人教A版高中数学必修第一册n次方根与分数指数幂课件PPT

计算： (4^4)^(1/4)
计算： (5^5)^(1/5)
05
n次方根与分数指数幂的应用
n次方根在解决实际问题中的应用
计算器：利用n 次方根进行数值 计算
工程设计：利用 n次方根进行尺 寸和比例的计算
物理学：利用n 次方根进行能量 和功率的计算
化学：利用n次 方根进行浓度和 反应速率的计算
分数指数幂在解决实际问题中的应用
n次方根的运算性质
n次方根的定义：如果一个数x的n次方等于a，那么x就是a的n次方根。 n次方根的性质：n次方根具有封闭性、结合性和分配性。 封闭性：n次方根的结果是一个实数，且满足a^n=b^n，则a=b。 结合性：n次方根的结果可以参与四则运算，且满足a^(m+n)=a^ma^n。 分配性：n次方根的结果可以参与乘除运算，且满足a^(m/n)=a^m/a^n。
应用场景：解 方程、化简表 达式、求值域
等
示例：a^2 + b^2 = (a^2 + b^2)^(1/2)
= (a^2 + b^2)^(1/2)
注意事项：指 数为分数时， 底数不能为0， 否则公式不成
立
04
n次方根与分数指数幂的运算
n次方根与分数指数幂的运算顺序
先进行n次方根的运算，再计算 分数指数幂
遵循先算括号内，再算括号外 的原则
遵循先乘除，后加减的原则
遵循先算指数，再算底数的原 则
运算的优先级
如果有括号，先计算括号内 的运算
同级运算，从左到右进行计 算
先进行分数指数幂的运算， 再计算n次方根
如果有负指数幂，先计算负 指数幂的运算
运算的实例
计算： (2^2)^(1/3)
计算： (3^3)^(1/2)

万年前就存在的吗?
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.


这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.

【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3

如果xn=a，x叫做a的
.
学习新知——n次方根的概念
学习新知——n次方根的概念
27的3次方是
3
-32的5次方根是 -2
a6的3次方根是
a2
结论1：当n为奇数时：正数的n次方根为正数， 负数的n次方根为负数 .
学习新知——n次方根的概念
16的4次方根是 2和-2 -81的4次方根是 无 结论2：当n为偶数时：正数的n次方根有两个，且互为相反数
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学习新知——根式的性质
=-2 =2 =3 =3
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例题讲解
例1：求下列各式的值
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情景引入
(2)利用(1)的规律,把下列根式表示成分数指数幂的形式（a>0,b>0,c>0） 类比
结论2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时, 根式也可以写成分数指数幂的形式.
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1
2a3b 2
13
6a 2b 2
1
3 1 1 2
a 2b2 3
3
1
a
5 1
2b 6
3
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课堂小结
1.n次方根与根式的概念，根式的性质 2.分数指数幂概念 3.有理数指数幂运算性质

3.n次方根：如果xn a，那么x叫做a的n次方根， 其中n 1且n .

32 =9 42 =16 52 =25
-23 = -8 33 =27 -33 =-27
34 =81 25 =32 -25 =-32
根式
1当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数； 正数a的正的n次方根用符号n a表示;负的n次方根用符号- n a表示. 负数没有偶次方根.
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问 题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余 坐标相反”这个结论．如点(x，y，z)关于 y 轴的对称点为(－x，y， －z)，关于坐标平面 Oyz 的对称点为(－x，y，z)．
【例题 3】 在空间直角坐标系中，已知点 P(－2,1,4)． (1)求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标； (2)求点 P 关于坐标平面 Oxy 对称的点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 解析 (1)因为点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P1 的坐标为(－2， －1，－4)． (2)因为点 P 关于坐标平面 Oxy 对称后，它在 x 轴、y 轴的分 量不变，在 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P2 的坐标 为(－2,1，－4)．
解析 (1)错误．空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标一定 是(a,0,0)的形式．
(2)错误．空间直角坐标系中，在坐标平面 Ozx 内的点的坐标 一定是(a,0，c)的形式．
(3)错误．关于坐标平面 Oyz 对称的点其纵坐标、竖坐标保持 不变，横坐标相反．

