习题7.4
1. 判断下列四点是否共面:
(1) (1,0,1),(2,4,6),(3,1,2),(6,2,8)ABCD;
(2) (1,2,1),(2,2,3),(1,1,2),(4,5,6)ABCD.
2. 设0a,
(1) 若abac, 则是否必有bc?
(2) 若abac, 则是否必有bc?
(3) 若abac,且abac, 则是否必有bc?
3. 指出下列平面对于坐标轴或坐标面的相对位置：
(1) 3210xy; (2) 250x； (3) 0xy； (4)0AxCz.
4. 求满足下列条件的平面方程：
(1) 过点0(1,2,3)M, 法向量为(2,1,5)n;
(2) 在x轴,y轴和z轴上的截距分别为2,3,1;
(3) 过点(5,7,4)且在xyz、、轴上截距相等；
(4) 过点(3,6,2)P，且垂直于OP(O为原点)；
(5) 过点1(2,1,3)M,2(5,1,4)M和3(2,2,4)M；
(6) 过Ox轴和点(4,3,1)；
(7) 平行于Oy轴，且通过点(1,5,1)和(3,2,2)；
(8) 平行于xOz平面，且通过点(3,2,7)；
(9) 过点(1,3,2)，且平行于平面520xyz；
(10) 过两点(8,3,1),(4,7,2)，且垂直于平面35210xyz；
(11) 平行于平面2250xyz而与三坐标面所构成的四面体的体积为１
5. 指出下列直线的位置性态：
(1) 123
102xyz
(2) 113
100xyz
;
(3) 6,5,3xtytzt;
(4) 12,23,0xtytz.
6. 求满足下列条件的直线的对称式方程，并将其中(1)~(4)化为参数方程和一般式方程：
(1) 过点0(1,2,3)M, 方向向量为(2,1,1)s;
高等数学练习题 第9章 向量代数与空间解析几何
§9—1 向量的几何表示及其线性运算
A类
1． 平行四边形ABCD的两条对角线交于O，设bADaAB,，试用a和b表示OCOBOA,,和OD。
2． 设)(3,82,5baCDbaBCbaAB，证明A、B、D共线。
B类
1． 用向量法证明：三角形两边中点的边线平行于第三边，且长度等于第三边长度的一半。
2． 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试应用向量证明它是平行四边形。
§9—2 空间直角坐标系、向量的坐标
A类
1．求点(a，b，c)关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标。
2．求点(a，b，c)向(1)各坐标面；(2)各坐标轴的投影点的坐标。
3．求点M(4，-3，5)到各坐标轴的距离。
4．在yOz面上，求与点A(3,1，2)、B(4，-2，-2)、C(0，5，1)等距离的点。
B类
1．证明以A(4,1，9)、B(10，-1，6)、C(2,4，3)为顶点的三角形是等腰直角三角形。
2．已知向量AB的起点坐标为A(2，-1，7)，且AB与kjia1298的方向相同，已知AB=34，求点B的坐标。
3．已知向量OP与各坐标轴成相等的锐角，且32OP，求OP的坐标。
4．已知三个非零向量,,abc之中任意两个向量都不平行，但ab平行于c，bc平行于a，求证：0abc。
§9—3 向量的数量积、向量积、混合积 A类
1．设(3,1,2)a，(1,2,1)b，求(1)(2)(3)ab,(2)ab；(2)),cos(ba；(3)Prjab。
2．已知A(1，-1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，求与AB、BC同时垂直的单位向量。
3．已知(2,3,1)a，(1,1,3)b，(1,2,0)c，求
(1)()()abcacb； (2)()()abbc； (3)()abc。
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第一章 高等数学
第一节 空间解析几何
一、向量代数
（一）向量及其线性运算
既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向量，向量 a
的大小称为
向量 a
的模，记作| a
|。
模等于1的向量叫做单位向量，
向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。
向量a
与向量 b
的和 a
+ b
是一个向量 c
，利用平行四边形法则或三角形法则
可得向量c，如图 1-1-1 ，图 1-1-2 所示。
向量的加法符合下列运算规律：
① 交换律 a + b = b + a
② 结合律(a + b)+c＝ a +(b+c）
向量 b
与向量 a
的差 b - a
定义为向量 b
与 a
的负向量-a
的和，即
b - a = b + (-a)
由向量加法的三角形法则可知：() |a| = |-a|
向量 a
与实数λ
的积记作λa，它是一个向量，它的模
它的方向当λ
＞ 0 时，与向量 a
相同；当λ
＜ 0 时，与向量 a
相反。 向量与数的乘积符合下列运算规律：
由向量与数的乘积的定义，可得以下定理：
定理 设向量 a≠0
，那么，向量 b
与向量 a
平行的充分必要条件是：存在惟一的
实数λ
，使 b =λa
。
（二）向量的坐标
设有空间直角坐标系 O - xyz
， i、 j、 k
分别表示沿 x 、 y 、 z 轴正向的单
位向量，
12aMM
是以
1111(,,)Mxyz
为起点，
2222(,,)Mxyz
为终点的向量，则向
量a
可表示为
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其中
212121xxyyzz、、
称为向量 a 的坐标。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下：
非零向量 a 与三条坐标轴正向的夹角
、、
称为它的方向角。向量的模、方向角与坐标之间关系：
其中coscoscos
、、
称为向量 a 的方向余弦。 利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下：
- 1 - 向量代数和空间解析几何
向量代数和空间解析几何是数学中非常重要的概念，既可以处理经典几何问题，又可以用于表达数学模型。它们在科学技术、计算机图形学、矩阵计算等方面都有着广泛的应用。
向量代数是计算机科学家和数学家在处理空间问题时最常使用的方法。它利用向量来描述空间中的点、直线和平面。向量代数可以用来计算空间的大小、形状、方向、坐标变换等概念。向量代数涉及的内容主要有线性代数系统、矩阵运算、向量空间等。它在科技计算机图形学、建模和科学仿真中被广泛使用。
空间解析几何是在几何学中一类研究空间几何结构的重要分支学科。它被广泛应用于工程、机械、制图学等方面，是解决建筑、室内装潢、雕塑、建筑园林设计、制图学等问题的基础学科。主要内容有平面几何和立体几何，包括平面的直线、圆弧、多边形等，立体的点、直线、面等概念。空间解析几何主要用来解决解空间几何图形的问题，是几何学中一类重要的问题。
向量代数和空间解析几何之间有着千丝万缕的联系，它们都是分析和处理空间几何图形的重要工具。向量代数主要用来解决空间的大小、形状、方向等问题，而空间解析几何则主要用于处理空间中的点、直线和平面等结构。它们的结合可以清楚的表示空间的量化和定义，是建立数学模型的基础和工具。
向量代数和空间解析几何在科技、计算机图形学、建模和科学仿真方面都有着广泛的应用。它们可以帮助我们更准确地表示和分析空 - 2 - 间问题，为解决实际问题提供帮助，在进一步提高科学技术水平中发挥着重要的作用。
综上所述，向量代数和空间解析几何是数学中重要的概念，可以在科学技术、计算机图形学、矩阵计算等方面得到广泛应用，为解决实际问题提供帮助，在进一步提高科学技术水平中发挥着重要的作用。它们的结合可以更为清楚地表示和分析空间几何图形，为建立数学模型提供基础。
