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高数读书笔记

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高数读书笔记

第一篇：高数读书笔记

篇一：高数读书笔记

问题1 学习多元函数微分学应该注意什么? 答 多元函数微分学是一元函数微分学的推广．多元函数微分学与一元函数微分学有密切联系，两者有很多类似之处，但特别应注意的是，两者在概念、理论及计算方法上还有一些实质性的差异从二元到二元以上的函数在理论上以及研究方法上是类似的.因此,我们是以二元函数为代表对多元函数微分学进行研究.在学习本章时．一定要注意与一元函数相对照、类比，比较它们之间的异同，这样有助于学好多元

函数微分学．

问题5 二元函数的极限与一元函数的极限有何同异点? 答 二元函数的极限定义与一元函数极限定义在文字叙述上是类似的，但实际上二元函数极限比一元函数极限的自变量变化过程在方式

上复杂得多．

对于一元函数y=f(x)，当x→x0时，如果极限存在且为a，这里x→x0，是指x始终在x轴上，x或者在x0的左侧趋于x0，或者在x0的右侧趋于x0，f(x)都趋于a．对于二元函数z=f(x，y)，当(x，y)→(x0，y0)时，f(x，y)的极限存在且为a，这里是指(x，y)在其定义域内以任意方式趋于点(x0，y0)时，f(x，y)趋于同一个确定值a．由于点(x，y)在其定义域内趋于点(x0，y0)的情形可以很复杂，因此二元函数极

限的复杂性就在这里，故求二元函数极限时必须注意：

(1)求二元函数极限时，不能限制点(x，y)→(x0，y0)的方式(即应该以

任意方式)．(2)如果限制(x，y)→(x0，y0)的方式来计算二元函数极限，则必须首

先证明极限的存在性(即在已知f(x，y)存在的前提下，才可以用一

条特殊的路径来求此极限)． (3)若当(x，y)沿着两条不同路径趋于(x0，y0)，f(x，y)趋于不同值时，则可断定当(x，y)→(x0，y0)时，f(x，y)的极限不存在(此法可用来判

断极限不存在)．

问题6 何谓偏导数?怎样求偏导数? 答 多元函数的偏导数，就是只有一个自变量变化(其它自变量看成是常数)时，函数的变化率因此，求多元函数的偏导数就相当于求一元函数的导数.一元函数的导数公式和求导的四则运算法则对于求多元

函数的偏导数完全适用.偏导数的求法： 1当二元函数为分段函数时，求在分段点或分段线上的点(x0，y0)处

的偏导数时，要根据偏导数的定义来求即

2。求多元初等函数偏导数时．可将多元函数视为一元函数，即将不对其求偏导数的那些变量统统看成常量，利用一元函数的求导公式和求导法则求出偏导数.值得指出，多元函数的偏导数记号与一元函数的导数记号不同．偏导数记号、是一个整体，不能分开不能看

成z与x之商，记号z与x本身没有意义.而一元函数的导数记号如，可看成两个微分dz与dx之商.思考题5 如果函数z=f(x,y)在(x0，y0)点偏导数存在，试问z=f(x，y)在(x0，y0)点一定连续吗? 分析 不一定二元函数的连续性与可导性(即一阶偏导数都存在)．两者没有必然联系.这与一元函数可导必连续是不同的为什么偏导数存在而函数可以不连续呢?这是因为f(x，y)在点m0(x0，y0)存在关于x的偏导数fx(x0，y0)，只能得到一元函数z=f(x，y0)在点x= x0处连续.同样，由fy(x0，y0)存在，只能得到一元函数z=f(x0，y)在点y=y0处连续事实上，偏导数fx(x0，y0)与fy(x0，y0)的存在，只反映了f(x，y)沿平行于x轴与平行于y轴两个特殊方向在m0(x0，y0)处的变化率，它们的存在只能保证点m(x，y)沿x轴与沿y轴方向趋于点m0时，函数值f(x，y)趋于f(x0，y0)，但这不能保证点m以任何方式趋于点m0时．函数值f(x，y)都趋于f(x0，y0).所以，函数f(x，y)在点(x0，y0)偏导数存在，不能保证f(x，y)在点f(x，y)一定

思考题7 二元函数f(x，y)在一点处极限存在、连续、偏导数存在可微以及偏导数连续等诸条件之间有何相

互关系? 分析 二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处，上述诸条件之间关系可以用箭头表示：

其中记号“a→b”，表示“a可以推出b”，两个条件之间没有箭头表示，则表示两条件间没有必然联系，上

式的箭头方向是不可逆的.二元函数与一元函数诸条件之间的相互关系有相似之处．但又有一些明显不同如一元函数f(x)在x0点有： 可微可导→连续→有极限.篇二：高数读书笔记