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第 n次四方章根与4分.1数.1指n次数方幂根-【与新分教数材指】数人幂-教【A新 版教 高 材 中数】学人 必教修A版第（一2册01优9 ）秀高课中件数-学PP必T 修第一 册课件( 共45张 PPT) 第 n次四方章根与4分.1数.1指n次数方幂根-【与新分教数材指】数人幂-教【A新 版教 高 材 中数】学人 必教修A版第（一2册01优9 ）秀高课中件数-学PP必T 修第一 册课件( 共45张 PPT)
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题型二 利用根式的性质化简或求值
例 2 化简：(1) 3＋2 2＋ 3－2 2；
(2) 5＋2 6－ 6－4 2＋ 7－4 3；
3
(3)
2＋
5＋3 2－
5.
• [分析] (1)(2)对被开方数进行配方处理，可化为完全平方式．
• (3)换元后两边立方，再转化为解关于x的方程求解．
[解析] (1)原式＝ 22＋2 2＋1＋ 22－2 2＋1
1
(2)原式＝ a2 a－2 ÷ a－3 a 3 ÷ a－2 a－2
＝3 a2÷
7
a3
3
÷
a－2
2
71
1
＝a3 ÷(a3 )2 ÷(a－2)3
2
7
2
＝a3 ÷a6 ÷a－3
27
2
12
1
＝a3 －6 ÷a－3 ＝a－2 ＋3 ＝a6 .
• [归纳提升] 1.幂的运算的常规方法
• (1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数；
(2)已知
x7＝6，则
7
x＝___6___；
(3)若4 x－2有意义，则实数 x 的取值范围是____[2_，__＋__∞__)____.
[分析] 解答此类问题应明确 n 次方根中根指数对被开方数的要求 及 n 次方根的个数要求．
[解析] (1)∵(±4)2＝16，∴16 的平方根为±4.－27 的 5 次方根为 5 －27.
基础自测
3
1.
－8等于(
B
)
A．2
B．－2
C．±2
D．－8
[解析] 3 －8＝3 －23＝－2.
2．下列各式正确的是( A )
A．(3 a)3＝a

3-2
52
25
2
-2
1
3 =(0.23 ) 3 =0.2-2 =
=52=25.
5
3
3
-4
3-3
73
34 4
343
2 401
5
-
27
2
-
(2)0.008
(3)
2
-3
6
=-5 .
74
1
33
7-3
1, ≠ - ,
2
1
无意义, = - 2 .
5 5 -1
-
6 3
27
.
总结：
用分数指数幂的形式来表示根式，往往会简化根式运算.
a＜0
n
记为 ± a
x 不存在
[点睛] 根式的概念中要求 n＞1，且 n∈ N *.
式子
n
a叫做根式， n 叫做根指数， a叫做被
开方数.
a
n 次根式的性质：
5
2
5，

5
3
n

5
n
3.
a.
探究新知
思考：
n
an a一定成立吗？
化简下列各式：
22， 2 ，3 23，3 2 ，4 24，4 2 .
m
a
n

m n
mn
；
a mn；
m m
ab

a
b .
积的乘方：
m
• 幂函数
如果一个正方形场地的面积为 S ，那么这
个正方形的边长 c
S
1
2
.
S ， S 也可以表示为
• 思考

(3)
(4)
(−8)3 = −8;
4
(3 − π)4 = 3 − π = π − 3;
(a −
b)2 =
a − b, a ≥ b,
a−b =
b − a, a < b.
a ∙ a = as+
÷ = −
(a ) = a
0 = 1 ( ≠ 0)
1
−
= ( + )
9.672699729
1.42
2
9.829635328
3
1.414
9.735171039
1.415
3
9.750851808
4
1.4142
9.738305174
1.4143
4
9.73987262
5
1.41421
9.738461907
1.41422
5
9.738618643
6
1.414213
良渚遗址
良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇，古
城存在时期为公元前3300年~前2500年，面积近630万平方
米，包括古城、水坝和多出高等级建筑 … …
当生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按照确定的规
律衰减，大约每5730年衰减为原来的一半，这个时间为“半
衰期”。
根据此规律，科学家获得了生物体内碳14含量P与死亡
年数t之间的关系：
当 = 5730、5730 × 2、5730 × 3时， =?
当 = 1000、5300、10000时， =?

= ( )


= ( )


= ( )

以分数为指

而已.
（2） 0的指数幂：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数
幂没有意义.
（3） 指数概念在引入了分数指数幂概念后 ，指数概念就
实现了由整数指数幂向有理指数幂的扩充.
（4）在进行指数幂运算时，应化负指数为正指数，化根
式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，这样便于进
行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.
③(ab)r=ar·
br(b>0)
④ar÷as=ar－s
r
(5)( ) =
(a>0,b>0,r∈R).
类比推广：实数指数幂
实数指数幂ax(a>0)
整数指数幂
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a

a
p
q

q
1
a
p
q

无理数指数幂
为什么负数没有偶
次方根？
构建数学
二、根式运算性质
若n 1且n N , 则 :
①( n a ) n a
注 : n为奇数时, a R; n为偶数时, a 0.
a, n为奇数

