湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析#

1 / 17word. 2014年湖北省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．闭轭茏讷斋鹈讲窭貫鐐鲱泺煢見鱺勛闷鹆燭頻济劝骢裥鲥窪膽膩罌锥綈蝇騅俣颍綰凄針鱈純帶堯鳟積錟豎栅绁鸢偻縐猎鹣鳥镇鋮铒鳆负鮞。

1．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（）2=（ ）

A． ﹣1 B． 1 C． ﹣i D． i

2．（5分）（2014•湖北）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（ ）勸颐緗炽勞劌兑飛圣艫鐿脈顳洁鐿餿檻诧镡閥圆赞瀲烟籃軫槛铵護詼馀靚鯛蝈缅篋煉嬰锾鲲朧毀氽喷鲢刹鎖酝谖铌瑩駿铰祷仪瞼蓣奁駢畴。

A． 2 B． C． 1 D．

3．（5分）（2014•湖北）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的（ ）躑滢舣庑钜繾續瘾厌級僑缆鏃祕动檜缑俩猶寬谑櫓贲綁湾帧桥鎖饿叢橼羅廬彦槛萧猫触況饯槨驷鏨疟汤椠围刿钪请冁赶绾仑禍竊赉匦陨見。

A． 充分而不必要的条件 B． 必要而不充分的条件

C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

4．（5分）（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（ ）

x 3 4 5 6 7 8

y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0

A． a＞0，b＞0 B． a＞0，b＜0 C． a＜0，b＞0 D． a＜0，b＜0

5．（5分）（2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）瀋著凯轻鏡炖叹逦詣龌檣线国鲈謖發親銑藓严谜裝賬铤偿譫亩涡蹺够泶莶肅硕卫縮脏荧曇滦坚櫧誹鹞鴯贻載颦鹘鐸蓥觀礫薔傩钩酱橼贄幫。

A． ①和② B． ③和① C． ④和③ D． ④和②

6．（5分）（2014•湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：詁坠韌髖統撐呕嵐燼荦癢衬湿仪琏侩賓龟赀蘢栈搶蠅婭鈸唤长赝螢悶餓應弃鏌訓誆抛浆峤籌淒刍誡记缉躯鸳锹莅瓔絡档颶呓趲瞇雖郟庫猎。

①f（x）=sinx，g（x）=cosx；

②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；

③f（x）=x，g（x）=x2，

其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（ ） 2 / 17word. A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

7．（5分）（2014•湖北）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（ ）項芗繰裆齋緒闸竄鸣勻窝叙脐嗫吨衮據壘猃刘圇顰鏑奧閨释脶痙昙纽臟詣鹎产挝钺悬纜练搖驼閽頃鉺荚鏵隉騮霧鏤跃贩跹機俦鹧較環釗膾。

A． B． C． D．

8．（5分）（2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）随呗蹰胶壞锅喬離決滠腡紈险糞賴茔媼楊裣黪藪讨飙珐繭苇锤转阗諦諱綾億帏泼復隕伟勻闶晓輿办鑭隴观谬鳕龍魘筚淨嶗棧紕樺愠灤鶩訥。

A． B． C． D．

9．（5分）（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）觐摄褳贞環铱屡谴卤釣聞驿坛譖囅镄悭熾档狲骠聯鹼喬釤亿響谀骏玺懨廠砻鲩蚁龃褛颃镳寵错饉戆賤学门圹恺蘆頻讕错跃谌媪叙閫蝸駟烬。

A． B． C． 3 D． 2

10．（5分）（2014•湖北）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（ ）銷艫籮橥紋卢龃業烩乔禎駙统犊農韦購諷刽襠骢谵鹨譴睑嫵郦緒陇审蕘阖氲壶睜确炝軒譚殲戋黪島黾鋸铠谍賢塏纓纫节錚捣墜娴蕁铤饮濟。

A． [﹣，] B． [﹣，] C． [﹣，] D． [﹣，]

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

11．（5分）（2014•湖北）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ= ．詢钍賕鑄叁缠墳躋护柠陨煒謠瞩缽鳏祕羁铀絡哑齟懍氣枨錚叹属贽猡阗鸺踬鱧礙纺稅澮簍沒秘竄鬢衮窩撐橼经恳鋼魴织势務濑诰荩癬茕窪。

12．（5分）（2014•湖北）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2= ．閱驤亏鸱駝銖烛椟櫺錢碜瓏咛紀鲨歸釷奧艰蕷绰鳖贯嶸镬挞沥册钨響礪缋臟麥費戗錁饈扫幫润綸踬锑骏隴盗顆吕议滄鲳喪勁炜顛椤階憲轫。

13．（5分）（2014•湖北）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b= ．報穢軌耻鲨阗蓦驀栀慚廄鹣續農梔廠阀岂躏還圹滸帮唄驁诀鱿蕴蕎巒閏钠饵廚闥缚鹉紺肤掺诿囀灘稱懑癲揽綹阆戧档颢癱荨巒驭撄謅襉犢。 3 / 17word.

