2014高考数学总复习(人教新课标)课时作业53

第3讲平面向量的数量积及应用基础巩固1.已知a=(1,0),b=(1,1),(a+λb)⊥b,则λ等于()A.-2B.2C.D.-【答案】D【解析】由(a+λb)·b=0,得a·b+λ|b|2=0,得1+2λ=0,即λ=-,故选D.2.若向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是()A.a·b=1B.|a|=|b|C.(a-b)⊥bD.a∥b【答案】C【解析】a·b=2,选项A错误;|a|=2,|b|=,选项B错误;(a-b)·b=(1,-1)·(1,1)=0,选项C正确,故选C.3.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=5,则|3a-b|等于()A.7B.6C.5D.4【答案】A【解析】|3a-b|=====7.故选A.4.(2012·湖南永州模拟)已知平面上三点A,B,C满足||=6,||=8,||=10,则·+·+·的值等于()A.100B.96C.-100D.-96【答案】C【解析】∵||=6,||=8,||=10,62+82=102,∴△ABC为直角三角形,即·=0.·+·+·=·(+)=·=-||2=-100.5.(2013届·浙江杭州质检)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,则a+b与a-b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】B【解析】将|a+b|=|a-b|两边同时平方,得a·b=0;将|a-b|=|a|两边同时平方,得b2=a2.所以cos<a+b,a-b>===.所以<a+b,a-b>=60°.6.已知向量a=(2cos α,2sin α),b=(3cos β,3sin β),若a与b的夹角为60°,则直线x cos α-y sin α+=0与圆(x-cos β)2+(y+sin β)2=的位置关系是()A.相交B.相交且过圆心C.相切D.相离【答案】D【解析】∵a=(2cos α,2sin α),b=(3cos β,3sin β),∴|a|=2,|b|=3.∴a·b=6cos αcos β+6sin αsin β=6cos(α-β).而a·b=|a||b|cos 60°=3,∴6cos(α-β)=3⇒cos(α-β)=.则圆心(cos β,-sin β)到直线x cos α-y sin α+=0的距离d===1>=r,故直线与圆相离.7.设向量a与b的夹角为θ,定义a与b的“向量积”:a×b是一个向量,它的模|a×b|=|a||b|sin θ,若a=(-,-1),b=(1,),则|a×b|等于()A. B.2 C.2 D.4【答案】B【解析】∵|a|=|b|=2,a·b=-2,∴cos θ==-.又θ∈[0,π],∴sin θ=.∴|a×b|=2×2×=2.故选B.8.已知向量a=(4,3),b=(sin α,cos α),且a⊥b,那么tan 2α=.【答案】-【解析】由a⊥b得4sin α+3cos α=0,所以tan α=-⇒tan 2α=-.9.(2012·课标全国卷,15)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=. 【答案】3【解析】∵a,b的夹角为45°,|a|=1,∴a·b=|a||b|cos 45°=|b|,|2a-b|2=4-4×|b|+|b|2=10,∴|b|=3.10.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:①若a·b=a·c,则b=c.②若a=(1,k),b=(-2,6), a∥b,则k=-3.③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号).【答案】②【解析】命题①明显错误.由两向量平行的充要条件得1×6+2k=0,k=-3,故命题②正确.由|a|=|b|=|a-b|,再结合平行四边形法则可得a与a+b的夹角为30°,命题③错误.11.已知=(2,5),=(3,1),=(6,3),在上是否存在点M,使⊥,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【解】设存在点M,且=λ=(6λ,3λ),∴=-=(2-6λ,5-3λ),=-=(3-6λ,1-3λ).∵⊥,∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0,即45λ2-48λ+11=0,解得λ=或λ=.∴=(2,1)或=.∴存在M(2,1)或M满足题意.12.已知向量a=(1,2),b=(2,-2).(1)设c=4a+b,求(b·c)a;(2)若a+λb与a垂直,求λ的值;(3)求向量a在b方向上的投影.【解】(1)∵a=(1,2),b=(2,-2),∴c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6).∴b·c=2×6-2×6=0.∴(b·c)a=0×a=0.(2)a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(2λ+1,2-2λ),由于a+λb与a垂直,∴2λ+1+2(2-2λ)=0,∴λ=.(3)设向量a与b的夹角为θ,向量a在b方向上的投影为|a|cos θ.∴|a|cos θ===-=-.13.已知a=(sin θ,1),b=(1,cos θ),c=(0,3),-<θ<.(1)若(4a-c)∥b,求θ;(2)求|a+b|的取值范围.【解】(1)4a-c=(4sin θ,4)-(0,3)=(4sin θ,1),∵(4a-c)∥b,∴4sin θcos θ-1=0.∴sin 2θ=.∵θ∈,∴2θ∈(-π,π).∴2θ=或,即θ=或.(2)a+b=(sin θ+1,1+cos θ),|a+b|===,∵-<θ<,∴-<θ+<.∴sin.∴2sin∈(-2,2].∴|a+b|∈(1,+1].拓展延伸14.(2012·湖南衡阳六校联考)已知向量m=,n=,函数f(x)=m·n.(1)若f(x) =1,求cos的值;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,且满足a cos C+c=b,求f(B)的取值范围. 【解】由题意得f(x)=sincos+cos2=sin+cos+=sin+.(1)由f(x)=1,可得sin=,则cos=2cos2-1=2sin2-1=-.(2)由a cos C+c=b可得a·+c=b,即b2+c2-a2=bc,则cos A ==,得A=,B+C=,易知0<B<,0<<,则<+<,所以1<sin+<.故f(B)的取值范围为.。

