3.3.1两条直线的交点坐标教案

2 / 26

张喜林制

【教学目标】

1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，

2.当两条直线相交时，会求交点坐标.

3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.

【重点难点】

教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.

教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.

【教学过程】

导入新课

问题1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.

课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果

3 / 26

两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.

问题2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.

新知探究

提出问题

①已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断这两条直线的关系？

②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？

③解下列方程组(由学生完成)：

(ⅰ)022,0243yxyx; (ⅱ)2131,0362xyyx;

(ⅲ)2131,062xyyx.

如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？

④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交

4 / 26

点坐标.

讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空.

几何元素及关系 代数表示

点A A(a，b)

直线l l：Ax+By+C=0

点A在直线上

直线l1与l2的交点A

②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系.

设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,

如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组0,0222111CyBxACyBxA是否有唯一解.

(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2

5 / 26

相交;

(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l1与l2平行;

(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合.即

直线l1、l2联立得方程组.,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解转化、ll、ll、ll

(代数问题) (几何问题)

③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：

(ⅰ)23≠14;(ⅱ)21316312;(ⅲ)16312≠211.

一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有

方程组.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解llCCBBAAllCCBBAAllBBAACyBxACyBxA.

注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用.

(b)如果A1,A2,B1,B2,C1,C2中有等于零的情

6 / 26

况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.

④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.

(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.

(c)结论：方程表示经过这两条直线l1与l2的交点的直线的集合.

应用示例

例1 求下列两直线的交点坐标,l1：3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0.

解:解方程组,022,023yxyx得x=-2，y=2，所以l1与l2的交点坐标为M(-2，2).

变式训练

求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.

解:解方程组x-2y+2=0,

2x-y-2=0,

得x=2,

7 / 26

y=2,所以l1与l2的交点是(2,2).

设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.

点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式.

例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.

(1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0.

(2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0.

(3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.

活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.

解:(1)解方程组,01033,0yxyx得.35,35yx

所以l1与l2相交,交点是(35,35).

(2)解方程组)2(,0126)1(,043yxyx

①×2-②得9=0,矛盾,

方程组无解,所以两直线无公共点,l1∥l2.

(3)解方程组)2(,01086)1(,0543yxyx

8 / 26

①×2得6x+8y-10=0.

因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1与l2重合.

变式训练

判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.

(1)l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0.

(2)l1:(3-2)x+y=7,l2:x+(3+2)y-6=0.

(3)l1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5.

答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).

例3 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.

思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程.

解：(方法一)由方程组0,2yx0,3-3y-2x得.57,53yx

9 / 26

∵直线l和直线3x+y-1=0平行，

∴直线l的斜率k=-3.

∴根据点斜式有y-(57)=-3［x-(53)］，

即所求直线方程为15x+5y+16=0.

(方法二)∵直线l过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，

∴设直线l的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0，

即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0.

∵直线l与直线3x+y-1=0平行，

∴1321332.解得λ=211.

从而所求直线方程为15x+5y+16=0.

点评：考查熟练求解直线方程，注意应用直线系快速简洁解决问题。

变式训练

求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点，且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程

例4 求证：不论m取什么实数，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标.

思路解析：题目所给的直线方程的系数含有

10 / 26

字母m，给m任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m为参数的直线系方程.要证明这个直线系中的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点.

另一个思路是：由于方程对任意的m都成立，那么就以m为未知数，整理为关于m的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标.

解：解法一：对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0，令m=0，得x-3y-11=0；令m=1，得x+4y+10=0.解方程组0,104yx0,11-3y-x得两条直线的交点为(2，-3).将点(2，-3)代入已知直线方程左边，

得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.

这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，-3).

11 / 26

解法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.

由于m的取值的任意性，有0.113yx-0,1-y2x解得-3.y2,x

所以所给直线不论m取什么实数，均经过定点(2，-3)

点评 含参直线过定点问题的解题思路有二：一是曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点；二是分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为所求定点

变式训练 当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+2a+1=0经过的定点是（ ）

A.(2,3) B.(-2,3)

C.(1,21) D.(-2,0)

解析：直线方程可化为a(x+2)-x-y+1=0,由.3,201,02yxyxx得定点（-2，3）.

答案：B

课堂小结