江苏省淮安市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题(精编含解析)

江苏省淮安市2016—2017学年度第一学期

高一数学试题

填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.15cos15sin2的值为_____________

【答案】12

【解析】

由二倍角公式可得：12sin15cos15sin302

2.一组数据1,3,2,5,4的方差是____________

【答案】2

【解析】

所给数据的平均数：1234535x ，

方差为：22222132333435325 .

3.若0,1x，则1xx的最大值是___________

【答案】14

【解析】

二次函数开口向下，对称轴12x 在所给区间内，则函数的最大值为1111224 .

点睛：二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，不要忽略了函数的定义域．

4.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 ．

【答案】9

【解析】

:试题分析：由题意可得，a是在不断变大的，b是在不断变小，当程序运行两次时，a=9,b=5，a>b,跳出程序，输出a="9;"

考点：算法的流程图的计算

5.两根相距m6的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是__________．

【答案】13

【解析】

在距绳子两段两米处分别取A，B两点，当绳子在线段AB上时（不含端点），符合要求，所以灯与两端距离都大于2m的概率为6221=63P，故填13．

6.已知实数,xy满足50,{220,0,xyxyy则目标函数zxy的最小值为 ．

【答案】3

【解析】

试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由zxy，得yxz表示斜率为1，纵截距为z的一组平行直线，平移直线yxz，当直线经过点A时，此时直线yxz截距最大，z最小，由

50{220xyxy，得1{4xy，此时最小值min143z.

考点：简单的线性规划.

7.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为,,abc，若4:3:2::cba，则cosC=_________.

【答案】14

【解析】

不妨设2,3,40ambmcmm ，

由余弦定理可得：2222222341cos22234mmmabcCabmm .

8.若1tan2,tan3，则tan的值是___________.

【答案】7

【解析】

由题意可得：

tantantantan71tantan .

9.已知na是等差数列，nS是其前n项和，若75230aa，则17S值是_____________.

【答案】51

【解析】

由题意可得：7511123264383aaadadad ，

故：191830,83adaad ，

结合等差数列的性质：117917921717175122aaaSa .

10.已知ABC中，3AB，1BC，30A，则AC= ．

【答案】1或2

【解析】

试题分析：由余弦定理得2222cos30BCACABACAB，即2313232ACAC，解得1AC或2AC．

考点：余弦定理．

11.已知数列na中，112,2,nnaaanS是其前n项和，若254nS，则___________.

【答案】7

【解析】

由12nnaa 可得数列na 是首项为2，公比为2的等比数列，

其前n项和：21225412nnS ，解得：7n .

12.已知na是等差数列，11a，公差0d，nS是其前n项和，若125,,aaa成等比数列，则10S____________.

【答案】100

【解析】

若a1，a2，a5成等比数列，

则a1a5=(a2)2，

即a1(a1+4d)=(a1+d)2，

则1+4d=(1+d)2，

即2d=d2，

解得d=2或d=0(舍去)，

则10109101210901002S ，

故答案为：100.

13.在锐角ABC中，sinsinsinABC，则tan2tanBC的最小值是_________.

【答案】223

【解析】

由题意可得：sincossincossinsinBCCBBC ，

则：tantantantanBCBC ，解得：tantantan1CBC ，

据此可得：tan1tan2tan2tan2tan13322tan1tan1CBCCCCC ，

当且仅当12tan1tan1CC 时等号成立.

综上可得tan2tanBC的最小值是322 .

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

14.已知ABC中，内角A,B,C的对边分别为,,abc，若,,abc成等比数列，则22abab的取值范围为__________.

【答案】[2,5)

【解析】

不妨设2,1baxcaxx (01x 时结论相同)，

由三角形的性质有：abc ，即21axax ，解得：1512x ，

据此：221abxabx ，利用对勾函数的性质结合函数的定义域可得：222,5abab .

点睛：求函数的值域的方法：①当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；

②若与二次函数有关，可用配方法；③当函数的图象易画出时，可以借助于图象求解．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

15.已知3sin,,.52

（1）求sin3的值；

（2）求cos24的值.

【答案】（1）34310 （2）17250

【解析】

试题分析：

(1)利用题意首先求得4cos5a=- ，然后由两角和差正余弦即可求得sin3的值为34310；

(2)结合(1)的结论首先求得247sin2,cos22525，然后结合两角和差正余弦可得cos24的值为17250 .

试题解析：

（1）因为， 所以.

所以

.

(2) 因

，

所以.

. .

16.已知等差数列na中，其前n项和为25,4,30.nSaS

（1）求na的首项1a和公差d的值；

（2）设数列nb满足1nnbS，求数列nb的前项和nT.

【答案】（1）12,2ad （2）1nn

【解析】

试题分析：

(1)由题意得到关于首项、公差的方程组，求解方程组可得12,2ad；

(2)首先求得na 的前n项和，然后裂项求和可得数列nb的前项和nT为1nn .

试题解析：

（1）因为是等差数列，,

所以

解得 .

（2）由（1）知

即 .

所以 .

于是数列的前n项和

.

点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

17.某学校为了解学校食堂服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生.根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为40,50,50,60,,90,100.

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）从评分在40,60的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在40,50上的概率；

（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿.

【答案】（1）0.006（2）35 （3）76.2,不需要内部整顿.

【解析】

试题分析：

(1)由频率分布直方图小长方形面积之和为1可得关于实数a的方程，解方程可得0.006a ；

(2)利用题意列出所有可能的结果，由古典概型公式可得此人中恰好有1人评分在40,50上的概率为35

(3)求解平均值76.275x 可知食堂不需要内部整顿.

试题解析：

（1）由 ,

得 .

（2）设被抽取的2人中恰好有一人评分在40,50上为事件A.

因为样本中评分在40,50的师生人数为：，记为1,2号

样本中评分在50,60的师生人数为：，记为3,4,5号

所以从5人中任意取2人共有（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10种等可能情况；2人中恰有1人评分在40,50上有（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5）共6种等可能情况.

得 .