4.1.1+n次方根与分数指数幂教学设计-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

课堂教学设计学科： 数学 姓名：4.1.1 n 次方根与分数指数幂课型：新授课教学背景分析1. 教材来源本节课是新版教材人教A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第1节《指数》第１课时。

2. 地位与作用从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到分数指数幂．通过对有理数指数幂()0,;1,0>≠>n n m a a a nm为整数，且且 、实数指数幂R)∈1；；≠且a 0，(a>a x 含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．三）学情分析1.认知基础：学生在初中已经学习过整数指数幂，在幂函数的学习中，接触过形如21S 的以分数为指数的幂。

2.认知障碍：从整数指数幂过渡上升转化到分数指数幂的数学抽象需初步培养，还不足以支撑学生非常清晰的理解。

教学目标1. 知识目标：①掌握n 次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算； ②了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化； ③理解有理数指数幂的含义及其运算性质． 2.能力目标：①由整数指数幂上升到分数指数幂；②学会借助已有经验，有意识的进行类比处理。

3.素养目标：通过根式与分数指数幂之间的相互转化培养数学抽象核心素养；利用逻辑推理理解分式指数幂的含义； 正确运用根式的运算性质进行根式的运算，提升数学运算核心素养。

教学重点和难点重点：会根据不同的需要选择恰当方法表示函数，了解分段函数概念，并能简单应用；难点：函数的解析式的求法，分段函数的定义及应用。

教学资源和教学方法启发式教学方法,并借助多媒体辅助教学.自主探究、合作交流教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图教师个人二次备课环节一问题导学预习教材104-109，并思考以下问题：1.n次方根是怎样定义的？2.根式的定义是什么？它有哪些性质？3.有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？有理数指数幂有哪些运算性质？教师提出问题，让学生带着问题去思考阅读培养学生逻辑推理等核心素养环节二情境1：以牛顿首次使用任意实数指数引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性．情境2：简单复习正整数指数幂的概念和运算，并且思考以下问题：追问：４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？ -27的问题串的设置，逐步引导学生从已有经验出发，慢慢迁移到我们所要学习的新知上。