马燕妮 四川农业大学经济学院 高 等 数 学 读 书 笔 记

——定积分与不定积分经济学 中国成都 611130 【摘要】本文首先介绍了不定积分与定积分的基本定义，而后主要探究几种比较重要的积分法。定积分是微积分学中的主要概念之一，它是从各种各样的积累中抽象出来的数学概念，它是函数的一种特定结构和式的极限。不定积分又与定积分进行对比记忆，对不定积分的计算进行系统整理。

【关键字】定积分；不定积分；面积；凑微分法；分部积分法；换元积分法；有理函数不定积分 【abstract】

【key words】definite integral；indefinite integral；area；differentiation division integral method；integral method in

yuan；the indefinite integral rational function

一、不定积分与定积分的定义

（一）、定积分的定义：

设f是定义在[a,b]上的一个函数，对于[a,b]的一个分割t={ ?1,?2n}，任取点

i??i,i?1,2,?，n,并作和式?f(x)?xi称此和式为函数f在[a,b]上的一个积分和，也

i?1 n 称黎曼和。

设f是定义在[a,b]上的一个函数，j是一个确定的实数。若对任给的正数?，总存在某一正数?，使得对[a,b]的任何分割t，以及在其上任意选取的点集{ ?i}，只要||t||

f(x)?xi?j??,则成函数f在区间[a,b]上可积；数j称为f在[a,b]上的定积分

i?1 n 记作j= ? b a f(x)dx其中，f称为被积函数，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a,b分别

称为这个定积分的下限和上限。

（二）、不定积分的定义

函数f(x)在区间i的所有的原函数f ?x??c??c?r?称为函数f(x)的不定积分，dx?f(x)?cf(x)?f(x)（，c为积分常数）, 表为f(x)? 其中∫称为积分符号，x称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，c称为积分常数。

在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。列如：

1122at?atatdt?at?c；，而?2??2??

sinx?

cosx,而?cosxdx?sinx?c；

13?1322 ??x?xxdx?x?c.而?3??3?? d dx ??f(x)?是不相等的，即前者的结果是一个函数，而后

所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。

0dx?csinaxdx??cosax?c(a?0)??a ?dx?x?c x ?x ? dx?

x ??1 ??1 ?c(1,x?0)1 ?x?lnx?c ?edx?e?csc，这也就是说：

和?f(x)dx者是无穷多个函数，二、基本积分

2 ?c ?adx?lna?c(a?0,a?1)x x ?secx?tanx?secx?c

dx??cotx?c ?cosaxdx? dx?x 2 sinax ?c(a?0)x

2sec?xdx?tanx?c ?cscx?cotxdx??cscx?c? ?arcsinx?c??arccosx?c

dx ?1?x2?arctanx?c??arccotx?c 积分的性质

质

1积，k为常数，则kf在[a,b]上也可积，且

b b a kf(x)dx?k?f(x)dx a 2[a,b]z上可积，则f±在[a,b]上也可积，且 ? b a [f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx a

三、定积分与不定

（一）、定积分的性若f在[a,b]上可若f、g都在 a bb 3若f、g都在[a,b]上可积，则f*g在[a,b]上也可积.4 f在[a,b]上可积的充要条件是：任给c∈（a,b）,f在[a,c]与[c,b]上都可积。此时又有等式 ? b a

f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx a c cb 5.的可积函数.若f(x)≥0,x∈[a,b],则

b a f(x)dx?0.上的两个可积函数，且f(x)≤g(x),x∈[a,b],则有

b a f(x)dx??g(x)dx a b 6.可积，则|f|在[a,b]上也可积，且

b a f(x)dx??f(x)a b

续，则至少存在一点??[a,b],使得

b a f(x)dx?f(?)(b?a).设f为[a,b]上若f与g为[a,b]若f在[a,b]上积分中值定理： 若f在[a,b]上连（推广的积分第一中值定理）若f与g都在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点??[a,b],使得

（二）、不定积分的性质

1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数发f（x）及

g（x）的原函数存在，则

2、求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：设函数f（x）的原函数存在，k非零常数，三、定积分与不等积分的计算方法 1.分项积分法

则 ? b a f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx a b 我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：f(x)?k(x)+k)1g12g2(x ? b a f(x)dx，若右端的积分会求，则应用法则?f(x)dx?k1?g1(x)dx+k2?g2(x)dx,其

a a a bbb 中k1，k2是不全为零的任意常数，就可求出积分，这就是分项积分法.? 例1计算定积分 4 12 1.x4(1?x2)解 利用加减一项进行拆项得

= 412 2222 1(1?x)?x1(1?x)?x =144dx=144?142 4222

x(1?x)x(1?x)xx(1?x)222? ?? 111144 ??+=dx12x2121?x2 3x3x4 ?

