2017_2018学年高中数学第二章函数2_1_2函数的表示方法学案新人教B版必修1

2.1.2 函数的表示方法[学习目标] 1.掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法，体会三种表示方法的特点.2.掌握函数图象的画法及分段函数的应用.[知识链接]1.在平面上，两个点可以确定一条直线，因此作一次函数的图象时，只需找到两个点即可.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－b2a ，4ac－b24a).3.函数y＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，所以函数与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0). [预习导引]1.函数的图象(1)函数y＝f(x)与其图象F的关系：①图象F上任一点的坐标(x，y)都满足y＝f(x)；②满足y＝f(x)关系式的点(x，y)都在F上.(2)函数y＝f(x)图象的作法：列表、描点、连线.2.函数的常用表示方法表示方法定义列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法.图象法用“图形”表示函数的方法叫做图象法.解析法(公式法) 如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法).(1)定义在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.(2)三要素①定义域：由每一段上x的取值范围的并集.②值域：所有函数值组成的集合.③对应法则：在每一段上的对应法则不同.要点一作函数图象例1 作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)).解(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示.规律方法 1.作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.2.函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，特别要分清区间端点是实心点还是空心点. 跟踪演练1 画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1).解(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，(x＞1或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).要点二求函数的解析式例2 (1)已知f(x)是二次函数，其图象的顶点是(1,3)，且过原点，求f(x).(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x).解(1)由于图象的顶点是(1,3)，故设f(x)＝a(x－1)2＋3(a≠0)，因为图象过原点，所以a ＋3＝0，解得a ＝－3， 所以f (x )＝－3(x －1)2＋3.(2)方法一 x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1 ＝(x ＋1)2－1，∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1). 即f (x )＝x 2－1(x ≥1).方法二 令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1.代入原式，有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1).规律方法 求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式. (2)换元法：已知函数f [g (x )]的解析式求f (x )的解析式可用换元法，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f [g (x )]中求出f (t )，从而求出f (x ). 跟踪演练2 (1)已知g (x －1)＝2x ＋6，求g (3). (2)一次函数的图象过点(0，－1)，(1,1)，求其解析式. 解 (1)方法一 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴g (t )＝g (x －1)＝2(t ＋1)＋6＝2t ＋8， ∴g (x )＝2x ＋8，∴g (3)＝2×3＋8＝14. 方法二 令x －1＝3，则x ＝4， ∴g (3)＝2×4＋6＝14.(2)设一次函数的解析式f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1＝0·k ＋b ，1＝1·k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－1，∴解析式为f (x )＝2x －1. 要点三 分段函数及应用例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f (f (－52))的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值.解 (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4， f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵f (－52)＝－52＋1＝－32，－2＜－32＜2，∴f [f (－52)]＝f (－32)＝(－32)2＋2×(－32)＝94－3＝－34. (2)①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＝3， ∴a ＝2＞－2不合题意，舍去. ②当－2＜a ＜2时，a 2＋2a ＝3， 即a 2＋2a －3＝0.∴(a －1)(a ＋3)＝0，∴a ＝1或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意. ③当a ≥2时，2a －1＝3，∴a ＝2符合题意. 综合①②③，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.规律方法 1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解.2.若所给变量的范围不明确，计算时应分类讨论.跟踪演练3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，|x |≤1，1＋x 2，|x |＞1，则f [f (12)]＝________；(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，1|x |，x ＜0，若f (x )＝2，则x ＝________.答案 (1)134 (2)1或－12解析 (1)由于|12|≤1，所以f (12)＝12－2＝－32，而|－32|＞1，所以f (－32)＝1＋(－32)2＝134.所以f [f (12)]＝134.(2)若x ≥0，由x ＋1＝2，得x ＝1； 若x ＜0，由1|x |＝2，得x ＝±12，由于12＞0，舍去x ＝12，所以x ＝－12.故x ＝1或－12.1.已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )x 1≤x ＜2 2 2＜x ≤4 f (x )123A.1B.2C.3D.答案 C解析 由表可知f (3)＝3.2.若f (x ＋2)＝2x ＋3，f (3)的值是( ) A.9 B.7 C.5 D.3 答案 C解析 令x ＋2＝3，则x ＝1， ∴f (3)＝2×1＋3＝5.3.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f [f (3)]等于( )A.15 B.3 C.23 D.139答案 D解析 ∵f (3)＝23，∴f [f (3)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.4.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( ) A.f (x )＝x 2－1 B.f (x )＝－(x －1)2＋1 C.f (x )＝(x －1)2＋1 D.f (x )＝(x －1)2－1答案 D解析 由二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，可排除A 、B ；又图象过点(0,0)，可排除C ；D 项符合题意.5.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f 3的值等于________.答案 2解析 由函数f (x )图象，知f (1)＝2，f (3)＝1， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f 3＝f (1)＝2.1.函数三种表示法的优缺点2.描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线.3.求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法.4.理解分段函数应注意的问题：(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏.(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象.。

2.1.2 函数的表示方法预习导航一、函数的表示方法思考1函数的三种表示方法各自有哪些优缺点？提示：对于函数y ＝f (x )(x ∈A )定义域内的每一个x 值，都有唯一的y 值与它对应．把这两个对应的数构成的有序实数对(x ，y )作为点P 的坐标，即P (x ，y )，则所有这些点的集合F 叫做函数y ＝f (x )的图象，即F ＝{P (x ，y )|y ＝f (x )，x ∈A }．这就是说，如果F 是函数y ＝f (x )的图象，则图象上的任一点的坐标(x ，y )都满足函数关系y ＝f (x )；反之，满足函数关系y ＝f (x )的点(x ，y )都在图象F 上．思考2判断一个图形是否为一个函数的图象的关键是什么？提示：判断一个图形是否为函数图象，关键是判断定义域内的任意一个自变量是否有唯一的一个函数值与之对应．即要检验一个图形是否是一个函数的图象，可以作x轴的垂线，在定义域范围内，平移垂线，若垂线与图形有一个交点，则该图形就表示函数的图象，否则，该图形不是函数的图象．三、分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．思考3分段函数由几部分构成就是几个函数吗？提示：(1)不是，分段函数是一个函数而非多个函数，只不过在定义域的不同子集内的对应法则不同而已．(2)求分段函数的值域要先求出各段上的值域，然后求它们的并集．特别提醒(1)写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．例如，y＝12003xx x≤≤⎧⎨<≤⎩，－，，，其“段”是不等长的．(3)画分段函数的图象时，一定要考虑区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实心点表示，若端点不包含在内，则用空心点表示．(4)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应法则.(5)分段函数的定义域是各段定义域的并集；分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集；分段函数的最大(小)值则是分别在每段上求出最大(小)值，然后取各段最大(小)值中的最大(小)值.(6)有些函数形式虽不是分段写的，但实质上是可以化归为分段函数来处理的例如，y＝|x＋1|可等价化为y＝1,1,1, 1.x xyx x+≥-⎧=⎨--<-⎩。

