高等数学学习笔记
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（注意：符号、定义域、取指范围）
函数与极限
集合（集）、元素（元）、
有限集、无限集、、
N、N+、N*、Z、Q、R
子集、相等、真子集、空集、Ø、、、A=B、、
交集（交）、并集（并）、差集（差）、全集、基本集、补集、余集
、、A-B、A\B、、
集合的交、并、补运算定律：交换律、结合律、分配律、对偶律
推出（蕴含）、、等价、
直积、笛卡尔乘积、A×B
开区间、(a,b)、闭区间、[a,b]、端点、半开区间、[a,b)、(a,b]、有限区间、无限区间
邻域、U(a)、δ邻域、U(a,δ)、去心δ邻域、左δ邻域、右δ邻域
内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、连通集、区域（开区域）、闭区域、有界集、无界集 映射、、、像、原像、定义域、、值域、、满射、单射、一一映射（双射）、算子、泛函、变换、函数、逆映射、
函数、自变量、因变量、定义域、值域、自然定义域、多值函数、上界、下界、有界、无界、单调增加、单调减少、单调函数、偶函数、奇函数、周期函数、周期、最小正周期、反函数、复合函数、中间变量
多元函数、、自然定义域、
基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）、初等函数
反双曲函数
双曲正弦
双曲余弦
双曲正切
反双曲正弦
反双曲余弦
反双曲正切
数列、极限、一般项、收敛、发散、子数列（子列）、、、
函数的极限、、
无穷大、无穷小、铅直渐近线
夹逼定理、单调数列、柯西存在准则（柯西审敛原理）
两个重要极限：、
（β是关于α的）高阶无穷小：、
低阶无穷小：
同价无穷小：
k阶无穷小：
等价无穷小：、α～β
函数的连续性、增量、、左连续、右连续、一致连续
不连续点（间断点）、无穷间断点、振荡间断点、可去间断点、跳跃间断点、第一类间断点（间断点处的左右极限都存在）、第二类间断点
常用等价无穷小
导数与微分
导数、左导数、右导数、对数求导法、偏导数、、、偏增量、偏微分、全增量、全微分、全导数
微分、费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理（微分中值定理）、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式、拉格朗日型余项、皮亚诺（Peano）型余项、麦克劳林公式、利用展开式求极限
驻点（稳定点、临界点）、凹、凸、拐点、极大值、极小值、极值点。 曲率、弧、曲率圆、曲率中心、曲率半径
向量值函数、导向量、方向导数、梯度、等值线、等值面
多元函数的极值、二元函数极值的求法、条件极值、拉格朗日数乘法
弧微分
平均曲率
曲率
()
曲率半径
空间曲线在即点处的切线和法平面：
空间曲面在点处的切平面和法线：
方向导数（同多元函数）
梯度 泰勒公式
在(a,b]和[b,c)上单调增加或减小，则在(a,c)上单调增加或减小。
凹凸区间包括拐点。
拐点可能包括二阶导数不存在的点，如函数在某点的图像与y轴垂直时。
隐函数的导数：，也可以用等式两边同时对x求导来做。多元隐函数的偏导数：，这样做比较简便。
费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理（微分中值定理）、柯西中值定理、积分中值定理的应用
积分
积分中值定理、重积分中值定理 直角坐标面积元素：
直角坐标体积元素：
极坐标面积元素：
柱面坐标体积元素：
球面坐标体积元素：
牛顿-莱布尼兹公式、反常积分、瑕点、瑕积分
区域的正向边界、奇点、曲面的双侧性质
格林公式
高斯公式
平面曲线积分与路径无关的条件：，同时是某函数的全微分。
二重积分的换元法
令,得到，，则
质心：， 转动惯量：
