例谈数学思想在解题中的运用

先猜后证的数学思想在解题中的应用第六图书馆猜想是一种合情推理,属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程,波利亚说过:“在您证明一个数学定理之前,您必须猜想这个定理证明的主导思想”.数学猜想是证明的前提,但由于猜想是一种跳跃的思维,是在逻辑依据不充分的前提下做出判断,因而对猜想的结果还需要严格证明.波利亚还指出“先猜后证——这是大多数的发现之道”,“预见结论、途径便可以有的放矢”,先猜后证的关键是猜想.从最近几年的高考题可以看出:高考对猜想能力的考查日趋加深,考查的形式也是多样的.这从另一侧面反映出猜想能力的重要性,以及培养的必要性.数学猜想可分为以下几种类型:1类比性猜想类比性猜想,是指运用类比方法,通过比较两个问题的共同性,得出新命题或新方法的猜想.例1若对任意常数a,且a≠0,都有f(a+x)=1+f(x)1-f(x),问f(x)是否为周期函数?若是,求出它的一个周期.分析通过审题分析,洞察出本题的实质是判断满足上述条件的函数是否为周期函数,进一步联想到等式f(a+x)=1+f(x)1-f(x)与等式tanπ4+α=1+tanα1-tanα的结构极为相似,分析后者可知tanx的周期为π,是常数项π/4的4倍,故猜想结构相似的函数f(x)可能...猜想是一种合情推理,属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程,波利亚说过:“在您证明一个数学定理之前,您必须猜想这个定理证明的主导思想”.数学猜想是证明的前提,但由于猜想是一种跳跃的思维,是在逻辑依据不充分的前提下做出判断,因而对猜想的结果还需要严格证明.波利亚还指出“先猜后证——这是大多数的发现之道”,“预见结论、途径便可以有的放矢”,先猜后证的关键是猜想.从最近几年的高考题可以看出:高考对猜想能力的考查日趋加深,考查的形式也是多样的.这从另一侧面反映出猜想能力的重要性,以及培养的必要性.数学猜想可分为以下几种类型:1类比性猜想类比性猜想,是指运用类比方法,通过比较两个问题的共同性,得出新命题或新方法的猜想.例1若对任意常数a,且a≠0,都有f(a+x)=1+f(x)1-f(x),问f(x)是否为周期函数?若是,求出它的一个周期.分析通过审题分析,洞察出本题的实质是判断满足上述条件的函数是否为周期函数,进一步联想到等式f(a+x)=1+f(x)1-f(x)与等式tanπ4+α=1+tanα1-tanα的结构极为相似,分析后者可知tanx的周期为π,是常数项π/4的4倍,故猜想结构相似的函数f(x)可能...数学教学研究余锦银湖北省大冶市第一中学2007第六图书馆第六图书馆先猜后证的数学思想在解题中的应用余锦银(湖北省大冶市第一中学　435100) 猜想是一种合情推理,属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程,波利亚说过:“在您证明一个数学定理之前,您必须猜想这个定理证明的主导思想”.数学猜想是证明的前提,但由于猜想是一种跳跃的思维,是在逻辑依据不充分的前提下做出判断,因而对猜想的结果还需要严格证明.波利亚还指出“先猜后证———这是大多数的发现之道”,“预见结论、途径便可以有的放矢”,先猜后证的关键是猜想.从最近几年的高考题可以看出:高考对猜想能力的考查日趋加深,考查的形式也是多样的.这从另一侧面反映出猜想能力的重要性,以及培养的必要性.数学猜想可分为以下几种类型:1　类比性猜想类比性猜想,是指运用类比方法,通过比较两个问题的共同性,得出新命题或新方法的猜想.例1　若对任意常数a,且a≠0,都有f(a+x)=1+f(x)1-f(x),问f(x)是否为周期函数?若是,求出它的一个周期.分析　通过审题分析,洞察出本题的实质是判断满足上述条件的函数是否为周期函数,进一步联想到等式f(a+x)=1+f(x)1-f(x)与等式tanπ4+α=1+tanα1-tanα的结构极为相似,分析后者可知t an x的周期为π,是常数项π/4的4倍,故猜想结构相似的函数f(x)可能是以4a为周期的函数,即f(x+4a)= f(x),通过验证可知猜想正确.这里的猜想并非凭空想象,而是由题目己知条件,从整体上把握而产生的猜想,是观察题目所给的条件,由直观而产生的直觉猜想.正是由于猜想的先导作用,才为证明和验算辅平了道路.例2　已知a,b,c∈R+,求证:a a b b c c≥()++ 3分析　寻找一个合适的类比对象,将原不等式退化为一个结构类似的二元不等式:a ab b≥(ab)a+b2(a,b>0).(1)欲证(1)式,只需证:在a≥b>0,及0<a<b两种情况下,aba-b≥1(2)都成立,即得证.反思回顾证明过程可知:证明这个二元不等式的关键是将(1)变形为(2).由于原不等式与此不等式结构类似,故猜想原不等式证明方法也与此相似:要证a a b b c c≥(abc)a+b+c3,即要证aba-b bcb-c cac-a≥1.不失一般性,设a≥b≥c,可以证得aba-b≥1,bcb-c≥1,cac-a≥1,三式相乘即得证.反思　类比性猜想就是解题时联想一个结构类似的数学模型或题型,然后从中寻找启示或直接仿照其方法来研究待解问题,有简化类比猜想、结构类比猜想和降维类比猜想.当联想不到结构类似的熟知题型时,甚至可以将原问题退化为一个结构类似的简单问题,再反思简单问题的解答思路,从中寻找原问题的思维启示.2　归纳性猜想归纳性猜想,是指运用不完全归纳法,对研究的问题的个例、特例进行观察分析,从中得到有关命题的形式、结论或方法的猜想.例3　(2007年天津21题)在数列{a n}中,a1=2,an+1=λa n+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+),其中λ> 0.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{}的前项和S;(Ⅲ)证明存在∈N+,使得+≤+对任意122007年第10期 数学教学研究abc a b c.annnkan1anak1akn 第六图书馆∈N+均成立.分析　本题第(Ⅰ)问可以先分析几个特例:a2=2λ+λ2+(2-λ)2=λ2+22,a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)22=2λ3+23,a3=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)23=3λ4+24.由此可归纳猜想出数列{an }的通项公式为an=(n-1)λn+2n.再用数学归纳法证明即可.第(Ⅱ)问略.第(Ⅲ)问见下面探索性猜想.