2.1.2函数的表示方法（二）一、学习目标：1、求简单分段函数的解析式；2、了解分段函数及其简单应用．二、重点难点：分段函数解析式的求法．三、教学内容安排：（一）分段函数由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表引出问题：若设信函的重量为x （克）应支付的资费为y 元，能否建立函数()y f x =的解析式？导出分段函数的概念．让学生探讨函数的图像，直观体验分段函数的特点．通过分析课本第42页、第43页的例4、例5进一步巩固分段函数概念，明确建立分段函数解析式的一般步骤，学会分段函数图象的作法可选例：1、动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始运动，沿正方形ABCD 的运动路程为自变量x ，写出P 点与A 点距离y 与x 的函数关系式．2、在矩形ABCD 中，AB ＝4m ，BC ＝6m ，动点P 以每秒1m 的速度，从A 点出发，沿着矩形的边按A→D→C→B 的顺序运动到B ，设点P 从点A 处出发经过x 秒后，所构成的△ABP 面积为y m 2，求函数()y f x =的解析式．3、以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象．对分段函数不必一次到位，通过例4的分析为学生从直观和解析式认识分段函数做打好基础，通过例5及其他实例让使学生逐步认识分段函数及其表示方法，并初步认识分段函数在实际问题中的应用.（二）补充综合例题例1．根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式（1）221)1(xx x x f +=+ x x f x f 3)1(2)()2(=+ （3）13)2(2++=-x x x f 注：（1）观察法（2）方程法（3）换元法例2．设二次函数)(x f 满足：)2()2(--=-x f x f 且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f 的解析式．例3．设)(x f 为定义在R 上的偶函数，当1-≤x 时，)(x f y =得图像经过)0,2(-，斜率为1的射线，又在)(x f y =的图像中有一部分是顶点为)2,0(，且过点（-1，1）的一段抛物线，试写出函数)(x f 的表达式，并作出函数)(x f 的图像．例4．用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为x 2，求此框架围成的面积y 与x 的函数解析式．例5．设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g （x ）]． 解：)1(3)1()1(3xx x x x x f +-+=+ ∴x x x f 3)(3-= 2)1()1(2-+=+xx x x g ∴2)(2-=x x g ∴[]=)(x g f 296246-+-x x x例6．已知 21)1(x x x f ++= （x >0） 求f （x ）．例7．已知 x x x f 2)12(2-=+ 求f （x ）．课堂练习：教材第43页练习A ．小结：本节课学习了分段函数及其简单应用，进一步学习了函数解析式的求法．课后作业：、第44页B ．教学资源建议：图形计算器、几何画板．教学方法与学习方法指导策略建议：1．本节内容不同于初中阶段的一次函数和二次函数，老师应该多列出实际的例子，让学生对分段函数有充分的认识，对实际生活中能够采用分段函数表示的问题能够提炼出相应的模型．2．应根据学生情况，采用启发式教学与讲授式教学相结合，自主学习与合作式学习相结合；注意引导学生认真阅读教科书，注意特殊与一般的思想方法，通过实例整体的把握分段函数的本质. 分段函数是学生利用数学知识解决实际问题的重要模型，鉴于多数高中学生的认知特点，《课标》特别强调要遵循运用图形直观帮助学生完善认知体系，培养学生运用图形帮助思考的习惯，从而为解析几何的学习做好铺垫.3．学生的讨论一定要组织有序，充分让学生展示自己在学习过程中对分段函数的认识，老师在此基础上再做系统的讲解，让学生能够达到新的高度．编写者： 张鹤,李久权,张国春,陈惠勇,贺思轩,赵青,石凤歧,杨凌,张丽萍。

北京市延庆县第三中学高中数学2.1.2 函数的表示方式教案新
人教B版必修1
教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象．教学方法：教师指导与学生合作、交流相结合的教学方法.
教
学环
节
任务
与目的
时
间
教师活动学生
活动
环
节1
点
击双
基
环
节二
典
型例
设疑
激趣，导
入课题
对函
数表达
式的理
解应用
1
5
分
钟
1
5
分
函数的表示方法
1.列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表
示函数关系的方法
新中国成立后共进行了五次人口普查，各次普查得
到的人口数据如表所示，
年份1
953
1
964
1
982
1
990
2
000
总人口
数（亿）
根据上表，写出函数的定义域和值域.
2.图像法：用图形表示函数的方法
3.解析法：在函数y=f（x）中，f（x）是用代数式
（或解析式）来表达的（或公式法）。

二、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x
的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数
通常叫做分段函数
例⒈作函数y x
=的图像
例⒉作函数[]
y x
=（不超过x的最大整数）的图
学生
思考、交
流
学生
讨论交流。