课时作业(24)1．(2011·某某文)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交 答案 B解析 若在平面α内存在与直线l 平行的直线，因l ⊄α，故l ∥α，这与题意矛盾，故选B.2．(2010·某某)如图，M 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列四个命题：①过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都平行． 其中真命题是( ) A ．②③④B ．①③④ C ．①②④D ．①②③ 答案 C解析 将过点M 的平面CDD 1C 1绕直线DD 1旋转任意非零的角度，所得的平面与直线AB ，B 1C 1都相交，故③错误，排除ABD ，选C.3．空间中A 、B 、C 、D 、E 五点不共面，已知A 、B 、C 、D 在同一平面内，点B 、C 、D 、E 在同一平面内，那么B 、C 、D 三点( )A ．一定构成三角形B ．一定共线C ．不一定共线D ．与A 、E 共面 答案 B解析 设面ABCD 为α，面BCDE 为β且A 、B 、C 、D 、E 不共面，则⎩⎪⎨⎪⎧ BC ⊂α，BC ⊂β，CD ⊂α，CD ⊂β，则α、β必相交于直线l .且B ∈l ，C ∈l ，D ∈l .故B 、C 、D 三点一定共线且位于面ABCD 与面BCDE 的交线上．4．如图，正三棱柱ABC－A′B′C′的底面边长和侧棱长均为2，D、E分别为AA′与BC 的中点，则A′E与BD所成角的余弦值为( )A．0B.35 7C.147D.105答案 B解析取B′B中点F，连接A′F，则有A′F綊BD. ∴∠FA′E或其补角即为所求．∵三棱柱ABC－A′B′C棱长均为2，∴A′F＝5，FE＝2，A′E＝7.∴cos∠FA′E＝35 7.故A′E与BD所成角余弦值为357.5．设有如下三个命题：甲：相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l，m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时( )A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件答案 C解析当甲成立，即“相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l，m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l，m中至少有一条与平面β相交”也成立，故选C.6．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC答案 D解析ABCD可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立．7.右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②与BE是异面直线；③与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是( )A．①②③B．②④C．③④D．②③④答案 C解析如图，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故命题①不成立；而与BE平行，故命题②不成立；又四个选项中仅有选项C不含②，运用排除法，故应选C.8．已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是( ) A．(1)(2)(3) B．(1)(4)C．(1)(2)(4) D．(2)(4)答案 C解析如图1，当直线m或直线n在平面α内时不可能有符合题意的点；如图2，直线m，n到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m，n所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.9．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)答案②④解析图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．10．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为________．(写出所有正确结论的序号)答案①③④解析如图，由面面平行的性质可知BE∥FD′，ED′∥BF，∴四边形BFD′E是平行四边形，∴①正确；它不可能是正方形，否则BE⊥平面A′ADD′，∴②错误；又∵四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，∴它一定是正方形，∴③正确；当E 、F 分别为所在棱的中点时，EF ⊥平面BB ′D ，∴此时面BFDE ′垂直于面BB ′D .∴④正确．11.如图，正四面体S －ABC 中，D 为SC 的中点，则BD 与SA 所成角的余弦值是________．答案36解析 取AC 中点E ，连接DE ，BE ，则BD 与DE 所成的角即为BD 与SA 所成的角． 设SA ＝a ，则BD ＝BE ＝32a ，DE ＝a 2. 由余弦定理知cos ∠BDE ＝36. 12．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点．求异面直线A 1E 与GF 所成角的大小．答案 90°解析 连接B 1G ，EG ，B 1F ，CF .∵E 、G 是棱DD 1、CC 1的中点，∴A 1B 1∥EG . ∴四边形A 1B 1GE 是平行四边形，∴B 1G ∥A 1E .所以∠B 1GF (或其补角)就是异面直线A 1E 与GF 所成的角． 在Rt △B 1C 1G 中，B 1C 1＝AD ＝1，C 1G ＝12AA 1＝1，∴B 1G ＝ 2.在Rt △FBC 中，BC ＝BF ＝1，∴FC ＝ 2. 在Rt △FCG 中，CF ＝2，CG ＝1，∴FG ＝ 3. 在Rt △B 1BF 中，BF ＝1，B 1B ＝2，∴B 1F ＝ 5. 在△B 1FG 中，B 1G 2＋FG 2＝B 1F 2，∴∠B 1GF ＝90°. 因此，异面直线A 1E 与GF 所成的角为90°.13.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点． 求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面；(2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．证明 (1)如图，连接CD 1、EF 、A 1B ， ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B .又∵A 1D 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形． ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1.∴EF 与CD 1确定一个平面α.∴E 、F 、C 、D 1∈α，即E 、C 、D 1、F 四点共面． (2)由(1)知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，∴四边形CD 1FE 是梯形，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，则P ∈CE ⊂平面ABCD ，且P ∈D 1F ⊂平面A 1ADD 1.∴P ∈平面ABCD 且P ∈平面A 1ADD 1. 又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ， ∴P ∈AD ，∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．14．如图所示，设A 是BCD 所在平面外一点，AD ＝BC ＝2 cm ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点．(1)若EF ＝ 2 cm ，求异面直线AD 和BC 所成的角； (2)若EF ＝ 3 cm ，求异面直线AD 和BC 所成的角． 答案 (1)90° (1)60°解析 取AC 的中点G ，连接EG 、FG . ∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴EG ∥BC 且EG ＝12BC ＝1 cm ，FG ∥AD 且FG ＝12AD ＝1 cm.∴∠EGF 即为所求异面直线的角或其补角．(1)当EF ＝ 2 cm 时，由EF 2＝EG 2＋FG 2，得∠EGF ＝90°. ∴异面直线AD 和BC 所成的角为90°. (2)当EF ＝ 3 cm 时，在△EFG 中，取EF 的中点H ，连接GH ， ∵EG ＝GF ＝1 cm ， ∴GH ⊥EF ，EH ＝FH ＝32cm. ∴GH ＝GF 2－HF 2＝12 cm.∴∠GFH ＝∠GEH ＝30°.∴∠FGE ＝120°，其补角为60°. ∴异面直线AD 和BC 所成的角为60°.15．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1所有的棱长都为2，E 是A 1B 的中点，F 在棱CC 1上． (1)当C 1F ＝12CF 时，求多面体ABCFA 1的体积；(2)当点F 使得A 1F ＋BF 为最小时，求异面直线AE 与A 1F 所成的角．解析 (1)当C 1F ＝12CF ，即F 为C 1C 的一个三等分点． 多面体ABCFA 1可分解为三棱锥A 1－ABC 和A 1－BCF 两部分，∴V ＝VA 1－ABC ＋VA 1－BCF ＝1039. (2)将平面BCC 1B 1沿CC 1展开可知，F 为中点时，A 1F ＋BF 最小，取BF 的中点D ，连接DE ，则∠AED 即为所求角．在△AED 中AE ＝2，ED ＝12A 1F ＝52，AD ＝132.∴AD 2＝AE 2＋ED 2，∴∠AED ＝90°. ∴异面直线AE 与A 1F 所成的角为90°. (此题也可用向量法解，学生自己试做)．。

