中考数学压轴题分析：相似三角形的存在性问题

课时3 相似三角形的存在性问题

【基础】：

在△ABC中，AC边上有一点F,要在AB边上确定一点E,使△ADE与△ABC相似，要分哪两种情况？

【在两三角形相似的情况下，求线段长度】

一般分三个步骤：（第一步：寻找分类标准； 第二步：列方程； 第三步：解方程并验根）

先找等角→{ 分类标准一：先找等角：①特殊角90°或钝角一定是对应的等角

②通过求2角的三角比值相等也可得到等角 ③平行则有同位角、内错角相等 后讨论夹边：分两次使夹等角的两边对应成比例(分类讨论)分类标准二：当等角的夹边所列方程过于繁琐或夹边条件不全时，尝试 找一个角和另一个三角形中的2个角对应相等，列出2个方程 注：实在没思路时可以量角器量找等角。

【三角形面积的计算公式】：熟背

（1） S△=1/2ah （a是三角形的底，h是底所对应的高）

（2） S△=1/2acsinB＝1/2bcsinA＝1/2absinC （三个角为∠A∠B∠C，对边分别为a,b,c，）

（3） S△=1/2(a+b+c)r (r是内切圆半径)

（4） 已知三角形ABC的三边长度及内切圆，求内切圆的半径公式：

∵S=1/2ah=1/2Cr∴r=ah/C

（5） 海伦公式

ABCD【分类标准一： 找等角，讨论夹边对应成比例（列出2个比例式）】

1.

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在线段BC、

模型介绍在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．

【相似判定】判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．

【题型分析】通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．

【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等．事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．

一、如何得到相等角？二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？搞定这两个问题就可以了．

例题精讲

【例1】．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，点M是第一象

限内抛物线上一点，过点M作MN⊥x轴于点N．若△MON与△BOC相似，求点M的横坐标．

解：∵抛物线y＝﹣x2+x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，

∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+2，

解得x1＝﹣1，x2＝4，

∴OB＝4，

当x＝0时，y＝2，

∴OC＝2，

∵点M是第一象限内抛物线上一点，

∴设M（m，﹣m2+m+2），

∵MN⊥x轴，

∴ON＝m，MN＝﹣m2+m+2，∠ONM＝90°，

∵∠BOC＝90°，

∴∠BOC＝∠ONM，

∵△MON与△BOC相似，∴或，∴

＝或

＝，

∴m＝或m＝﹣1+（负值舍去），∴点M的横坐标为或﹣1+．

变式训练

【变1-1】．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别相交于点A和

2018年广州中考数学压轴题真题

题型特点

三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算．

解题思路

①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；

②分类讨论，画图；

③建等式，对结果验证取舍．

对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：

①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．

②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．

③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题．

难点拆解

①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k值乘积为1；

②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；

③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．

④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．

1. （2012云南改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误！未找到引用源。的图象经过点(2，4)，且与直线错误！未找到引用源。交于A，B两点．

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标．

（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

yxOCBAyxOCBAyxOCBA

2. （2009广西钦州）如图，已知抛物线错误！未找到引用源。与坐标轴交于A，B，C三点，A点的坐标为(﹣1，0)，过点C的直线错误！未找到引用源。与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0

专题三 相似三角形的存在性问题

【考题研究】

相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．

【解题攻略】

相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．

判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．

应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．

【解题类型及其思路】

相似三角形存在性问题需要注意的问题：

1、若题目中问题为△ABC∽△DEF ，则对应线段已经确定。

2、若题目中为△ABC与 △DEF相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC∽△DEF ,

②△ABC∽△FDE、 ③△ABC∽△EFD、

3、若题目中为△ABC与 △DEF并且有 ∠A、 ∠D（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC∽△DEF ，②、△ABC∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。

【典例指引】

类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】

典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212yxbxc与直线132yx分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知(0,3)A，(3,0)C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使MBMC的值最大，并求出这个最大值；

（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．