反思　归纳性猜想往往从特例或特殊值出发,通过观察对比,洞察特例的共性特征,猜想一般结论和规律,最后证明猜想的正确性.这样将一道没有明确目标的解答题转化成了方向明确的证明题,如某些递推数列周期的发现.另一方面,通过特值命题解决思路和方法的启发,可寻求原命题的解决思路与方法,如数学归纳法第二步传递性的证明常常能从第一步初始值命题的证明中得到启发.在解题时,如果你不能解决所提出的问题,可先解决“一个与此有关的问题”.你能不能想出一个更容易着手的问题?一个更普遍的问题一个更特殊的问题?你能否解决这个问题的一部分这就是数学家波利亚解题时的“绝招”.3　探索性猜想探索性猜想是指根据已有的知识和结果,经尝试探索而获得对于待解决问题向结果靠近的方向性猜想.如例3第(Ⅲ)问是2007年天津高考压轴题中最难的一问,较难突破,通过分析,猜想数列an+1 an 的第一项a2a1最大,然后再证明猜想的正确性:an+1 an <a2a1=λ2+42,n≥2.(3)由λ>0知a n>0,要使(3)式成立,只要2an+1<(λ2+4)a n(n≥2).而　(λ2+4)a n=(λ2+4)(n-1)λn+(λ2+1)2n >4λ(n-1)λn+4×2n=4(n-1)λn+1+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2an+1,n≥2.所以(3)式成立.因此,存在k=1,使得an+1an≤ak+1ak=a2a1对任意n∈N+均成立例　如图,在直三棱柱B2′B′′中,B′⊥′,B′⊥B′,求证△B为等腰三角形　图1分析　此题的难点是确定△A BC的底边,这必须靠猜想:①BC为底边,理由是BC′同时与A′C和A B′垂直;②若加上条件A′C⊥A B′,则△ABC为正三角形;③A′C⊥AB′时,此三棱柱可“旋转”,理由是直三棱柱,且AB′,BC′,CA′具有垂直的轮换性,直觉此三棱柱沿上、下底面(假设的)的中心连线旋转120°时“垂直”重合.通过③肯定②,从而肯定①.由分析可知,猜想为难点找到了突破口,而且得到③以及证明的途径.反思　在解题过程中应该充分利用直觉,洞察题目中已知与未知的连结点,做出猜想、预测,然后论证猜想.开放性命题都需要探索性猜想来引导思维方向,如2007年高考湖南卷解几20题、江苏数列20题,上海卷21题等等都是存在性探索题,首先都是猜想存在,然后再验证猜想即可.4　仿造性猜想仿造性猜想是指依据数学问题的形式“模式”,利用模型构造法做出相应数学规律或方法的猜想.例5　若a,b,c为正数,求证:a2+b2+ b2+c2+c2+a2≥2(a+b+c).分析1　不等式的左端很容易使用人想到距离或向量的模,联想到向量三角不等式:|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|,该不等式专用于研究模的和差与和差的模之间的大小关系,与本题代数不等式结构特征相似,可尝试构造向量m=(a,b),n=(b,c),p=(c,a),则　m+n+p=(a+b+c,a+b+c),a2+b2+b2+c2+c2+a2=|m|+|n|+|p|≥|m+n+p|=2(a+b+c).　图分析2　不等式的左端也很容易使人想到勾股定理,且每式可代表某直角三角形一斜边.于是猜想此题可借用三角形完成,不等式右端使人想到边长为++的正方形的对角线,由此我们构造一边长为++的正方形,并在其中作出直角边长分别22数学教学研究 2007年第10期.41A C A C C A C C A:A C.2a b ca b c 第六图书馆为a,b,c的三角形.如图2,AE=a2+b2,EF=b2+c2,FC=c2+a2,AC=2(a+b+c),由此得AE+EF+FC≥AC,故　a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2(a+b+c),其中等号在A,E,F,C四点共线,即a=b=c时成立.华罗庚说过:“数缺形时少直觉,形缺数时难入微.”通过深入的观察、联想,由数想形,利用代数式的结构特征诱发图形的直观猜想.反思　从数式的结构和特点出发,在所学数学“模式”的基础上进行广泛的联想,构造一个与原命题相关的数学模型,实现问题的转化,从而使原命题得到解决.5　审美性猜想审美性猜想是运用数学美的思想———简单性、对称性、相似性、和谐性、奇异性等,对研究的对象或问题的特点,结合已有知识与经验所作出的直觉性猜想.例6　已知x,y,z∈R,且x+2y+3z=6,求证: x2+2y2+3z2≥6.分析　使用均值换元法.令x=1+2+36+α,y=1+2+36+β,z=1+2+36+γ,则α+2β+γ=0,故x2+2y2+3z2=(1+α)2+2(1+β)2+3(1+γ)2=1+2+3+2(α+2β+3γ)+α2+2β2+3γ2=6+0+α2+2β2+3γ2≥6,当α=β=γ=0时取等号.只是根据数学的对称美猜想均值换元,也只是进行了均值换元,一道原本较难的题目,不再需要任何思维就解出来了,这就是数学美的威力!本题还可以使用仿造性猜想:设m=(x,2y,3z),n=(1,2,3),则 |m|2=(x2+(2y)2+(3z)2)2=x2+2y2+3z2,|n|2=(12+(2)2+(3)2)2=6,又已知m·n=x+2y+3z=6,故由|m|2≥(m·n)2ㄧnㄧ2知结论成立.反思　当我们研究数学美时,就能发现其中蕴涵着解题思路,启迪着解题灵感,数学美引导着我们发现问题、提出猜想.当我们解不等式和证明不等式时都猜想着:超越不等式代数化、无理不等式有理化、分式不等式整式化,这是因为数学的简洁美;我们还根据数学的和谐美进行目标消差和条件与结论的相互表达;根据对称美猜想均值换元.根据数学美提出猜想,常能优化解题思路、简化解题过程.在数学解题中,不但要运用逻辑进行分析,而且还应在分析问题结构特征、洞察问题实质的同时,运用数学直觉猜想活跃思维.牛顿说过:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现.”至于猜想的实现途径,由以上例题可以看出,它们可能是探索试验、类比、归纳、构造、联想、审美以及它们之间的组合等.实施猜想前,请记住“在证明一个数学问题之前,你先得猜想这个问题的内容;在你完全作出详细证明之前,你先得猜想证明的思路”.参考文献[1]　[美]G·波利亚.数学与猜想[M].北京:科学出版社,1984[2]　[美]G·波利亚.数学与似真推理[M].福州:福建人民出版社,1985[3]　任樟辉.数学思维论[M].南宁:广西教育出版社,1996[4]　胡炯涛.数学教学论[M].南宁:广西教育出版社,1996(收稿日期:2007207209)322007年第10期 数学教学研究第六图书馆。