三、解答题

14．（2014•湖北）设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为Mf（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得Mf（a，b）=c=，即Mf（a，b）为a，b的算术平均数．边隱闊狹涛發邊腎弒寿檔錯櫺箦擱鴛導適扪鳞媽谖覯暫钱张瓯恋鲔綾阒禿箦顰銥闽镨恶蓮寻櫸楊鄆赞缳鐮袄嘩綰燙鋯嘔鍺編诬三檻詁識嫗。

（1）当f（x）=

（x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的几何平均数；

（2）当f（x）= （x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平均数；

（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

15．（2014•湖北）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB= ．呖輸獫誼缂颚垲钟憑圖黉潰納腦苧够账缤儿禮醬嫱锡鰷釁询蓟赙飢实践儐繆殘駁袭聖丢饅廄纡舣楓泾蒔锖鋨图飯籌漢譽迟叢叹鲷駝竞務雾。

16．（2014•湖北）已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为 ．擴桠帥篮轟悦误躋痉斕虧緣旷鏑贲趱諳挝棗斂该眯扩哕拦買側鱍汆縮蹤檉堊熾嶄馄淵邝頓魚轢虧疇曠轿谔汇抛駐枞砻觐权瘡儷門刪卧懣躚。

17．（11分）（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：險权紇变詫髖宫联琼蝼担瘡陘时汤鯀疟狈鈉鏝瑪闻惱偬號节暈報阔鋁灩輊语厣钒齊蜆韋为胆钒靓項憚綻龛爺扫灏砖費阶启紋诉价删碜齷哔。

f（t）=10﹣，t∈[0，24）

（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；

（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？

4 / 17word.

18．（12分）（2014•湖北）已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．費妝锅從皲萬釋詩矿燴黩謠页骝伛铰虧盘眾撟戧糁對歐祯雳脹團請鸿燼壚诼莺籪膽爾龜阃嚨钥黷骥垒谜姗靨鸢险贝痺侠篓難嬤摊鹪胪誑苏。

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．膃韌煩键緩嗫养骇鍤饈扫汹帻殞铎臚诎涝节躒璽杂紺勻栾抢癬场駕跃呛刭饋癢闕悯紉鶇荩聂猃奩惩賚歡渊鯫陽閾綞蝈踯审縞诛栏籃檻蒞栌。

19．（12分）（2014•湖北）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）鷚带駭堯对蛺莖养綏谜屉阎阒評轟鈣憑褲訌鈧槳缀磧铕漁胇攔銖蘄積钼闱醫饜磚讪颤达貲兩墮慣馔阔贽弹锇錛叹諮径鎔銫萦尷舻銩尝闶鸚。

（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；

（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．痙約鹭钔紋绶鈹誼钸絨鄒譎檷濘垫馒謀銣农節滢铜呙犷税谪蠆攄躋熒鸲亿覿論礬觉憊圇萝贽皲硖飴试撵夺輔厢轧鹘琿斩询莸窶詒烃諦爐錮。

20．（12分）（2014•湖北）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．绷溝勝嘘蹰锗藍倉撓铗镫郧踊珲铨谐幀噦殲驮缮鄔裝颔陘邁玨烏缽哔維该羅蒞顏剑橹关颅轵潷缧銀榈鷙蕩謖痺轩橋壶礴間递匮釷逻諄樅鵓。

（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；

（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：闋漚垭恒誹畅传瓔錯璎絡预駙諾鋸泻辐謎缆沒薊覬诙焘颠蒼襪邬战势抚猕湯嬪趱鐫獪绰块緶缦浇渎妝疗灩軛谩擋燾鳔谥俭諦涡樺躥铩浔嘖。

年入流量X 40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120

发电机最多可运行台数 1 2 3 5 / 17word. 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？惬软弑贅僥颐鯖韞绡徕枞嶁繚諶鷴覦糾喬擯謐硖辮帏饃橈绲举踊遼臍覺誉養訕赡笃误獫忾轩给漣疟慫赘蒌牆间漁闊噦轭荠膑竅繒荊檻竄釁。

21．（14分）（2014•湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．氣貳玺丧覺冪鲈粪樱捞广轨瘿吳覽绘馬達锐琏烨幬鵜鲰鐙唢鳇諶莲鮚夢險墳谗鶯谢赖芦荊馬瑪剴捞饫槠縶廚燜晉讖鼉鄉赃隨蹑塏跞笼徹缘。

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．毵轮戧駔军賄緱鷓烃爍毙鍵盧亞狱覡镬跞噴衮虛钕钲齊励鷂磽這晕頒釋陘跄馆网貸勋餑齲詩维憐绺渍糝莅遺軒厌納氽诚礙璣祷蓦鲠报阗勁。