课时规X练53 用样本估计总体一、基础巩固组1.一组数据分别为12,16,20,23,20,15,28,23,则这组数据的中位数是()A.19B.20C.21.5D.232.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:甲乙丙丁平均环数8.3 8.8 8.8 8.7方差s23.5 3.6 2.2 5.4从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛,最佳人选是()A.甲B.乙C.丙D.丁3.(2017某某某某一模,理3)某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测,如图是根据抽样检测后零件的质量(单位:克)绘制的频率分布直方图,样本数据分8组,分别为[80,82),[82,84),[84,86),[86,88),[88,90),[90,92),[92,94),[94,96],则样本的中位数在()A.第3组B.第4组C.第5组D.第6组4.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:cm)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为()A.2B.3C.4D.5 〚导学号21500581〛5.在某次测量中得到的甲样本数据如下:42,43,46,52,42,50,若乙样本数据恰好是甲样本每个数据都减5后所得数据,则甲、乙两个样本的下列数字特征对应相同的是()A.平均数B.标准差C.众数D.中位数6.若数据x1,x2,…,x n的平均数为,方差为s2,则2x1+3,2x2+3,…,2x n+3的平均数和方差分别为()A.和s2B.2+3和4s2C.2+3和s2D.2+3和4s2+12s+97.(2017某某某某一模)某班级有50名同学,一次数学测试平均成绩是92,如果学号为1号到30号的同学平均成绩为90,那么学号为31号到50号同学的平均成绩为.8.某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3,那么成绩在[16,18]的学生人数是.9.某市运动会期间30名志愿者年龄数据如下表:年龄/岁人数/人19 721 228 330 431 532 340 6合计30(1)求这30名志愿者年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这30名志愿者年龄的茎叶图;(3)求这30名志愿者年龄的方差.〚导学号21500582〛二、综合提升组10.若一组数据2,4,6,8的中位数、方差分别为m,n,且ma+nb=1(a>0,b>0),则的最小值为()A.6+2B.4+3C.9+4D.2011.已知样本(x1,x2,…,x n)的平均数为,样本(y1,y2,…,y m)的平均数为),若样本(x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y m)的平均数=α+(1-α),其中0<α<,则n,m的大小关系为()A.n<mB.n>mC.n=mD.不能确定12.(2017某某晋中一模,理13)设样本数据x1,x2,…,x2 017的方差是4,若y i=2x i-1(i=1,2,…,2 017),则y1,y2,…,y2 017的方差为.13.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中a的值;(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段[50,60) [60,70) [70,80) [80,90)x∶y1∶1 2∶1 3∶4 4∶5〚导学号21500583〛三、创新应用组14.某学校随机抽取20个班,调查各班有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示,以5为组距将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是()15.(2017某某某某一模)某校为指导学生合理选择文理科的学习,根据数理综合测评成绩,按6分为满分进行折算后,若学生成绩小于m分建议选择文科,不低于m分则建议选择理科(这部分学生称为候选理科生).现从该校高一随机抽取500名学生的数理综合成绩作为样本,整理得到分数的频率分布直方图(如图所示).(1)求直方图中t的值;(2)根据此次测评,为使80%以上的学生选择理科,整数m至多定为多少?(3)若m=4,试估计该校高一学生中候选理科学生的平均成绩.(精确到0.01)〚导学号21500584〛课时规X练53用样本估计总体1.B把该组数据按从小到大的顺序排列如下:12,15,16,20,20,23,23,28,排在中间的两个数是20,20,故这组数据的中位数为=20.故选B.2.C由题目表格中数据可知,丙的平均环数最高,且方差最小,说明丙的技术稳定,且成绩好,故选C.3.B由题图可得,前第四组的频率为(0.037 5+0.062 5+0.075+0.1)×2=0.55,则其频数为40×0.55=22,且第四组的频数为40×0.1×2=8,即中位数落在第4组,故选B.4.B依题意可得10×(0.005+0.01+0.02+a+0.035)=1,则a=0.03.所以身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生人数比例为3∶2∶1.所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为18=3.5.B设样本甲中的数据为x i(i=1,2,…,6),则样本乙中的数据为y i=x i-5(i=1,2,…,6),则样本乙中的众数、平均数和中位数与甲中的众数、平均数和中位数都相差5,只有标准差没有发生变化,故选B.6.B原数据乘2加上3得到一组新数据,则由平均数、方差的性质可知得到的新数据的平均数、方差分别是2+3和4s2.7.95设学号为31号到50号同学的平均成绩为x,则92×50=90×30+20x,解得x=95,故答案为95.8.54成绩在[16,18]的学生人数所占比例为,所以成绩在[16,18]的学生人数为120=54.9.解 (1)众数为19,极差为21.(2)茎叶图如图.(3)年龄的平均数为=29,故这30名志愿者年龄的方差为[(19-29)2×7+2×(21-29)2+3×(28-29)2+4×(30-29)2+(31-29)2×5+(32-29)2×3+(40-29)2×6]=10.D∵数据2,4,6,8的中位数是5,方差是(9+1+1+9)=5,∴m=5,n=5.∴ma+nb=5a+5b=1(a>0,b>0).(5a+5b)=520(当且仅当a=b时等号成立),故选D.11.A由题意知样本(x1,…,x n,y1,…,y m)的平均数为又=+(1-α),即α=,1-α=因为0<α<,所以0<,即2n<m+n,所以n<m,故选A.12.16根据题意,设样本数据x1,x2,…,x2 017的平均数为,又由其方差为4,则[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+…+(x2 017-)2]=4.对于数据y i=2x i-1(i=1,2,…,2 017),其平均数(y1+y2+…+y2 017)=[(2x1-1)+(2x2-1)+…+(2x2 017-1)]=2-1,其方差[(y1-)2+(y2-)2+(y3-)2+…+(y2 017-)2]=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+…+(x2 017-)2]=16,故答案为16.13.解 (1)依题意,得10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解得a=0.005.(2)这100名学生语文成绩的平均分为:55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73(分).(3)数学成绩在[50,60)的人数为:100×0.05=5,数学成绩在[60,70)的人数为:100×0.4=20,数学成绩在[70,80)的人数为:100×0.3=40,数学成绩在[80,90)的人数为:100×0.2=25,所以数学成绩在[50,90)之外的人数为:100-5-20-40-25=10.14.A由组距可知选项C,D不对;由茎叶图可知[0,5)有1人,[5,10)有1人,故第一、二小组频率相同,频率分布直方图中矩形的高应相等,可排除B.故选A.15.解 (1)根据频率分布直方图,得0.15×1+t×1+0.30×1+t×1+0.15×1=1,解得t=0.2.(2)为使80%以上的学生选择理科,则0.15+0.2+0.3<0.8<0.15+0.2+0.3+0.2,故满足条件的m值为2.(3)当m=4时,4.93,估计该校高一学生中候选理科学生的平均成绩为4.93分.。

