姓名：蒋元义、学号：、专业：测绘工程
一、在区间[-1,1]上分别取10,20n用两组等距节点对龙格函数21()125fxx作多项式插值及三次样条插值，对每个n值，分别画出插值函数即()fx的图形。
解：
当N=10时，代码及图像如下：
x=-1:0.2:1;
y=1./(1+25*x.^2);
x1=linspace(-1,1,10);
p=interp1(x,y,x1,'linear');
p1=interp1(x,y,x1,'spline');
plot(x,y,'b');
hold on
plot(x1,p,'r');
hold on
plot(x1,p1,'k');
legend('龙格函数','多项式插值函数','三次样条插值函数');
grid on;
title('N=10的插值函数及原函数图形');
xlabel('x轴');
ylabel('y‘轴');
当N=20时，代码及图像如下：
x=-1:0.2:1;
y=1./(1+25*x.^2);
x1=linspace(-1,1,20);
p=interp1(x,y,x1,'linear');
p1=interp1(x,y,x1,'spline');
plot(x,y,'b');
hold on
plot(x1,p,'r');
hold on
plot(x1,p1,'k');
legend('龙格函数','多项式插值函数','三次样条插值函数');
grid on;
title('N=20的插值函数及原函数图形');
xlabel('x轴');
ylabel('y轴');
第2章 线性方程组的解法
--------学习小结
一、 本章学习体会
这章讲了线性方程组的解法，需要熟练掌握，其中有高斯消去法，直接三角分解法，判断方程组性态的良性或者病态，迭代法。而这一章中程序的求解问题也比较多，应参考下任玉洁的那本书对程序的应用求解问题，多多练习，花费一定的时间去练习编写程序，熟练掌握MATLAB的操作。我还了解到，不同的系数矩阵具有不同的性态，所以大多数迭代方法都具有一定的适用范围，有时某种方法对于一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组迭代时就发散，因此，我们应该学会针对具有不同性质的线性方程组构造不同的迭代，对症下药。在这章中我们学习到的线性方程组的直接法，特别是适合用数学软件在计算机上求解的方法。
高斯消去法 是解线性方程组直接方法的基础。将线性方程组约化为等价的三角形方程组再求解是直接法的基本解法。在约化过程中，引进选主元素的技巧是为了保证方法的数值稳定性所采取的必要措施。
直接三角分解法 是高斯消去法的变形。从代数上看，直接三角分解法和高斯消去法本质上是一致的。但从实际应用效果来看是有差异的。
迭代法是一种逐次逼近方法。迭代法具有循环的计算公式、方法简单。此外，应注意收敛性与收敛速度问题。收敛性是迭代法的前提，针对不同的问题，分析并采用适当的数值算法，如Guass-Seidel方法、SOR方法等。对以上算法的分析，立足点是在计算机上实现。因此，我们对于方法的掌握不仅在数学推导和数学公式上，而且应当深入思考方法的计算机实现过程，以加深对数值计算的认识和理解。
二、 本章知识梳理
Gauss消去法
1、顺序Gauss消去法
基本思想：消元与回代
顺序Gauss消去法能进行到底的条件 ：(1)主元1,,2,1,0)(nkakkk
（2）矩阵A的前n-1个顺序主子式非零。
顺序Gauss消去法的缺点：（1）没有很好的数值稳定性。（2）当A可逆时，AX=b有唯一解，但顺序Gauss消去法不一定能进行到底。
上机实习要求: 编程可以用C、C++、Matlab, 但不允许使用内置函数完成主要功能。 第2章 1. 已知函数表如下 x 10 11 12 13 ln(x) 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649 试分别用线性插值与二次插值计算ln11.75的近似值，并估计截断误差. 2. 已知函数表 x 0.1 0.2 0.3 0.4 sin(x) 0.09983 0.19867 0.29552 0.38942 试分别用Newton前插与后插公式（1、2、3阶）计算sin(0.22)的近似值。要求，比较所得结果，思考如何选取节点。 3．构造函数表cos(x)： 已知节点xk=k×π/20 (k=0,1,…,20)处的函数值. 用一次和二次Lagrange插值公式求cos(x)在xk_i(i=1,2,3)( xk_i=xk+( xk +1- xk)/4×i). 请用你计算的值连成函数图形，与标准图形比较。 4．已知直升飞机旋转机翼外形曲线轮廓上的某些型值点（见表），及端点处的一阶导数值 0181865480046115'().,'().yxyx==− 试计算该曲线上横坐标为24612163060110180280400515,,,,,,,,,,,处的纵坐标（要求该曲线具有二阶光滑度）. k 0 1 2 3 4 5 6 xk 0.52 3.1 8.0 17.95 28.65 39.62 50.65 yk 5.28794 9.4 13.84 20.2 24.9 28.44 31.1 k 7 8 9 10 11 12 13 xk 78 104.6 156.6 208.6 260.7 312.5 364.4 yk 35 36.5 36.6 34.6 31.0 26.34 20.9 k 14 15 16 17 18 xk 416.3 468 494 507 520 yk 14.8 7.8 3.7 1.5 0.2
第2章 线性方程组的解法
--------学习小结
一、 本章学习体会
通过本章知识的学习我首先了解到求解线性方程组的方法可分为两类：直接法和迭代法。计算机虽然运行速度很快，但面对运算量超级多的问题，计算机还是需要很长的时间进行运算，所以，确定快捷精确的求解线性方程组的方法是非常必要的。
本章分为四个小节，其中前两节Gauss消去法和直接三角分解法因为由之前《线性代数》学习的一定功底，学习起来还较为简单，加之王老师可是的讲解与习题测试，对这一部分有了较好的掌握。第三节矩阵的条件数与病态方程组，我首先了解到的是线性方程组bAx的系数矩阵A与左端向量b的元素往往是通过观测或计算而得到，因而会带有误差。即使原始数据是精确的，但存放到计算机后由于受字长的限制也会变为近似值。所以当A和b有微小变化时，即使求解过程精确进行，所得的解相对于原方程组也可能会产生很大的相对误差。对于本节的学习掌握的不是很好，虽然在课后习题中对课堂知识有了一定的巩固，但整体感觉没有很好的掌握它。第四节的迭代法，初次接触迭代法，了解到迭代法就是构造一个无线的向量序列，使他的极限是方程组的解向量。迭代法应考虑收敛性与精度控制的问题。三种迭代方法的基本思想我已经掌握了，但是在matlab
的编程中还存在很大的问题。
在本节的学习中我认为我最大的问题还是程序的编写。通过这段时间的练习，虽然掌握了一些编写方法和技巧。相比于第一章是对其的应用熟练了不少，但在程序编写上还存在很多问题。希望在以后的学习中能尽快熟练掌握它，充分发挥它强大的作用。
二、 本章知识梳理 2.1、Gauss消去法（次重点）
Gauss消去法基本思想：由消元和回代两个过程组成。
2.1.1顺序Gauss消去法（对方程组的增广矩阵做第二种初等行变换）
定理 顺序Gauss消去法的前n-1个主元素)(kkka (k=1,2,```,n-1)均不为零的充分必要条件是方程组的系数矩阵A的前 n-1个顺序主子式
