2010年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析

1 2010年湖北省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）（2010•湖北）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是（ ）

A．E B．F C．G D．H

【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．

【专题】计算题．

【分析】首先在图形上看出复数z的代数形式，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，在坐标系中看出对应的点．

【解答】解：观察图形可知z=3+i， ∴，

即对应点H（2，﹣1），

故选D．

【点评】本题考查复数的几何意义，考查根据复数的代数形式，在坐标系中找出对应的点，根据复平面上的点写出对应的复数的表示式，本题是一个基础题．

2．（5分）（2010•湖北）设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【考点】交集及其运算；子集与真子集．

【专题】数形结合．

【分析】由题意集合，B={（x，y）|y=3x}，画出A，B集合所表示的图象，看图象的交点，来判断A∩B的子集的个数．

【解答】解：∵集合， 2 ∴为椭圆和指数函数y=3x图象，

如图，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，

则A∩B的子集应为∅，{A1}，{A2}，{A1，A2}共四种，

故选A．

【点评】此题利用数形结合的思想来求解，主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道不错的题．

3．（5分）（2010•湖北）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（ ）

A．﹣ B． C．﹣ D．

【考点】正弦定理．

【分析】根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．

【解答】解：根据正弦定理可得，

， 解得，

又∵b＜a，

∴B＜A，故B为锐角， ∴，

故选D．

【点评】正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确定所求角的范围．

4．（5分）（2010•湖北）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（ ）

A． B． C． D． 3 【考点】相互独立事件的概率乘法公式．

【专题】计算题．

【分析】根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得P（A）、P（B），进而可得P（），由对立事件的概率计算，可得答案．

【解答】解：根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，

由古典概型的计算方法，可得P（A）=，P（B）=，

则P（）=（1﹣）（1﹣）=，

则“事件A，B中至少有一件发生”的概率为1﹣=；

故选C．

【点评】本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，注意分析题意，首先明确事件之间的相互关系（互斥、对立等）．

5．（5分）（2010•湖北）已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】向量的加法及其几何意义．

【分析】解题时应注意到，则M为△ABC的重心．

【解答】解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点， 则==， 所以有，故m=3，

故选：B．

【点评】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理．

6．（5分）（2010•湖北）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）

A．26，16，8， B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9

【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．

【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．

【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，

则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列， 4 故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．

故选B

【点评】本题主要考查系统抽样方法．

7．（5分）（2010•湖北）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设Sn为前n个圆的面积之和，则Sn=（ ）

A．2πr2 B．πr2 C．4πr2 D．6πr2

【考点】极限及其运算．

【专题】计算题．

【分析】依题意可知，图形中内切圆面积依次为：，由此可以求出则Sn的值．

【解答】解：依题意分析可知，

图形中内切圆半径分别为：r，r•cos30°，（r•cos30°）cos30°，（r•cos30°，cos30°）cos30°， 即， 则面积依次为：， 所以．

故选C．

【点评】本题考查函数的极限，解题时要认真审题，仔细计算，避免出错．

8．（5分）（2010•湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）

A．152 B．126 C．90 D．54

【考点】排列、组合的实际应用．

【专题】计算题． 5 【分析】根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；

②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；

1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；

2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；

由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，

故选B．

【点评】本题考查排列、组合的综合运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论．

9．（5分）（2010•湖北）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ）

A．[，] B．[，3] C．[﹣1，] D．[，3]

【考点】函数与方程的综合运用．

【专题】计算题；压轴题；数形结合．

【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．

【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），

即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图

依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，即解得或， 因为是下半圆故可知（舍），故

当直线过（0，3）时，解得b=3， 故，

故选D．

【点评】考查方程转化为标准形式的能力，及借助图形解决问题的能力．本题是线与圆的位置关系中求参数的一类常见题型．

6 10．（5分）（2010•湖北）记实数x1，x2，…xn中的最大数为max{x1，x2，…xn}，最小数为min{x1，x2，…xn}．已知△ABC的三边边长为a、b、c（a≤b≤c），定义它的倾斜度为t=max{，，}•min{，，}，x，则“t=1”是“△ABC为等边三角形”的（ ）

A．充分但不必要的条件 B．必要而不充分的条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】简易逻辑．

【分析】观察两条件的互推性即可求解．

【解答】解：若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则则t=1；

假设△ABC为等腰三角形，如a=2，b=2，c=3时， 则，

此时t=1仍成立，但△ABC不为等边三角形，所以“t=1”是“△ABC为等边三角形”的必要而不充分的条件．

故选B．

【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属中档题．

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11．（5分）（2010•湖北）在（x+）20的展开式中，系数为有理数的项共有

6 项．

【考点】二项式定理．

【专题】计算题．

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r+1项，系数为有理数，r必为4的倍数．

【解答】解：二项式展开式的通项公式为

要使系数为有理数，则r必为4的倍数，

所以r可为0，4，8，12，16，20共6种，

故系数为有理数的项共有6项．

故答案为6

【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．

12．（5分）（2010•湖北）已知z=2x﹣y，式中变量x，y满足约束条件，则z的最大值为 5 ．

【考点】简单线性规划．

【专题】常规题型；作图题． 7 【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x﹣y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x﹣y过可行域内的点A时，从而得到z=2x﹣y的最大值即可．

【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），

则对于目标函数y=2x﹣z，

当直线经过A（2，﹣1）时，

z取到最大值，Zmax=5．

故答案为：5．

【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．

13．（5分）（2010•湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 4

cm．

【考点】组合几何体的面积、体积问题．

【专题】计算题；综合题；压轴题．

【分析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．

【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．

故答案为：4

【点评】本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，是基础题．

14．（5分）（2010•湖北）某射手射击所得环数ξ的分布列如下，已知ξ的期望Eξ=8.9，则y的值为 0.4 ．

ξ 7 8 9 10

P x 0.1 0.3 y

【考点】离散型随机变量及其分布列．

【专题】压轴题．

【分析】根据分布列的概率之和是1，得到关于x和y之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于x和y的关系式，联立方程，解出要求的y的值．