- 让每一个人同等地提高自我2．第1课时函数的表示方法学习目标 1. 认识函数的三种表示法及各自的优弊端.2. 掌握求函数分析式的常有方法.3. 试试作图并从图象上获得实用的信息．知识点一列表法思虑在街头随机找100 人，请他们挨次任意地写一个数字．设找的人序号为x ， x＝1,2,3 ，， 100. 第x个人写下的数字为y，则 x 与 y 之间是否是函数关系？可否用分析式表示？梳理列表法：经过列出________ 与 ______________的表来表示函数关系的方法叫做列表法．知识点二图象法思虑要知道林黛玉长什么样，你感觉一个字的描绘和一张二寸照片哪个更直观？梳理图象法：用“图形”表示函数的方法叫做图象法．知识点三分析法思虑一次函数怎样表示？- 让每一个人同等地提高自我梳理分析法：用 ________( 或 ________) 来表示函数的方法叫分析法．函数三种表示法的优弊端：种类一分析式的求法例 1依据以下条件，求 f ( x)的分析式．(1)f ( f ( x))＝2x－1，此中 f ( x)为一次函数；12 1(2)f ( x＋x)＝ x ＋x2；(3)f ( x)＋2f (－ x)＝x2＋2x.反省与感悟(1) 假如已知函数种类，能够用待定系数法．(2) 假如已知 f ( g( x))的表达式，想求 f ( x)的分析式，能够设t ＝ g( x)，而后把 f ( g( x))中- 让每一个人同等地提高自我每一个 x 都换成 t 的表达式．(3)假如条件是一个对于 f ( x)、f (－ x)的方程，我们能够用 x 的任意性进行赋值．如把每一个 x 换成－ x，其目的是再获得一个对于 f ( x)、f (－ x)的方程，而后消元消去 f (－ x)．追踪训练1依据以下条件，求 f ( x)的分析式．(1)f ( x)是一次函数，且知足3f ( x＋1)－ f ( x)＝2x＋9；(2) f ( x＋ 1) ＝x2＋ 4x＋1；1(3)2 f ( x) ＋f ( x) ＝x( x≠0) ．种类二图象的画法及应用命题角度 1画函数图象例 2试画出函数y＝1－x2的图象．反省与感悟描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时第一关注函数的定义域，即在定义域内作图．(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来烘托整个图象．(3)要标出某些重点点，比如图象的极点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些重点点是实心点仍是空心点．追踪训练 2 作出以下函数的图象并求出其值域．(1) y＝ 2x＋1，x∈[0,2] ；2(2)y＝x， x∈[2，＋∞)；(3)y＝ x2＋2x， x∈[－2,2]．命题角度 2函数图象的应用例 3 已知f ( x) 的图象以下图，则f ( x) 的定义域为 ________，值域为 ________．反省与感悟函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学实质，追求最优解．追踪训练 3 函数f (x) ＝x2－4 ＋3(x≥0) 的图象与y＝有两个交点，务实数的取值范围．x m m种类三列表法及函数表示法的选择例 4下表是某校高一(1) 班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级均匀分表．测试序号成绩第1次第2次第3次第4次第5次第6次姓名王伟98 87 91 92 88 95张城90 76 88 75 86 80赵磊68 65 73 72 75 82 班级均匀分(1)选择适合的方法表示测试序号与成绩的关系；(2)依据表示出来的函数关系对这三位同学的学习状况进行剖析．反省与感悟函数的三种表示方法都有各自的长处，有些函数能用三种方法表示，有些只好用此中的一种来表示．追踪训练4若函数f(x)以下表所示：x 0 1 2 3f ( x) 3 2 1 0则 f ( f (1))＝________.1．已知函数 f ( x)由下表给出，则 f ( f (3))等于()x123 4f ( x)324 1A.1 B ．2 C．3 D．42．假如二次函数的图象张口向上且对于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式能够是 ()A．f ( x) ＝x2－1B．f ( x) ＝－ ( x－ 1) 2＋ 1C．f ( x) ＝ ( x－ 1) 2＋ 1D．f ( x) ＝ ( x－1) 2－ 13．已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则 y 对于 x 的分析式为()2 2A．y＝2x B．y＝4x2 2C．y＝8x D．y＝16x4．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，走开家里的行程为d，下边图形中，能反应该同学的行程的是()5．画出y＝ 2x2－ 4x－ 3，x∈(0,3] 的图象，并求出y 的最大值，最小值．1．怎样求函数的分析式求函数的分析式的重点是理解对应法例 f 的实质与特色(对应法例就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示没关) ，应用适合的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法( 消元法 ) ．2．怎样作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确立函数的定义域，再在定义域内化简函数分析式，再列表描出图象，绘图时要注意一些重点点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．3．怎样用函数图象常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋向及两个函数图象交点问题．- 让每一个人同等地提高自我答案精析问题导学知识点一思虑对于任一个 x 的值，都有一个他写的数字与之对应，故 x ，y 之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是任意写的，故难以用分析式表示．这时能够制作一个表格来表示x的值与 y 的值之间的对应关系．梳理自变量对应函数值知识点二思虑 一图胜千言．知识点三思虑y ＝ kx ＋ b ( k ≠0) ．梳理代数式分析式题型研究例 1 (1) 解由题意，设 f ( x ) ＝ ax ＋b ( a ≠0) ，∵ f ( f ( x )) ＝ af ( x ) ＋b ＝ a ( ax ＋ b ) ＋ b＝ a 2x ＋ ab ＋ b ＝ 2x － 1，a 2＝ 2，由恒等式性质，得ab ＋ b ＝－ 1，a ＝ 2，a ＝－ 2，∴或b ＝1－ 2＝1＋ 2.b∴所求函数分析式为 f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1－ 2或 f ( x ) ＝－ 2 ＋1＋ 2.x(2) 解1 21∵ f ( x ＋ ) ＝ x ＋ x 2x1 2＝( x ＋ x ) － 2，∴f ( x ) ＝ x 2－2.11又 x ≠0，∴ x ＋ x ≥2或 x ＋ x ≤－ 2，11∴ f ( x ) 中的 x 与 f ( x ＋ x ) 中的 x ＋ x 取值范围同样，∴ f ( x ) ＝ x 2－2， x ∈( －∞，－ 2] ∪[2 ，＋∞ ) ．- 让每一个人同等地提高自我(3) 解 ∵ f ( x ) ＋ 2f ( － x ) ＝ x 2＋2x ，将 x 换成－ x ，得 f ( － x ) ＋ 2f ( x ) ＝ x 2－ 2x ，∴联立以上两式消去f ( － x ) ，得 3f ( x ) ＝x 2－ 6x ，1∴ f ( x ) ＝ 3x 2－2x .追踪训练 1 (1) 解由题意，设 f ( x ) ＝ ax ＋ b ( a ≠0) ，∵3f ( x ＋ 1) － f ( x ) ＝2x ＋ 9，∴3a ( x ＋ 1) ＋ 3b － ax － b ＝ 2x ＋ 9，即 2ax ＋ 3a ＋ 2b ＝ 2x ＋ 9，2a ＝ 2， 由恒等式性质，得3a ＋ 2b ＝ 9，∴a ＝ 1， b ＝ 3.∴所求函数分析式为f ( x ) ＝ x ＋ 3.(2) 解设 x ＋ 1＝ t ，则 x ＝ t － 1，f ( t ) ＝ ( t －1) 2＋ 4( t －1) ＋ 1，即 f ( t ) ＝ t 2＋2t － 2.∴所求函数分析式为f ( x ) ＝ x 2＋2x － 2.11(3) 解 ∵ f ( x ) ＋ 2f ( x ) ＝ x ，将原式中的x 与 x 交换，1 1得 f ( x ) ＋ 2f ( x ) ＝ x .于是得对于 f ( x ) 的方程组fx＋ 2f1＝ x ，xf1 ＋ 2x＝1，xfx解得 f ( x 2xx ≠0) ．) ＝ － (3x 3例 2 解 由 1－ x 2≥0解得函数定义域为 [ － 1,1] ． 当 x ＝±1时， y 有最小值 0. 当 x ＝ 0 时，y 有最大值 1.13x ＝± 2时， y ＝ 2 .9- 让每一个人同等地提高自我即得函数 y＝1－x2的图象以下：追踪训练2解(1) 列表：x 0 1132 2 2y 1 2 3 4 5当 x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，察看图象可知，其值域为 [1,5] ．(2)列表：x 2 3 4 5y 1 2 1 23 2 52当 x∈[2，＋∞)时，图象是反比率函数y＝x的一部分，察看图象可知其值域为(0,1]．(3)列表：x － 2 － 1 0 1 2y 0 － 1 0 3 8绘图象，图象是抛物线y＝ x2＋2x 在－2≤ x≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1,8] ．例 3 [ －2,4] ∪[5,8][ － 4,3]追踪训练3解 f ( x)＝ x2－4x＋3( x≥0)图象如图，f ( x)与直线 y＝ m图象有2个不一样交点，由图易知－ 1<m≤3.例 4 解 (1) 不可以用分析法表示，用图象法表示为宜．在同一个坐标系内画出这四个函数的图象以下：(2)王伟同学的数学成绩一直高于班级均匀水平，学习状况比较稳固并且成绩优异．张城同学的数学成绩不稳固，老是在班级均匀水平上下颠簸，并且颠簸幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级均匀水平，但他的成绩曲线奉上涨趋向，表示他的数学成绩在稳步提高．追踪训练 4 1分析∵ f (1) ＝ 2，∴f ( f (1)) ＝ f (2) ＝1.当堂训练1．5．解y＝2x2－4x－3(0< x≤3)的图象以下：2由图易知，当x＝3时， y max＝2×3 －4×3－3＝3. 由 y＝2x2－4x－3＝2( x－1)2－5，∴当 x＝1时， y min＝－5.。