例谈整体思想在数学解题中的应用打开文本图片集“整体”与“局部”是一对哲学范畴的概念.整体是由各个局部构成的，但并非各个局部的简单相加，它表现出局部所不具有的优越性.局部是整体的一部分，它有时会影响整体，甚至还起到决定性的作用.整体思想在数学解题中非常重要，它使得我们在具体的解题过程中能不纠缠于“细枝末节”，达到“直捣黄龙”的境地，能使我们清楚地“看到”问题的本质，让人感到有种“居高临下”的感觉.函数零点问题一般都用零点分布定理，并结合分类讨论和数形结合的思想加以解决.这样的处理体现出解题的通性、通法，但解决过程有时会变得非常烦琐，看不到问题的本质.如果能借助于整体思想，那就使我们在解题时“既见树木，又见森林”了.例1已知函数f（某）=某2+2a某+b在[1，2]上有两个零点，证明：0≤a+b≤2.一般性解法：利用零点的分布问题加以讨论，可以得到有关a，b的不等式组，然后再利用线性规划的知识.尽管能将结果求出来，但计算量大，一不小心就会求错.这种解法是从“局部”入手，题目的意思被分解得很细，显得很程序化，策略性的东西没有体现出来，没有表现出一定的思维含量.如果我们从“整体”的角度加以求解，则又将会是另一番情境.另解：设f（某）的两个零点为某1，某2∈[1，2]，则f（某）=某2+2a某+b=（某-某1）（某-某2），由题意知：要求a+b的范围，故可以先整体地将它表达出来，于是令某=，则+a+b=f（）=-某1-某2，即a+b=某1-·某2--.由于某1，某2∈[1，2]，即知某1-某2-∈[，]，所以0≤a+b≤2.评注：上面的另解没有在细枝末节上下功夫，而是采用“设而不求，整体代换”的思想，关键是理解了零点与根的关系，计算过程显得简洁.此题还可以作如下的变式：已知函数f（某）=某3+2a某+b在[1，2]上有三个零点，证明：0≤a+b≤.如果采用一般性的解法，就会显得非常烦琐，让人“望而却步”，但如果采用另解的思想就能轻松地加以解决，由此可见从“整体”上切入问题的重要性.利用上面的解题思想方法，我们可以很容易解2022年浙江省高中数学竞赛第19题：设二次函数f（某）=a某2+（2b+1）某-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值.解：由题意，设t为二次函数在[3，4]上的零点，则有at2+（2b+1）t-a-2=0，将它变形为（2-t）2=[a（t2-1）+2bt]2.于是，由柯西不等式知，（2-t）2=[a（t2-1）+2bt]2≤（a2+b2）[（t2-1）+4t2]=（a2+b2）（1+t2）2，即a2+b2≥（）2=≥.因为g（t）=t-2+，t∈[3，4]是减函数，上式在t=3，a=-，b=-时取等号，故a2+b2的最小值为.类似的题目还有：已知a，b∈R，关于某的方程某4+a某3+2某2+b某+1=0有一个实根，求a2+b2的最小值.此题留给读者思考.一般在处理函数极值问题时，都是先对函数求导，再利用导函数的性质研究其单调性，这是从局部来处理函数极值问题的通性、通法.如果能对问题先进行处理，再利用整体思想和数形结合的思想，使得“图形一见，答案出现”，从函数的图象来整体地把握函数的极值问题，就会达到事半功倍之效.例2ma某{某3+2某+t，某≤1}=.一般性解法：设f（某）=某3+2某+t，某≤1，再对f（某）求导，求出f（某）的极值和端点处的函数值，然后将极值和端点处的函数值取绝对值比较大小后，求出最大值，这要涉及分类讨论，计算过程比较烦琐.另解：注意到y=某3+2某在某≤1上是奇函数，所以，y∈[-3，3]，于是，要求ma某{某3+2某+t，某≤1}，只要求ma某{y+t，y≤3}即可，由绝对值的几何意义（如图1）即知：ma某{y+t，y≤3}=t+3.评注：此题改编于2022年浙江高考数学（理科）卷第15题：已知ma某{某2-2某-t，0≤某≤3}=2，则t=.同样，此高考题采用整体的思想加以解决的话，口算就可以，根本就不需要动笔.