中考数学压轴题：二次函数综合、相似三角形存在性问题

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形

1.在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．

（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；

（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；

（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．

2．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线C2经过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴的交点为E．

（1）求抛物线C2的函数解析式；

（2）点P（m，n）（﹣3＜m＜0）是抛物线C2上的动点，设四边形OAPE的面积为S，求S与m的函数关系式，并求四边形OAPE的面积的最大值；

（3）若y＝x2与平移后的抛物线对称轴交于D点，在抛物线C2的对称轴上，是否存在一点M，使得以M，O，D为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与x轴，y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，直线x＝﹣1与x轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在线段AB上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）若点Q在第三象限内，且tan∠AQD＝2，线段CQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．

4．已知直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、C，抛物线y＝﹣+bx+c过点A、C，且与x轴交于另一点B，在第一象限的抛物线上任取一点D，分别连接CD、AD，作DE⊥AC于点E．

第1页（共10页）

【中考压轴题专题突破】

二次函数中的直角三角形存在性问题

1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），且OB＝OC．直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点Q是抛物线的顶点，设直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为m．

（1）求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标．

（2）连接CQ，直接写出线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系．

（3）连接PA、PD，当m为何值时S△APD＝S△DAB？

（4）在直线AD上是否存在一点H，使△PQH为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第2页（共10页）

2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点．

（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式．

（2）在该抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

（3）设点P为该抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

提示：若平面直角坐标系内有两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则线段PQ的长度PQ＝）．

第3页（共10页）

3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为M．

（1）求抛物线的解析式和点M的坐标；

（2）点E是抛物线段BC上的一个动点，设△BEC的面积为S，求出S的最大值，并求出此时点E的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第4页（共10页）

4．综合与探究

如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴相交于点．当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC，BC．

挑战压轴题：中考数学-二次函数-等腰三角形的存在性（2018.04.28）

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-2,0）、B（4,0）、C（0,3）三点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式；

看过题后会发现，该题是一道常见类型的压轴题，点的存在性。

（1）第一问送分，不会的同学就不用往下看了；

（2）点M是在y轴上，但没有说是在正半轴还是负半轴，所有有好多可能性，那么根据等腰△ACM，可以判定存在这几种情况：

①AC=CM，此时的点M可能在C的上方，也可能在C的下方；

②MA=MC，此时的点M只能在C的下方；

③MA=AC，此时的点M也只能在C的下方；

所以一共四种情况，第①、③情况直接利用AC的长度就能找到点M的坐标；

只有第②种情况MA=MC，也就是M在AC的垂直平分线上，怎么找AC的垂直平分线呢？如果不会用直线垂直斜率关系，那么只能利用三角函数来求解；

如图过AC的中点作垂直平分线MN，交x轴于点N，那么根据∠BAC的余弦值可以求出点N的坐标，而同时AC中点的坐标也没问题，那么直线MN的解析式就可以得到，从而找到直线MN与y轴的交点M的坐标即可；

（3）这一问明显是一个分段函数，点P在O左侧的时候，面积S只能用△ABC的面积-直线左侧三角形的面积；点P在O右侧的时候，面积S就是直线右侧的三角形面积；

所以要根据t的取值范围来分段，

当-2＜t＜0时，用t与∠BAC的三角函数来计算出三角形的底和高，然后表示出面积，用△ABC的面积-该三角形的面积=S即可；

专题三 相似三角形的存在性问题

【考题研究】

相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．

【解题攻略】

相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．

判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．

应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．

【解题类型及其思路】

相似三角形存在性问题需要注意的问题：

1、若题目中问题为△ABC∽△DEF ，则对应线段已经确定。

2、若题目中为△ABC与 △DEF相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC∽△DEF ,

②△ABC∽△FDE、 ③△ABC∽△EFD、

3、若题目中为△ABC与 △DEF并且有 ∠A、 ∠D（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC∽△DEF ，②、△ABC∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。

【典例指引】

类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】

典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212yxbxc与直线132yx分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知(0,3)A，(3,0)C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使MBMC的值最大，并求出这个最大值；

（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．