2010年湖北省高考数学试卷(文科)答案与解析
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1 2010年湖北省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分)
1．(5分)(2010•湖北)设集合M={1,2，4，8},N=｛x|x是2的倍数｝，则M∩N=（ ）
A．｛2,4} B．｛1,2，4} C．｛2,4，8} D．{1，2，8｝
【考点】交集及其运算．
【分析】根据题意，用列举法表示集合N,进而由M，找两者的共同元素，可得答案．
【解答】解：根据题意，
N={x|x是2的倍数｝={…，﹣2,0，2，4，6，8，…｝,
故M∩N=｛2，4，8}，
故选C．
【点评】本题考查集合的交集运算,注意N是无限集,其列举法表示时需加省略号,这是易错点．
2．（5分）(2010•湖北）函数f(x）=的最小正周期为（ )
A． B．π C．2π D．4π
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】计算题．
【分析】直接利用正弦函数的周期公式T=，求出它的最小正周期即可．
【解答】解：函数f（x）=由T==|｜=4π，故D正确．
故选D．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，考查计算能力．
3．（5分)（2010•湖北）已知函数，则f[f（）］=（ )
A．4 B． C．﹣4 D．﹣
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．
【分析】将函数由内到外依次代入，即可求解
【解答】解：根据分段函数可得：
， 则,
故选B 2 【点评】求嵌套函数的函数值，要遵循由内到外去括号的原则，将对应的值依次代入，即可求解．
4．（5分）(2010•湖北)用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题，其中真命题的是（ ）
①若a∥b,b∥c,则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥y，b∥y，则a∥b；
④若a⊥y，b⊥y，则a∥b．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】证明题．
【分析】判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行(垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．
【解答】解：根据平行直线的传递性可知①正确；
在长方体模型中容易观察出②中a、c还可以平行或异面；
③中a、b还可以相交;
④是真命题，
故答案应选：C
【点评】在判断空间线面的关系，常常把他们放在空间几何体中来直观的分析，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．
5．(5分）（2010•湖北)函数的定义域为（ ）
A．（,1） B．（，∞) C．（1，+∞） D．(，1）∪（1,+∞）
【考点】函数的定义域及其求法;对数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题．
【分析】由log0.5（4x﹣3）＞0且4x﹣3＞0可解得，
【解答】解：由题意知log0.5(4x﹣3）＞0且4x﹣3＞0， 由此可解得，
故选A．
【点评】本题考查函数的定义域，解题时要注意公式的灵活运用．
6．（5分）（2010•湖北）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）
A．56 B．65 C． D．6×5×4×3×2
【考点】分步乘法计数原理．
【分析】6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，实际上是有6个人选择座位，且每人有5种选择方法，根据分步计数原理得到结果． 3 【解答】解：∵每位同学均有5种讲座可选择,
∴6位同学共有5×5×5×5×5×5=56种,
故选A
【点评】本题考查分步计数原理,解题的关键是看清题目的实质，分步乘法计数原理：首先确定分步标准,其次满足:必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成．
7．（5分）(2010•湖北）已知等比数列{an｝中，各项都是正数,且a1，，2a2成等差数列，则=（ )
A．1+ B．1﹣ C．3+2 D．3﹣2
【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2,进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q,代入中即可求得答案．
【解答】解：依题意可得2×（)=a1+2a2,
即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，
求得q=1±，
∵各项都是正数
∴q＞0，q=1+ ∴==3+2
故选C
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解．
8．(5分）(2010•湖北）已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立,则m=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】向量的加法及其几何意义．
【分析】解题时应注意到，则M为△ABC的重心．
【解答】解：由知,点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点， 则==, 4 所以有，故m=3，
故选：B．
【点评】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理．
9．(5分)(2010•湖北）若直线y=x+b与曲线有公共点,则b的取值范围是（ )
A．[,］ B．[，3］ C．[﹣1，］ D．［，3］
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】计算题；压轴题；数形结合．
【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为(x﹣2)2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3)，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．
【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3）,
即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图
依据数形结合,当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心(2，3）到直线y=x+b距离等于2，即解得或， 因为是下半圆故可知(舍），故
当直线过（0,3)时,解得b=3， 故，
故选D．
【点评】考查方程转化为标准形式的能力，及借助图形解决问题的能力．本题是线与圆的位置关系中求参数的一类常见题型．
10．（5分)（2010•湖北）记实数x1,x2,…xn中的最大数为max｛x1,x2，…xn}，最小数为min｛x1，x2，…xn}．已知△ABC的三边边长为a、b、c（a≤b≤c)，定义它的倾斜度为t=max｛，,｝•min｛，，｝，x，则“t=1”是“△ABC为等边三角形”的（ ）
A．充分但不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 5 【专题】简易逻辑．
【分析】观察两条件的互推性即可求解．
【解答】解：若△ABC为等边三角形时，即a=b=c,则则t=1；
假设△ABC为等腰三角形,如a=2,b=2，c=3时， 则，
此时t=1仍成立，但△ABC不为等边三角形，所以“t=1”是“△ABC为等边三角形"的必要而不充分的条件．
故选B．
【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属中档题．
二、填空题（共5小题,每小题5分,满分25分)
11．(5分）（2010•湖北）在（1﹣x2)10的展开中，x4的系数为
45 ．
【考点】二项式系数的性质．
【专题】计算题．
【分析】要得到x4的系数，则取2个1﹣x2中的（﹣x2）相乘,其余选1,根据二项式定理的通项公式即可求出x4的系数．
【解答】解：（1﹣x2）10展开式即是10个(1﹣x2）相乘，
要得到x4,则取2个1﹣x2中的（﹣x2）相乘，其余选1，
则系数为C102×(﹣x2)2=45x4，故系数为45．
故答案为45．
【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及二项式定理的通项公式的应用，属于基础题．
12．(5分)（2010•湖北）已知z=2x﹣y,式中变量x，y满足约束条件，则z的最大值为 5 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】常规题型;作图题．
【分析】先根据约束条件画出可行域,设z=2x﹣y,再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x﹣y过可行域内的点A时，从而得到z=2x﹣y的最大值即可．
【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），
则对于目标函数y=2x﹣z，
当直线经过A(2,﹣1）时，
z取到最大值，Zmax=5．
故答案为：5． 6
【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步:画出可行域、求出关键点、定出最优解．
13．（5分）(2010•湖北）一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9．则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为 0.9477 （用数字作答）．
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【专题】概率与统计．
【分析】由题意知,本题符合独立重复试验条件，分情况讨论：若共有3人被治愈，若共有4人被治愈，分别代入独立重复试验公式得到结果．最后求和． 【解答】解：由题意知本题分情况讨论:若共有3人被治愈，则P1=C43(0.9）3×（1﹣0。9）=0。2916；
若共有4人被治愈,则P2=（0。9)4=0。6561，
∴至少有3人被治愈概率P=P1+P2=0。9477．
故答案为：0.9477．
【点评】判断是否为独立重复试验的关键是每次试验事件A的概率不变，并且每次试验的结果同其他各次试验的结果无关，重复是指试验为一系列的试验,并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响．
14．(5分）(2010•湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 4
cm．
【考点】组合几何体的面积、体积问题．
【专题】计算题；综合题；压轴题．
【分析】设出球的半径,三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．
【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．
故答案为：4
【点评】本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力,是基础题．
