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4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计（一）课时教学内容：n次方根的概念和分数指数幂的概念（二）课时教学目标：1.通过具体的实例，与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂和根式的概念及相互关系.2.掌握分数指数和根式之间的相互转化.3.培养学生观察分析，抽象的能力；通过运算训练，养成学生一丝不苟的学习习惯.（三）教学重点与难点1.教学重点：掌握并运用分数指数幂的运算2.教学难点：分数指数幂的概念（四）教学过程设计【问题1】复习回顾，回答下列问题1.什么是平方根？什么是立方根？2.一个数的平方根有几个？立方根呢？师生活动：1.学生思考回顾之前所学的知识，回顾平方根和立方根的概念；2.教师归纳总结以上知识，带领学生回顾.为了简洁明了地引出n次方根的概念，我们需要举几个例子来说明.设计意图：回顾平方根和立方根的概念，从而引出n次方根的概念.追问：那你觉得n次方根的概念应该是什么呢？该如何表示？师生活动：1.学生根据已知的平方根和立方根的概念，猜测n次方根的概念；2.教师总结n次方根的概念，并指明正数与负数的区别，以及n的范围.设计意图：了解n次方根的概念和表示.【问题2】阅读课本104页，思考下列问题1.a的n次方根中n的奇偶与a的正负之间有什么关系？例如，当a是正数，n 是奇数时，a的n次方根是正数还是负数？2.负数有偶次方根吗？为什么？师生活动：1.学生根据课本内容，思考问题，自己寻找原因，可以小组讨论；2.教师找学生回答问题，并结合学生所答总结知识.给出根式，根指数和被开方数的概念.探究：n n a表示a n的n次方根，n n a=a一定成立吗？如果不一定成立，那么n na等于什么？师生活动：教师引导学生，结合刚刚思考的问题回答探究问题.当a为负数，n为偶数时，a n为偶数，而此时不仅仅等于a.设计意图：得到a 的n 次方根在不同条件的时的公式.【问题3】判断以下问题是否正确？为什么？ 1.2的平方根是2； 2.416等于±2； 3.2不是2的平方根，2±是2的平方根； 4.24-）（的平方根是±2．师生活动：1.教师引导学生分析1和2:1:错误，颠倒了，应该“是2的平方根”；2:错误，是指16的正的4次方根，所以；2.学生根据前两道题的思路，自行解决3和4题，教师给出答案.【问题4】计算课本105页例1师生活动：学生小组讨论进行计算，教师找一组学生回答问题，并根据回答内容总结分析给出答案.设计意图：巩固以上所学知识.【问题5】思考问题根据n 次方根的定义和数的运算，我们知道）（0)(a 5102552510>===a a a a , )0()(4123443412>===a a a a a , 这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.思考，如果根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式能否也表示成分数指数幂的形式？师生活动：1.学生小组讨论，说出自己的想法和理解；2.教师点评小组讨论结果，给出最终结果，引导学生深入理解和思考问题，从而给出分数指数幂的概念和表示方法.并把整数指数幂的运算性质拓展到有理数. 设计意图：引出分数指数幂的概念，将整指数幂的运算性质拓展到有理数.【问题6】计算课本106页例2和例3师生活动：学生自己进行计算，并小组讨论正确答案；教师找学生回答问题，让学生说出思考计算过程，并针对不会的问题进行讲解.设计意图：让学生加深理解分数指数幂的运算性质.【课后作业】课本109页第1、2题设计意图：第1、2题练习所学的n 次方根和分数指数幂的概念和表示方法.（五）目标检测设计目标检测题：1.用根式的形式表示下列各式（a>0）：（1）32a ； （2）32-a检测目标：根式与n 次方根之间的转化.2.用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）)0(32>x x ; (2))0(56>p p p检测目标：分数指数幂与n 次方根之间的转化关系.3.计算下列各式：（1）63125.1332⨯⨯; （2）512131-a a a检测目标：分数指数幂的运算性质.。
高中数学必修一《指数幂与运算》精选练习（含详细解析）一、选择题1.若(1-2x有意义,则x的取值范围是( )A.x∈RB.x≠0.5C.x>0.5D.x<0.52化简[的结果为( )A.5B.C.-D.-53.+(-1)-1÷0.75-2+= ( )A. B. C.- D.-4.化简()4·()4的结果是( )A.a16B.a8C.a4D.a25设-=m,则= ( )A.m2-2B.2-m2C.m2+2D.m2二、填空题6.化简= .7已知a>0,化简-= .三、解答题8.(10分)将下列根式化为分数指数幂的形式.(1)(a>0).(2).(3)((b>0).9.(10分)已知+=3,求下列各式的值:(1)a+a-1. (2)a2+a-2.参考答案与解析1选D.将分数指数幂化为根式,可知需满足1-2x>0,解得x<0.5.2选B.[=(===.3选A.原式=-1÷+=-1÷+=-+=.4选C.原式=()4·()4=()4·()4=a2·a2=a4.5选 C.将-=m平方得(-)2=m2,即a-2+a-1=m2,所以a+a-1=m2+2,即a+=m2+2⇒=m2+2.6【解析】==a+b.答案:a+b7【解题指南】利用完全平方公式展开后合并同类项计算.【解析】因为a>0,所以-=-=4.答案:48【解析】(1)原式====.(2)原式======.(3)原式=[(==.9【解析】(1)因为+=3,所以(+)2=a+a-1+2=9,所以a+a-1=7.(2)因为a+a-1=7,所以(a+a-1)2=a2+a-2+2=49,所以a2+a-2=47.。
