Q10 第10讲 圆与三角形、内接四边形(学生卷)【B4版】

第06讲圆内接四边形（3类题型）【即学即练1】（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）1．如图，四边形ABCD 内接于O ，BC 为直径，D 是 AC 中点，若60ABC ∠=︒，则A ∠=（）A ．105°B ．110°C ．115°D ．120°【即学即练2】（2023秋·浙江·九年级专题练习）2．如图，DCE ∠是O 内接四边形ABCD 的一个外角，若80DCE ∠︒＝，那么BOD ∠的度数为（）A ．160︒B ．135︒C ．80︒D ．40︒题型01已知圆内接四边形求角度（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）3．如图，四边形ABCD 内接于O ，BC 为直径，D 是 AC 中点，若60ABC ∠=︒，则A ∠=（）A．105°B．（2023秋·江苏·九年级专题练习）4．如图，四边形ABCD是A．100︒B．（2023·湖北随州·统考模拟预测）5．如图，四边形ABCD是（2023·宁夏·统考中考真题）6．如图，四边形ABCD内接于（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）7．（1）如图1，AB是O∠的度数①ADC∠的度数②DAC的弦AB（2）如图2，O题型02求四边形外接圆的直径（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠A．3B．2（2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习）为正方形ABCD的外接圆，若BC 9．如图，OA．2π（2022秋·江苏镇江·九年级校联考阶段练习）A．25︒B．30︒A．34︒B．36︒（2023春·山东烟台·九年级统考期中）15．如图，四边形ABCD内接于⊙则∠E+∠F＝．（2023秋·辽宁铁岭·九年级统考期末）16．如图，四边形ABCD内接于（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）17．定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做∠≠∠，则称四边形ABCD为准平行四边形．如图；B D∠≠∠，求证：四边形AQ AP=．已知QAC QBCA 夯实基础（2023秋·九年级课时练习）18．如图，四边形ABCD 内接于O AB ，是O 的直径，连接BD ．若125C ∠=︒，则ABD ∠的度数为（）A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒（2023秋·广西南宁·九年级统考阶段练习）19．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，70A ∠=︒，则C ∠的度数为（）A ．70︒B ．80︒C ．100︒D ．110︒（2023春·四川泸州·九年级泸县五中校考阶段练习）20．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，点E 是BC 延长线上一点，若114BAD ∠=︒，则DCE ∠的度数是（）A．30︒（2023·江苏盐城·校考一模），，22．如图，点A B C（2023·浙江·九年级专题练习）23．如图，四边形ABCD（2023春·安徽·九年级专题练习）∠是O 24．如图，DCE（2023秋·江苏·九年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）25．圆内接四边形ABCD （2023秋·九年级课时练习）26．如图，四边形ABCD （2023秋·九年级课时练习）27．如图，1O ，2O 相交于点B 的直线与1O 交于点EB 能力提升（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）28．如图，AB 是O 的直径，点C ，D 为O 上的点．若120D ∠=︒，则CAB ∠=（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒（2023秋·全国·九年级专题练习）29．如图，四边形ADBC 内接于O ，四边形ADBO 是平行四边形，则ABD ∠的度数是（）A ．45︒B ．50︒C ．20︒D ．30︒（2023·陕西榆林·校考三模）30．如图，四边形ABCD 内接于O ，若118ABC ∠=︒，则AOC ∠的度数为（）A ．162︒B ．152︒C ．124︒D ．118︒（2023·陕西宝鸡·统考二模）A．120︒B（2023秋·吉林长春·九年级长春市第四十五中学校考阶段练习）32．如图，点B，C，D在（2023春·福建福州·九年级校考期中）33．如图，扇形的圆心角上同一点E处，则CED∠（2023·江苏苏州·统考一模）34．如图，四边形ABCD内接于（2023春·山东烟台·九年级统考期中）35．如图，四边形ABCD内接于∠=︒，则A50E∠的度数为（2023·河南安阳·校考二模）36．如图，在O 上有三点A ，B ，C ，68BAC ∠=︒，请画出符合条件的角，并标注．(1)在图①中画一个136︒的圆心角，标注为α；(2)在图②中画一个112︒的圆周角，标注为β；(3)在图③中画一个22︒的圆周角，标注为θ．（2023秋·全国·九年级专题练习）37．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形．DB 平分ADC ∠，连接,OC OC BD ⊥．(1)求证：AB CD =；(2)若66A ∠=︒，求ADB ∠的度数．A．128︒B．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测） 内接于39．如图，ABC的度数为（）A．110︒B．（2023·江苏·九年级假期作业）40．如图，四边形ABCD内接于A．4B．A．1:3B（2023秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习） 中，设半径为42．已知在O（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆市杨家坪中学校考期中）43．如图，正方形ABCD的面积为．（2023·江苏·统考中考真题）44．如图，四边形ABCD（2023·江苏泰州·校考三模）（2023·山东·九年级专题练习）46．问题探究(1)在ABC 中，BD ，CE 分别是ABC ∠与BCA ∠的平分线．①若60A ∠=︒，AB AC =，如图1，试证明BC CD BE =+；②将①中的条件“AB AC =”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．迁移运用(2)若四边形ABCD 是圆的内接四边形，且2ACB ACD ∠=∠，2CAD CAB ∠=∠，如图3，试探究线段AD ，BC ，AC 之间的等量关系，并证明．（2023秋·九年级课时练习）47．【特例感知】（1）如图①，AB 是O 的直径，BAC ∠是O 的圆周角，AD 平分BAC ∠交O 于点D ，连接CD BD 、．已知3BD =，30BAD ∠=︒，则BDC ∠的度数为______°，点D 到直线AC 的距离为______；【类比迁移】（2）如图②，BAC ∠是O 的圆周角，AD 平分BAC ∠交O 于点D ，过点D 作DM AB ⊥，垂足为M ，探索线段AB AC AM 、、之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】（3）如图③，四边形ABCD 为O 的内接四边形，90BAD ∠=︒，AC 平分BAD ∠，515AB AD AC =+=，，求线段AC 的长．。