412 412 1+x ?412 +arctanx ?412.=? 64415??arctan?.3 3??23 2.分段积分法

分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.

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多篇读书笔记(读书笔记)

多篇读书笔记(读书笔记)

1 / 9 __来源网络整理，仅作为学习参考 多篇读书笔记(读书笔记)

读《教学勇气漫步教师心灵》有感

帕尔默教授的《教学勇气漫步教师心灵》一书，带领着我，逐渐回顾自己的教学生涯，拨开迷雾，认清自己的内心。读《教学勇气——漫步教师心灵》，是一次激动人心的、深刻的、探索教学本质的精神之旅。这本书带着我漫步于教师的心灵之所，进行了一次心灵之旅。这本书，作者从关注教师心灵的角度来解读教师，解读教学，解读教育。读着书，就好象在读自己，真的触动了自己的内心。因为这么长时间来，自己的迷茫彷徨。而书中的内容正是把这种教师的内心提到了讨论的层面上来。这本书建立在一个普通的信念上：优秀教学不能降格为技术，优秀教学源自于教师的自我认同和完善。这时的我才意识到，以往自己过于注重教学的技术，而忽略了自我的认同和完善。

我认识到教师的个人魅力直接影响着学生。所以我试着在自己的每堂课上用自己的微笑用自己的快乐，用自己的真诚去感染学生，去带动2 / 9 __来源网络整理，仅作为学习参考 学生。这时我惊喜的发现在教师感染带动学生的同时学生也能反过来牵动着教师的心。这时你就会发现教学的勇气就在于有勇气保持心灵的开放，即使力不从心仍然能够坚持，那样，教师、学生和学科才能被编织到学习和生活所需要的共同体结构中。在以前的教学中我们总是有着这样或那样的困惑，就比如我自己觉得自己倾尽心血的努力和付出，可是学生的成绩依然毫无进步，所以这时我对自己没有了信心，我迷茫，我困惑彷徨。直到我看到书中这样一句话“也许课堂既不应以教师为中心，也不应以学生为中心，而应以主体为中心”。一直以来在我的观念中课堂都是“以学生为中心”所以在自己的课堂中也尽量做到这样，可是我发现在以学生为中心的环境中有时就会出现像书中所说的：产生不经思考的相对主义倾向：“你有你的真理，我有我的真理，我们不必考虑它们之间的差异。”当学生被放在中心位置时，教师可能会放弃太多的领导权；当什么都以学生为标准，就很难再去正视个人或团体的无知和偏见了。所以帕尔默提出应该以“第三事物”成为课堂的主体，在课堂上，教师与学生共同专注这一“伟大事物”，构建3 / 9 __来源网络整理，仅作为学习参考 复杂互动的真正学习“共同体”。在“共同体”中，没有单方面的教学者，也没有单方面的接受者，更没有单方面的成长者，它们相互影响着。所以在以主体为中心的课堂上，学生不会被忽略。当然这里很多教学理论我都会在我以后的教学过程中慢慢去实践去完善。现在的我开始对自己进行反思，我想我有勇气面对自己的问题，我就有勇

大一高数知识点笔记

大一高数知识点笔记

大一高数知识点笔记

高等数学是大学课程中的重要基础学科，对于大一的同学来说，掌握好高数的知识点是至关重要的。以下是我对大一高数部分重要知识点的笔记整理。

一、函数与极限

1、 函数的概念

函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。简单来说，对于定义域中的每一个值，都有唯一确定的值与之对应。函数的表示方法有解析式法、图像法和列表法。

2、 函数的性质

（1）单调性：函数在某个区间上，如果随着自变量的增加，函数值也增加，就是单调递增；反之则是单调递减。

（2）奇偶性：如果对于函数定义域内的任意一个 x，都有 f(x) ＝

f(x)，则称函数为偶函数；如果 f(x) ＝ f(x)，则称函数为奇函数。

（3）周期性：如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋ T) ＝ f(x)都成立，那么就把函数 y ＝ f(x)叫做周期函数，周期为 T。

3、 极限的概念 极限是指函数在某个变化过程中无限趋近于某个值。比如，当 x 趋近于某个值 a 时，函数 f(x)趋近于一个确定的常数 L，就说函数 f(x)在

x 趋近于 a 时的极限是 L。

4、 极限的计算

（1）利用极限的四则运算法则：如果 lim f(x) 和 lim g(x) 都存在，那么 lim f(x) ± g(x) ＝ lim f(x) ± lim g(x)；lim f(x) × g(x) ＝ lim f(x) × lim

g(x)；lim f(x) ／ g(x) ＝ lim f(x) ／ lim g(x) （lim g(x) ≠ 0）。

（2）两个重要极限：lim （sin x ／ x) ＝ 1 （x → 0）；lim （1 ＋

1/x)＾x ＝ e （x → ∞）

5、 无穷小与无穷大

（1）无穷小：以零为极限的变量称为无穷小。

（2）无穷大：在自变量的某个变化过程中，绝对值无限增大的变量称为无穷大。

有效数学读书笔记

有效数学读书笔记

1 《有效教学论》读书笔记(2013.12.4)