数学高考复习名师精品教案第53课时：第六章 不等式——不等式的小结课题：不等式的小结一．复习目标：1．进一步巩固不等式的解法、证明不等式的一般方法、利用不等式求最值的方法；2．能熟练运用不等式的思想方法解决有关应用问题．二．课前预习：1．已知c d <，0a b >>，下列不等式中必成立的一个是 （ ）()A a c b d +>+ ()B a c b d ->- ()C ad bc < ()D a b c d> 2．设,x y 满足220x y +=的正数，则lg lg x y +的最大值是 （ ）()A 50 ()B 2 ()C 1lg5+ ()D 13．设,x y R ∈，221x y +=，(1)(1)m xy xy =-+，则m 的取值范围是 （ ）()A 1[,1]2 ()B (0,1] ()C 3[,1]4 ()D 3[,1)44．设12x >，则函数821y x x =+-的最小值是 ，此时x = ． 5．关于x 的不等式260x ax a --<的解集不是空集，且区间长度不超过5，则实数a 的取值范围是 ．6．使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是 ．7．锐角三角形ABC 中，已知边1,2a b ==，则边c 的取值范围是 ．三．例题分析：例1．（1）已知0x y >>，且1xy =，求22x y x y+-的最小值及相应的,x y 的值； （2）已知0x y >>且3412x y +=，求lg lg x y +的最大值及相应的,x y 的值．例2．设绝对值小于1的全体实数的集合为S ，在S 中定义一种运算*，使得*1a b a b ab+=+， 求证：如果a 与b 属于S ，那么*a b 也属于S ．例3．证明：1)1<++< *()n N ∈．例4．某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件．若定价上涨x 成（注：x 成即10x ，010x <≤），每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z 倍． （1）若y a x =，其中a 是满足113a ≤<的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 值；（2）若23y x =，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围．四．课后作业：1．已知0,0a b >>，则不等式1b a x-<<等价于 （ ）()A 1x a <-或1x b > ()B 1x b <-或1x a> ()C 10x a -<<或10x b << ()D 10x b -<<或10x a << 2．一批货物随17列火车从A 市以 /v km h 的速度匀速直达B 市，已知两地铁路线长为400km ，为了安全，两列货车的距离不得小于2() 20v km （货车的长度忽略不计），那么这批货物全部运到B 市，最快需要 （ ）()A 6h ()B 8h ()C 10h ()D 12h3．若,a b 是实数，且a b >，则在下面三个不等式：①11a a b b ->-；②22()(1)a b b +>+；③22 (1)(1)a b ->-，其中不成立的有 个．4．设,a b 都是大于0的常数，则当0x >时，函数()()()x a x b f x x++=的最小值是 ．5．已知()21f x ax a =++，当[1,1]x ∈-时，()f x 的值有正有负，则a 的取值范围为 ．6．已知,x y R ∈，且22222x xy y -+=，则||x y +的最大值是 ．7．设2()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+．8．已知,,a b c 都是正数，求证：111111222a b c b c c a a b++≥+++++．9．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x 台*()x N ∈，且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用运输和保管费用总计43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？求出结论，并说明理由．。