②n a n
| a |, n为偶数
2
2 ____
2
3
3
(3 )3 _____
(5)a a
2
12
12
2
( a a 1 ) 2 a 2 a 2 2 25, a 2 a 2 23.
12 2
1
2
1

求解．
2．注意避免两个错误：
n
n
(1)混淆( a) 与 an，
n
n
(2)对于 a，切记当 n 为偶数时，应有 a≥0.
限时小练
1．已知 a，b，c 为△ABC 的三边长，化简 （a－b－c）2－|b＋c－a|的结
果为(
)
A．2(b＋c)－2a
B．2(b＋a)－2c
C．2a
D．0
2．化简：( 3＋ 2)2 023·( 3－ 2)2 023＝________．
；
2.负数没有偶次方根；
3.0的偶次方根为0．
n次方根定义:
一般地，如果xn=a，则x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
x a
n
x
n
a (n为奇数)
x n a
(当n是偶数，且a＞0)
0的任何次方根都是0，记作 n 0 0 ．
根式:
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
思考： 若a 0, 则5 a10 ?
5
4
a
10
5
a
2 5
a a
2
a (a ) a a
12
4
3 4
3
4
12
a
?
10
5
12
4
上下 对 里外
当根式的被开方数(看成幂的情势)的指数能被根指数整除时，
根式可以表示成分数指数幂的情势.
思考：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，
规定了分数指数幂的意义以后，幂 中指数x 的取值范围就从整数
拓展到了有理数.
幂 ax 中指数 x 的取值范围拓展到了有理数，同样有下面的

性质
（1）当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.
（2）当是偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.

（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.记作 0 = 0.
（4）( )=.
作者编号：32101


问题3： =一定成立吗？如果不一定成立，那么 等于什么？
作者编号：32101
A.5-2a
B.2a-5
C.1
D.-1
当堂检测
3 . 在 ① a 2 n ·a n ＝ a 3 n ； ② 2 2 × 3 3 ＝ 6 5 ； ③ 3 2 × 3 2 ＝ 8 1 ； ④ a 2 ·a 3 ＝ 5 a ；
⑤(－a)2·(－a)3＝a5中，计算正确的式子有( A )
4.1.1 n次方根与
分数指数幂
作者编号：32101
学习目标
1.知道n次方根与分数指数幂的概念.
2.理解n次方根与分数指数幂的性质.
3.会分数指数幂与根式的互化.
作者编号：32101
新课导入
初中，我们已经学习了整数指数幂，在学习幂函数时，我们把正方形场地
1
2
的边长c关于面积S的函数 = 记作 = .
不一定！
的取值不同，结果也就不同.
例1 求下列各式的值.
3
（1） （ − 8）3
（1）-2
（2） （ − 10）2
（2）10
4
（3） （3 −
）4
（4） （ − ）2
作者编号：32101
（3）π-3
（4）|a-b|
问题5:
5
4
10
与
12 （ > 0）的结果是多少？并且描述详细的运算过程.

二、填空题 6．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝_－__1_1_或__7_． －11或7 [因为81的平方根为±9，所以a＝±9． 又因为－8的立方根为b， 所以b＝－2，所以a＋b＝－11或a＋b＝7．]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n n为奇数 n为偶数
a的n次方根的表示符号
a的取值范围 R
[0，＋∞)
偶次 0
a |a|
根指数
0 a
a
被开方数
[母题探究] 在本例(2)中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则化 简结果又是什么？
反思领悟 根式的化简求值应注意的2点
(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质 进行化简或求值． (2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化 简，化简时要结合条件或分类讨论．
[讨论交流] 预习教材P104－P106，并思考以下问题： 问题1．n次方根是怎样定义的？ 问题2．根式的定义是什么？它有哪些性质？ 问题3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ 问题4．根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ 问题5．如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？ [自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画 出本节课的知识逻辑体系．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
课时分层作业(二十六) n次方根与分数指数幂
√
D [当a<0时，a的偶次方根无意义．]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
√
D [同底数幂相乘，指数相加，故A，B错误；因为(am)n＝amn，3×2 ＝6，故C错误；同底数幂相除，指数相减，故D正确．]

