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2019年华师大版八年级数学下册19.2.2 第1课时 菱形的判定定理1公开课课件

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华东师大版八年级下册数学19.菱形的判定课件

华东师大版八年级下册数学19.菱形的判定课件

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飞扬拼搏 旋律氤氲 年华无限 青春八二
激情活力 争创佳绩 星阑传奇 天下无敌
∴ 四边形ABCD是菱形
如图四边形ABCD是平行四边形，两条对角线AC、BD 相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6 求证：四边形ABCD是菱形.
如图矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，AB，BC， CD的中点. 求证：四边形EHGF是菱形.
知识升华
性质：菱形的每一条对角线平分一组对角
是菱形.
四边形？ 平行四边形？
如右图，已知四边形ABCD是平行四 边形，对角线AC与BD交于点O，且 AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形.
∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OB=OD ∵ AC⊥BD ∴ AC是线段BD的垂直平分线 ∴ AB=AD
∴ 四边形ABCD是菱形
如右图，已知四边形ABCD是平行四 边形，对角线AC与BD交于点O，且 AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形. ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OB=OD
活动三 知识运用
例:如图，在四边形ABCD中， BD垂直平分线段AC，
且相交于点O，∠1=∠2.
求证：四边形ABCD是菱形.
∵ BD垂直平分线段AC
∴ OA=OC，AC⊥BD ，AB=BC，AD=DC
∴ ∠1= ∠OBC， ∠2= ∠ODA，
∵ ∠1= ∠2
∴ ∠1= ∠ODA ∠2= ∠OBC
∴ AB=AD BC=BD ∴ AB=AD=BC=BD
一条对角线平分一组对角的 两条对角线分别平分一组对角的
是菱形. 是菱形.
四边形？ 平行四边形？

华东师大版八年级数学下册19.菱形的判定课件

华东师大版八年级数学下册19.菱形的判定课件
几何语言:∵ 四边形ABCD是平行四边形,AB=BC, A D ∴ 四边形ABCD是菱形.
B
C
方法二(判定定理1):四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：∵ AB=BC=CD=DA, ∴ 四边形ABCD是菱形.
方法三(判定定理2):对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形, AC⊥BD, ∴ 四边形ABCD是菱形.
D
C
O
A
B
随堂练习
1.判断下列说法是否正确：
有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
对角线互相垂直,且一条对角线平分一组对角的四边形是 菱形.
对角线相等且互相平分的四边形是菱形. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
矩形
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为
菱形，那么需要添加的条件可以是（A ）.
几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形, AC⊥BD, ∴ 四边形ABCD是菱形.
例题精析
例1 如图,□ABCD的对角线AC与BD相交于点O: 若AB=AD，则□ABCD是 菱形； 若AC=BD，则□ABCD是 矩形； 若∠ABC是直角，则□ABCD是 矩形; 若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱形; 若AC⊥BD，则□ABCD是____菱_形.
∴ 四边形ABCD是菱形.
A
D
B
C
方法二(判定定理1):四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：∵ AB=BC=CD=DA,
∴ 四边形ABCD是菱形.
巩固练习
1.如图,要使□ ABCD成为菱形,需添加一个条件是( A ).
A. AB＝BC
B．AC＝BD
C. ∠ABC＝90°

华东师大版八年级数学下册19.2.2《菱形的判定定理1》优秀教学案例

华东师大版八年级数学下册19.2.2《菱形的判定定理1》优秀教学案例
（二）讲授新知
1.菱形的定义：引导学生通过观察和分析，总结菱形的定义和性质，如对角线互相垂直平分、四边相等等。
2.菱形的判定定理：引导学生通过实验和观察，发现菱形的判定定理，如对角线互相垂直平分的四边形是菱形等。
3.定理的应用：通过实例讲解，引导学生学会运用菱形的判定定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.学生通过合作交流，培养团队协作精神和沟通能力，提高综合素质。
在教学过程中，我将注重启发式教学，引导学生主动参与，激发他们的学习兴趣和积极性。同时，通过创设丰富的教学情境，让学生在实践中感受数学的魅力，培养他们的创新思维和解决问题的能力。在教学过程中，我还将注重培养学生的团队合作意识，让他们在合作中共同进步，提高综合素质。
2.学生通过观察、实验、归纳等方法，培养直观想象能力和数学推理能力。
3.学生通过练习和应用，巩固菱形的性质和判定定理，提高解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够在学习过程中体验到数学的乐趣，增强对数学的兴趣和自信心。
2.学生能够认识数学在生活中的应用价值，培养运用数学解决实际问题的意识。
2.问题情境：创设有趣的问题，如“如何判断一个四边形是否为菱形？”引导学生思考，激发他们的探究精神。
3.几何情境：通过展示几何图形，如矩形、正方形等，引导学生发现菱形的特殊性质，激发他们的观察和分析能力。
（二）问题导向
1.提出问题：在教学过程中，提出引导性问题，引导学生思考和探索菱形的性质和判定方法。
3.评价与反馈：学生之间相互评价，给予反馈，促进学生的相互学习和进步。
（四）反思与评价
1.自我反思：鼓励学生对自己的学习过程进行反思，发现自己的不足，制定改进措施。
2.同伴评价：学生之间相互评价，给予反馈，培养学生的评价能力和团队协作精神。