人教版高中必修1(B版)2.1.2函数的表示方法教学设计一、教学目标1.知道函数的基本定义；2.能够利用自变量和因变量的关系来表示函数；3.能够描述二元函数的定义域和值域；4.能够解决简单函数问题。

二、教学重点和难点教学重点：1.函数的基本定义；2.函数的表示方法；3.二元函数的定义域和值域。

教学难点：1.函数的概念及其性质；2.函数的不同表示方法的转化。

三、教学过程设计3.1 导入新知识引导学生回忆什么是一元二次方程，以及它的图像长什么样子。

引导学生思考为什么该方程可以描述某个物体的运动轨迹。

引出函数的概念，引导学生明确函数是一种描述自变量和因变量之间关系的方法。

3.2 函数的基本定义介绍函数的基本概念：一个变量的值与另一个变量的值之间存在唯一的对应关系，这个对应关系可以用一个函数来表示。

通过实际例子，引导学生理解函数的定义。

3.3 函数的表示方法介绍函数的三种表示方法：函数图像、符号表示法和表格表示法。

通过实例演示将三种方法之间的相互转化。

3.4 二元函数的定义域和值域引入二元函数的概念，介绍其定义域和值域。

通过实例演示将二元函数的定义域和值域计算出来，并且学会将它们用符号表示法表示出来。

3.5 课堂练习在课堂上，提供一些函数的问题，让学生分别考虑如何用三种不同表示方法来描述函数。

例题：一个人在跑步，与时间的关系可以近似认为是线性函数。

已知他在5秒时跑了10米，在15秒时跑了30米，求在30秒时他会跑多少米？3.6 实践操作让学生在班内测量身高和步长，计算出身高与步长之间的关系，引导学生将其用函数的三种表示方法表示出来。

