数函数与对数函数之间存在一种特殊的运算关系，即指数函数和对数函数是互为反函数的。这意味着，对于任意的底数a和指数x，有a^log_a(x) = x，以及log_a(a^x) = x。这一性质使得指数函数和对数函数可以进行运算，并且能够相互抵消。

一、指数函数的运算性质

指数函数的运算包括指数相加、指数相减、指数相乘以及指数的幂运算等。下面将一一介绍这些运算性质。

1. 指数相加：对于相同底数a，两个指数相加的结果等于将底数相乘，指数相加的结果为b^x1*b^x2 = b^(x1+x2)。例如，2^3 * 2^4 =

2^(3+4) = 2^7。

2. 指数相减：对于相同底数a，两个指数相减的结果等于将底数相除，指数相减的结果为b^x1/b^x2 = b^(x1-x2)。例如，5^8 / 5^3 = 5^(8-3) = 5^5。

3. 指数相乘：对于相同底数a，两个指数相乘等于底数为b，指数为(x1*x2)的指数函数，即(b^x1)^x2 = b^(x1*x2)。例如，(6^3)^2 =

6^(3*2) = 6^6。 4. 指数的幂运算：指数的幂运算即多次将相同的底数相乘，指数的幂运算的结果为(b^x)^n = b^(x*n)。例如，(3^2)^4 = 3^(2*4) = 3^8。

二、对数函数的运算性质

对数函数的运算包括对数相加、对数相减、对数相乘以及对数的幂运算等。下面将一一介绍这些运算性质。

1. 对数相加：对于相同底数a，两个对数相加的结果等于将指数相加，对数相加的结果为log_a(x1) + log_a(x2) = log_a(x1*x2)。例如，log_2(4) + log_2(8) = log_2(4*8) = log_2(32)。

高中数学对数的知识点总结

一、对数的定义

1. 对数的概念

对数是指数的逆运算。设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。其中a称为底数，b称为真数。即 logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。

2. 对数的性质

（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。

（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时

⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。即对于任意正数b,0

⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。

⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。

⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。

3. 对数的求值

对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。

4. 对数的应用

对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。

二、对数的基本概念

1. 对数方程的解法

对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。分为以下几种类型：

（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。

（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。

2. 对数不等式的解法 对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。对数不等式常见的类型有以下几种：

（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。

3. 对数方程组的解法

对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。

基本初等函数知识点知识点一：指数及指数幂的运算

1.根式的概念

的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中

当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.

负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.

式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.

2.n次方根的性质：

(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)

3.分数指数幂的意义：

；

注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.

4.有理数指数幂的运算性质： (1) (2) (3)

知识点二：指数函数及其性质

1.指数函数概念

一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.

2.指数函数函数性质：

函数名称 指数函数

定义 函数且叫做指数函数

图象

定义域

值域

过定点 图象过定点，即当时，. 奇偶性 非奇非偶

单调性

在上是增函数

在上是减函数

函数值的

变化情况

变化对图象的影响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.

知识点三：对数与对数运算

1.对数的定义

(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数， 叫做真数.

(2)负数和零没有对数.

(3)对数式与指数式的互化：.

2.几个重要的对数恒等式

，，.

3.常用对数与自然对数

常用对数：，即；自然对数：，即(其中…). 4.对数的运算性质

如果，那么①加法：

②减法： ③数乘：

④ ⑤

⑥换底公式：

知识点四：对数函数及其性质

1.对数函数定义

一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.

2.对数函数性质：

函数名称 对数函数

定义 函数且叫做对数函数

图象

定义域

值域

过定点

图象过定点，即当时，.

奇偶性 非奇非偶

单调性 在上是增函数 在上是减函数

函数值的

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必修第4章 指数函数和对数函数

知 识 清 单

4.1指数

知识1 根式

1.n次方根

（1）定义

如果(1,)n

xann=N，那么x叫做a的n次方根.

（2）性质 ①任何实数都有奇次方根，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数，即对于

n

a，若n是奇数，则aR；

②非负实数有偶次方根，正数a

的偶次方根有两个，这两个数互为相反数，记为n

a，

即对于n

a，若n是偶数，则[0,)a+；

③负数没有偶次方根；

④0的任何次方根都是0

，记作00n

=.

2.根式的定义和性质

（1）定义

式子n

a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

（2）性质

()(1,)nn

aann=N；当n为正奇数时

，nn

aa=，当n为正偶数时，

,0

||

,0.nnaa

aa

aa

==



−

，

例1 有下列说法：

①31255−=

；

②16

的4

次方根是2

；

③4813=

；

④2

()||xyxy+=+

．

其中，正确的有 ．（填正确说法的序号） 2 / 30

解析 n

为奇数时，负数的n

次方根是负数，31255−=−

，故①错误；16

的4

次方根有两

个，为2

，

故②正确；4813=

，

故③错误；2

()xy+

是非负数，

故2

()||xyxy+=+

，

故④正确．

答案 ②④

知识2 分数指数幂

①正数的正分数指数幂：规定=(0,,,1)n

nm

maaamnn

N. ②正数的负分数指数幂：规定11

==(0,,,1)n

m

n

nm

maamnn

a

a−



N.

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.

例2 （多选）下列各式中既符合分数指数幂的定义值又相等的是（ ）

A.1

3(1)−

和2

6(1)−

B.4

33和

4

31

3−

C.1

22

和1

44

D.3

24−和3

1

2−







解析 对于A

，1

3(1)1−=−

，2

2

66(1)(1)1−=−=

，故A错误；对于B

，4

3

4

31

3

3−=

，故B正

确；对于C

，111

2

4424(2)2==