课时作业(五十三) [第53讲统计案例](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．分类变量X和Y的列联表如下：A．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱B．ad－bc越大，说明X与Y关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强2．为了研究色盲与性别的关系，调查了1 000人，得到了如下数据，则( )A.99.9%B．99%的把握认为色盲与性别有关C．95%的把握认为色盲与性别有关D．90%的把握认为色盲与性别有关3．[2012·商丘一中二模] 对于回归分析，下列说法错误的是( )A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B．线性相关系数可以是正的，也可以是负的C．在回归分析中，如果r2＝1，说明x与y之间完全相关D．样本相关系数r∈(－1，1)4．下面是一个2×2列联表，请填上表中空缺：能力提升5．摘取部分国家13岁学生数学的授课天数与测验平均分数如下：A．一定存在B．可能存在也可能不存在C．一定不存在D．以上都不正确6．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )A．若χ2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误D．以上三种说法都不正确7．[2012·唐山一中月考] 变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )A．r2<r1<0 B．0<r2<r1C．r2<0<r1 D．r2＝r18．冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示：根据以上数据，则( A ．含杂质的高低与设备改造有关 B ．含杂质的高低与设备改造无关C ．设备是否改造与含杂质的高低不一定有关D ．以上答案都不对9.．．．A ．商品销售收入与商品的广告支出经费之间具有相关关系B ．线性回归方程对应的直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过其样本数据点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．在回归分析中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好10．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >5.024，那么认为“X 和Y 有关系”的犯错率不超过________．①若χ2的观测值为k ＝6.635，我们有99%的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性；②从独立性检验可知有99%的把握认为吃零食与性别有关系时，我们说某人吃零食，那么此人是女性的可能性为99%；③若从统计量中求出有99%的把握认为吃零食与性别有关系，是指有1%的可能性使得出的判断出现错误．12．为了了解患慢性气管炎与吸烟的关系，调查了228人，其中每天的吸烟支数在10支以上20支以下的调查者中，患者人数有98人，非患者人数有89人；每天的吸烟支数在20支及以上的调查者中，患者人数有25人，非患者人数有16人，试问患慢性气管炎与吸烟量________(填“是”或“不是”)相互独立．13．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：.认为喜爱打篮球与已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5性别有关的把握为________(用百分数表示)．下面的临界值表供参考：，其中n＝a＋b＋c＋d.) (参考公式：χ2＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）14．(10分)[2012·石家庄质检] 某工科院校对A，B两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：(1)从B少？(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为工科院校中“性别”与“专业”有关系呢？15．(13分)[2012·南阳二联] 第11届全国人大五次会议于2012年3月5日至3月14日在北京召开，为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名女记者担任对外翻译工作，调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语．(1)根据以上数据完成以下2×2列联表：参考数据：(2)会俄语的名女记者中随机抽取2人做同声翻译，则抽出的2人都在俄罗斯工作过的概率是多少？难点突破16．(12分)某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量值落在(495，510]的产品为合格品，否则为不合格品．下表是甲流水线样本频数分布表，图K53－1是乙流水线样本的频率分布直方图．图K53－1(1)根据上表数据作出甲流水线样本的频率分布直方图；(2)若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；(3)由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”．参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）课时作业(五十三)【基础热身】1．C [解析] 因为χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ），当(ad －bc )2越大时，χ2越大，说明X 与Y 关系越强．故选C.2．A [解析] χ2＝1 000×（442×6－38×514）2956×44×480×520≈27.139>10.828.3．D [解析] 样本相关系数r ∈[－1，1]，所以D 错．4．52 54 100 [解析] 73－21＝52，52＋2＝54，54＋46＝100. 【能力提升】5．A [解析] 作出散点图可知授课天数与分数存在回归关系． 6．C [解析] 根据独立性检验的思想知，选项C 正确．7．C [解析]对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1>0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2<0.∴r 2<0<r 1.故选C.8．A [解析] 由已知数据得到如下2×2列联表：由公式 χ2＝382158×224×59×323≈13.11.由于13.11＞10.828，故有99.9%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．故选A.9．B [解析] 根据变量的相关关系的概念知选项A 正确；根据残差的概念和相关系数的概念知选项C ，D 正确；线性回归方程经过样本点中心(x ，y )，B 错．10．0.025 [解析] P (χ2≥5.024)＝0.025，那么认为“X 与Y 有关系”的犯错率就不会超过0.025.11．③ [解析] 由独立性检验的基本思想可得，只有③正确． 12．是 [解析] 由已知条件得出如下2×2列联表：χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝228×（98×16－89×25）2123×105×187×41≈0.994.由于0.994<2.706，所以没有理由认为患慢性气管炎与吸烟量有关．即认为患慢性气管炎与吸烟量无关，是相互独立的．13．99.5% [解析] 列联表补充如下：因为χ2＝5030×20×25×25≈8.333>7.879，所以有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．14．解：(1)设B 专业的4名女生为甲、乙、丙、丁，随机选取两个共有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)6种可能，其中选到甲的共有3种可能，则女生甲被选到的概率是P ＝36＝12.(2)根据列联表中的数据χ2＝100×（12×46－4×38）216×84×50×50≈4.762，由于4.762>3.841，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为工科院校中“性别”与“专业”有关系．15．解：(1)如下表：χ2＝30×（10×8－6×6）216×14×16×14≈1.157 5<2.706.所以在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断会俄语与性别有关．(2)会俄语的6名女记者，分别设为A ，B ，C ，D ，E ，F ，其中A ，B ，C ，D 曾在俄罗斯工作过，则从这6人中任取2人有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF 共15种，其中2人都在俄罗斯工作过的是AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种， 所以抽出的女记者中，2人都在俄罗斯工作过的概率是P ＝615＝25.【难点突破】16．解：(1)甲流水线样本的频率分布直方图如下：(2)由表1知甲样本中合格品数为8＋14＋8＝30，由图1知乙样本中合格品数为 (0.06＋0.09＋0.03)×5×40＝36，故甲样本合格品的频率为3040＝0.75，乙样本合格品的频率为3640＝0.9，据此可估计从甲流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.75，从乙流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.9.(3)2×2列联表如下：∵χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝80×（120－360）266×14×40×40≈3.117>2.706，∴有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．。