指数与指数幂的运算【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念()()),0(1010*Z*n a aa a a Z n a a a a n n an n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-个2．运算法则 （1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nma a =；（3）()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；（4）()mm mb a ab =.要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义：若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为ny ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，0=. 2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，na =；（2）⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n要点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1na =m m na ==-1m nm naa=要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a aαβαβ+⋅=(2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα=当a>0，p 为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.【典型例题】 类型一、根式例1.计算：（1； （2.【答案】【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1==2|-|2|=2-（2（211=【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）的分子、分母中同乘以1).举一反三：【变式1】化简：（1（2|3) x<【答案】（11；（2）22(31),4(13).x xx---<<⎧⎨-≤<⎩。
高一数学必修一第二章知识总结高一数学必修一第二章知识总结高一数学必修一第二章知识总结一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n00。
当n是奇数时，anna，当n是偶数时，ann(a0)a|a|a(a0)2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：maanmnna(a0,m,nN,n1)1mnm*，*1na0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质am(a0,m,nN,n1)（1）a〃aa(a0,r,sR)；（2）（3）(a)arrsrsrrrs(a0,r,sR)；(ab)aars(a0,r,sR)．（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a>10（2）若x0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当xR；（3）对于指数函数f(x)ax(a0且a1)，总有f(1)a；二、对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果axN(a0,a1)，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：xlog数，logxaN（a底数，N真aN对数式）说明：○1注意底数的限制a0，且a1；2aNlogNx；○3注意对数的书写格式．○alogaN两个重要对数：1常用对数：以10为底的对数lgN；○2自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数lnN○指数式与对数式的互化幂值真数a＝NlogaN＝bb．底数指数对数（二）对数的运算性质如果a0，且a1，M0，N0，那么：1loga(M〃N)logaM＋logaN；○2log○3log○MaNMnlogaM－logaaN；anlogM(nR)．注意：换底公式logcblogab（a0，且a1；c0，且c1；b0）．logca利用换底公式推导下面的结论（1）logambnnmloga（2）logb；ab1logba．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
2.1.1 第1课时 根式与分数指数幂的互化一、学习目标1．知识与技能：理解n 次方根概念及n 次方根性质；理解有理数指数幂含义。
2．过程与方法：会求或化简根指数为正整数时的根式；根式与分数指数幂的转换。
3．情感、态度与价值观：通过具体的情景，学会科学思考问题，感受探究未知世界的乐趣，从而培养我们对数学的情感。
二、预习导学：请同学们阅读P 48-51内容，完成下列问题。
1．问题2中生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系P=573021t）（是怎样得出的？ 2．整数指数幂：a ·a ·a …a= （*∈N n ）；a 0=1（a ≠0）；a -n= （a ≠0，*∈N n ）整数指数幂的运算性质： （1）a m·a n= (Z ,∈n m )（2）（a m）n= (Z ,∈n m )（3）n maa = （Z ,∈n m ，a ≠0）（4）（ab ）m= （Z ∈m ） 3．根式⑴n 次方根：一般地，如果 （其中1n >，且n N +∈），则x 叫做a 的n 次方根。
