高等数学-第8章空间解析几何与向量代数
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章节 第八章空间解析几何与向量代数
§1 向量及其线性运算 课时 4
教
学
目
的 在平面解析几何中，通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。建立空间直角坐标系及空间点的坐标，掌握空间两点间的距离公式。掌握向量的概念、向量的加减法及向量与数的乘法。掌握向量的坐标表示法，会求向量的模、单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。
教学
重点
及
突出
方法 空间直角坐标系的概念及空间两点间的距离公式，向量的加减法及向量与数的乘法。通过力学中的力的加减法引入向量的加减法的概念及运算法则。向量的模、单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影的概念及计算。
教学
难点
及
突破
方法 空间两点间的距离公式，向量的加减法及向量与数的乘法，两个向量平行的充分必要条件。在建立空间直角坐标系后，我们就可以建立三维空间的最基本的几何元素――点与有序数组之间的联系，从而可以用代数方法来研究几何问题。对于向量的运算（加、减、数乘、模，方向余弦及将要学习的内积，向量积）就可以转换为向量的坐标之间的数的运算。向量在坐标轴上的投影及性质。 相关
参考
资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P1-P9
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P400-P402
教 教学思路、主要环节、主要内容
学
过
程 空间直角坐标系
空间点的直角坐标
为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z)。注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征。
空间两点间的距离
设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式：
22212212121()()()MMxxyyzz。
向量及其加减法及向量与数的乘法
一、向量的基本概念
向量（或称矢量），自由向量，向量相等，向量的模，反向量，平行向量，单位向量，零向量。
二、向量的加减法
1.向量的加法
(1)向量加法的平行四边形法则；
(2)向量加法的三角形法则；
(3)向量加法的多边形法则（又称折线法）。
2.向量的减法
（1）负向量 (2) 作向量b与a的差ba。
3．向量加法的性质（运算律）
①交换律 ②结合律
注意：ab的模一般地不等于a的模加b的模，而有abab，即三角形两边之和大于等于第三边。
向量与数的乘法
1、向量的定义：向量a与数m的乘积是一个向量，它的模等于ma，方向与a相同（若m>0）或与a相反（若m<0）。
2、向量与数量乘法的性质(运算律)
①结合律 ②分配律
3、定理：设向量a0，则向量b平行于a得充分必要条件是：存在唯一实数λ，使b=λa。
在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。当遇到与起点有关的向量时（例如，谈到某一质点的运动速度时，这速度就是与所考虑的那一质点的位置有关的向量），可在一般原则下作特别处理。
教 教学思路、主要环节、主要内容
学
过
程 向量的坐标
一、向量在轴上的投影
1．介绍轴上有向线段的值及两向量的夹角的概念
2．点在轴上的投影定义：已知一点A及一轴u，过A作垂直于u的平面α，该平面与轴u的交点A/称为点A在轴u上的射影。
3. 投影向量的定义：向量AB的始点A与终点B在轴u上的投影为点A/，B/，则AB就定义为矢量AB在轴u上的投影向量。
4. 向量在轴上的投影：向量AB在轴u的长度，称为向量AB在轴u上的投影，记为投影PrjuAB。
5. 向量在轴上的投影性质：
性质1（投影定理）：PrjAB=cosAB，其中为轴u与向量AB的夹角。
推论：相等矢量在同一轴上的射影相等。
性质2：Prj(12aa)=Prj1a+Prj2a。性质2可推广到有限个向量的情形。
性质3：Prjuλa=λPrjua。
向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标
分向量的定义：向量a在坐标轴上的投影向量,,xyzaiajak称为向量在坐标轴上的分向量。
向量的坐标：向量a在三条坐标轴上的投影,,xyzaaa叫做向量的坐标，记为：a={,,xyzaaa}
由向量在轴上的投影定义，a在直角坐标系Oxyz中的坐标{,,xyzaaa}就是a，由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：
a={,,xyzaaa}，{,,}xyzbbbb
利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有
{,,}xxyyzzabababab；{,,}xxyyzzabababab
{,,}xyzaaaa
由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。
向量的模与方向余弦的坐标表示式
向量的模：222xyzaaaa
方向余弦：222cosxxyzaaaa，222cosyxyzaaaa，222coszxyzaaaa
且方向余弦的平房和等于1。
与非零向量a同方向的单位向量为：0{cos,cos,cos}a
对向量进行加、减及与数相乘，只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。
章节 第八章空间解析几何与向量代数
§2数量积、向量积 混合积 课时 2
教
学
目
的 掌握向量的数量积 向量积的概念，熟练掌握数量积、 向量积的运算及性质
教学
重点
及
突出
方法 向量数量积、 向量积的运算及性质
教学
难点
及
突破
方法 数量积、向量积的定义及计算。向量与数量是两个不同的概念。向量的运算是既有大小（模）又有方向的运算，这是与数的运算（只有大小）不相同的。学习中，我们要注意数量积、向量积、混合积的定义，不要将数的一些运算规律随意用到向量中．但对几何向量，我们没有定义除法运算。同样，对向量的运算，式子ab无意义。数的乘法只有一种，其结果还是数，而向量的乘法有多种，例如，数量积、混合积的结果是数，向量积的结果是向量。
相关
参考
资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P19-P29
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P402-P417 教
学
过
程 教学思路、主要环节、主要内容
8．2 数量积 向量积
一、 向量的数量积：
两个向量a和b的数量积（点积，内积）为一个数cosab，记作：abcosab
，其中(,)ab为向量a与向量b之间的夹角并且0。
特别是2aaa，因此我们可以把aa简记为a2。
如果向量a={,,xyzaaa}，{,,}xyzbbbb则abxxyyzzababab。
由向量的坐标还可以计算两个向量之间的夹角，
由abcosab
所以222222cosxxyyzzxyzxyzabababababaaabbb
两个向量垂直的充分必要条件是ab0。
数量积满足交换率，分配律及结合率
二.向量的向量积
两个向量a与b的向量积（叉积，外积）是一个向量，
它的模为sinab，它的方向是垂直于a和b，并且构成右手系，
记作ab。ab=sinab正好是以a和b为两边的平行四边形的面积。
如果向量a={,,xyzaaa}，{,,}xyzbbbb则ab=...............xyzxyzijkaaabbb
两向量平行的充分必要条件为ab=0，即//abab=0即yxzxyzaaabbb
也就是说两向量共线，其对应坐标成比例。
向量积满足ba=-ab及分配律，结合率。
解题时注意运用数量积与向量积的特点及几何意义，在讨论夹角与垂直问题时用数量积来解决；在求向量，特别是求垂直向量问题时常用向量积。注意向量的平行、垂直关系及角度。利用向量求面积、体积，可以以向量为工具进行证明并补充一些习题。
章节 第八章空间解析几何与向量代数
§3 曲面及其方程 课时 4
教
学
目
的 了解曲面及其方程的概念，了解旋转曲面，柱面的有关概念，
了解用截痕法分析二次曲面的形状，讨论几个特殊的二次曲面。
教学
重点
及
突出
方法 旋转曲面，柱面的方程，
椭球面、抛物面、双曲抛物面、双曲面的方程及图形。
教学
难点
及
突破
方法 能根据点的轨迹（较简单情形）建立曲面的方程，会求旋转曲面，柱面的方程。形如f(x,y)=0的方程，在空间解析几何中它的图形是柱面；在平面解析几何中，它的图形是平面曲线．例如x2+y2=0， 在空间表示两个平面x=0,y=0的交线，即z轴；但在平面解析几何中，x2+y2=0 仅表示原点。
相关
参考
资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P78-P80
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P427-P431