3.7 课堂小结通过本节课的教学，学生理解了函数的概念及其三种表示方法，能够判断和描述二元函数的定义域和值域，同时学会了处理简单函数问题。

四、教学反思在教学中，需要理清函数的基本概念、性质和表示方法的不同相互转化。

此外，需要注意让学生通过实际案例来理解函数的定义和概念，使学生在学习过程中更容易接受和理解新的知识。

新高中数学第二章函数2-1-2函数的表示方法学案新人教B版必修1函数的表示方法1．会用列表法、图象法、解析法来表示一个函数．2．会求一些简单函数的解析式．(重点)3．理解分段函数的含义，能分析其性质．(重点)4．会作一些简单函数的图象．(难点)[基础·初探]教材整理1 函数的表示方法阅读教材P38～P39“例1”以上部分，完成下列问题．1．列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．2．图象法用“图形”表示函数的方法叫做图象法．3．解析法(公式法)如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( )【答案】(1)×(2)×(3)×2．下列图形可表示函数y＝f(x)图象的只可能是( )A B C D【解析】 借助函数的定义可知，函数的图象应保证对定义域内的任意一个x 有唯一的y 与之对应，故选D.【答案】 D教材整理2 分段函数阅读教材P 42“分段函数”～P 43“例5”以上的内容，完成下列问题．在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，0，x ＝0，x ＋1，x <0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值是( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋1＝12. 【答案】 A[小组合作型](1)函数f (x )＝x ＋x 的图象是( )(2)某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．【精彩点拨】 (1)对x 进行讨论将函数f (x )＝x ＋|x |x转化为所熟知的基本初等函数即可作图．(2)函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3 000，6 000，9 000，…，30 000}，可直接列表、画图表示，分析题意得到表示y 与x 关系的解析式，注意定义域．【自主解答】 (1)当x ＞0时，f (x )＝x ＋1，故图象为直线f (x )＝x ＋1(x ＞0的部分)； 当x ＜0时，f (x )＝x －1，故图象为直线f (x )＝x －1(x ＜0的部分)； 当x ＝0时，f (x )无意义即无图象．综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0的图象为直线y ＝x ＋1(x ＞0的部分)和y ＝x －1(x ＜0的部分)，即两条射线，故选C.【答案】 C (2)①列表法如下：③解析法：y ＝3 000x ，x ∈{1,2,3，…，10}．列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线.[再练一题]1．购买某种饮料x 听，所需钱数y 元．若每听2元，试分别用列表法、解析法、图象法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数，并指出函数的值域.【导学号：60210035】【解】 解析法：y ＝2x ，x ∈{1,2,3,4}，则y ∈{2,4,6,8}． 列表法：图象法：(1)(2)已知函数y ＝f (x )是一次函数，且[f (x )]2－3f (x )＝4x 2－10x ＋4，则f (x )＝________；(3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，则f (x )＝________. 【精彩点拨】 (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解．【自主解答】 (1)法一 换元法：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．法二 配凑法：f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1－4x －4＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，因为x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)． (2)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则[f (x )]2－3f (x )＝(kx ＋b )2－3(kx ＋b ) ＝k 2x 2＋(2kb －3k )x ＋b 2－3b ＝4x 2－10x ＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，2kb －3k ＝－10，b 2－3b ＝4，解得k ＝－2，b ＝4，或k ＝2，b ＝－1， 故f (x )＝－2x ＋4，或f (x )＝2x －1.(3)由题意，在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代x 可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ，联立可得⎩⎪⎨⎪⎧f x －2f －x ＝1＋2x ，f－x －2f x ＝1－2x ，消去f (－x )可得f (x )＝23x －1.【答案】 (1)x 2－4x ＋3(x ≥1) (2)－2x ＋4或2x －1 (3)23x －1求函数解析式的四种常用方法1．待定系数法：若已知f (x )的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．2．换元法：设t ＝g (x )，解出x ，代入f (g (x ))，求f (t )的解析式即可．3．配凑法：对f (g (x ))的解析式进行配凑变形，使它能用g (x )表示出来，再用x 代替两边所有的“g (x )”即可．4．方程组法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．[再练一题]2．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.【解析】 在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，用1x代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f x1x－1，得f (x )＝23x ＋13.【答案】23x ＋13已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.若f (x )>2，求x 的取值范围．【精彩点拨】分段求解，再求并集．【解】当x≥－2时，f(x)＝x＋2，由f(x)>2，得x＋2>2，解得x>0，故x>0；当x<－2时，f(x)＝－x－2，由f(x)>2，得－x－2>2，解得x<－4，故x<－4.∴x的取值范围是{x|x>0或x<－4}．求解分段函数问题的注意点(1)求f[f(a)]的值时，应从内到外依次取值，直到求出值为止．(2)已知函数值，求自变量的值时，切记要进行检验．解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．(3)已知f(x)，解关于f(x)的不等式时，要先在每一段内求交集，最后求并集．[再练一题]3．本题中解析式不变求f(－3)，f(f(－3))，f(f(f(－3)))的值．【解】f(－3)＝－(－3)－2＝1，f(f(－3))＝f(1)＝1＋2＝3，f(f(f(－3)))＝f(3)＝3＋2＝5.[探究共研型]探究1【提示】列表，描点，连线．探究2 作一次函数与二次函数的图象时，要注意哪些事项？【提示】作一次函数与二次函数的图象时，应标出某些关键点．如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．【精彩点拨】解答本题可根据函数的定义域及图象中的关键点，通过描点、连线画出图象．【自主解答】(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示．(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x<3之间的一部分，如图(2)所示．1．画函数图象时首先要考虑函数的定义域．2．要标出关键点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．3．要掌握常见函数的特征．4．函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等．[再练一题]4．画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．【解】(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)．(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)．1．下列表示函数y＝f(x)，则f(11)＝( )A．C ．4D ．5【解析】 由表可知f (11)＝4. 【答案】 C2．已知f (x －1)＝x 2＋4x －5，则f (x )的表达式是( ) A ．f (x )＝x 2＋6x B ．f (x )＝x 2＋8x ＋7 C ．f (x )＝x 2＋2x －3 D ．f (x )＝x 2＋6x －10【解析】 法一 设t ＝x －1，则x ＝t ＋1， ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5，∴f (t )＝(t ＋1)2＋4(t ＋1)－5＝t 2＋6t ， 即f (x )的表达式是f (x )＝x 2＋6x .法二 ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5＝(x －1)2＋6(x －1)，∴f (x )＝x 2＋6x . ∴f (x )的表达式是f (x )＝x 2＋6x ，故选A. 【答案】 A3．f (x )＝|x －1|的图象是( )【导学号：60210036】【解析】 ∵f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，当x ＝1时，f (1)＝0，可排除A 、C.又x ＝－1时，f (－1)＝2，排除D.【答案】 B4．如图2­1­4，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (f (2)))＝________.图2­1­4【解析】 由题意f (2)＝0，f (0)＝4，f (4)＝2， 所以f (f (f (2)))＝f (f (0))＝f (4)＝2.【答案】 25．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．(1)画出f(x)图象的简图；(2)根据图象写出f(x)的值域．【解】(1)f(x)图象的简图如图所示．(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1,3]，即f(x)的值域是[－1,3]．。