当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号 表示；当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，用符号 表示，负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是0，记作 ；⑵根式的性质：①当n 为任意正整数时，n n a )(= （其中1n >，且n N +∈）。
②当n 为奇数时，nna = ；当n 为偶数时，nna = ；【练习】当a ＞0时，①510a= ；②32a = ；③a = 。
4．正整数的正分数指数幂的意义是：nma = （其中a ＞0，*N ,∈n m ,且n ＞1）。
5．正数的负分数指数幂的意义是：nm a -= = （其中a ＞0，*N ,∈n m ,且n ＞1）。
【练习】（1）44100= （2）551.0）（-=（3）66）（y x -= （4）318=（5）3127-= （6）433=三、典例剖析例1 已知x x 21122-=-）（，求实数x 的取值范围。
名师教你巧辨高中数学“分数指数幂与根式的关系”
很多高中学生对分数指数幂和根式的关系难以区分，甚至看到此类题型脑袋就炸开锅了。
来吧，请随小编一起去请教名师妙招去！
以高中数学核心考点15 “根式和分数指数幂”为例
【考点归纳】
1．根式的概念
2.两个重要公式
3.有理数指数幂
分数指数幂的表示
①正数的正分数指数幂是：②正数的负分数指数幂是：
③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．
【名师点睛】（名师的总结指导，希望同学们可以反复思考。
）分数指数幂与根式的关系
根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．。
一：化根式为分数指数幂例1化简下列各式
；
1
()
xy-分析：将根式化为指数幂的形式，再利用有利数指数幂的运算性质进行化简．
解：
（１）原式＝
1111111
2236363
a b a b
-+-+
⋅==
（２）原式＝
11
111331
21
33
222222
()()()()()
xy x y xy xy x y xy
--
-
⋅⋅⋅=⋅
＝
11
22
()()()1
xy xy xy
-
⋅==
评注：化简根式，尤其是根式中又有分数指数幂的代数式，通常化根式为分数指数幂，然后根据运算法则运算，同时要注意结果形式的统一．
二：活用乘法公式
例１化简：
1
3
2111
3333
11
111
x x x x
x x x x
-+-
+-
+++-
解：原式＝
121121111
333333333
2111
3333
(1)(1)(1)(1)(1)(1)
111
x x x x x x x x x
x x x x
-+++-++-
+-
+++-
＝
121211
333333
11
x x x x x x
-+-+--=-=
评注：要观察式中各项的结构，发现1,1
x x
-+分别是“立方差”和“立方和”，于是各个击破，达到化简之目的．计算过程中利用乘法公式进行因式分解，往往是计算简便．三：巧妙换元
例４化简
3
2
2
1
3
1
1
)
1
1
1
1
(
)
1
(
2
2
2
2
2
2
+
-
-
+
+
-
-
+
÷
-
-
-
+
-
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x．
分析：观察全式便能发现在此式中，形式上出现最多的是
x
x
1
+,而由乘法公式可知：
2
)
1
(
1
2
2
2-
+
=
+
x
x
x
x．若令
1
x a
x
+=，原式的形式会变得相当简单．这种局部换元的方法在代数变形中是十分有效的．
解：设
x
x
1
+＝a，则
原式＝1)1()11(1
21)11(2222
2222
+--∙-+--=+-+-÷---a a a a a a a a a a a a a a ＝)1(22+--a a a ＝a －１＝x
x 1
+
－１ 评注：通过换元，可把分数指数幂转化为整数指数幂，把复杂运算转化为简单熟悉的运算，快速解决问题．
四：利用性质
例５ 计算：（１）211
3
2
2
110
()(2)
(2
)3
4
27
---⋅-；（２）11
2
111222
111a a a a a -
---+--+ 解：（１）原式＝2211332239643427
()()()()24272964
--⋅-=⋅-
＝2132
34273297()()2964231616
⋅-=⋅-
= （２）原式＝
11111111
2
2
2
22
111112
2
2
2
2
(1)(1)1(1)
1a a a a a
a
a a a a a a
a
a a a
-
-
-
----
--+-+-
=
-
-+-+
＝112
2
0a
a
-
-
-= 评注：在指数运算中，利用()
()n
n a b
b
a
-=这个性质，颠倒底数的分子分母的位置，直接把负指数幂化为整指数幂，反之亦然．若能巧妙利用1p
p
a a -⋅=这个性质进行代换，则
可化难为简．简化运算过程．
五：整体代入 例１ 若2
12
1-+x
x ＝３ ．求
2
3
222
32
3-+-+--
x x x x 的值．
分析：从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法不可取，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入．
解：∵ 2
12
1-
+x x ＝３，两边平方得112
2
2()9x x -
+=， ∴1
x x -+＝７
∴22
12()249247x x
x x --+=+-=-=
将2
12
1-
+x
x ＝３两边立方得 2
32
3-
+x
x ＝18
∴
232
22
32
3-+-+--
x x x x ＝3
1
247318=--． 评注：本题解法是求332
2
x x -+，22
x x -+的值后，整体代入，这是数学中的整体代换的
思想方法，在指数的有关运算中，若把已知的代数式视为一个整体，直接代入，常可避免局 部运算的烦琐和困难．。
