高考数学一轮复习第6章不等式及其证明第6节数学归纳法教师用书

1 第六节 数学归纳法

1．数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

2．数学归纳法的框图表示

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( )

(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( )

(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( )

(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

2．(2017·杭州二中月考)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于( )

A．1 B．2

C．3 D．0

C [因为凸n边形最小为三角形，所以第一步检验n等于3，故选C.]

3．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n＝21n＋2＋1n＋4＋…＋12n时，若已假设n＝k(k≥2，且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( ) 2 A．n＝k＋1时等式成立

B．n＝k＋2时等式成立

C．n＝2k＋2时等式成立

D．n＝2(k＋2)时等式成立

B [k为偶数，则k＋2为偶数．]

4．(教材改编)已知{an}满足an＋1＝a2n－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝__________，a3＝__________，a4＝__________，猜想an＝__________.

3 4 5 n＋1

5．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－11)”由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是__________.

【导学号：51062209】

2k [当n＝k时，不等式为1＋12＋13＋…＋12k－1

则n＝k＋1时，左边应为

1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1，则左边增加的项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k.]

用数学归纳法证明等式

设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．

[证明] (1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，

右边＝21＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立.4分

(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即

f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，8分

那么，当n＝k＋1时，

f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)fk＋－1k＋1－k

＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，12分

∴当n＝k＋1时结论仍然成立． 3 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*).15分

[规律方法] 1.用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．

2．由n＝k时命题成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．

[变式训练1] 求证：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)．

[证明] (1)当n＝1时，左边＝1－12＝12，

右边＝11＋1＝12，左边＝右边.4分

(2)假设n＝k时等式成立，

即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k

＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，8分

则当n＝k＋1时，

1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2

＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2

＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋2.13分

即当n＝k＋1时，等式也成立．

综合(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立.15分

用数学归纳法证明不等式

用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式1＋131＋15·…·1＋12n－1>2n＋12均成立．

[证明] (1)当n＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边>右边，∴不等式成立.4分

(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，

即1＋131＋15·…·1＋12k－1>2k＋12.8分 4 则当n＝k＋1时，1＋131＋15·…·1＋12k－11＋1k＋－1>2k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1

＝4k2＋8k＋422k＋1>4k2＋8k＋322k＋1

＝2k＋32k＋122k＋1＝k＋＋12.14分

∴当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.15分

[规律方法] 1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他方法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法．

2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立，再证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．

[变式训练2] 已知数列{an}，当n≥2时，an<－1，又a1＝0，a2n＋1＋an＋1－1＝a2n，求证：当n∈N*时，an＋1

[证明] (1)当n＝1时，∵a2是a22＋a2－1＝0的负根，

∴a1>a2.4分

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1

∵a2k＋1－a2k＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)，ak＋1

∴a2k＋1－a2k>0.10分

又∵ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，

∴ak＋2－ak＋1<0，

∴ak＋2

由(1)(2)可知，当n∈N*时，an＋1

归纳——猜想——证明

已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝an2＋1an－1，且an>0，n∈N*.

(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；

(2)证明通项公式的正确性．

[解] (1)当n＝1时，由已知得a1＝a12＋1a1－1，a21＋2a1－2＝0.

∴a1＝3－1(a1>0).2分 5 当n＝2时，由已知得a1＋a2＝a22＋1a2－1，

将a1＝3－1代入并整理得a22＋23a2－2＝0.

∴a2＝5－3(a2>0)．同理可得a3＝7－5.

猜想an＝2n＋1－2n－1(n∈N*).7分

(2)证明：①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．

②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，

即ak＝2k＋1－2k－1.10分

由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak＋12＋1ak＋1－ak2－1ak，

将ak＝2k＋1－2k－1代入上式，整理得

a2k＋1＋22k＋1ak＋1－2＝0，

∴ak＋1＝2k＋3－2k＋1，

即n＝k＋1时通项公式成立.14分

由①②可知对所有n∈N*，an＝2n＋1－2n－1都成立.15分

[规律方法] 1.猜想{an}的通项公式时应注意两点：(1)准确计算a1，a2，a3发现规律(必要时可多计算几项)；(2)证明ak＋1时，ak＋1的求解过程与a2，a3的求解过程相似，注意体会特殊与一般的辩证关系．

2．“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性．

[变式训练3] (2017·绍兴调研)已知数列{xn}满足x1＝12，xn＋1＝11＋xn，n∈N*.猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论. 【导学号：51062210】

[解] 由x1＝12及xn＋1＝11＋xn，

得x2＝23，x4＝58，x6＝1321，

由x2>x4>x6猜想：数列{x2n}是递减数列.4分

下面用数学归纳法证明：

(1)当n＝1时，已证命题成立.6分

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，

即x2k>x2k＋2，易知xk>0，那么

x2k＋2－x2k＋4＝11＋x2k＋1－11＋x2k＋3 6 ＝x2k＋3－x2k＋1＋x2k＋1＋x2k＋3＝

x2k－x2k＋2＋x2k＋x2k＋1＋x2k＋2＋x2k＋3>0，12分

即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.

也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．

结合(1)(2)知，对∀n∈N*命题成立.15分

[思想与方法]

1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．

2．在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要弄清n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，应灵活运用分析法、综合法、反证法等方法．

[易错与防范]

1．第一步验证当n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．

2．由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用归纳假设，否则就不是数学归纳法．

3．解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础．否则将会做大量无用功．

课时分层训练(三十五) 数学归纳法

A组 基础达标