华师大版八年级数学下册第十九章《19.2菱形(第2课时 菱形的判定)》课件

华师大版八年级数学下册第十九章《19.2菱形(第2课时 菱形的判定)》课件

B
D
A
CA
C O
B D
注： 对角线互相垂直的四边形不能判定为菱形。
对角线相等且垂直的四边 形是菱形吗？
判断下列说法是否正确：
1.有一条对角线平分一组对角的 四边形是菱形
2.对角线互相垂直，且一条对角线 平分一组对角的四边形是菱形
3.对角线相等且互相平分的四边形 是菱形 4.对角线互相垂直平分的四边形是 菱形
∴AO=CO (平行四边形的对角线
A
O
C 互相平分)
又∵ AC⊥BD
B
∴AD=CD (线段垂直平分线上的点
到线段的两个端点距离相等)
∴ ABCD是菱 形（有一组邻边 相等的平行四边形是菱形）
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
观察与思考：若四边形ABCD的对角线 AC⊥BD，则四边形ABCD是不是菱形？
矩形
例1：如图， ABCD的两条对角线AC、BD 相交于点O，AB= 5 ，AO=2，OB=1.
（1）AC，BD互相垂直吗？为什么？
（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
D
解：（1）∵ AB= 5 ，AO=2，OB=1.
A
2 1O
5
B
C
∴ A2 BO2A O2B
根据勾股定理逆定理
∴ ∠AOB=90°， ∴AC⊥BD.
A
O
C
1. 菱形的四条边都相等。
B
AB=BC=CD=DA
2.菱形的对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角。
OA=OC OB=OD ；
AC⊥BD
AC平分∠BAD， ∠BCD； BD平分∠ADC， ∠ABC；
如图, 在 ABCD中，若AC⊥BD,那么 ABCD 是菱形吗？为什么？

华东师大版八年级下册数学19.菱形的判定课件

华东师大版八年级下册数学19.菱形的判定课件

∴ ABCD是菱形.（菱形的定义）
如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E， DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形。
A
E F
B
D
C
总结梳理 内化目标
三个角是直角
四边形
一组对边平行且相等 两组对边分别相等
两组对边分别平行
两组对角分别相等 对角线互相平分
平行四边形
四条边都相等
矩形 菱形
菱形的判定
创设情景 明确目标
我们学习了矩形的定义、性质和判定，如下表 ．你 能发现矩形的三条判定定理分别是从哪个角度得到的吗？
矩形的 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
A
D
具有平行四边形的所有性质
矩形的 对角线相等
O
性质 四个角都是直角
有一个角是直角的平行四边形是矩形
B
C 矩形的
判定 对角线相等的平行四边形是矩形
如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA． 求证：四边形ABCD是菱形．
B
A
C
D
菱形的
D
定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
具有平行四边形的所有性质 菱形的 对角线互相垂直且平分每一组对角 A O C 性质 菱形的四条边都相等
一组邻边相等的平行四边形是菱形
B
？ 菱形的 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 判定
2．经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想， 体会研究图形判定的一般思路．
பைடு நூலகம்
探究点一 菱形的判定
定求理证1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且 AC⊥BD．求证： ABCD是菱形。

华师大版八年级数学下册第十九章《19.2.2 菱形的判定》公开课课件1 (华东师大版)

华师大版八年级数学下册第十九章《19.2.2 菱形的判定》公开课课件1 (华东师大版)

ABCD的周长=————2—4平—方, 厘米
A
5
D
3O
4
B
C
例1、把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，试探
究重叠部分ABCD的形状，并说明理由。
A BC
解：重叠部分为菱形，理由如下：
过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F
D ∠AEB=∠AFD=900
因纸条等宽，故AE=AF 又 AB∥CD,AD∥BC ∴四边形ABCD为平行四边形 ∴∠ABE=∠ADF ∴△ABE≌△ADF(A.A.S) ∴AB=AD ∴四边形ABCD是菱形。
∴BE=
24 3平 方 厘 米
BC=AB=
∴S菱形ABCD=BC·AE=
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/292021/7/29Thur sday, July 29, 2021
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021 12:59:33 PM
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/29
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021

华师大版19.2.2《菱形的判定》课件(共20张PPT)

