3.3.1两条直线的交点坐标

3.3 直线的交点坐标与距离公式

3．3.1 两条直线的交点坐标

3．3.2 两点间的距离

[学习目标]

1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．

2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．

3．掌握两点间距离公式并会应用．

[知识链接]

直线的方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式，它们的表现形式分别为y－y0＝k(x－x0)、y＝kx＋b、y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1、xa＋yb＝1及Ax＋By＋C＝0.

[预习导引]

1．两条直线的交点

已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若两直线的方程联立，得方程组 A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0.若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则两条直线平行．若方程组有无穷多个解，则两条直线重合．

2．过定点的直线系方程

已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交于点P(x0，y0)，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过点P的直线系，不包括直线l2.

3．两点间的距离

平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式

|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.

4．两点间距离的特殊情况 (1)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2.

(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.

(3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.

要点一 两直线的交点问题

例1 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．

解 法一 由方程组 3x＋4y－2＝0，2x＋y＋2＝0，

解得 x＝－2，y＝2，即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．

∵直线过坐标原点，

∴其斜率k＝2－2＝－1.

数学必修二 第三章 直线与方程 青岛天龙中学高二数学备课组 数学必修二 第三章 直线与方程 青岛天龙中学高二数学备课组

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一、学习目标：

1．会求两直线的交点坐标，会判断两直线的位置关系。

二、学习重、难点

重点: 判断两直线是否相交，求交点坐标。难点: 两直线相交与二元一次方程的关系。

三、课前预习：1、阅读教材P102-104，注意仔细阅读，认真思考、不会的先绕过，做好记号。

,四、知识衔接：

1．直线方程有哪几种形式？

直线方程 形式 限制条件

2．平面内两条直线有什么位置关系？空间里呢？

五、（一）交点坐标：

问题1已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0如何求它们的交点坐标呢？

例1、求下列两条直线的交点坐标：l1：3x＋4y－2＝0 l2：2x＋y＋2＝0

例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:

l1：x－2y+2=0， l2：2x－y－2=0.

(二)利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系

【探究】jd

例3、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标： （1）l1：x－y＝0， l2：3x＋3y－10＝0

（2）l1：3x－y＋4＝0， l2：6x－2y＝0

（3） l1：3x＋4y－5＝0， l2：6x＋8y－10＝0

【当堂检测】

1、课本第104页，练习2

2、求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程

3、（补充）已知直线1l：06myx，直线2l：023)2(myxm，当m为何值时，1l与2l相交、平行、重合？

3．3 直线的交点坐标与距离公式

3.3.1 两条直线的交点坐标

3.3.2 两点间的距离

【基础达标】

1．(2013·银川高一检测)直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为 ( )．

A.12 B．－12 C.23 D．－23

解析 由y＝2x＋10，y＝x＋1，解得x＝－9，y＝－8，即直线y＝2x＋10与y＝x＋1相交于点(－9，－8)，代入y＝ax－2，解得a＝23.

答案 C

2．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为 ( )．

A.895 B.175 C.135 D.115

解析 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0，过定点B－1，25，由两点间的距离公式，得|AB|＝135.

答案 C

3．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离是 ( )．

A．52 B．25 C．510 D．105

解析 根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于x轴的对称点A′到点B的距离，易求得A′(－3，－5)．

所以|A′B|＝（2＋3）2＋（10＋5）2＝510.

答案 C

4．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________．

解析 由题意得 （a＋2）2＋（3＋1）2＝5， 解得a＝1或a＝－5.

答案 1或－5

5．已知直线ax＋4y－2＝0和2x－5y＋b＝0垂直，交于点A(1，m)，则a＝________，b＝________，m＝________．

解析 ∵点A(1，m)在两直线上，

又两直线垂直，得2a－4×5＝0， ③

3.3.1 两条直线的交点坐标

疱丁巧解牛

知识·巧学

一、两条直线的交点

如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.

把两条直线的方程组成方程组，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数个解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.

要点提示

直线相交的问题转化为求方程组的解的问题,且解的个数决定两条直线的位置关系.两直线的交点坐标对应的就是两直线方程所组成方程组的解.

二、直线系方程

具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程.方程的特点是除含坐标变量x、y以外，还含有待定系数(也称参变量).

(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，其中λ是待定系数.在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x+B2y+C2=0，因此它不能表示直线l2.

(2)平行直线系：与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+λ=0(λ≠C)，λ是参变量.

(3)垂直直线系方程：与Ax+By+C=0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+λ=0.

(4)特殊平行线与过定点(x0，y0)的直线系：当斜率k一定而m变动时，y=kx+m表示斜率为k的平行线系，y-y0=k(x-x0)表示过定点(x0，y0)的直线系(不含直线x=x0).

要点提示 如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,可选用直线系方程来求解.直线系是直线和方程的理论发展,是数学符号语言中一种有用的工具,是一种很有用的解题技巧,应注意掌握和应用.

问题·探究

问题1 设两条直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0，如果这两条直线相交，你能分析它们的系数满足什么关系吗？