2.1.2 函数的表示方法第1课时函数的表示方法课堂导学三点剖析一、准确理解函数的意义,画函数的图象【例1】作下列各函数的图象.(1)y=2x-1,x∈Z ;(2)y=|x-1|.思路分析：作函数的图象关键在于明确函数图象的形状,所以可先将函数化简整理,这里即讨论x-1的符号,从而去掉绝对值,达到化简的目的.解：(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=2x-1上.(∵x∈Z ,∴y∈Z )这些点称为整点,如图①.(2)所给函数可写成y=⎩⎨⎧<≥1,x x,-11,x 1,-x 其图象是端点为(1,0)的两条射线,如图②.温馨提示(1)求作函数图象时,一般应用描点法,根据特点,找出几个关键点即可.(2)作出函数图象,我们还可以利用它求函数的值域以及研究函数的性质.二、求函数解析式【例2】已知f(xx 1+)=x x x 1122++,求f(x). 思路分析：要求f(x),应把xx 1+看作一个整体,采用配凑法或者换元法求出f(x). 解法一:∵f(x x 1+)=x x x 1122++=(x x 1+)222xx -+x 1=(x x 1+)2x 1-=(x x 1+)2-(x x 1+)+1, ∴f(x)=x 2-x+1(x≠1). 解法二:设x x +1=u,则x=11-u ,u≠1, 则f(u)=22)11(1)11(-+-u u +u-1=u 2-u+1,∴f(x)=x 2-x+1(x≠1).温馨提示已知复合函数f ［g(x)］的表达式时,可以用换元法求解,但要注意换元时引起的定义域的变化,最后结果注明所求函数的定义域.三、对y=f(x)对应法则的理解 【例3】已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∈-+==*,),1(211)(,1)1(N n n f n f f 求f(2)、f(3)、f(4). 思路分析：所给函数用两个等式定义,第一个等式首先给出自变量的初始值对应的函数值,然后由这个函数值用第二个等式依次递推地计算下一个函数值.解：f(2)=1+21f(2-1)=1+21f(1)= 23, f(3)=1+21f(3-1)=1+21f(2)=47, f(4)=1+21f(4-1)=1+21f(3)=815. 温馨提示上述运算方法叫递归运算,运用递归运算时,要弄清各部分的关系,依次代入即可.解题时要对f(n)理解到位.各个击破类题演练1作出函数y=|x-1|+2|x-2|的图象.解析：y=|x-1|+2|x-2|=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-≤-.2,53,21,3,1,35x x x x x x∴图象如下图.变式提升2画出下列函数的图象:(1)y=x 2-2|x|-1;(2)y=⎪⎩⎪⎨⎧<≥0.x 2x,-x -0,x 2x,-x 22 解析：(1)y=x 2-2|x|-1=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥0.x 1,-2x x 0,x 1,-2x -x 22图象如图(1)所示.(1) (2)(2)y=⎪⎩⎪⎨⎧<≥0.x 2x,-x -0,x 2x,-x 22的图象如图(2)所示. 类题演练2若f{f ［f(x)］}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.解析：设f(x)=ax+b(a≠0),f［f(x)］=a(ax+b)+b=a 2x+ab+b,∴f{f［f(x)］}=a(a 2x+ab+b)+b=a 3x+a 2b+ab+b.∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=26.b ab b a 27,a 23 ∴⎩⎨⎧==2.b 3,a ∴f(x)=3x+2,经检验成立.变式提升2已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x)的表达式.解析：设f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+==0,2c 2a -4,2b 2,2a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===-1.c -2,b 1,a∴f(x)=x 2-2x-1.类题演练3 已知函数f(x)=221x x +,那么f(1)+f(2)+f(21)+f(3)+f(31)=. 解析：∵f(x 1)=22111xx +=112+x ,∴f(x 1)+f(x)=1.∴原式=21+1+1=25. 答案：25 变式提升3已知f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x).解析：令a=0,则f(-b)=f(0)-b(-b+1)=1+b(b-1)=b 2-b+1,再令-b=x,得f(x)=x 2+x+1.。