第15课圆内接四边形目标导航学习目标1.了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念.2.理解圆的内接四边形的性质定理:圆的内接四边形的对角互补.3.会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关的论证和计算.知识精讲知识点01 圆内接四边形圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．知识点02 圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补．能力拓展考点01 圆内接四边形的性质的应用【典例1】如图，⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边AC、BC分别交于点D、E，连接BD、AE，且∠ADB ＝∠CDE．（1）求证：△ABE是等腰三角形；（2）若AB＝10，BE＝12，求⊙O的半径r．【即学即练1】如图，四边形ABCD内接于圆O，点E在对角线AC上．（1）若BC＝DC，∠CBD＝39°，求∠BCD的度数；（2）若在AC上有一点E，且EC＝BC＝DC，求证：∠1＝∠2．分层提分题组A 基础过关练1. 已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7，则∠D等于（）A．40°B．60°C．100°D．120°2. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（）A．65°B．115°C．130°D．140°3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．4 B．2C．D．44. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，DE．若∠BAD＝105°，则∠DCE为（）A．10°B．15°C．20°D．25°5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的度数为．6. 在圆内接四边形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，则∠B＝度．7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是．8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝55°，∠F＝30°，则∠E＝°．9. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∠DAE＝∠DAC．DB与DC相等吗？为什么？10.如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，圆心O到AC的距离等于．（1）求AC的长；（2）求∠ADC的度数．题组B 能力提升练11. 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（）A．155°B．150°C．160°D．162°12. 如图，点A、B、C在⊙O上，P为上任意一点，∠A＝m，则∠D+∠E等于（）A．2m B．C．180°﹣2m D．13. 如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B＝°．14. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点O在∠D的内部，∠OAD+∠OCD＝50°，则∠B＝130°．15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC过圆心O，且AC⊥BD，P为BC延长线上一点，PD⊥BD，若AC＝10，AD＝8，则BP的长为．16. 如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为．17.如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交P A的延长线于点M．其中正确的结论是（填序号）．①∠MAC＝∠PBC，②△ABC是等边三角形，③PC＝P A+PB，④若P A＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝．18. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．19. 如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，（1）证明：圆中存在“爪形D”；（2）若∠ADC＝120°，求证：AD+CD＝BD．20.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC．（1）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；（2）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．21.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）请判断△ABC的形状？说明理由；（2）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．（3）证明：P A+PB＝PC．22.如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中＝，其中CE⊥AB于E．（1）求证：AB＝AD+2BE；（2）若∠B＝60°，AD＝6，△ADC的面积为，求AB的长．题组C 培优拔尖练23. 如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，，∠BCD＝120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED＝150°，AC＝，则DE的长为．24．面积为18的圆内接四边形ABCD的对角线AC是直径，AD＝DC，DE⊥AB于E，则DE＝．25. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，BC＝CD＝5，AD＝5，E为对角线AC上一动点，连结BE并延长交⊙O于点F．（1）若BF⊥AD，求证：∠ABF＝∠ACB；（2）求四边形ABCD的面积；（3）若△BCE为等腰三角形，求BF的长．26.研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC＝BD，且AC⊥BD（1）求证：AB＝CD；（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．。