课时作业(五十三)1．有4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面； ②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ； ③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面； ④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ①正确，②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立．③正确．④中若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确．2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，设AC ′→＝xAB →＋2yBC →＋3zCC ′→，x ＋y ＋z 等于( )A.116B.56C.23D.76答案 A解析 AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，故x ＝1，y ＝12，z ＝13，从而x ＋y ＋z ＝116.3．已知向量a ＝(8，12x ，x )，b ＝(x,1,2)，其中x >0.若a ∥b ，则x 的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．0答案 B解析 因x ＝8,2,0时都不满足a ∥b .而x ＝4时，a ＝(8,2,4)＝2(4,1,2)＝2b ，∴a ∥b .另解：a ∥b ⇔存在λ>0使a ＝λb ⇔(8，x2，x )＝(λx ，λ，2λ)⇔⎩⎪⎨⎪⎧λx ＝8，x2＝λ，x ＝2λ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，x ＝4.∴选B.4．已知空间四边形ABCD 中，M 、G 分别为BC 、CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 答案 A解析 依题意有AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12·2BG →＝AG →.5．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且cos 〈a ，b 〉＝89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255答案 C解析 由已知cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |，所以89＝2－λ＋45＋λ2·9，解得λ＝－2或λ＝255. 6．已知四边形ABCD 满足AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为 A ．平行四边形 B ．梯形 C ．平面四边形 D ．空间四边形答案 D解析 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和都是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 是异面直线AC 与A 1D 的公垂线，则EF 与BD 1所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°答案 D解析 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体的棱长为a ，则A 1(a,0，a )，D (0,0,0)，A (a,0,0)，C (0，a,0)，B (a ，a,0)，D 1(0,0，a )，∴DA 1→＝(a,0，a )，AC →＝(－a ，a,0)， BD 1→＝(－a ，－a ，a )．∵EF 是直线AC 与A 1D 的公垂线， ∴EF →⊥DA 1→，EF →⊥AC →.设EF →＝(x ，y ，z )， ∴EF →·DA 1→＝(x ，y ，z )·(a,0，a )＝ax ＋az ＝0. ∴EF →·AC →＝(x ，y ，z )·(－a ，a,0)＝－ax ＋ay ＝0. ∵a ≠0，∴x ＝y ＝－z .∴EF →＝(x ，x ，－x )，∴BD 1→＝－a xEF →. ∴BD 1→∥EF →，即BD 1∥EF .8．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对答案 C解析 ∵a ＋b ＝－c ，∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝c 2. 又∵|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝3.∴cos 〈a ，b 〉＝12，∴〈a ，b 〉＝60°.9．已知两个非零向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，它们平行的充要条件是 A.a |a |＝b |b |B ．a 1·b 1＝a 2·b 2＝a 3·b 3C ．a 1·b 1＋a 2·b 2＋a 3·b 3＝0D ．存在非零实数k ，使a ＝k b 答案 D解析 应选D ，首先排除B ，C 项表示a ⊥b ，A 项表示与a ，b 分别平行的单位向量，但两向量方向相反也叫平行．10．下列各组向量共面的是( )A ．a ＝(1,2,3)，b ＝(3,0,2)，c ＝(4,2,5)B ．a ＝(1,0,0)，b ＝(0,1,0)，c ＝(0,0,1)C ．a ＝(1,1,0)，b ＝(1,0,1)，c ＝(0,1,1)D ．a ＝(1,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1) 答案 A解析 A 项：假设共面则c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，2x ＝2，3x ＋2y ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴a ，b ，c 共面．B 项：用A 项方法或直接建立空间直角坐标系很明显不共面．C 项：设c ＝x a ＋y b ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＝1，y ＝1，解集为空．D 项：设c ＝x a ＋y b ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x ＋y ＝0⇒解集为∅.11．正方体不在同一表面上的两顶点为A (－1,2，－1)、B (3，－2，3)，则正方体体积为( )A ．8B ．27C ．64D ．128答案 C解析 3a 2＝(3＋1)2＋(2＋2)2＋(3＋1)2＝48， ∴a ＝4，V ＝a 3＝64.12．已知a ＝(cos θ，1，sin θ)，b ＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°答案 D解析 ∵a ＋b ＝(cos θ＋sin θ，2，cos θ＋sin θ)，a －b ＝(cos θ－sin θ，0，sin θ－cos θ)，∴cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝0.13. (2010·台湾入学试题)如图所示，正方体ABCD －EFGH 的棱长等于2(即|AB →|＝2)，K 为正方形ABCD 的中心，M 、N 分别为线段BF 、EF 的中点．试问下列选项是正确的序号为________．(1)KM →＝12AB →－12AD →＋12AE →；(2)KM →·AB →＝1； (3)KM →＝3；(4)△KMN 为一直角三角形； (5)△KMN 的面积为10. 答案 (1)(4)解析 以EF ，EH ，EA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则F (2,0,0)，N (1,0,0)，B (2,0,2)，K (1,1,2)，M (2,0,1)，KM →＝(1，－1，－1)，MN →＝(－1,0，－1)，AB →＝(2,0,0)．∴(4)对，S ＝62. 14．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 是面ABCD 的中心，点P 在棱C 1D 1上移动，则|OP |的最小值为____．答案5解析 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则O (1,1,0)．设P (x,2,2)(0≤x ≤2)． 则|OP |＝1－x2＋1－22＋0－22＝x －12＋5.所以当x ＝1，即P 为C 1D 1中点时，|OP |取最小值 5.15．设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算2a ＋3b,3a －2b ，a ·b 以及a 与b 所成角的余弦值，并确定λ、μ的关系，使λa ＋μb 与z 轴垂直．答案 λ＝2μ解析 ∵2a ＋3b ＝2(3,5，－4)＋3(2,1,8)＝(12,13,16)， 3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(5,13，－28)，a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝3×2＋5×1－4×8＝－21，|a |＝32＋52＋－42＝50，|b |＝22＋12＋82＝69，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2150·69＝－7138230.由(λa ＋μb )·(0,0,1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1) ＝－4λ＋8μ＝0知，只要λ，μ满足λ＝2μ即可使λa ＋μb 与z 轴垂直．16．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1.求MN →、DC →的坐标．解析 ∵PA ＝AD ＝AB ，且PA ⊥平面AC ，AD ⊥AB ， ∴可设DA →＝e 1，AB →＝e 2，AP →＝e 3.以e 1、e 2、e 3为坐标向量建立空间直角坐标系A －xyz ， ∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(PA →＋AD →＋DC →)＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3－e 1＋e 2)＝－12e 1＋12e 3，∴MN →＝(－12，0，12)，DC →＝(0,1,0)．17．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)证明：AA 1⊥BD .解析 (1)解 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2.a ·b ＝0，a ·c ＝b ·c＝2×1×cos120°＝－1. ∵AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝a ＋b ＋c ， ∴|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝1＋1＋22－2－2＝2. ∴|AC 1→|＝ 2. 即AC 1长为 2.(2)解 ∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，A 1D →＝b －c ， ∴AC 1→·A 1D →＝(a ＋b ＋c )·(b －c ) ＝a ·b －a ·c ＋b 2－b ·c ＋b ·c －c 2＝1＋12－22＝－2.又|A 1D →|2＝(b －c )2＝b 2＋c 2－2b ·c ＝1＋4＋2＝7， ∴|A 1D →|＝7.∴cos 〈AC 1→，A 1D →〉＝AC 1→·A 1D→|AC 1→|·|A 1D →|＝－22×7＝－147.∴异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147. (3)证明 ∵AA 1→＝c ，BD →＝b －a ， ∴AA 1→·BD →＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝－1－(－1)＝0. ∴AA 1→⊥BD →，即AA 1⊥BD .。

