最新九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)含答案
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试卷第1页，共10页 2023年九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题（特殊三角形问题）
1．如图，直线y=﹣23x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣43x2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值；
（3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
2．如图△，已知抛物线y＝ax2﹣4amx+3am2（a、m为参数，且a＞0，m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．
（1）求点B的坐标（结果可以含参数m）；
（2）连接CA、CB，若C（0，3m），求tan△ACB的值；
（3）如图△，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l：x＝2，点P是抛物线上的一个动点，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共10页 3．如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4）、B（5，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．已知顶点为1,5A的抛物线2yaxbxc经过点5,1B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设C，D分别是x轴、y轴上的两个动点.
△当四边形ABCD的周长最小时，在图1中作直线CD，保留作图痕迹.并直接写出直线CD的解析式；
△点,0Pmnm是直线yx上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图2所示构造等腰RtPQR.在△的条件下，记PQR与COD的公共部分的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求S的最大值.
试卷第3页，共10页 5．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB△x轴交抛物线于点B，过点B作直线l△x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．
（1）当a＝﹣1时，求线段OB的长．
（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出求a值的计算过程；若不存在，请说明理由．
（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4a（a≠0）经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，连接BD，点P为抛物线上一点，且△DBP＝45°，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的△MAC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，B点坐标为(4,0)，与y轴交于点C(0,4).点D为抛物线上一点 试卷第4页，共10页
(1)求抛物线的解析式及A点坐标；
(2)若△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；
(3)若△BCD是锐角三角形,请直接写出点D的横坐标m的取值范围 .
8．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A点，与y轴交于C点，且A（1，0）、B（3，0），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式
（2）在y轴上是否存在M点，使得△MAC是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为抛物线上的动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P的坐标．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，若点P为线段BC上的一个动点（不与点B、点C重合），过点P作直试卷第5页，共10页 线PN△x轴于点N，交抛物线于点M，当△BCM面积最大时，求△BPN的周长．
（3）在（2）的条件下，当△BCM面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△CNQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图1，抛物线2242233yxx与x轴交于,AB两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D抛物线的顶点.
（1）求直线BD的解析式；
（2）抛物线对称轴交x轴于点E，P为直线BD上方的抛物线上一动点，过点P作PFBD于点F，当线段PF的长最大时，连接PE，过点E作射线EM，且EMEP，点G为射线EM上一动点（点G不与点E重合），连接PG，H为PG中点，连接AH，求AH的最小值；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线BD上移动，点B，D平移后的对应点分别为点'B，'D，y轴上有一动点M，连接'MB，'MD，''MBD是否能为等腰直角三角形？若能，请求出所有符合条件的M点的坐标；若不能，请说明理由.
试卷第6页，共10页 11．如图1，抛物线230yaxbxa与x轴交于1,0A、30B，两点，与y轴交于点C，顶点为点M．
（1）求这条抛物线的解析式及直线BM的解析式；
（2）P段BM上一动点（点P不与点B、M重合），过点P向x轴引垂线，垂足为Q，设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在线段BM上是否存在点N，使NMC为等腰三角形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图,已知抛物线与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)该抛物线的对称轴是直线___________，
(2)求抛物线的解析式；
(3)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由： 试卷第7页，共10页 13．在平面直角坐标系中，将二次函数20yaxa的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，1OA，经过点A的一次函数0ykxbk的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，ABD的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PEPA的最小值．
14．如图，抛物线2yaxbxc与x轴的交点分别为6,0A和点4,0B，与y轴的交点为0,3C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上．
△是否同时存在点D和点P，使得APQ和CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不试卷第8页，共10页 存在，请说明理由；
△若DCBCDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．
15．如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C
(1)求这个抛物线的函数表达式．
(2)点D的坐标为(-1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
(3)点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且△MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线23yaxbx与x轴交于(1,0)A，(3,0)B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点N是y轴负半轴上的一点，且2ON，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分OMD时，求点Q的坐标．
（3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出PCE与ACD全等时点P的坐标． 试卷第9页，共10页 17．已知：直线122yx与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y＝12x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AE上一动点，当△PBC周长最小时，求点P坐标；
（3）动点Q在x轴上移动，当△QAE是直角三角形时，求点Q的坐标；
（4）在y轴上是否存在一点M，使得点M到C点的距离与到直线AD的距离恰好相等？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设D为抛物线的顶点，连接DA、DB，试判断△ABD的形状，并说明理由；
（3）设P为对称轴上一动点，要使PC﹣PB的值最大，求出P点的坐标．
19．如图，抛物线2yaxbxc 经过点2,5A，与x轴相交于1,0B，3,0C两点，
（1）抛物线的函数表达式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将BCD沿沿直线BD翻折得到BCD，若点D恰好落在抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标；
（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当CPQ为