这也体现高考试题考查学生“少算多想”的理念.例3已知e为自然对数的底数，设函数f（某）=（e某-1）（某-1）k（k=1，2），则A.当k=1时，f（某）在某=1处取到极小值B.当k=1时，f（某）在某=1处取到极大值C.当k=2时，f（某）在某=1处取到极小值D.当k=2时，f（某）在某=1处取到极大值一般性解法：学生往往不假思索，先对f（某）求导，然后再画图象，这是一种通性通法.虽然也可以将图象画出来，但这样做有点“小题大做”.另解：可以通过画草图（见图2），此题的关键点就是点（1，0），这是由函数解析式f（某）=（e某-1）（某-1）k（k=1，2）所决定的.评注：上述问题的解决过程能有效地考查学生的数形结合的意识、整体和局部地看问题的意识.笔者通过研究发现，这道试题有一定的背景，即2022年浙江高考数学（理科）卷第22题第1小题：已知a是给定的实常数.设函数f（某）=（某-a）2（某+b）ek，b∈R，某=a是f（某）的一个极大值点.（1）求b的取值范围.（2）略.另一背景即2022年浙江省高中数学竞赛第9题：设函数f（某）=某（某-1）2（某-2）3（某-3）4，则函数y=f（某）的极大值点为（）A.某=0B.某=1C.某=2D.某=3上述两个题目都可以采用整体和局部的思想加以解决，同时也体现出数形结合在研究问题中的作用.有关函数的导数问题，我们往往都是直接对函数“强制求导”，这是我们解题屡试不爽的“利器”.但有时我们可以反其道而行之，不求导而对函数求积分，利用积分思想从整体上去把握函数的特征，这能凸现我们的高观点.例4已知a>0，b∈R，函数f（某）=4a某3-2b某-a+b.（1）证明：当0≤某≤1时，①函数f（某）的最大值为2a-b+a；②f（某）+2a-b+a≥0.（2）略.一般性解法：学生碰到此类函数问题，先对函数f（某）=4a某3-2b某-a+b求导，然后分类讨论求极值，再通过与f（0），f（1）比较大小来解决问题.这样做会导致复杂的计算.另解：①证明：由于f"（某）=24a某>0，故由函数的凹凸性知：f （某）ma某=ma某{f（0），f（1）}=+=2a-b+a.②由题意，函数f（某）在[0，1]上与坐标轴围成的面积为：f（某）d某=0.设折线A-C-B对应的函数为g（某），由于函数f（某）在[0，1]上为凹函数，故某∈[0，1]时，g（某）≥f（某）.于是，g（某）d某≥f（某）d某=0，即知g（某）在[0，1]上与坐标轴围成的面积为大于等于0，我们有此可以得到：f（某）ma某≥f（某）min.若不然，即f（某）ma某S△BBE，S△DCE>S△AOD，故g（某）在[0，1]上与坐标轴围成的面积：g（某）d某=S△AOD-S△DCE+S△BBE-S△CCE<0+0=0，这与g（某）d某≥f（某）d某=0矛盾.因此，由f（某）ma某≥f（某）min，知f（某）+2a-b+a≥f（某）min+f（某）ma某≥f（某）min+f（某）min≥0.评注：第②题一般采用导函数法，但我们反其道而行之，不用求导，反而用积分的加以解决.事实上，根据高等数学的观点：导数是研究函数局部性质的一个“利器”，但要研究整体的性质非借助于积分不可.所以，我们借助于积分的，能在整体上清楚地看到解决第②题的关键：f（某）ma某≥f（某）min，此题的本质显得非常直观、简单，论证过程自然流畅、一气呵成.我们被这样精美的构思、奇妙的解法、鲜明的本质所深深地震撼，真正由衷地感叹命题者的“观点之高”和命制的意义所在.杜甫“望岳”中有两句诗：会当凌绝顶，一览众山小.这两句诗不仅表达了诗人俯视一切的雄心和气概，同时还很好地刻画了整体地看待事物的意境，更加凸现泰山高大巍峨的气势，使得诗人登高望远，眼前景色一览无余，给人一种心旷神怡的感觉.所以，我们在研究数学问题时，应该首先关注题目的整体结构，这样有助于我们把握解题的大方向，使得我们能“看到”问题的本质.然后，再从局部入手.由此可见，整体的思想方法就像一个“指南针”，它指引着我们解题的方向，使得我们不至于被细节迷失方向.。