课时作业(49)1．在(ax－1)7展开式中含x4项的系数为－35，则a为() A．±1B．－1C．－12D．±12答案 A解析由通项公式可得C37(ax)4(－1)3＝－35x4，∴C37a4(－1)3＝－35，∴a4＝1，∴a＝±1.2．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是通项公式为a n＝3n－5的数列的() A．第20项B．第18项C．第11项D．第3项答案 A解析∵x4的系数是C45＋C46＋C47＝C15＋C26＋C37＝5＋15＋35＝55，则由a n＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.3．在(x＋1)(2x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展开式中一次项系数为()A．C2n B．C2n＋1C．C n－1n D.12C3n＋1答案 B解析1＋2＋3＋…＋n＝n·(n＋1)2＝C2n＋1.4．设(5x－x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N ＝240，则展开式中x3项的系数为() A．500 B．－500C．150 D．－150答案 C解析N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.∴(2n)2－2n＝240,2n＝16，n＝4.展开式中第r＋1项T r＋1＝C r4·(5x)4－r·(－x)r ＝(－1)r·C r4·54－r·x.令4－r2＝3，即r＝2，此时C24·52·(－1)2＝150.5．(2012·天津)在(2x2－1x)5的二项展开式中，x的系数为()A．10 B．－10 C．40 D．－40 答案 D解析因为二项式(2x2－1x)5展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C r5(2x2)5－r(－1x)r＝C r5·25－r×(－1)r x10－3r，当r＝3时，含有x，其系数为C35×22×(－1)3＝－40.6．(2011·陕西理)(4x－2－x)6，(x∈R)展开式中的常数项是()A．－20 B．－15C．15 D．20答案 C解析T r＋1＝C r6(22x)6－r(－2－x)r＝(－1)r C r6(2x)12－3r，r＝4时，12－3r＝0，故第5项是常数项，T5＝(－1)4C46＝15.7．已知(1－2)10＝a＋2b(a，b为有理数)，则a2－2b2＝()A．(1－2)20B．0C．－1 D．1答案 D解析在二项式(a＋b)n与(a－b)n的展开式中，奇数项是完全相同的，偶数项互为相反数，根据这个特点，当(1－2)10＝a＋2b时，必有(1＋2)10＝a－2b，故a2－2b2＝(a＋2b)(a－2b)＝(1－2)10(1＋2)10＝1.8．(2013·南昌一模)若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy<0，则x的取值范围是()A．(－∞，15) B．[45，＋∞)C．(－∞，－45] D．(1，＋∞)答案 D解析 二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·y r . 依题意有⎩⎨⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，xy <0，由此得⎩⎨⎧x 8·(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0，x (1－x )<0.由此解得x >1，即x 的取值范围是(1，＋∞)． 9．(2013·北京西城区)若(x 2－1x )n 展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中的常数项为( )A ．－84B ．84C ．－36D ．36答案 B解析 二项展开式的二项式系数和为2n ＝512，所以n ＝9.二项展开式的第k＋1项为T k ＋1＝C k 9(x 2)9－k (－x －1)k ＝C k 9x 18－2k (－1)k x －k ＝C k 9x 18－3k (－1)k ，令18－3k ＝0，得k ＝6，所以常数项为T 7＝C 69(－1)6＝84，选B.10．(2013·湖北黄冈)设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2n x 2n ，则a 2＋a 4＋…＋a 2n 的值为( )A ．3nB ．3n －2 C.3n －12 D.3n ＋12答案 C解析 令x ＝0，得a 0＝1；① 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2n ＝1； ② 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n ＝3n ；③②＋③，得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝3n ＋1. 故a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝3n ＋12. 再由①得a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝3n －12.11．(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为________． 答案 179解析 (x ＋2)10(x 2－1)＝x 2(x ＋2)10－(x ＋2)10.本题求x 10的系数，只要求(x ＋2)10展开式中x 8及x 10的系数T r ＋1＝C r 10x 10－r· 2r . 取r ＝2，r ＝0，得x 8的系数为C 210×22＝180； x 10的系数为C 010＝1，∴所求系数为180－1＝179.12．设a n (n ＝2,3,4，…)是(3－x )n的展开式中x 的一次项的系数，则32a 2＋33a 3＋…＋318a 18的值为____________． 答案 17解析 由通项C r n 3n －r (－1)r x 知，展 开式中x 的一次项的系数为a n ＝C 2n 3n －2，所以32a 2＋33a 3＋…＋318a 18＝32(21×2＋22×3＋23×4＋…＋217×18)＝17.13．(2012·浙江)若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.答案 10解析 不妨设1＋x ＝t ，则x ＝t －1，因此有(t －1)5＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，则a 3＝C 25(－1)2＝10.14．(2012·大纲全国)若(x ＋1x )n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为________．答案 56解析 由C 2n ＝C 6n 可知n ＝8，所以(x ＋1x)8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－r(1x )r ＝C r 8x 8－2r ，所以8－2r ＝－2⇒r ＝5，所以1x2的系数为C 58＝56. 15．设(2x －1)5＋(x ＋2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|＋|a 2|＋|a 4|＝________.答案 110解析 令x ＝0，得a 0＝－1＋24＝15；C 35(2x )2(－1)3＋C 24x 222＝－16x 2，所以a 2＝－16；C 15(2x )4(－1)1＋C 04x 420＝－79x 4，所以a 4＝－79，故|a 0|＋|a 2|＋|a 4|＝110.16．(2012·衡水调研)若(2x －22)9的展开式的第7项为214，则x ＝________. 答案 －13 解析 T 7＝T 6＋1＝C 69(2x )3(－22)6＝214，即9×8×73×2×1·23x ·18＝214， 所以23x －1＝2－2，因此有3x －1＝－2，即x ＝－13.17．设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中x 的系数是19(m ，n ∈N *)． (1)求f (x )展开式中x 2的系数的最小值；(2)对f (x )展开式中x 2的系数取最小值时m ，n ，求f (x )展开式中x 7的系数．解析 (1)由题意知C 1m ＋C 1n ＝19，∴m ＋n ＝19，∴m ＝19－n .x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n＝12(19－n )(18－n )＋12n (n －1) ＝n 2－19n ＋171 ＝(n －192)2＋3234，∵n ∈N *，∴n ＝9或n ＝10时，x 2的系数取最小值(12)2＋3234＝81.1．(2012·洛阳市高三统一考试)在二项式(3x －1x )6的展开式中，x 的指数是整数的项共有________项．答案 3解析 T r ＋1＝C r 6(3x )6－r ·(－1x )r ＝(－1)r C r 6x ，要使指数为整数，r 为3的倍数，则r 可取0,3,6，故指数是整数的项共有3项．2．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值为________． 答案 －1 094解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 7＝－1，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝2 187，于是a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094.故填－1 094.3．求(1＋x ＋x 2)8展开式中x 5的系数．解析 方法一 (通项公式法)(1＋x ＋x 2)8＝[1＋(x ＋x 2)]8展开后的通式公式是T r ＋1＝C r 8(x ＋x 2)r ，则x 5的系数由(x ＋x 2)r 决定，而(x ＋x 2)r的展开通项公式是T ′k ＋1＝C k r x r －k x 2k ＝C k r x r ＋k ，所以(1＋x ＋x 2)8展开式的通项公式是C r 8C k r xr ＋k ，其中0≤k ≤r ≤8，r ＋k ＝5，r 、k ∈N .由此解得⎩⎨⎧ r ＝5，k ＝0或⎩⎨⎧ r ＝4，k ＝1或⎩⎨⎧r ＝3，k ＝2.故含x 5的系数为C 58C 05＋C 48C 14＋C 38C 23＝504.方法二 (逐项研究法)(1＋x ＋x 2)8＝[(1＋x )＋x 2]8＝C 08(1＋x )8＋C 18(1＋x )7·x 2＋C 28(1＋x )6·(x 2)2＋C 38(1＋x )5·(x 2)3＋…＋C 88(1＋x )0·(x 2)8，则展开式中含x 5的系数为C 08C 58＋C 18C 37＋C 28C 16＝504.方法三 (基本原理法)将(1＋x ＋x 2)8写成八个因式乘积的形式(1＋x ＋x 2)8＝(1＋x ＋x 2)·(1＋x ＋x 2)·(1＋x ＋x 2)·…·(1＋x ＋x 2)(共8个)．这八个因式中乘积展开式中形式x 5的来源有三：①有两个括号各出一个x 2，其余六个括号中恰有一个括号出一个x ，这种方式共有C 28C 16种；②有一个括号出一个x 2，其余七个括号中恰有三个括号各出一个x ，共有C 18C 37种；③没有一个括号出一个x 2，恰有五个括号各出一个x ，共有C 58种．故x 5的系数是C 28C 16＋C 18C 37＋C 58＝504.4．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100求下列各式的值： (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2. 解析 (1)(2－3x )100展开式中的常数项为 C 0100·2100，即a 0＝2100，或令x ＝0， 则展开式可化为a 0＝2100.(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100， ①∴a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100， ②与x ＝1所得到的①联立相减可得 a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝(2－3)100(2＋3)100＝1.。