4.1.1 n次方根与分数指数幂学习目标：1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．2．能利用根式的性质对根式进行运算．学习过程：【知识导学】1．根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a 的n次方根用符号n a表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，这个数的n次方根可以合写成n a± (a>0)．③负数没有偶次方根，零的任何次方根都是零．(3)根式:式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质(n>1，且n∈N*)(1)n为奇数时，na n＝a.(2)n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．3．分数指数幂一般的，我们规定： (1) ＝n m a (a >0，m ，n ∈N *，n >1)；(2) ＝1a mn＝nma 1(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．4．有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )．(2)(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )．【名师点拨】1.na n与(na )n的区别(1)na n 是实数a n的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶限制，但这个式子的值受n 的奇偶限制．其算法是对a 先乘方，再开方(都是n 次)，结果不一定等于a ，当n 为奇数时，na n＝a ；当n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.(2)(na )n是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值范围由n 的奇偶决定．其算法是对a 先开方，后乘方(都是n 次)，结果恒等于a .2.分数指数幂的理解(1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂amn不可理解为m n个a 相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．(2)把根式 na m化成分数指数幂的形式时，不要轻易对m n进行约分．3.在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(－5) 23＝3－52有意义，但(－5) 34 ＝4－53就没有意义．【初试身手】mna n m a -1．（2020·浙江高一课时练习）化简(122-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的结果是（ ）A B C ．D ．【答案】A【解析】先计算小括号里面的，然后化简负分数指数幂.原式=123-=. 故选A.2．（2020·全国高一专题练习）下列命题中正确的个数为（ ）a =，②a R ∈，则()211a a -+=43x y ==A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】①当n a =，①错误；②当a R ∈时，210a a -+≠，则()211a a -+=，②正确；③43x y y ====，④错误 故选B3.用根式的形式表示下列各式(a >0)：①a15 ＝________；②a34＝________；③a －35 ＝________；④a －23＝________. 答案 ①5a ②4a 3③15a 3 ④13a24．（2020·全国高一课时练习）()2a b -＋()55a b -的值是________.【答案】0或2(a －b )【解析】()2a b -＋()55a b -＝|a －b |＋(a －b )＝()0,2,a ba b a b ≤⎧⎨->⎩.故答案为：0或2(a －b ).5.若n 为偶数时， nx －1n＝x －1，则x 的取值范围为________．答案 x ≥1【典例学习】 类型一根式的概念、求值、化简 例1. 求下列各式的值．(1) 3（－2）3； (2) 4（－3）2；(3) 8（3－π）8； (4) x 2－2xy ＋y 2＋7（y －x ）7. 答案：(1) －2 (2)3 (3) π－3. (4) ⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥y ，2（y －x ），x ＜y .解析: (1) 3（－2）3＝－2. (2) 4（－3）2＝432＝ 3. (3) 8（3－π）8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝ （x －y ）2＋y －x ＝|x －y |＋y －x . 当x ≥y 时，原式＝x －y ＋y －x ＝0；当x ＜y 时，原式＝y －x ＋y －x ＝2(y －x )．所以原式＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥y ，2（y －x ），x ＜y .［方法技巧］1.判断关于n 次方根的结论应关注的两点 (1)n 的奇偶决定了n 次方根的个数；(2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号．2.正确区分na n与(na )n(1)(na )n已暗含了na 有意义，据n 的奇偶性可知a 的范围； (2)na n中的a 可以是全体实数，na n的值取决于n 的奇偶性．［变式训练］1．（2020=________.【答案】0. 【解析】()()()44440ππππ=-+-=-+-=.2．（2020·浙江高一课时练习）当810x <<=________.【答案】2 【解析】∵810x <<，∴80x ->，100x -<，|8||10|(8)(10)2x x x x =-+-=-+-=. 故答案为：23．若（2a －1）2＝3（1－2a ）3，则实数a 的取值范围为________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 解析：（2a －1）2＝|2a －1|，3（1－2a ）3＝1－2a . 因为|2a －1|＝1－2a ， 故2a －1≤0，所以a ≤12.类型二根式与分数指数幂的互化例2．把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式： (1)(a －b ) －34 (a ＞b )；(2) 5（ab ）2； (3) 3（x －1）5；(4)13a 2；(5)(a －b )37.答案：(1)14（a －b ）3（2）(ab )25.（3）(x －1)53.（4）a －23 （5）7（a －b ）3解析：(1)(a －b ) －34＝14（a －b ）3.(2) 5（ab ）2＝(ab )25.(3) 3（x －1）5＝(x －1)53.(4) 13a2＝a －23(5)(a －b )37＝7（a －b ）3. ［方法技巧］根式与分数指数幂互化依据(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：am n＝na m 和a－m n＝1a m n＝1na m，其中字母a 要使式子有意义．(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂. ［变式训练］（2020·全国）设0a >2表示成分数指数幂的形式，其结果是________.【答案】76a【解析】∵0a >1172223612123a aa a b--===.故答案为：76a .类型三利用指数幂的性质化简求值计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748；(3)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (4)23a 2÷46a ·b ·3b 3.答案：（1）1615（2）100.（3）－a 3c (4) 32a 12b 43.解析：(1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(3)原式＝－4a－2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a3c.(4)原式＝2a 23÷4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 16b 16·⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 32＝12a 23－16·b －16·⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 32 ＝32a 12b 43. ［方法技巧］(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． ［变式训练］（2020·云南省泸西县第一中学高一月考）计算：（1）11020.753270.064()[(2)]168π----+-+；（2【答案】（1）38π-.（2）1 【解析】（1）原式()13344641(2)21000π--⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭133343210π--⎡⎤⎛⎫=+-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦51328π=+-+38π=-（2）原式1332211392373a a a a --⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭13621236a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭aa =1= 类型四 条件求值问题已知x 12＋x －12＝3，求2x －1＋x ＋3的值．【解】 因为x 12＋x －12＝3， 所以(x 12＋x －12)2＝9，所以(x 12)2＋2x 12·x －12＋(x －12)2＝9， 所以x ＋2＋x －1＝9， 所以x ＋x －1＝7， 所以原式＝27＋3＝15.［方法技巧］条件求值问题的解法(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． ［变式训练］ 34．（2020·全国）已知1122a a -+= （1）1a a -+；（2）22a a -+.【答案】（1）3；（2）7. 【解析】 （1）1122a a-+=125a a -++=，13a a -∴+=；（2）由（1）13a a -+=，平方得2229a a -++=，227a a -∴+=.课堂小结1．注意na n同(na )n的区别．前者求解时，要分n 为奇数还是偶数，同时要注意实数a 的正负，而后者(n a )n ＝a 是恒等式，只要(na )n 有意义，其值恒等于a .2．一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数或偶数这两种情况．3．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．4．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”． 巩固练习1．已知x 5＝6，则x 等于（ ）A B C D 【答案】B 【解析】因为56x =，故可得x =故选：B.2．（2020·浙江高一课时练习）函数()12442y mx x m -=+++的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（ ）.A ．1,2)B ．1,)+∞C ．(2,2)-D ．(11--【答案】B【解析】函数()12442y mx x m -=+++=因此，要使函数()12442y mx x m -=+++的定义域为全体实数，需满足2420mx x m +++>对一切实数都成立即2044(2)0m m m >⎧⎨-+<⎩解得1m >-. 故选：B3．（2019·山东省济南回民中学高一期中）计算：73244a a a ÷=_____ 【答案】12a【解析】737312244442a a a a a +-⋅÷== 故答案为：12a4.（2020·全国）若227a a -+=，则22a a --=________.【答案】±【解析】因为227a a -+=，所以()()222244222449445a a a a a a ----=+-=+-=-=，所以22a a --=±故答案为：±.5．（2020·全国高一课时练习）解下列方程．（1）32381x -=；（2（3）256550x x -⨯+=.【答案】（1）{}2（2）43⎧⎫⎨⎬⎩⎭（3）{}0,1 【解析】【分析】（1）指数式化为对数式，根据对数的性质进行计算可得答案；（2）根式化为分数指数幂，两边化为同底数的幂相等，根据指数相等可得结果；（3）化为关于5x 的一元二次方程，解得51x = 或55x =,进一步可得结果.【详解】（1）因为32381x -= ，所以43332log 81log 34x -=== ，所以2x =， 所以方程32381x -=的解集为{}2 .（2=，所以23255x = ，所以223x =，所以43x = ，=43⎧⎫⎨⎬⎩⎭. （3）因为256550x x -⨯+= ，所以()256550xx -⨯+= ， 所以()()51550x x --= ， 所以51x =或55x = ，所以0x =或1x =，所以方程256550x x -⨯+= 的解集为{}0,1.。