精梳理·自主学习固基础
【主题 1】 根式及相关概念 1．a 的 n 次方根的定义 如果____x_n_＝__a____，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1 且 n∈N*. 2．a 的 n 次方根的表示
3.根式 式子n a叫做根式，这里 n 叫做____根__指__数___，a 叫做__被__开__方__数___．
【主题 2】 根式的性质
(1)n 0＝____0____(n∈N*，且 n>1)；
(2)(n a)n＝___a_____(n 为奇数时，a∈R；n 为偶数时，a≥0，其中 n>1，且 n∈N*)；
n (3)
an＝____a____(n
为大于
1
的奇数)；
(4)n an＝____|a_|___＝a，－aa≥0，，a<0 (n 为大于 1 的偶数)．
5．把下列根式化成分数指数幂的形式，其中 a＞0，b＞0.
研习 3 根式与分数指数幂的互化
[典例 3]
(1)若(x－2)
－
3 4
有意义，则实数 x 的取值范围是(
C
)
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
(2)用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0)：
①3 a·4 a；
② a a a；
4 ③
ab23；
④(3 a)2· ab3.
第四章 指数函数与对数函数
4．1 指 数
第1课时 n次方根与分数指数幂
[ 课标要求]
[ 素养要求]
理解 n 次方根及 n 次根式的
1．理解 n 次方根、n 次根式的概念． 概念，正确运用根式与分数指数
2．能正确运用根式运算性质化简求值． 幂运算性质，化简求值，发展数

4
（3） 分数指数幂与根式可以相互转化，如 2 =
4
1
2
1
2
（
若 < 0时， 2 有意义，但 = 无意义
）
三.分数指数幂
分母为根指数
2.用根式表示下列各式：（ > 0）
4
3
3
4
4
3
3
4
2
−5


1
5
3
−2
1
2
3
分数指数幂的
简洁性与运算便捷性
都优于分式和根式
3.用分数指数幂表示下列各式：
23 = 8，(−2)3 = −8,
则8的三次方根（立方根）为2
则 − 8的三次方根（立方根）为 − 2
24 = 16，(−2)4 = 16，则16的四次方根为 ± 2
25 = 32，(−2)5 = −32, 则32的五次方根为2
则 − 32的五次方根为 − 2
二.n次方根
探究一：n次方根概念
n次方根概念： = ,
探究三：根式与分数指数幂的互化
当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以也表示为分数指数幂的形式.
5
（1） (−2)3=
（2）4(−2)23−25=1
(−2)2
没有意义
所以，在表示分数指数幂时，我们需要规定底数>0
三.分数指数幂
探究三：根式与分数指数幂的互化

正分数指数幂： =
负分数指数幂：
( ) =
() =
( > 0, > 0, 、 ∈ )
五.检测
1.求值
2
83
= _____
2

指数幂仍然适用
规定：正数的正分数指数幂的意义是
m
n
n
a ＝ am (a>0，m，n ∈ N*，n>1).
正数的负分数指数幂的意义是
m
-n
1
1
a ＝ m＝ n (a>0，m，n ∈ N*，n>1).
an
am
例如：
4
－
3
1
1
5 ＝ 4＝ 3
53
54
－
2
3
1
1
a ＝ 2＝ 3
a3
a2
规定：0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义.
【4】 0的任何次方根都是0.记作：

= .
因为在实数的定义里，任
意实数的偶次方是非负数. 因
此负数没有偶次方根.
根式的概念
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根指数

被开方数

根据n次方根的定义，
可得：



比如：



−
注：

一般读作“n次根号a”
= ，
【1】
=
4
(4) a ＋ 1－a4；
3
3
根据 n 次方根的定义和数的运算，我们知道
5
a10 =
5
10
4
2 5
2
5
(a ) =a =a （a>0），
a12 =
4
12
(a3)4=a3=a 4 （a>0）.
这就是说，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，
根式可以表示为分数指数幂的形式.

1.正数的奇次方根是一个正数； 2.负数的奇次方根是一个负数； 3.0的奇次方根为0． 1.正数的偶次方根有两个且互为相反数； 2.负数没有偶次方根； 3.0的偶次方根为0．
n次方根定义:
一般地，如果xn=a，则x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
xn a
xna
x n a
(n为奇数) (当n是偶数，且a＞0)
①正确区分“ (n a )n ”与“ n an ”两式；（注意分析 n a 是否有意义） ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方公式、完 全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
思考：
2
1
a4 a2对任意的实数a都成立吗？
利用指数幂的运算性质化简求值的方法： （1）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数
指数运算性质：
(1) aras ars (a 0, r, s Q); (2) (ar )s ars (a 0, r, s Q); (3) (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q).
祝你学业有成
2024年5月3日星期五11时45分28秒
把根式表示为分数指数幂的形式的时候，例如：
2
3 a2 a 3 (a 0)
1
b b2 (b 0)
5
4 c5 c 4 (c 0)
正数的正分数指数幂：
m
a n n am (a 0, m, n N *, n 1)
正数的负分数指数幂：
m
an
1
m
an
n
1 am
(a 0, m, n N *, n 1)
例如：5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
奇次方根