高考数学一轮复习 53课时作业一、选择题1．(2010·福建卷，理)计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22D.32答案 A解析 原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.2．已知sin α＝1213，cos β＝45，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于( )A.3365B.6365C ．－1665D ．－5665答案 A解析 因为α是第二象限角，且sin α＝1213，所以cos α＝－1－144169＝－513.又因为β是第四象限角，cos β＝45，所以sin β＝－1－1625＝－35.sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝1213×45－(－513)×(－35)＝48－1565＝3365.3．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π4)等于( )A.75 B.15 C ．－75D ．－15答案 B解析 因为α∈(0，π2)，sin α＝35，所以cos α＝1－925＝45. 所以2cos(α＋π4)＝2(cos αcosπ4－sin αsinπ4)＝2(22cos α－22sin α)＝cos α－sin α＝45－35＝154．化简cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β的结果为( ) A ．sin(2α＋β) B ．cos(α－2β) C ．cos α D ．cos β答案 C解析 等式即cos(α－β＋β)＝cos α5．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a答案 B解析 a ＝2sin(45°＋14°)＝2sin59°b ＝2sin(45°＋16°)＝2sin61°c ＝62＝2sin60°，∴b >c >a . 6．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则cos A cos B ＝( )A.14B.34C.12 D ．－14答案 B解析 tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝sin A ＋B cos A cos B ＝sin60°cos A cos B ＝32cos A cos B ＝233∴cos A cos B ＝347．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322 C.322D.16答案 C解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322.8．(09·陕西卷)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2答案 A解析 3sin α＝－cos α⇒tan α＝－13.1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋191－23＝103. 二、填空题9．cos84°cos24°－cos114°cos6°的值为________． 答案 12解析 cos84°cos24°－cos114°cos6°＝cos84°cos24°＋cos66°sin84°＝cos84°cos24°＋sin24°sin84°＝cos(84°－24°)＝cos60°＝12.10．(2010·全国卷Ⅰ，理)已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan (π4＋2α)＝________.答案 －17解析 由cos 2α＝2cos 2α－1＝－35，且α为第三象限角，得cos α＝－55，sin α＝－255，则tan α＝2，tan2α＝－43，tan(π4＋2α)＝1＋tan 2α1－tan 2α＝－17. 11．(2011·潍坊)化简：sin 3α－πsin α＋cos 3α－πcos α＝________.答案 －4cos2α解析 原式＝－sin3αsin α＋－cos3αcos α＝－sin3αcos α＋cos3αsin αsin αcos α＝－sin4αsin αcos α＝－4sin αcos α·cos2αsin αcos α＝－4cos2α.12．不查表，计算1sin10°－3sin80°＝________.(用数字作答)答案 4解析 原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10°2sin10°cos10°＝4sin 30°－10°sin20°＝4.三、解答题13．求(tan10°－3)·cos10°sin50°的值．解析 (tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝(sin10°cos10°－sin60°cos60°)·cos10°sin50°＝sin10°cos60°－sin60°cos10°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－sin 60°－10°cos10°·cos60°·cos10°sin50°＝－1cos60°＝－2.14．已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π4.求cos α的值．解析 sin(α＋π4)＝45且π4<α<3π4∴π2<α＋π4<π∴cos(α＋π4)＝－1－sin2α＋π4＝－35∴cos α＝cos[(α＋π4)－π4]＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－35×22＋45×22＝210.15．已知tan2θ＝34(π2<θ<π)，求2cos 2θ2＋sin θ－12cos θ＋π4的值．解 ∵tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝34， ∴tan θ＝－3或tan θ＝13，又θ∈(π2，π)，∴tan θ＝－3，∴2cos 2θ2＋sin θ－12cos θ＋π4＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1＋tan θ1－tan θ＝1－31＋3＝－12.。

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考点53 不等式选讲一、选择题1.（2014·安徽高考文科·Ｔ9）与（2014·安徽高考理科·Ｔ9）相同 若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A.5或8B.1-或5C.1-或4-D.4-或8【解题提示】 以a 为目标进行分类讨论，去掉绝对值符号。

【解析】选D.（1）当a<2时， -31,(1)()1,(1)231,()2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪--<-⎪⎪=-+--≤≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩； （2）当a>2时，-31,()2()1,(1)231,(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧--<-⎪⎪⎪=+--≤≤-⎨⎪++>-⎪⎪⎩， 由（1）（2）可得min ()()|1|322a a f x f =-=-+=，解得a=-4或8。

二、填空题2. （2014· 湖南高考理科·Ｔ13）若关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51{|}33x x -<<，则a =【解题提示】求解绝对值不等式。

【解析】由|2|3ax -<得到323<-<-ax ，51<<-ax ，又知道解集为51{|}33x x -<<所以3-=a 。

答案：3-=a3.(2014·广东高考理科)不等式错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

≥5的解集为.【解析】方法一:由错误！未找到引用源。

得x≤-3;由错误！未找到引用源。

无解;由1,(1)(2)5xx x≥⎧⎨-++≥⎩得x≥2.即所求的解集为{x|x≤-3或x≥2}.方法二:在数轴上,点-2与点1的距离为3,所以往左右边界各找距离为1的两个点,即点-3到点-2与点1的距离之和为5,点2到点-2与点1的距离之和也为5,原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.答案:{x|x≤-3或x≥2}.【误区警示】易出现解集不全或错误.对于含绝对值的不等式不论是分段去绝对值号还是利用几何意义,都要不重不漏.4.(2014·陕西高考文科·T15)（文理共用）A.(不等式选做题)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则错误！未找到引用源。