2009年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析(最新整理)
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2009年湖北省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2009•湖北）已知P={|=（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q={|=（1，1）+n（﹣1，
1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q=（ ）
A．{（1，1）}B．{（﹣1，1）}C．{（1，0）}D．{（0，1）}
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】先根据向量的线性运算化简集合P，Q，求集合的交集就是寻找这两个集合的公共
元素，通过列方程组解得．
【解答】解：由已知可求得P={（1，m）}，Q={（1﹣n，1+n）}，
再由交集的含义，有
⇒，
所以选A．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）（2009•湖北）设a为非零实数，函数
y=（x∈R，且x≠
﹣）的反函数是（ ）
A．
y=（x∈R，且x≠
﹣）B．
y=（x∈R，且x
≠）
C．
y=（x∈R，且x≠1）D．
y=（x∈R，且x≠﹣1）
【考点】反函数．
【专题】计算题．
【分析】从条件中函数
y=（x∈R，且x≠
﹣）中反解出x，再将x，y互换即得原函数
的反函数，再依据函数的定义域求得反函数的定义域即可．
【解答】解：由函数
y=（x∈R，且x≠
﹣）得：
x=，
∴函数
y=（x∈R，且x≠
﹣）的反函数是：
y=（x∈R，且x≠﹣1）．
故选D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）
交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的
方法求反函数的定义域）．
3．（5分）（2009•湖北）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）
（n﹣mi）为实数的概率为（ ）
A
．B
．C
．D
．
【考点】复数的基本概念；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题．
【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，虚部为0，求出m、n
的关系，求出满足关系的基本事件的个数，求出概率即可．
【解答】解：因为（m+ni）（n﹣mi）=2mn+（n2﹣m2）i为实数所以n2=m2故m=n则可以取1、2、3、4、
5、6，共6种可能，
所以，
故选C．
【点评】本题考查复数的基本概念，古典概型及其概率计算公式，考查分析问题解决问题的
能力，是基础题．
4．（5分）（2009•湖北）函数y=cos（
2x+）﹣2的图象F按向量平移到F′，F′的函数解
析式为y=f（x），当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于（ ）
A
．（，﹣2）B
．（，2）C
．（，﹣2）D
．（，2）
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的奇偶性．
【专题】计算题．
【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数y=cos（
2x+）﹣2到y=﹣sin2x的路线，进
而确定向量．
【解答】解：：∵y=cos（
2x+）﹣2∴将函数y=cos（
2x+）﹣2
向左平移个单位，再向上
平移2个单位可得到y=cos（
2x+）=﹣sin2x
∴=
（，2）
故选B．
【点评】本题是基础题，考查三角函数图象平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下
减．注意向量的平移的方向．
5．（5分）（2009•湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到
一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（ ）
A．18B．24C．30D．36
【考点】排列、组合的实际应用．
【专题】计算题．
【分析】由题意知本题可以先做出所有情况再减去不合题意的结果，用间接法解四名学生中
有两名学生分在一个班的种数是C
42，顺序有A
33种，而甲乙被分在同一个班的有A
33种，
两个相减得到结果．
【解答】解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班
用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C
42，
元素还有一个排列，有A
33种，
而甲乙被分在同一个班的有A
33种，
∴满足条件的种数是C
42A
33﹣A
33=30
故选C．
【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，
这种题目是排列组合中经常出现的一个问题．
6．（5分）（2009•
湖北）设+a
2nx2n，则[（a
0+a
2+a
4+…+a
2n）2﹣（a
1+a
3+a
5+…+a
2n﹣1）2]=（ ）
A．﹣1B．0C．1D
．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】本题因为求极限的数为二项式展开式的奇数项的系数和的平方与偶数项的系数和的
平方的差，故可以把x赋值为1代入二项展开式中，求出A=a
0+a
1+a
2+a
3+…a
2n﹣1+a
2n=
，再令x=﹣1，可得到B=a
0﹣a
1+a
2﹣a
3+a
4﹣a
5+…﹣a
2n﹣1+a
2n
=，而求极
限的数由平方差公式可以知道就是式子A与B的乘积，代入后由平方差公式即可化简为求
得答案．
【解答】解：令x=1和x=﹣1分别代入二项式
+a
2nx2n中得
a
0+a
1+a
2+a
3+…a
2n﹣1+a
2n
=，a
0﹣a
1+a
2﹣a
3+a
4﹣a
5+…﹣a
2n﹣1+a
2n
=由平方
差公式得（a
0+a
2+a
4+…+a
2n）2﹣（a
1+a
3+a
5+…+a
2n﹣1）2=（a
0+a
1+a
2+a
3+…a
2n﹣1+a
2n）
（a
0﹣a
1+a
2﹣a
3+a
4﹣a
5+…﹣a
2n﹣1+a
2n）
═
=
=所以[（a
0+a
2+a
4+…+a
2n）2﹣（a
1+a
3+a
5+…+a
2n﹣1）2]
==0
故选择B
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，主要是二项式系数和差的考查，并兼顾考
查了学生的计算能力与划归能力以及求极限问题．
7．（5分）（2009•
湖北）已知双曲线
的准线过椭圆的焦点，则直线
y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是（ ）
A．K∈[
﹣
，]B．K∈[﹣∞，
﹣]∪
[，+∞]
C．K∈[
﹣
，]D．K∈[﹣∞，
﹣]∪
[，+∞]
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用；双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】先求得准线方程，可推知a和b的关系，进而根据c2=a2﹣b2求得b，椭圆的方程可得，
与直线y=kx+2联立消去y，根据判别式小于等于0求得k的范围．
【解答】
解：根据题意，双曲线中，c2=2+2=4，则c=2，
易得准线方程是x=
±=±1
所以c2=a2﹣b2=4﹣b2=1即b2=3
所以方程是
联立y=kx+2可得（3+4k2）x2+16kx+4=0
由△≤0解得k∈[
﹣
，]
故选A
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是先根据椭圆的性质求出
椭圆的方程．
8．（5分）（2009•湖北）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡
镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该
厂所花的最少运输费用为（ ）
A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】计算题；压轴题；数形结合．
【分析】根据题中的叙述将实际问题转化为不等式中的线性规划问题，利用线性规划确定最
值
【解答】解：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，
得线性约束条件
求线性目标函数z=400x+300y的最小值．
解得当时，z
min=2200．
故选B．
【点评】在确定取得最大值、最小值时，应注意实际问题的意义，整数最优解．
9．（5分）（2009•湖北）设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增
长，则球的表面积的增长速度与球半径．
A．成正比，比例系数为CB．成正比，比例系数为2C
C．成反比，比例系数为CD．成反比，比例系数为2C
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；应用题；压轴题．
【分析】
求出球的体积的表达式，然后球的导数，推出，利
用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球半径的比例关系．
【解答】解：
由题意可知球的体积为，则c=V′（t）=4πR2（t）R′（t），
由此可得，
而球的表面积为S（t）=4πR2（t），
所以V
表=S′（t）=4πR2（t）=8πR（t）R′（t），
即 V
表=8πR（t）R′（t）=2×4πR（t）R′（t）
=
故选D