函数-2.1.2 函数表示方法自主整理设集合A是一个非空数集,对A内任意数x,按照确定法那么f,都有唯一确定数值y与它对应,那么这种对应关系叫做集合A上一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,自变量取值范围A叫做函数定义域;如果自变量取值a,那么由法那么f确定值y称作函数在a处函数值,记作y=f(a)或y|x=a.所有函数值构成集合{y|y=f(x),x∈A}叫做函数值域.函数定义含有三个要素,即定义域A、值域C与对应法那么f.当且仅当两个函数定义域与对应法那么都分别一样时,这两个函数才是同一个函数.(1)在数轴上,区间可以用一条以a,b为端点线段来表示(如下表).用实心点表示端点包括在区间内,用空心点表示端点不包括在区间内.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间［a,b］{x|a<x<b}开区间(a,b){x|a≤x<b}半开半闭区间［a,b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b］(2)无穷区间概念:关于-∞,+∞作为区间一端或两端区间称为无穷区间,它定义与符号如下表:{x|x≥a}［a,+∞){x|x>a}(a,+∞){x|x≤a}(-∞,a］{x|x<a}(-∞,a)R(-∞,+∞)取遍数轴上所有值设A、B是两个非空集合,如果按某种对应法那么f,对A内任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,那么称f是集合A 到集合B映射.这时,称y是x在映射f作用下象,记作f(x).于是y=f(x),x称作y原象,映射f也可记为f:A→B,x→f(x).其中A叫做映射f定义域(函数定义域推广),由所有象f(x)构成集合叫做映射f值域,通常记作f(A).(1)列表法:通过列出自变量与对应函数值表来表达函数关系方法;(2)图象法:就是用函数图象来表达函数关系;(3)解析法:如果在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代数式(或解析式)来表达,那么这种表达函数方法叫做解析法(也称公式法).在函数定义域内,对于自变量x不同取值区间,有着不同对应法那么,这样函数通常叫做分段函数.高手笔记1.(1)“y=f(x)〞中“f〞是函数符号,可以用任意字母表示,如“y=g(x)〞;(2)函数符号“y=f(x)〞中f(x)表示与x对应函数值,是一个数,而不是f 乘x.2.对应法那么可以有多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法与图象法,不管是哪种形式,都必须是确定,且使集合A中每一个元素在B 中都有唯一元素与之对应.3.函数是建立在两个非空数集间一种对应,假设将其中条件“非空数集〞弱化为“任意两个非空集合〞,按照某种法那么可以建立起更为普通元素之间对应关系,这种对应就叫映射.A到B映射与B到A映射是截然不同.4.区间与数轴是严密联系在一起,在识别与使用区间符号时都不能脱离开数轴.区间端点值取舍是很容易出错地方,一定要准确判断是该用小括号还是中括号,正确书写.在用数轴表示时也要注意实心点与空心点区别.对于某些不能用区间表示集合就仍用集合符号表示.5.对于分段函数问题,一般要分别转化成在定义域内每一个区间上来解决.要明确分段函数是一个函数,不是多个函数,只是这个函数较为特殊,不像一般函数可以用一个解析式表示,而只能分段表示.分段函数画法要领是根据各段上函数解析式,分段画出各段图象.6.假设y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数,u称为中间变量,它取值范围是g(x)值域与(m,n)交集.名师解惑1.如何理解构成函数三要素:定义域、对应关系与值域求值域有几种常用方法剖析:(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数定义域,函数定义域包含三种形式:①自然型:指函数解析式有意义自变量x取值范围(如:分式函数分母不为零,偶次根式函数被开方数为非负数,等等);②限制型:指命题条件或人为对自变量x限制,这是函数学习重点,往往也是难点,因为有时这种限制比拟隐蔽,不容易注意,或者即使注意到,在解题时却忘记用到;③实际型:解决函数综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x实际意义.(2)求函数值域是比拟困难数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数值域问题.求法主要有以下几种:①配方法(转化为二次函数);②判别式法(转化为二次方程);③不等式法(运用不等式各种性质);④函数法(运用根本函数性质或抓住函数单调性、函数图象等).2.函数有哪几种表示法？各有什么优点与缺乏？剖析:(1)表示函数有三种方法:解析法,列表法,图象法.现实生活中如:商场各种商品与其价格之间函数关系就是用列表法表示;房地产公司出售商品房,总价格与面积之间函数关系就是用解析式来表示;工厂每月产量与月份之间函数关系是用图表来表示.(2)表示函数三种方法优点与缺乏,分别说明如下.①用解析式表示函数优点是简明扼要、标准准确.可以利用函数解析式求自变量x=a时对应函数值,还可利用函数解析式列表、描点、画函数图象,进而研究函数性质,又可利用函数解析式构造特点,分析与发现自变量与函数间依存关系,猜测或推导函数性质(如对称性、增减性等),探求函数应用等.缺乏之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示,求x与y对应值需要逐个计算、有时比拟繁杂.②列表法优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间数量关系,于是一些数学用表应运而生.如用立方表、平方根表分别表示函数.商店职员也制作售价与数量关系计价表,方便收款.列表法缺点是只能列出局部自变量与函数对应值,难以反映函数变化全貌.③用图象表示函数优点是形象直观,清晰呈现函数增减变化、点对称、最大(或小)值等性质.图象法缺乏之处是所画出图象是近似、局部,观察或由图象确定函数值往往不够准确.由于以上表示函数三种方法具有互补性,因此在实际研究函数时,通常是三种方法交替使用.3.如何理解映射？为什么说映射是一种特殊对应剖析:(1)理解映射概念,必须注意以下几点:①方向性,“集合A到集合B映射〞与“集合B到集合A映射〞往往不是同一个映射;②非空性,集合A、B必须是非空集合;③唯一性,对于集合A中任何一个元素,集合B中都是唯一确定元素与之对应,这是映射唯一性,也可以说“在集合B中〞,A中任一元素象必在集合B中,也叫映射封闭性.④存在性,就是说对集合A中任何一个元素,集合B中都有元素与它对应,这是映射存在性.(2)映射也是两个集合A与B元素之间存在某种对应关系.说其是一种特殊映射,就是因为它只允许存在“一对一〞与“多对一〞这两种对应,而不允许存在“一对多〞对应.映射中对应法那么f是有方向,一般来说从集合A到集合B映射与从集合B到集合A映射是不同.讲练互动【例题1】以下各组中两个函数表示同一个函数是…( )A.f(x)=x,g(x)=n n x22B.f(n)=2n+1(n∈Z),g(n)=2n-1(n∈Z)C.f(x)=x-2,g(t)=t-2D.f(x)=,g(x)=1+x解析：两个函数一样必须有一样定义域、值域与对应法那么.A中两函数值域不同;B中虽然定义域与值域都一样,但对应法那么不同;C 中尽管表示自变量两个字母不同,但两个函数三个要素是一致,因此它们是同一函数;D中两函数定义域不同.答案：C绿色通道给定两个函数,要判断它们是否是同一函数,主要看两个方面:一看定义域是否一样;二看对应法那么是否一致.只有当两函数定义域一样且对应法那么完全一致时,两函数才可称为同一函数.只要三者中有一者不同即可判断不是同一个函数,比方上面对A判断即属此.变式训练1.判断以下各组中两个函数是否为同一函数,并说明理由.(1)y=x-1,x∈R 与y=x-1,x∈N ; (2)y=42-x 与y=22+•-x x ; (3)y=1+x 1与u=1+v1;(4)y=x 2与y=x 2x ;(5)y=2|x|与y=分析：判断两个函数是否为同一函数,应着眼于两个函数定义域与对应法那么比拟,而求定义域时应让原始解析式有意义,而不能进展任何非等价变换,对应法那么判断需判断它本质是否一样而不是从外表形式上下结论.解：(1)不同,因为它们定义域不同.(2)不同,前者定义域是x≥2或x≤-2,后者定义域是x≥2.(3)一样,定义域均为非零实数,对应法那么都是自变量取倒数后加1.(4)不同,定义域是一样,但对应法那么不同.(5)一样,将y=2|x|利用绝对值定义去掉绝对值结果就是y=【例题2】设f,g 都是由A 到A 映射,其对应法那么(从上到下)如下表:表1 映射f 对应法那么原象1 2 3 象 2 3 1 表2 映射g 对应法那么原象123象213试求f［g(1)］,g［f(2)］,f{g［f(3)］}.