五．圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。

圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。

判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。

【典型例题】例1 （1）已知圆内接四边形ABCD 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D 的度数．（2）已知圆内接四边形ABCD 中，如图所示，AB 、BC 、CD 、AD 的度数之比为1:2:3:4,求∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数．例2 如图所示，ABC 是等边三角形，D 是BC 上任一点．求证：DB+DC=DA ．A· ABDO例3、如图7-103，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P，求证：E，D，P，F四点共圆．例4、如图7-104，四边形ABCD内接于⊙O，过AB延长线上一点E作EF∥AD，且与DC 延长线交于F，证明四边形BEFC为圆内接四边形．例5、如图7-105，△ABC内接于⊙O，D点在⊙O上，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF ⊥AC交AC延长线于F．求证：BE=CF．例6、如图7-106，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，△ABD的外接圆交BC 于E．求证：AD=EC．例8、如图7-107，⊙O中，两弦AB∥CD，M是AB的中点，过M点作弦DE．求证：E，M，O，C四点共圆．例9、如图7-108，M，N分别是△ABC中AB，AC的中点，过M作AB的垂线交AC于D，过N作AC的垂线交AB于E．求证：B，C，D，E四点共圆．例10、如图7-109，四边形ABCD 内接于圆，AC 平分∠BAD ，延长DC 交AB 的延长线于E 点．若AC=EC ，求证：AD=EB ．【考点速练】1．圆内接四边形的对角 ，并且任何一个外角都 它的内对角． 2．已知四边形ABCD 内接于⊙O ，则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2: :7，且最大的内角为 ． 3．如右图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CD 于E ，若∠ABC=︒130，则∠DAE= ．4．已知圆内接四边形ABCD 的∠A 、∠B 、∠C 的外角度数比为2:3:4，则∠A= ，∠B= ．5．圆内接梯形是 梯形，圆内接平行四边形是 ．6．若E 是圆内接四边形ABCD 的边BA 的延长线上一点，BD=CD ，∠EAD=︒55，则∠BDC= ． 7．四边形ABCD 内接于圆，∠A 、∠C 的度数之比是5:4，∠B 比∠D 大︒30，则∠A= 。