这段时间晚上有空里，我利用了几天时间，读了高慎英、刘良华的《有效教学论》，结合课堂教学实践和本人多年来的教学实践，对有效教学进行思考。

“有效教学”有三个基本要素：有效果，有效率，有效益。综合起来讲，有效教学是指教师以尽可能少的时间、精力和物力投入，取得尽可能多的教学效果，实现教学目标，满足社会和个人的教育价值需求。

如何实现有效教学呢？

书中谈到首先要有效备课 。备课中讲到三种计划的制定，作为一名教师应该有这种能力。具体到日计划的制定，也提出要考虑三个要素（1）学习者，包括了解学生个别差异及学生需要（2）学科内容及其结构，在这里指出教师的责任，尽管教科书中规定了教学内容，但是教师还根据学生实际水平和情绪状态对教材再度开发。还提出了教师如何利用教材？即要“用教材’而不是“教教材”（3）教学目标和教学方法，文中指出教学目标关键在于教师提出的目标既不至于太抽象而令学生无动于衷，又不至于太具体琐碎而令学生不得要领。具体教学目标应该以激励学生热情的学习为标准；教学方法要为教学目标服务，要考虑教学方法、组织形式及课堂管理因素组合，很轻松地指出教师是一个“象受欢迎的男女演员”一样的复合型的天才。

其次，有效指导 。主要讲了“有效讲授”与“有效提问与倾听”。在有效讲授的论述中教了我们三种技巧，感觉很亲切，很实用。象一位长者在循循教导，我浏览了刘教授的博客，其中对加入的条件有几条要求很耐人寻味。这样写：接受我的新生活建议，1、让读书成为生活习惯 2、把体育锻炼当成头等大事 3、为有困难的人提供帮助 4、不破坏、不挥霍自然资源 5、宽容他人的生活习惯，尊重文化多样性 6、保护动物，尊重生物多样性。感觉刘教授更加有血有肉，读起文章来更感觉亲切，似乎再听报告一样的感受，仿佛看到教 2 授写书是的情景。文中关于“保持节奏”的策略也讲的很细致。如教学节奏与任务的难度或复杂程度相适应；教学环节的过度及不同 主题间的过度要重视，要保证过度数量不多，尽可能有条理，简洁等。

关于数学的读书笔记

关于数学的读书笔记

精品文档

2016

1 / 3 关于数学的读书笔记

第一，数学教师的语言要准。

教师的语言要科学、准确。这样的语言才会具有感染力和吸引力。例如，“平年2月只有28天，闰年2月有29天”这句话如果说成“平年2月有28天，闰年2月有29天”就不科学了。还有诸如“26这个数字”这样的话也不科学，因为在阿拉伯数字中只有09这10个数字，26是一个数而不是一个数字。数学是一门科学性很强的学科，这就要求教师的语言不能犯科学性的错误。

第二，数学教师的语言要精。

能用一句话说的，就不用两句话去说。必要时，当学生有积极主动地学习行为和发言欲望时，你甚至可以不说话，要学会“不为”，先做一个旁观者，在旁边观察，伺机引导。“此时无声胜有声”，教育过程中应该多留给学生一些宁静与沉思的时间。一个好老师，不应该是一种无所不知，无所不能，口若悬河，锋芒毕露的形象，而应该是一个懂得适当地“藏巧”，会激发学生潜能的智者，应该学会等待。教育是一门艺术，在适当的时候教师可以表现得低调一点，弱势一点，因为这样做可以为学生提供更多的自我展示的机会，提供更多的独立思考的机会，提供更多的涵泳的时间。

第三，数学教师的语言要传情。

教师的语言应该象催化剂一样，深入学生的性格特征和精品文档

2016

2 / 3 情感、知识基础之中，与其汇合，发生反应，从而启发学生的心智，振奋学生的神经，促其深入思考，这样的语言对学生才有吸引力，才能开启学生思维。

由于学生认知水平的差异，学生在课堂上的表现不尽相同。当学生的回答有失偏颇的时候，以往大多数老师便以“错了，请坐!”“不对!谁再来?”这些单一的语言来否定学生的回答，并期盼其他学生的正确回答。而现在在新课程理念的指导下，老师们善于运用自己巧妙、机智的语言来纠正、鼓励学生的回答，注意情绪导向，做到引而不发。