华东师大版 八年级数学下册
19.2 菱形的判定
辉县市城北初级中学 李永霞
动手操作
• 取两根长度不等的细纸条，将两根纸条的
中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出
纸条四个端点的连线，则这四条线段组成
一个什么图形，若转动其中一根纸条，使
两根纸条之间的夹角等于 90° ，这时图形
的形状是什么图形
D
A
C
B
学习目标
拓展提升
1.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D与B重合，折痕为 EF，然后展开，连接DF，BE． 求证：四边形EBFD是菱形；
C
∴OA=OC
又∵AC⊥BD;
∴BA=BC ∴ 平行四边形ABCD是菱形
新课学习
菱形的判定3：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
D
A
D
AC⊥BD
B
C
平行四边形ABCD
B
C
菱形ABCD
数学语言∵在□ABCD中，AC⊥BD ∴ □ABCD是菱形
动手操作
• 取两根长度不等的细纸条，将两根纸条的
中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出
纸条四个端点的连线，则这四条线段组成
一个什么图形，若转动其中一根纸条，使
两根纸条之间的夹角等于 90° ，这时图形
的形状是什么图形
D
A
C
B
新课学习
例4: 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交
于点O，AB=5,AO=4,BO=3.求证： 平行四边形
ABCD是菱形.
D
A
O
C
B
知识巩固
1、判断题
1、掌握菱形的判定定理及证明方法。
2、学会运用菱形的判定解决一些问题； 进一步发展合情推理能力；逐步掌握说 理的基本方法。

初中数学华东师大版八年级下册19.2.2 第1课时 菱形的判定定理1 课件(共15张PPT)


∴AB=AC，DF= 1 AC=AE，EF= 1 AB=AD,
2
2
∴DF=AD=EF=AE，
∴四边形ADFE是菱形．
点拨：线段垂直平分线的 性质，三角的中位线定理.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
例2.已知，如图所示，在▱ABCD中，∠BAD的平分线与BC交于E，∠ABC的平 分线交AD于点F，AE，BF交于O，则四边形ABEF为菱形，请说明理由．
第19章 矩形、菱形与正方形 19.2.2 菱形的判定
第1课时 菱形的判定定理1
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
1.利用菱形的定义来判定菱形 2.利用菱形的判定定理1来判定菱形
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
想一想1：菱形的定义是什么？性质有哪些？ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
总结归纳 菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
+ 邻边相等 =
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边
形ACED为菱形的是（ B ）
A．AB=BC
B．AC=BC
C．∠B=60°
D．∠ACB=60°
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
4.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAE，AD∥BC，AE∥DC．请判断四边形 AECD的形状，并说明理由．
解：四边形AECD是菱形 ∵AD∥BC，AE∥DC ∴四边形AECD是平行四边形 ∵AC平分∠DAE ∴∠DAC=∠EAC 又∵AD∥BC ∴∠=∠ECA ∴∠EAC=∠ECA ∴EA=EC ∴四边形AECD是菱形

(华师大版)八年级数学下册(课件) 19.2.2菱形的判定1


证明：∵ABCD是距形。
A
∴AB=CD,AD=BC
又∵E,F,G,H是中点。
E
∴AE=BE=CG=DG
AH=BF=CF=DH
B
∴△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH
∴EH=EF=GH=GF
∴四边形DEFG是菱形。
H D G
F
C
本节课你学习了什么知识？
1、如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.求证：四边形OCED是菱形
A
D
O
E
B
C
2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE垂直平分BC， 垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE， 求证：四边形ACEF是菱形。
B
E
F
D
C
A
3、在◇ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB, PF⊥AD,垂足分别为E,F且PE=PF. ◇ABCD是菱形吗？ 为什么？
D
F
P
A
E
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB
人生的价值，并不是用时间，而 是用深度去衡量的。
——列夫·托尔斯泰
3、连接BC、CD，就得到了一个四条边都相等的四边形 ABCD.
观察你所画的图形，它是菱形吗？
菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形。
A
∵在四边形ABCD中,
AB=BC=CD=DA
B
D
∴四边形ABCD是菱形.
C
例4 如图，在距形ABCD中，E、F、G、H分别是 四条边的中点。求证：四边形DEFG是菱形。
义务教育教科书（华师版）八年级数学下册
菱形有哪些性质？
1、菱形的四条边都相等。 2、菱形的对角线互相垂直且平分一组对角。