圆的内接三角形和四边形\"》课堂练习-、三角形【例1】如图所示，ABC内接于O0,若OAB 28，贝U C的大小是（BA . 56 B. 62 C. 28 D . 32【答案】B【解析】本题是利用圆周角定理解题的典型题目，题目难度不大，正确添加辅助线是解题关键，在解题和圆有关的题目是往往要添加圆的半径.B解：如图，连接0B ,•/ OA AB ,••• AOB是等腰三角形,••• OAB OBA,••• OAB 28 ,•OAB OBA 28 ,•AOB 124 ,•- C 62 .【例2】如图所示，点A、B、P在O O上，且APB 50 .若点M是O O上的动点，要使ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有（）【答案】D【解析】Q APB 50,弦AB不是直径，APB不是等边三角形.(1)当MA MB时，MAB是等腰三角形，这时M点是弦AB的垂直平分线与圆O的交点, 有两个；(2)当AB AM时，这样的M点只有一个.(3)当AB MB时，这样的M点只有一个•综上可得符合条件的点M有4个.【例3】如图，已知©O的半径2，弦BC的长为2 3，点A的弦BC所对优弧上任意一点( B、C两点除外)(1 )求BAC的度数;(2 )求ABC面积的最大值.【答案】(1) 60 (2) 3、、3【解析】考查学生的应用能力，圆中求角角形，把已知条件结合在一块.(1)连结OB、OC，过O作OE BC与点E.解Rt OBE,求BOE, BOC的度数,1A — BOC.或连结BO并延长，交O O于D，连结CD，解Rt BCD，求D •21(2) S ABC -BC h ( h是BC边上的高)，BC不变，当h最大时，S ABC最大，此时2点A应落在优弧BC的中点处，然后再求h •解：(1)方法一：如图，连结OB、OC，过O作OE BC交BC于点E •Q OE BC,BC 2、3, BE EC .3 •在Rt OBE 中，OB 2,Q sin BOE 些,OB 2 BOE 60 , BOC 120 , BAC - BOC 602(线段)常转化为直角三角形解决•利用垂径定理的构造直角三(可以利用特殊角用勾股定理直接求)CO O于点D，连结CD. 方法二：如图，连结BO并延长，交Q BD 是直径，BD 4, DCB 90 .在Rt DBC 中，sin BDC -BC 芬BD 4BDC 60 , BAC BDC 60(2)因为ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时, 点A应落在优弧BC的中点处.如图，过O作OE BC于点BAE -2 E ,延长EO交于点A，则A为优弧BC的中点.连结AB , AC，则AB AC BAC 30 •在Rt ABE 中,Q BE BAE 30 , AEBEtan30SABC【例4】已知，如图，在交OD于点F .ABC中，AB AC,以AB为直径的O O分别交BC、(1)求证：OD BE ;(2)若DE , 5, AB 5 .求AE 的长.1对(1)略(2) 3(1)联结AD•/ AB是O0的直径，ADB AEB 90 ,Q AB AC, CD BD .Q OA OB, OD // AC,OD BE .(2)方法一：Q CEB AEB 90 , CD BD, AB 5, DE ,5 .AC AB 5,BC 2DE 2、、5 .在ABE、BCE 中，CEB AEB 90 ,设AE x，则有AB2 AE 2 2 2 BC2EC2,52x2(2. 5)2(5 x)2解得：x 3, AE 3方法二:QOD BE, BD DE, BF 1 EF .设AE x, OF1x2,在OBF、BDF中，OFB BFD 90 BD 2 DF 2 OB 2 OF2「J DE ,5 ,AB 5,(5)25 1 2( x)，解得：2 2x 3, AE 3 .方法三:Q BE AC,AD BC, S ABC tc 1 AD AC BE ,BC AD AC BE ,2 2Q BC 2DE 2、5, AC AB 5.BE4, AE 3.于点E ,连接AD，交CH于点G ,延长CH到点M，使MH HG ,延长DA到点K，使AK AG,CA的延长线交MK于点F .求证：(1) MGK MKG ;(2) ME MF . B【答案】【例5】如图，已知。

S3.6 圆内接四边形一、认识圆的内接四边形1.知识要点（1）我们以前学习过圆的内接三角形圆的内接三角形：如果一个三角形的各个顶点在同一个圆上，那么这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆。

（2）今天我们学习圆的内接四边形圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

如右图中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆。

二、圆内接四边形的性质定理1.知识要点定理一：圆内接四边形的对角互补．定理二：圆内接四边形的外角等于它的内对角（内角的对角）．2.典型例题S3.6.1如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD=110°，求∠BCD 的度数.S3.6.2如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P.若PBPA ＝12，PC PD ＝13，求BC AD 的值.三、圆内接四边形的判定定理1.知识要点（1）定理：如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）．（2）推论：如果四边形的一个外角等于它内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．2.典型例题S3.6.3如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC.求证：ABPQ四点共圆.S3．6 圆内接四边形练习1.下列四边形中一定有外接圆的是（）A．对角线相等的四边形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形2.过四边形ABCD的顶点D，B，C作一个圆，若∠A+∠C＞180°，则点A在( )A．圆内B．圆外C．圆上D．不能确定3.四边形ABCD内接于圆，∠A:∠B:∠C:∠D= 5:m:4:n，则m，n满足的条件是（）A．5m=4n B．4m=5n C．m+n=9 D．m+n=180°4.如下图，圆心角∠AOB=120°，P是上任一点（不与A，B重合），点C在AP的延长线上，则∠BPC等于（）A．45°B．60°C．75°D．85°5.圆上四点，A、B、C、D分圆周为四段弧，:::=1:2:3:4,则圆内接四边形的最大内角为______．6.如下图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=BC，∠ADC=138°，E是梯形外一点，若点E在梯形ABCD的外接圆上，则∠AEB=________．7.AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点（不含A、B），点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，则y与x的函数关系是________．8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，则S正方形PQRS:S正方形ABCD等于________．9.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC交于E，EG平分∠E，且与BC、AD分别交于F、G．求证：∠CFG=∠DGF．10. 如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．。