例谈整体思想在数学解题中的应用摘要：整体思想是一种重要的数学思想方法，它是从整体上把握全局，注重问题的整体结构和特征，分析条件和结论的联系，从而使问题得以解决，常能化繁为简，变难为易，使解题过程显得简洁明快。

关键词：数学思想整体思想数学是一门具有严密逻辑性的基础学科，随着人类的进步和科学的发展，人们对数学的严密性和逻辑性有了更高的要求，因此，数学教师从教学的一开始就要有意识地培养学生的数学思维品质，有意识地贯穿数学思想方法，激发学生的创新思维和寻求新知识新方法的欲望，使学生把握一些解题的规律和方法，这样把学生从各种纷繁复杂的题型中解脱出来，使他们从中得到一些乐趣，在乐中求新，在新中获得更大的收益，其中整体思想是一种经常用到的数学解题的思想方法。

整体思想作为一种重要的思想方法，它在中学数学的各个方面都有广泛的应用。

学生若能灵活运用整体思想，常常能化繁为简，变难为易，提高解题的准确性和灵活性。

整体思想，就是在处理与解决问题时，胸怀整体的全局，暂时忽略或模糊问题的某些局部，注重问题的整体结构和整体特征，从整体上把握解决问题的方向，从整体上分析条件和结论的联系，并作出决策。

对于有一些数学问题，我们如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则能化零为整，化分散为集中，使解题过程显得简洁明快，体现和谐美和数学美。