两类曲线积分之间的联系：
两类曲面积分之间的联系：
原函数不是初等函数的积分：
、、、
定积分一定要先看函数奇偶性和积分上下限
求图形面积时注意画图确定积分上下限（特别是极坐标时，不一定是0-2π）
对弧长的曲线积分
向量代数和空间解析几何
向量、矢量、自由向量、模、单位向量、零向量 、、、、0、、
向量的计算、三角形法则、平行四边形法则、负向量、向量的线性运算、空间直角坐标系、卦限(I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII)、向径、方向角、方向余弦(0～π)、投影、、、数量积（做功）、向量积（力矩、面积）、混合积（体积）
曲面的方程、旋转曲面、母线、轴、柱面、准线、母线、截痕法
一次曲面:平面
二次曲面（9种）：
椭圆锥面
椭圆球面 单叶双曲面
双叶双曲面
椭圆抛物面
双曲抛物面
椭圆柱面
双曲柱面
抛物柱面
空间曲线（一般方程、参数方程）、螺旋曲线、螺距
平面方程、平面的法向量、截距、两平面的夹角
平面的一般方程
平面的点法式方程
平面的截距式方程
点到平面的距离公式：（可根据法向量推出）
空间直线、方向向量、方向数、两直线的夹角（锐角）（可根据两方向向量的夹角推出）、直线与平面的夹角（锐角）（可根据直线方向向量和平面法向量的夹角推出）、平面束、
空间直线的一般方程
空间直线的对称式方程（点向式方程）
空间直线的参数方程
平面束
直角坐标系中点到直线的距离公式：
空间直角坐标系中点到平面的距离：
求空间坐标系中到坐标面投影的方程时注意是一个曲线方程，要带上如。
两平面法向量的差乘即为两平面交线的方向向量。
求点到直线的距离：过该点作以直线方向为法向量的平面，即交点与该点之间的距离。
微分方程
可分离变量的微分方程
齐次方程
可化为其次的方程
非齐次一阶线性方程
伯努利方程
可降阶的高阶线性方程
常系数齐次线性方程
① 写出特征方程
② 解出特征方程的所有根
③ 根据根的情况写出微分方程的通解：
特征方程的根 微分方程通解中的对应项
单实根r 给出1项：
k重实根r 给出k项：
一对单复根给出2项：
一对k重复根 给出2k项：
常系数非齐次线性方程
1、 型
①
写出对应的齐次线性方程，解出通解。
② 设原方程的一个特解为，其中k按照不是特征方程的根、单根、k重根，依次取0，1，k。
③
用待定系数法解出。
2、
型
① 写出对应的齐次线性方程，解出通解。
② 设原方程的一个特解为，其中，k按照不是特征方程的根、单根、k重根，依次取0，1，k。 ③ 用待定系数法解出。
无穷级数
（常数项）（无穷）级数
（函数项）（无穷）级数
一般项、部分和、和、收敛、发散、余项、误差
收敛点、收敛半径、收敛区间、收敛域、发散点、发散域、和函数
等比级数（几何级数）、公比
调和级数、正项级数、p级数、交错级数
幂级数、幂系数
柯西审敛原理
比较审敛法（两种形式）
比值审敛法（达朗贝尔判别法）
根值审敛法（柯西判别法）
极限审敛法
莱布尼兹定理
绝对收敛、条件收敛
阿贝尔定理
幂级数收敛半径的求法
幂级数和函数的求法
2009数学610
常用幂级数展开式：
（，在中令可得）
（对两边积分可得）
（对两边求导可得）
函数展开成幂级数
三角函数相关
和角公式
和差化积公式
积化和差公式
倍角公式
半角公式
万能公式
三角形定理
上课p81，例3（用定义求sin x的导数）
上课p198-199
下课p154，1.(4)
下课p255，3.(3)、5.(3)
课p268，2.(4)
技巧
上课p148例6 ………… 利用导数证明不等式的
上课p153.10 ………… 利用二阶导数证明不等式
上课p254.3 ………… 一种证明反三角函数等式的方法 上课p269.3 ………… 利用积分的定义计算极限
下课p15.例1、p22.8、p22.12 ………… 向量法证明
其它
对数公式：
（换底公式）
折射定律：
重力加速度：