【新教材】4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计（人教A版）学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。

有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性。

课程目标1. 理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念．2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3. 掌握分数指数幂的运算性质。

数学学科素养1.数学抽象：n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念；2.逻辑推理：分数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用分数指数幂的运算性质化简求值；4.数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质。

重点：（1）根式概念的理解；（2）分数指数幂的理解；（3）掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解．教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入我们已经知道…是正整数指数幂，它们的值分别为….那么，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识.要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本104-106页，思考并完成以下问题 (1)n 次方根是怎样定义的？(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ (4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ (5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1．n 次方根2．根式(1)叫做根式，这里n 叫做 根指数 ，a 叫做 被开方数 ． (2)性质：(n ＞1，且n ∈N *)23111,(),(),222111,,,248600010000100000573057305730111(),(),()222①(na )n＝ a . ②n a n ＝,,.a n a n ⎧⎨⎩为奇数为偶数3．分数指数幂的意义4．有理数指数幂的运算性质(1)a ras＝ar＋s(a＞0，r ，s ∈Q)．(2)(a r )s＝rs a (a ＞0，r ，s ∈Q)．(3)(ab )r＝r r a b (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．四、典例分析、举一反三 题型一 根式的化简(求值) 例1 求下列各式的值 【答案】解题技巧：（根式求值）（1）化简√a n n时,首先明确根指数n 是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简(√a n)n 时,(1)(2)(3)(4)关键是明确√a n 是否有意义,只要√a n 有意义,则(√a n)n=a.(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定 中a 的正负,再结合n 的奇偶性给出正确结果. 跟踪训练一 1.化简(1)n (x －π)n (x ＜π，n ∈N *)；(2)64a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. 【答案】见解析【解析】 (1)∵x ＜π，∴x －π＜0.当n 为偶数时，n(x －π)n ＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，n(x －π)n ＝x －π. 综上可知，n(x －π)n＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *. (2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0，∴64a 2－4a ＋1＝6(2a －1)2＝6(1－2a )2＝31－2a . 题型二 分数指数幂的简单计算问题 例2 求值【答案】见解析【解析】解题技巧：(分数指数幂的运算技巧)1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 跟踪训练二 1.计算223338(2)=2323224⨯===334()44162()()813-⨯-=3227()38-==(1)(12527)-23; (2)0.008-23; (3)(812 401)-34; (4)(2a+1)0; (5)[56-(35)-1]-1. 【答案】见解析 【解析】(1)(12527)-23=(5333)-23=5-23-2=3252=925. (2)0.008-23=(0.23)-23=0.2-2=(15)-2=52=25.(3)(812 401)-34=(3474)-34=3-37-3=7333=34327.(4)(2a+1)0={1,a ≠-12,无意义,a =-12.(5)[56-(35)-1]-1=(56-53)-1=(-56)-1=-65.题型三 根式与分数指数幂的互化例3 用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）【答案】见解析 【解析】解题技巧：（根式与分数指数幂的互化）（1）根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 跟踪训练三1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A ．－x ＝(－x )12(x ＞0)B.6y 2＝y 13(y ＜0)C ．x －34＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)D ．x －13＝－3x (x ≠0)【答案】C【解析】 －x ＝－x 12(x ＞0)；6y 2＝[(y )2]16＝－y 13(y ＜0)；2223a a a ⋅=⋅28233aa+===421332()a a==x －34＝(x －3)14＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)；x 1-3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x —13＝31x (x ≠0)．题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值 例4 计算:0.064-13−(-78)0+[(-2)3]-43+16-0.75+|-0.01|12.【答案】14380 【解析】原式=(0.43)-13-1+(-2)-4+(24)-34+(0.12)12=0.4-1-1+116+18+0.1=14380. 解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． 跟踪训练四1.计算:(235)0+2-2×(214)-12-(0.01)0.5;2 .化简:√a 72√a -33÷√√a 3153√√a 3a>0).【答案】见解析【解析】(1)原式=1+14×(49)12−(1100)12=1+16−110=1615.(2)原式=√a 72·a -323÷√a -83·a 153÷√a -32·a -123=√a 23÷√a 73÷√a -23=a 23÷(a 73)12÷a -23=a 23÷a 76÷a -23=a 23-76+23=a 16=√a 6.五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本109页习题4.1本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，通过类比的思想使学生逐步掌握根式与分数指数幂性质及其应用，为后面学习无理数指数幂性质及其应用打下理论基础.。