分析：此题是将映射概念与复合函数求值相结合一道典型例题,解答此题首先要弄清f［g(x)］含义与映射中原象与象关系,然后再按照有关定义解题.解：∵g(1)=2,f(2)=3,∴f［g(1)］=f(2)=3.又∵g(3)=3,∴g［f(2)］=g(3)=3.∵f(3)=1,g(1)=2,∴f{g［f(3)］}=f［g(1)］=f(2)=3.绿色通道读懂对应法那么f与g含义是解题关键,要弄清在法那么f与g作用下,集合A中元素在集合A中象是什么,要掌握象与原象定义.变式训练2.以下各图中表示对应,其中能构成映射个数是…( )图2-1-1A.4B.3C.2解析：所谓映射,是指多对一或一对一对应且A中每一个元素都必须参与对应.只有图(3)所表示对应符合映射定义,即A中每一个元素在对应法那么下,B中都有唯一元素与之对应.图(1)不是映射,因A中元素c没有参与对应,即违背A中任一元素都必须参与对应原那么.图(2)、图(4)不是映射,这两个图中集合A中元素在B中有多个元素与之对应,不满足A中任一元素在B中有且仅有唯一元素与之对应原那么.综上,可知能构成映射个数为1.答案：D3.(2007山东济宁二模,理10)A={a,b,c},B={-1,0,1},函数f:A→B满足f(a)+f(b)+f(c)=0,那么这样函数f(x)有( )解析：对f(a),f(b),f(c)值分类讨论.当f(a)=-1时,f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0,即此时满足条件函数有2个;当f(a)=0时,f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1或f(b)=0,f(c)=0,即此时满足条件函数有3个;当f(a)=1时,f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0,即此时满足条件函数有2个.综上所得,满足条件函数共有2+3+2=7(个).应选C.答案：C【例题3】求以下函数值域:(1)y=x2-2x-1,x∈［0,3］;(2)y=3x;-2+(3)y=;(4)y=|x-1|+|x-2|.分析：求二次函数值域一般要数形结合,先配方找出对称轴,再考察给定区间与对称轴关系,利用二次函数在对称轴两侧单调性,求出给定区间上最大值与最小值,即可得到函数值域.除数形结合之外,求函数值域方法还有逐步求解法、判别式法、别离常数法与利用有界性等.绝对值函数通常先化为分段函数.解：(1)将原式变形,得y=(x-1)2-2,此函数对称轴为x=1,由于x∈［0,3］,∴当x=1时,y 有最小值-2.根据函数对称性知,x=3比x=0时值要大,∴当x=3时,y 有最大值2.∴这个函数值域为［-2,2］.(2)易知x≥2,∴2-x ≥0. ∴y=2-x +3≥3.∴这个函数值域为［3,+∞).(逐步求解法)(3)先别离常数,y=1311311222222+-=+-+=+-x x x x x .① 解法一(逐步求解法):∵x 2+1≥1,∴0<≤1.∴1>1≥-2.∴y∈［-2,1).解法二(判别式法):两边同乘x 2+1并移项,得(y-1)x 2+y+2=0. 又由①可知y<1,∴Δ=-4(y-1)(y+2)≥0.∴y∈［-2,1).解法三(利用有界性):∵y≠1,易得x 2=.又∵x 2≥0,∴≥0.∴y∈［-2,1).(4)原函数可化为y=由图2-1-2可知y∈［1,+∞).图2-1-2绿色通道求值域一定要注意定义域限制,一定要在定义域范围内求函数值域.当然,求值域一定要根据函数对应关系来确定.如果我们抓住了这些解决问题关键,求这类问题就能得心应手.变式训练4.函数y=-x2+4x+5(1≤x≤4)值域是…( )A.［5,8］B.［1,8］C.［5,9］D.［8,9］解析：y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9(x∈［1,4］).∴当x=2时,y最大=9;当x=4时,y最小=5.∴函数值域为{y|5≤x≤9}.答案：C【例题4】图2-1-3是一个电子元件在处理数据时流程图:图2-1-3(1)试确定y与x函数关系式;(2)求f(-3)、f(1)值;(3)假设f(x)=16,求x值.分析：此题是一个分段函数问题,当输入值x≥1时,先将输入值x加2再平方得输出值y;当输入值x<1时,那么先将输入值x平方再加2得输出值y.解：(1)y=(2)f(-3)=(-3)2+2=11;f(1)=(1+2)2=9.(3)假设x≥1,那么(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去).假设x<1,那么x2+2=16,解得x=14(舍去)或x=14-.综上,可得x=2或x=14-.绿色通道通过实例,了解简单分段函数并能简单应用是新课程标准根本要求.对于分段函数来说,给定自变量求函数值时,应根据自变量所在范围利用相应解析式直接求值;假设给定函数值求自变量,应根据函数每一段解析式分别求解,但应注意要检验该值是否在相应自变量取值范围内.变式训练5.(2007山东蓬莱一模,理13)设函数f(n)=k(k∈N*),k是π小数点后第n位数字,π=3.141 592 653 5…,那么等于____________.解析：由题意得f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,…,那么有=1.答案：1【例题5】函数f(x+1)=x2-1,x∈［-1,3］,求f(x)表达式.分析：函数是一类特殊对应,函数f(x+1)=x2-1,即知道了x+1象是x2-1,求出x象,即是f(x)表达式.求解f(x)表达式此题可用“配凑法〞或“换元法〞.解法一(配凑法):∵f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),∴f(x)=x2-2x.又x∈［-1,3］时,(x+1)∈［0,4］,∴f(x)=x2-2x,x∈［0,4］.解法二(换元法):令x+1=t,那么x=t-1,且由x∈［-1,3］知t∈［0,4］,∴由f(x+1)=x2-1,得f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,t∈［0,4］.∴f(x)=(x-1)2-1=x2-2x,x∈［0,4］.绿色通道函数f［g(x)］表达式,求f(x)表达式,解决此类问题一般有两种思想方法,一种是用配凑方法,一种是用换元方法.所谓“配凑法〞即把f［g(x)］配凑成关于g(x)表达式,而后将g(x)全用x取代,化简得要求f(x)表达式;所谓“换元法〞即令f［g(x)］中g(x)=t,由此解出x,即用t表达式表示出x,后代入f［g(x)］,化简成最简式.需要注意是,无论是用“配凑法〞还是用“换元法〞,在求出f(x)表达式后,都需要指出其定义域,而f(x)定义域即x取值范围应与条件f ［g(x)］中g(x)范围一致,所以说求f(x)定义域就是求函数g(x)值域.变式训练6.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,假设f(5)=-5,那么f ［f(1)］=___________.解析：∵f(x+2)=,∴f(x)=.∴f(1)===f(5)=-5.∴f(1)=-5.∴f［f(1)］=f(-5).又f(-5)=)23(11)3(1)25(1+---=--=+--f f f =f(-1)=51)1(1)21(1--=-=+--f f =51, ∴f［f(1)］=51. 答案：51 7.f(x)=x +11(x∈R 且x≠-1),g(x)=x 2+2(x∈R ), (1)求f(2)、g(2)值.(2)求f ［g(2)］值.(3)求f ［g(x)］解析式.分析：在解此题时,要理解对应法那么“f〞与“g〞含义,在求f ［g(x)］时,一般遵循先里后外原那么.解：(1)f(2)=,g(2)=22+2=6.(2)f ［g(2)］=f(6)=.(3)f ［g(x)］=f(x 2+2)=.教材链接［思考与讨论］如何检验一个图形是否是一个函数图象写出你检验法那么,图2-1-4所示各图形都是函数图象吗哪些是,哪些不是,为什么图2-1-42-1-4所示各图形中因为(1)、(3)、(4)符合“一对一〞或“多对一〞原那么,所以(1)、(3)、(4)是函数图象,而(2)中有一个x 值对应两个y 值,不满足函数“多对一〞或“一对一〞条件,所以(2)不是函数图象.。

高中数学 2.1.2函数的表示方法教案新人教B版必修1一、教学目标1、知识目标：(1) 掌握函数的三种常见的表示方法；(2) 了解函数表示形式的多样性用其转化．2、能力目标：(1) 使学生掌握函数的三种常用表示方法的选用；(2) 使学生初步认识用函数的知识解决具体问题；(3) 使学生初步了解数形结合的思想方法．3、情感目标：通过本节课的教学，使学生认识到数学源于生活，数学也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题．二、教学重点：函数的三种表示方法及画简单函数的图像；三、教学难点：取整函数的理解及其图像的作法．四、教学设计：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。