高等数学向量代数与空间解析几何总结

第七章 空间解析几何与向量代数

为了学习多元函数微积分的需要，本章首先建立空间直角坐标系，并引进在工程技术

上有着广泛应用的向量，介绍向量的一些运算．然后以向量为工具来讨论空间的平面与直线

方程，最后介绍空间曲面与空间曲线及二次曲面.

第一节 空间直角坐标系

一、 空间直角坐标系

众所周知，实数x与数轴上的点是一一对应的，二元数组(x,y)与坐标平面上的点是一一对应的，从而可以用代数的方法讨论几何问题．类似地，通过建立空间直角坐标系，把空间中的点与一个三元有序数组(x,y,z)建立一一对应关系，用代数的方法研究空间问题.

1.空间直角坐标系的建立

过空间定点O作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点，并且通常取相同的长度单位．这三条数轴分别称为x轴、y轴、z轴．各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定：以右手握住z轴，让右手的四指从x轴的正向以π/2的角度转向y轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z轴的正向．这个法则叫做右手法则(图71)．这样就组成了空间直角坐标系．O称为坐标原点，每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面．x轴与y轴所确定的坐标面称为xOy坐标面．类似地有yOz坐标面、zOx坐标面．这些坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限(图72)．x、y、z轴的正半轴的卦限称为第Ⅰ卦限，从第Ⅰ卦限开始，从z轴的正向向下看，按逆时针方向，先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下方的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。

图71 图72

2.空间中点的直角坐标

设M为空间的一点，若过点M分别作垂直于三坐标轴的平面，与三坐标轴分别相交于P，Q，R三点，且这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z，则点M唯一地确定了一个有序数组(x，y，z)．反之，设给定一个有序数组(x，y，z)，且它们分别在x轴、y轴和z轴上依次对应于P，Q和R点，若过P，Q和R点分别作平面垂直于所在坐标轴，则这三个平面确定了唯一的交点M．这样，空间的点就与一个有序数组(x，y，z)之间建立了一一对应关系(图73)．有序数组(x，y，z)就称为点M的坐标，记为M(x，y，z)，它们分别称为横坐标、纵坐标和竖坐标． 显然，原点O的坐标为(0，0，0)，坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0．例如，在x轴上的点，均有y＝z＝０；在xOy坐标面上的点，均有z＝０．

第8章 空间解析几何与向量代数

教学目的：

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌

握两个向量垂直和平行的条件。

3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练

掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会

利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问

题。

6、会求点到直线以及点到平面的距离。

7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求

以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

教学重点：

1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运

算；

2、两个向量垂直和平行的条件；

3、平面方程和直线方程；

4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判

定条件；

5、点到直线以及点到平面的距离；

6、常用二次曲面的方程及其图形；

7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；

8、空间曲线的参数方程和一般方程。

教学难点：

1、向量积的向量运算及坐标运算，数量积和向量积的运算；

2、平面方程和直线方程及其求法；

3、空间曲线在坐标面上的投影

4、点到直线的距离；

5、二次曲面图形；

6、旋转曲面及柱面的方程。主要外语词汇：

Vector, Mold, Direction Cape, Direction cosine, The quantity

accumulate，The vector accumulate, Curved face square distance, Revolve

curved face，Pillar noodles, Curves, Equations, Plane, Straight line.

第八章 空间解析几何与向量代数

一、选择题

1．设}.4,,1{},2,3,{ybxa若ba//，则 B

（A）、x=0.5 y=6 (B)、x=-0.5 y=6

(C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3

2．平面x -2z = 0的位置是 D 。

（Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴

（Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴

3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。

（Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1

4．已知二平面１：mx+y-3z+1=0与２：７x-2y-z=0当m＝ B １２。

（Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７

5．二平面１：x + y - 11=0, 2: 3x +8=0的夹角＝ C 。

（Ａ）、2 （Ｂ）、／３ （Ｃ）、／４ （Ｄ）、／６

6．下列直线中平行与XOY坐标面的是 D 。

（A）233211zyx （C）10101zyx

（B）{04404yxzx （D）4321ztytx

7．直线L1：{7272zyxzyx与L2：{836302zyxzyx的关系是 B 。

（A）、L1L2 （B）、L1//L2 （C）、L1与L2相交但不垂直。（D）、L1与L2为异面直线。

二、填空题

1. 点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。

1 / 11

第一章 高等数学

第一节 空间解析几何

一、向量代数

（一）向量及其线性运算

既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向量，向量 a

的大小称为

向量 a

的模，记作| a

|。

模等于1的向量叫做单位向量，

向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。

向量a

与向量 b

的和 a

+ b

是一个向量 c

，利用平行四边形法则或三角形法则

可得向量c，如图 1-1-1 ，图 1-1-2 所示。

向量的加法符合下列运算规律：

① 交换律 a + b = b + a

② 结合律(a + b)+c＝ a +(b+c）

向量 b

与向量 a

的差 b - a

定义为向量 b

与 a

的负向量-a

的和，即

b - a = b + (-a)

由向量加法的三角形法则可知：() |a| = |-a|

向量 a

与实数λ

的积记作λa，它是一个向量，它的模

它的方向当λ

＞ 0 时，与向量 a

相同；当λ

＜ 0 时，与向量 a

相反。 向量与数的乘积符合下列运算规律：

由向量与数的乘积的定义，可得以下定理：

定理 设向量 a≠0

，那么，向量 b

与向量 a

平行的充分必要条件是：存在惟一的

实数λ

，使 b =λa

。

（二）向量的坐标

设有空间直角坐标系 O - xyz

， i、 j、 k

分别表示沿 x 、 y 、 z 轴正向的单

位向量，

12aMM

是以

1111(,,)Mxyz

为起点，

2222(,,)Mxyz

为终点的向量，则向

量a

可表示为

2 / 11

其中

212121xxyyzz、、

称为向量 a 的坐标。

利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下：

非零向量 a 与三条坐标轴正向的夹角

、、

称为它的方向角。向量的模、方向角与坐标之间关系：

其中coscoscos

、、

称为向量 a 的方向余弦。 利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下：