下面我们通过具体实例来探究整体思想在解题中的应用。

一、在求函数值中的应用例：已知函数f（x）=x3+x+sinx+2，且f（-2）=8则：f（2）=（）a.10b.6c.-4d.8解析：由于y=x3，y=x，y=sinx都是奇函数，所以将x3+x+sinx 看作一个整体，故设g（x）=x3+x+sinx，（此函数为奇函数）所以f（x）=g（x）+2∵f（-2）=8 ∴f（-2）=g（-2）+2∴g（2）=-6∴f（2）=g（2）+2=-4，故选c。

二、在函数单调性中的应用例：求函数y=（x2+5）/（x2+4）1/2的最值。

例谈初中数学思想方法的教学7篇第1篇示例：初中数学思想方法的教学是提高学生数学学习能力和解决问题能力的重要环节。

数学思想方法的培养是数学教学中的一项重要任务，它不仅能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还能够激发学生的学习兴趣和动手能力，培养学生的解决问题的能力。

教师在初中数学教学中应注重培养学生的数学思想方法，提高他们的数学素养。

一、提倡启发式教学方法启发式教学方法是培养学生数学思想方法的有效手段之一。

教师可以通过引导学生思考和提出问题的方式，激发学生的求知欲和好奇心，促使学生主动探究和发现数学规律。

教师可以给学生一道有趣的问题，让学生通过分析和推理找出解决问题的方法，这样可以激发学生的兴趣，培养他们的独立思考能力和解决问题的能力。

二、注重实践教学方法实践教学方法是培养学生数学思想方法的重要途径之一。

通过数学实践，学生可以将抽象的数学知识与实际生活联系起来，理解数学的应用价值，从而加深对知识的记忆和理解。

教师可以设计一些与实际生活相关的数学问题，让学生在解决问题中体会数学的魅力，培养他们的动手能力和实践能力。

三、鼓励合作学习方法合作学习是培养学生数学思想方法的有效途径之一。

通过合作学习，学生可以相互交流、讨论，共同解决问题，从而提高解决问题的效率和质量。

教师可以组织学生分组讨论、合作完成任务，引导学生相互合作、互帮互助，培养学生的团队合作精神和沟通协作能力。

四、激发创新思维能力第2篇示例：初中数学作为学生数学学科的启蒙阶段，数学思想方法的教学显得尤为重要。

正确的数学思想方法不仅影响到学生对数学的学习态度和兴趣，还直接影响到数学学科的学习效果。

教师们在进行初中数学教学时，需要注重培养学生的数学思想方法，激发学生学习数学的兴趣和潜能。

初中数学教学要注重启发性教学。

数学是一门反映客观规律的抽象科学，因此教学应注重培养学生的逻辑思维和数学思维能力。

在教学过程中，教师应引导学生通过具体问题认识抽象概念，通过实际情境应用抽象理论。

2017年8月解法探究数学分析思想在高中数学解题过程中的应用!!苏省宜兴中学蒋珊珊数学是高中课程的必修课，也是高中学习的主要学 科，在高考中占有重要地位.作为高中生，数学的学习情 况直接影响着高考的成绩，也影响我们所要选择的学 校.所以，高中数学的学习至关重要，如何把它学好成为 我们应当思考、探讨的大事情.为了提高数学学习效率，为了更好地利用数学这一门学科，笔者反复思考经常做 过的习题，努力寻找蛛丝马迹破解数学学习的难关.笔 者发现只是单纯的依靠做题，做再多的题，思维依旧是 固化的，根本无法从根本上解决数学难题.只有独立思 考、发散思维、学会分析问题、掌握分析思想才是高中数 学解题的核心.―、概述数学分析思想—2实理论基础高中数学和小学、初中的数学不同，小、初数学知识 点少、知识结构简单、知识点之间的联系少，而高中的数 学随着我们的身心发展和逻辑思维能力的发展，它也在 不断扩充.高中数学涉及的知识点比较多，知识面也比 较广泛.在课堂上，老师对数学的教学有一个普遍的流 程，即先学习理论知识指的就是先学习相关的概念、定 义、定理，然后老师带着学生做题进行应用，接着通过习 题的练习巩固和强化学生对知识的掌握与运用.在这个 过程中，我们不能只单纯地听老师讲，然后盲目、惯性的 做题，我们一定要抓住运用的部分，善于动脑、总结分析 发现知识点中蕴含的数学分析思想.在学习过程中，经 自己总结积累形成的数学分析思想是提高数学学习质 量的关键.当我们掌握了数学分析思想，再面对高中数 学题时迎刃而解，节省了时间，提高了效率，保证了正确 率，对高考也有很大的助益.