晋城一中（数学）课时教案学年度第一学期主要教学过程设计二次备课教学过程一．n次方根的概念1.n次方根的定义一般地，如果ax n=，那么x叫做a的n次方根.（其中1>n，且*∈Nn）2. n次方根的性质(1)aa nn=）（(1>n，且*∈Nn).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数为奇数nanaan n.(3)负数没有偶次方根.(4)0的任何次方根都是0，记作00=n3. 根式的概念式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.例1 求下列各式的值：（1）33)8(-（2）2)10(-（3）44)3(π-（4）2)(ba-解：（1）8)8(33-=-（2）10)10(2=-（3）33)3(44-=-=-πππ（4）⎩⎨⎧<-≥-=-=-baabbabababa,,)(2二、分数指数幂的定义1.规定正数的正分数指数幂的意义是：n mnmaa=(0>a，m，*∈Nn，且1>n)；2.规定正数的负分数指数幂的意义是：n mnmnmaaa11==-(0>a，m，*∈Nn，且1>n)；仿照开立方和开平方，提出开n次方根的概念。

发展学生数学推理能力；通过根式的求值，培养学生分类思想，发展学生数学抽象和数学运算的核心素养。

教学过程主要教学过程设计二次备课3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.三、有理数指数幂的运算性质(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：①s rsr aaa+=(0>a，r，Qs∈)；②rssr aa=)((0>a，r，Qs∈)；③rrr baab=)((0>a，r，Qs∈).(2)拓展：s rsraaa-=(0>a，r，Qs∈).例2 求值：（1）328；（2）43)8116(-.解：（1）42)2(8232332===；（2）827)23()32(])32[()8116(3343443====---例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式( 其中0>a).（1）322aa⋅；（2）3aa⋅例4 计算下式各式(式中字母均是正数).2115113366221(2)(6)(3)a b a b a b-÷-（）；318842()m n-（）；323243(.a a a÷（）-)211115326236=[2(6)(3)]a b+-+-⨯-÷-（1）原式=4=4ab a3188842=()()m n-（）原式2233==.mm nn-2313223=()a a a-÷（）原式21313222=a a---166==a a a a--通过特殊问题的分析，让学生观察分析，归纳根式与分数指数幂的互化。

第四章指数函数与对数函数4.1 指数4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计一、教学目标1.理解n次方根与分数指数幂的概念与性质。

2.掌握分数指数幂与根式的互化。

二、教学重难点1.教学重点n次方根与分数指数幂的概念与性质，分数指数幂与根式的互化2.教学难点分数指数幂与根式的互化三、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图1.新课导入提问：如果x2=a，那么x是a的什么？例如：就是4的平方根。

教师提问，学生回答：x是a的平方根。

提问引入，吸引学生的学习兴趣。

2.探索新知如果x3=a，那么x叫做a的立方根。

例如：2就是8的立方根。

n次方根的定义：一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N。

那么n的取值会影响n次方根的值吗？小组讨论。

当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a 的n次方根用符号表示。

当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正学生讨论n的取值的影响，加强对n次方根的定义的理解，讨论出答案后教师进行纠正。

加深学生对知识的记忆，培养学生自主发现的能力。

的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号表示。

正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 (a>0).负数没有偶次方根提问:为什么负数没有偶次方根？0的任何次方根都是0,记作=0.根式的定义：式子叫做根式，这里n 叫做根指数，a叫做被开方数。

根据n 次方根的意义，可得=a.=a一定成立吗？如果不成立，如何表示？当n是奇数时，=a当n是偶数时，=|a|=完成课本P105例1根据n次方根的定义和数的运算，我们知道==a2=(a>0)分数指数幂的概念：当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式。

你还记得哪些整数指数幂的运算性质。

把根式表示为分数指数幂的形式时，整数指数幂的运算性质对分数指数幂仍然适用。

学生思考讨论后回答，教师进行更正：因为负数的偶次方根一定是正数。