华师大版初中数学八年级下册19.2.2 第1课时 菱形的判定定理1


2.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠
好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是
（ ）
A.正方形
B.等腰梯形
C.菱形
D.矩形
3.四边形的四边长顺次为 a、b、c、d，且 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是
（ ）
F
B
H EA
10.如图，已知四边形 ABCD 为矩形，AD＝20㎝、AB＝10㎝。M 点从 D 到 A，P 点从 B 到 C，
TB:小初高题库
华师大版初中数学
两点的速度都为 2㎝/s；N 点从 A 到 B，Q 点从 C 到 D，两点的速度都为 1㎝/s。若四个 点同时出发。 （1）判断四边形 MNPQ 的形状。 （2）四边形 MNPQ 能为菱形吗？若能，请求出此时运动的时间；若不能，说明理由。
华师大版初中数学
华师大版初中数学 重点知识精选
掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！ 华师大初中数学 和你一起共同进步学业有成！
TB:小初高题库
华师大版初中数学
2.菱形的判定
第 1 课时 菱形的判定定理 1
1.用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ）
A.矩形
B.菱形 C.正方形
D.等腰梯形
8.如图，已知四边形 ABCD 为菱形，AE＝CF. 求证：四边形 BEDF 为菱形.
A E
B
D
F C
9. 如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC 的平分线 BD交 AC 于点 D，CH⊥AB 于 H，且 BD 于点 F，DE⊥AB 于 E，四边形 CDEF 是菱形吗？请说明理由．
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D 想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证 小刚的作法对吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形.
证一证 已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵AB=BC=CD=AD; ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. A B C
平行四边形
边 角
一组邻边相等 两组对边平行
菱形
菱 形 的 性 质
四条边相等 两组对角分别相等
对角线
邻角互补 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
数学语言 ∵四边形ABCD是平行四边形， A AB=AD， B
例2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm， BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到 △DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接 AD.求证：四边形ACFD是菱形． 证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC. ∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
第19章 矩形、菱形与正方形
19.2 菱形
2.菱形的判定
第1课时 菱形的判定定理1
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.运用菱形的定义来判定菱形；（重点） 2.利用菱形的性质（四条边相等）来判定菱形. （难点）
பைடு நூலகம்
导入新课
复习引入 问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
解析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE， ∴AC∥DE，AC=DE， ∴四边形ACED为平行四边形. 当AC=BC时，AC=CE， 平行四边形ACED是菱形． 故选B．
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，
使AE=AB，连接ED、EC、AC．添加一个条件，能使
四边形ACDE成为菱形的是（ B ） A．AB=AD C．CD=AE B．AB=ED D．EC=AD
AF DH , AE ED,
∴△AEF≌△DEH，∴EF=EH， 同理可得EF=EH=HG=FG. ∴四边形EFGH是菱形.
拓展 如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边 形EFGH是什么四边形？
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
A
E C G
B H
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C， ∵点E、F、G、H为各边中点，
C
D
∴四边形ABCD是菱形.
思考 还有其他的判定方法吗？
讲授新课
一 四条边都相等的四边形是菱形
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？ B
小刚：分别以A、C为圆心,以
1 大于 AC的长为半径作弧,两条 2
A
C
弧分别相交于点B , D,依次连接
A、B、C、D四点.
AC AB 2 BC 2 62 82 10 cm .
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm， ∴四边形ACFD是菱形．
归纳 四边形的条件中存在多个关于边的等量关系 时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较 方便．
例3 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四 边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形. E A D 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠A=∠D=90°. F H ∵点F、E、H为AB、AD、CD B 的中点， G C
D
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
要点归纳 菱形的判定定理： 四条边都相等的四边形是菱形 A A D AB=BC=CD=AD B D
C 四边形ABCD
B C 菱形ABCD
几何语言描述： ∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
练一练
下列命题中正确的是 （ C）
AF CH，CG AE,
F
D
∴△AEF≌△CGH， ∴EF=GH， 同理可得FG=EH， ∴四边形EFGH是平行四边形.
思考 在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽 的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形， 你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？
A B E C
F
D
请补充完整的 证明过程
分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一 组邻边相等或对角线互相垂直即可. 由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等， 然后通过证△ABE≌△ADF，即得AB=AD.
当堂练习
1.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD， 下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ B ） A．AB=BC C．∠B=60° B．AC=BC D．∠ACB=60°
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
典例精析 例1 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在 AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形. 证明： ∵ ∠1= ∠2, A 又∵AE=AC,AD=AD, 1 2 E ∴ △ACD≌ △AED (SAS). F 同理△ACF≌△AEF(SAS) . B C D ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF, ∴四边形CDEF是菱形.
3.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直 平分AD交AB于E，交AC于F． 求证：四边形AEDF是菱形． 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD. 又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°. ∵在△AEO和△AFO中 ∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF, ∴△AEO≌△AFO（ASA）， ∴EO=FO，AE=AF. ∵EF垂直平分AD，∴EF、AD相互平分， ∴四边形AEDF是平行四边形. 又∵AE=AF，∴平行四边形AEDF为菱形．
4.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的 平分线交BC于点E，连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长． （1）证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程可得 AB=AF，∠BAE=∠FAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE， ∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB=AF， ∴四边形ABEF为菱形；