现将数学分析思想进行分类概述如下:第一，转化 与化归的思想，指在遇到数学难题或没有见过的新题型 时，想办法利用所有数学知识和方法进行转化，把复杂的问题简单化，把烦琐的问题进行拆解，拆解成我们可 以解决的各个小问题，使复杂的大问题转化成可以解决 的数学知识点.第二，数形结合的思想，“数”指数量关 系，“形”则是图形、模型，数形结合的思想有两种用法，一是利用“数”准确地描述“形”的特性，或依据“形”形象 直观的展示与“数”之间的关系.数形结合思想的运用，其实就是我们抽象思维与形象思维的结合运用，锻炼我 们思维方式的同时，使高中数学复杂的问题变得简单 化，抽象的问题变得具体化，从而提高我们的解题效率，优化我们的解题技巧.第三，函数思想，利用函数思想去 分析问题或把问题进行转化.函数思想是一个很特别、很奇妙的数学分析思想，只利用一个简短的公式就能包 含无尽的数据.依据函数的思想去思考数学问题，将大 大减少数学问题的解题步骤，提高数学解题效率.为了使同学们深人了解数形结合思想，熟练地将其 应用于高中数学的解题过程中，笔者对它的应用原则进 行补充，以促使同学们更好地理解并实践.在运用数形 结合原则时，同学们一定要注意等价性原则，如果“数”与“形”之间没有等价性，那研究就是徒劳的，完全没有 意义.为了避免我们的付出是无用功，我们一定要重视 起“数”与“形”之间的等价关系.另外，需要认清的是，“数”可能是无限的值，而图形的表现力是有限的，它只 能直观地、片面地对“数”进行反应;其次，数形结合思想 还需注意双向原则，“数”与“形”两者是一体的，同时出 现同时作用于同一事物，故我们在高数解题过程中，既 要关注抽象的实数，又要注意直观的图形，二者相辅相 成、缺一不可.单纯的关注其一，只会让你在解题的过程 中跑得越来越远;再者，数形结合思想的另一原则，择简 而行.当我们确定用数形结合思想解决高中数学中的难 题时，一定选取简单的方法进行解答，加快做题速度，培 养简化思维.高中版十炎75参谋_.解法探究二、培养数学分析思想——提升数学素养仅仅知道理论知识如纸上谈兵没有实际意义，所以 我们需要锻炼，需要在实践中培养出数学分析思想.数 学分析思想是我们在学习数学时，对数学规律慢慢形成 的一种认知.所以为了使我们尽早形成数学分析思想，我 们应从以下几方面进行培养和锻炼.第一，培养自主学 习的能力，同一个老师教出来的学生为什么数学素养不 一样的，这主要取决于我们自己，老师不可能时时指导 我们进行学习，老师也不可能陪我们考试，所以我们一 定要强大我们自己，培养独立学习的好习惯.独立学习、自主思考不仅对我们数学思想的养成有促进作用，同时 对我们以后的学习和更好的生活都有很大的助益.我们 应从课前的预习开始我们的自主学习，高中数学内容涵 盖广，知识点加深，如果单纯依靠老师上课讲解，很难跟 上老师的节奏，无法很好地掌握知识，所以为了数学思 维早日养成，课前预习不可少.其次，我们在课堂上的状 态，直接影响了我们数学思维的培养，紧跟教师的思路，认真听讲，勤思考，是培养数学分析思想的关键.再者，课下的复习，也是非常重要的.我们需要对老师讲课的 过程和思路进行回忆，内化为我们自己的数学思想，提 高我们的数学素养.第二，提高审题能力，在高中数学解 题过程中，学生的审题起到了关键的作用，只有审题审 的好，才能清楚的理解题干，才能在思考问题的过程中 形成思路，进一步发现问题中隐藏的条件，推动问题的 解答.审题是一项细腻的工作，需要我们细心、仔细，初 次见某问题时冷静不慌张，用自己的慧眼、慧心发现数 学问题中潜藏的知识点，然后分门别类地进行解答.如 果学生审题不认真，粗枝大叶，会漏掉很多解题信息，导 致无法正确解答出题目，所以我们一定要养成认真、细 心的习惯，提高审题效率，从而正确选择解题的指导思 想.第三，我们要重视常用的数学思想，并对其进行总结 和领悟.与普通的数学知识不同，数学思想的形成对我 们的学习和成长都有积极的促进作用，它伴随我们学习 数学的整个过程，是一种特殊的数学意识，隶属于思维 层面，它直面高中数学的所有问题，并对问题的解决提 供了指导思想.为了更好地运用数学思想，使其在实践 中发挥作用，产生对应的数学解题方法，我们必须更加 深人地领悟数学思想和方法，才能将别人的解题技巧与 教材知识相融合，形成属于我们自己的数学素养.第四，利用网络技术拓宽我们的知识面，促进数学分析思想的 形成.最近几年，高中的数学试题越来越开放，越来越注重学生能力的发展.我们作为学生可以自己从网上搜集 最新的数学信息，丰富自己的数学素养，同时搜集不同 的题型，开阔我们的视野，促使数学思维早日形成.数学分析思维的培养还需基于教材进行深人挖掘，毕竟万法不离其宗，我们要仔细分析课本内容，研究其 解题思路，分析其蕴含的数学思想，并对其进行总结，平 时考试或高考，出题教师不可能背离教材中的数学思 想，所以我们要通过深人地研究课本内容，丰富我们的 数学思想.综上所述，我们培养独立思考的能力，主动地 去学习消化知识，寻找数学思想;养成细心的习惯，提高 审题能力，从而发现数学思想，并准确合理地将其应用 出来;养成总结领悟的良好习惯，结合常规思维使我们 的数学分析思维更加完善;拓展知识面，以开放的胸怀 吸纳更多的数学新思想，最终熟练运用数学分析思维解 决遇到的问题.三、运用数学分析思想——畅游数学天地我们学习数学分析思想的终极目的，不是为了把它 捧得高高在上，而是为了利用数学分析思想，提高解题 效率，提升数学成绩.我们已经掌握了数学分析思想，现 在我们来谈一谈它在高中数学解题过程中的应用.(1)当我们遇到没有见过的题型时，需要运用转化 与化归思想，把陌生的数学难题转变为我们熟悉的题 型.诚然，教材内容是客观一定的，里面的概念、定义、原 理也是一定的，是不能改变的，但不断变化的数学题型，却从不同程度不同侧面来考查学生，所以，当我们遇到 陌生题型时不要慌，别害怕，我们要利用转化思想，把它 转化为我们熟悉的数学分析思想，转化的过程中需要辅 助元素，构建起已知条件与所求问题之间的某种联系，而这种联系靠辅助元素来搭建，通过已知条件、辅助元 素、所求问题、熟知的数学分析思想，问题迎刃而解.例如，“求函数"=2$+4!/1&$的值域”，在第一次遇 到这个函数问题时，我们先冷静、仔细分析已知条件，我 们没有见过带根号求值域的题目，单纯地分析$，"毫无头 绪，此时我们利用数学分析思想中的转化思想试一试，把没有见过的带根号的式子利用辅助元素进行转化，变成熟悉的题型呢.下面我们就借助辅助元素'，令'，依据偶次根式的性质，我们都知道'"0,而已知条件中 的原函数转化为我们熟知的关于'的二次函数.令('，则'"0，所以1&'2,现将1&'2，代人已知条件变成 了y=2( 1&'2)+4'，经化简成为 y(-2'2+4'+2=-2 ('-1)2%4，需 要特别注意的是，辅助元素0.现在我们所要求得问题2017年8月76十•？炎，？高中版2017年8月解法探究高考中导数问题的若干求解策略#!苏省海门实验学校蒋程导数不仅是近几年高考的热点与高频考点，更是作 为2017年各个省市高考与模考的压轴题.这个模块上常 常立意创新.本文是笔者通过这几年的教学实践来谈谈 解决这类问题的思维策略，总结一些导数的经验和看 法，希望大家批评指正.―、对于零点问题的处理策略一一函数分离在近几年的考试中，零点个数问题考查比较深人. 在对函数求导探究单调性的过程中，对于一些基本函 数，如!=e*，!=ln(，y=(2等，常常分离开来，放在一边单独 讨论，部分题目与数形结合思想相结合，会对问题的解 决有不少帮助.例 1已知函数■-a lm c(a$R).转化成了 !"-2*-1 )2+4($!0)，这是我们常见的题型，解 决起来非常容易.因为$"1时，！的值最大等于4，y没有最 小值.所以原函数的值域是(-!, 4 ].利用转化思想解决 这道函数问题时一定要注意辅助元素的取值范围.(2)利用逆向思维的数学分析思想，有些题型正面 解决非常麻烦，我们可以尝试逆向思维来解决.换一种 思路数学解题就换了一片天地.(3 )例如，我们在解答“问一元二次方程(a+2 )(2-8(+ a=0在a满足什么的条件下至少存在一个正实数根.”从正 面解答的话，我们需要分析方程的解存在两正实数根、两 负数根、一正根一负根还有无解的情况，过于麻烦和烦 琐，但如果反过来思考，找到所求的对立面其补集就是 我们要的结果.至少一个正实根的对立面是方程两个解 都是负数，这样解决起来就方便多了.类比与归纳思想 在数学分析中的应用，即把所要解决的问题与相类似的 题型联系起来，找到共同点的一种简化数学分析思想.(1)若（（)在("2处取得极值，求（（)在点（1，（ 1))处 的切线方程.(2) a>0时，若（（)有唯一的零点(。